SKKN Nâng cao kỹ năng giải một số dạng toán số học bằng cách sử dụng phương pháp chặn

	1. MỞ ĐẦU
 Trong đề thi HSG cấp tỉnh THCS những năm gần đây, phần kiến thức về "Số học" là câu ở mức độ “vận dụng”; đây là câu ở mức (điểm 15-18). Hầu hết các học sinh ở các trường THCS, nhất là học sinh học ở các trường miền núi thường gặp khó khăn khi làm câu này. Trong thực tế giảng dạy tôi thấy, muốn cho học sinh đạt được điểm 15 trở lên trong kỳ thi thi HSG cấp tỉnh thì phải hướng dẫn các em học tốt các nội dung trong câu này. Một phần kiến thức rất quan trọng trong phần này là các kiến thức về: Sử dụng phương pháp chặn để giải bài toán số học. Với mong muốn các học sinh của mình sẽ đạt giải cao trong kỳ thi chon HSG cấp tỉnh Tôi mạnh dạn đưa ra sáng kinh nghiệm: "Nâng cao kỹ năng giải một số dạng toán số học bằng cách sử dụng phương pháp chặn".
 Do khả năng còn hạn chế; kinh nghiệm chưa nhiều và hạn chế về số trang nên trong SKKN của tôi có thể có những phần chưa hoàn chỉnh. Rất mong được sự đóng góp quí báu của quí thầy cô.
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
	 1.1. Lí do chọn đề tài
	 Số học là phần kiến thức mà các em được học từ năm lớp 6 với các nội dung khá cơ bản và đơn giản. Nhưng trong các kỳ thi HSG cấp tỉnh thì đây là câu ở mức “vận dụng”. Đối với học sinh miền núi, Từ thực tế giảng dạy của mình tôi nhận thấy khi giải những bài toán số học phải sử dụng phương pháp chặn để giải nhiều học sinh còn gặp khó khăn, lúng túng, chưa biết cách sử dụng đặc biệt là khai thác các dữ kiện của bài toán, loại trừ các khả năng có thể xảy ra, từ đó đi đến vấn đề trọng tâm rồi chủ động đưa ra cách giải một cách đơn giản và đi đến kết quả. Vì vậy việc tôi lựa chọn cách này để viết SKKN là cấp thiết, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường.
 1.2. Mục đích nghiên cứu.
 Tôi viết SKKN này với mục đích: 
 - Thông qua đề tài tìm ra các yếu điểm của HS trong giải toán số học có sử dụng phương pháp chặn.
 - 	Củng cố, cung cấp cho học sinh kỹ năng và một số kiến thức về phương pháp chặn, cách nhận biết dạng toán và lựa chọn cách trình bày bài cho phù hợp nhằm nâng cao năng lực học toán, giúp học sinh tiếp thu bài chủ động sáng tạo và là công cụ giải quyết những bài tập có liên quan 
 	- Giải đáp được những thắc mắc, sửa chữa được những sai lầm hay gặp khi giải các bài toán liên quan đến phương pháp chặn. 
 - Giúp GV phát hiện bồi dưỡng HS khá giỏi, học sịnh có khả năng học toán.
 - Phổ biến đến các thành viên trong tổ chuyên môn nơi tôi công tác, giúp các em học sinh đạt điểm cao trong kỳ thi chọn HSG cấp tỉnh. Nếu các đồng nghiệp ở trường khác thấy có ích thì tôi sẵn sàng chia sẻ.
 1.3. Đối tượng nghiên cứu.
	 Đề tài này nghiên cứu, tổng kết về lớp các bài toán số học có sử dụng phương pháp chặn.
 1.4. Phương pháp nghiên cứu.
	 - Tôi nêu lên phần lí thuyết và một số tính chất hay dùng trong quá trình sử dụng phương pháp chặn.
	 - Nêu lên một số dạng toán cơ bản và cách suy nghĩ để giải các dạng này.
 - Một số bài tập vận dụng và nâng cao.
 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 2.1. Cơ sở lí luận của SKKN
 	Bản chất của phương pháp là: “Muốn tìm được số hay mệnh đề nào đó thỏa mãn tính chất hoặc điều kiện cho trước” ta phải giới hạn (chặn) số đó nhằm giới hạn phạm vi áp dụng của số hoặc mệnh đề đó lại sau đó kết hợp với các tính chất và các điều kiện đã cho khác của đề bài có liên quan để đưa ra kết quả.
 Phương pháp cụ thể: Muốn tìm số a thỏa mãn tính chất nào đó, ta giả sử . Dùng lập luận kết hợp với các điều kiện đã cho của bài toán để suy ra . Kết hợp hai điều kiện trên ta đã tìm được khoảng giới hạn của a là từ m đến n tức khi đó ta đã chặn được. Sau đó kết hợp các điều kiện đề bài cho hoặc thử các giá trị trong khoảng đó suy ra các giá trị cần tìm của a. 
	 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
	 Số học là môn học các em được học ở lớp 6 nhưng trong nhiều dạng toán và trong đề thi học sinh giỏi các cấp học sinh thường gặp, tuy nhiên nhiều em khi gặp thường bỏ không làm, hoặc làm không đúng, hoặc có giải được thì rất dài và không đầy đủ, vì không biết dụng các điều kiện của đề bài và các tính chất của các số. Vì vậy kết quả đạt được thường không cao. 
	 Khi giải toán số học, quan trọng thường có trong cách giải là tìm cách hạn chế các giá trị của biến để ra kết quả, cách làm đó gọi chung là "cách chặn".
 Việc áp dụng phương pháp chặn để giải các dạng toán số học đã được sử dụng để giải trong nhiều bài tập và nhiều ví dụ cũng như có nhiều người đã sử dụng, song việc áp dụng chưa thật sự chủ động, chưa rộng, chưa có tài liệu, sách nào giới thiệu một cách đầy đủ, chi tiết về phương pháp giải, đặc biệt là nhiều thầy cô trong giảng dạy cũng chưa tổng hợp, phân dạng để hình thành tư duy phương pháp và kĩ năng cho học sinh, nên gặp các dạng toán này nếu là bài tương tự với bài đã được chữa, được làm thì các em còn làm được. Tuy nhiên với những bài thay đổi dữ liệu hoặc khác với các ví dụ đã làm thì các em còn rất mơ hồ, chưa xác định được phương pháp giải một cách rỏ ràng do đó còn gặp nhiều khó khăn trong việc giải bài tập, nhất là các bài tập về số học.
 Qua khảo sát 16 em học sinh đội tuyển toán lớp 7 trong hai năm học liên tiếp: 2016-2017 và 2017- 2018 của trường THCS Cẩm Phong về việc sử dụng phương pháp chặn để giải các dạng toán số học thường có trong đề thi học sinh giỏi cấp huyện các năm gần đây, kết quả nhận được như sau: 
Điểm dưới 5
Điểm 5 - 7
Điểm 8 - 10
SL
%
SL
%
SL
%
8
50
7
43,75
1
6,25
 	Từ thực trạng trên, trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi để nâng cao hiệu quả dạy và học đối với dạng nay tôi đã tìm hiểu, nghiên cứu và phân dạng các bài toán có sử dụng phương pháp chặn để hướng dẫn học sinh cách trình bày thông qua đó xây dựng cho các em tư duy phương pháp và kỹ năng cho các em để giải dạng toán này một cách cụ thể, có hiệu quả hơn.
 2. 3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
 	Để giúp cho học sinh nắm được phương pháp giải và xác định được cách làm của từng dạng, tôi đã tham khảo các tài liêu bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán các khối lớp, các đề thi học sinh giỏi các khối lớp ở nhiều năm, các chuyên đề và qua mạng internet để nghiên cứu, tìm hiểu, phân dạng, nhờ đó đã giúp cho tôi hiểu một cách sâu sắc hơn về phương pháp chặn, từ đó tôi đã tổng hợp, xây dựng được hệ thống bài tập phong phú. Với hệ thống bài tập sắp xếp từ dễ đến khó theo dạng, thông qua các dạng toán này giúp học sinh tự rút kinh nghiệm và hình thành phương pháp, rèn luyện kỹ năng giải, giúp các em dễ dàng nghi nhớ, dễ dạng phân biệt và áp dụng vào giải quyết các bài toán dạng này đạt kết quả cao hơn, cụ thể tôi đã thực hiện dạy như sau:
	 1/ Trang bị lại cho học sinh các kiến thức cơ bản nhất về việc sử dụng phương pháp chặn.
Ví dụ như: Tìm số a thỏa mãn tính chất cho trước nào đó
Cách làm: + Giả sử 
 	 + Dùng lập luận kết hợp với các điều kiện đã cho của bài để suy ra .
 + Kết hợp hai điều kiện trên suy ra được khoảng giới hạn của a là , tức khi đó ta đã chặn được a.
 + Kết hợp các điều kiện đề bài cho hoặc thử các giá trị trong khoảng đó suy ra các giá trị cần tìm của a. 
Ngoài ra học sinh cần nắm vũng các kiến thức sau: 
 1. Tính chất của số.
 + Với và 
 + Với 
 + Với ta luôn có suy ra .
 2. Tính chất của số chính phương.
	 + Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.
	 + Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1. Không có số chính  phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n ∈ N).
 + Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1. Không có số chính  phương nào có dạng 3n + 2 (n ∈ N), ...
 3. Tính chất chia hết.
 4. Tính chất của bất đẳng thức số,...
2/ Trang bị cho học sinh kỹ năng tự đặt câu hỏi và tự trả lời câu hỏi.
H? Yêu cầu bài toán là gì? Để thực hiện yêu cầu đó ta có những hướng suy nghĩ nào?
H? đề bài cho biết gì? Với giả thiết đó, ta có mấy cách giải quyết bài toán này và ta sẽ làm bài này theo cách nào? vì sao?
* Khi gặp khó khăn, ta tiếp tục đặt câu hỏi ?
H? Ta gặp khó khăn ở đâu? Có phần giả thiết nào chưa sử dụng không?
H? Ta đã gặp bài toán nào tương tự bài này chưa?...
3/ Các dạng toán cơ bản
	Dạng 1. Sử dụng phương pháp chặn vào các bài toán tìm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện cho trước
 Bài 1: a) Biết , x N và x lớn nhất. Tìm x thỏa mãn điều kiện trên. 
 b) Biết , y N và y nhỏ nhất. Tìm y thỏa mãn điều kiện trên. 
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
Yêu cầu học sinh nêu lên các suy nghĩ khi gặp bài toán này.
+/ Câu trả lời mong muốn
Vì x N và x lớn nhất chia cả hai vế của cho 6 ta chặn được x.
Hướng dẫn học sinh làm bài toán cụ thể.
 Vì chia cả hai vế cho 6 ta được .
 Vì x N và => .
 Kết hợp điều kiện thứ 3 là: x lớn nhất ta suy ra được: x = 6
Vậy số x cần tìm thỏa mãn các điều kiện trên là x = 6.
b. Tương tự câu a giáo viên có thể cho học sinh đề xuất cách giải cho câu b.
+ Vì chia cả hai vế cho 6 ta được y > 6,1666.... => y > 6
+ Vì y là số tự nhiên và y > 6 => y= 7; 8; 9; .... Vì y nhỏ nhất nên y =7.
Vậy số y thỏa mãn các điều kiện trên là y = 7
	 Lời bình: 	Trong bài1 là bài khá đơn giản, tuy nhiên để tìm được giá trị của x hay y ta đã căn cứ vào ba điều kiện mà đề bài đã cho, sau đó muốn tìm số lớn nhất thì ta chặn trên, tìm số nhỏ nhất thì chặn dưới. Việc chặn trên hay dưới nhằm mục đích giới hạn các giá trị của x, y lại từ đó suy ra giá trị cần tìm.
 Bài 2. Tìm ba số tự nhiên x , y , z. biết x +y + z = xyz và 
	 Đây là một bài toán mà ta có thể gặp trong nhiều các loại sách tham khảo và có trong các đề thi học sinh giỏi một số năm, và thường được cho dưới nhiều dạng khác nhau như: Tìm ba số nguyên dương khác nhau, biết tổng của chúng bằng tích của chúng. Tuy nhiên dù phát biểu theo dạng nào thì giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách chọn số nào trong ba số trên để sử dụng phương pháp chặn cho phù hợp. Cụ thể giáo viên có hướng dẫn như sau:
 Hướng dẫn: Vì trong ba số x, y, z thì z là số lớn nhất nên để chặn được trong bài này ta cần thay mỗi số x, y (các số nhỏ hơn) bằng z, khi đó ta có: 
 Vì . nên , kết hợp với điều kiện đề bài cho . Chia cả hai vế cho z ta được: . 
Vì x, y , nên suy ra . Do đó . 
Vì nên y = 2 và x = 1. Thay vào đề bài ta được: 
Vậy ba số phải tìm là x =1; y = 2; z =3
	 Lưu ý ở bài tập này ta không thể chặn z trực tiếp bằng một số cụ thể nào mà chỉ sử dụng điều kiện , để suy ra z là số lớn nhất trong ba số phải tìm do đó ta chặn trên được, sau đó kết hợp với điều kiện là các số tự nhiên lớn hơn không và suy ra , tức ta đã chặn dưới, từ đó suy ra được kết quả. 
	Khi giải xong bài này học sinh sẽ thắc mắc tại sao trong bài lại chặn theo z mà không chặn theo x hoặc y vì thế giáo viên cần giải thích rỏ cho học sinh hiểu đồng thời thông qua đó cũng chốt được phương pháp làm cho học sinh, đó là:
 Giả sử ta chặn theo x, vì x là số nhỏ nhất trong ba số nên khi đó ta sẽ có 
 kết hợp với điều kiện đề bài cho 
, chia cả hai vế cho x ta được: tức ta chặn dưới được. Sau đó tiếp tục sử dụng điều kiện: Vì y, z là các số tự nhiên lớn hơn 0 và nên suy ra . Như vậy ta lại tiếp tục chặn dưới, từ hai điều kiện trên ta chỉ có thể suy ra được yz > 3, do đó sẽ khó tìm được điều kiện để chặn trên của tích yz, việc tìm ra kết quả sẽ khó khăn hơn. Tương tự với trường hợp chặn theo y ta cũng gặp khó khăn trong việc tìm ra điều kiện để chăn nên việc tìm ra kết quả sẽ khó hơn. Vì vậy đối với các bài toán dạng này thì trong các số phải tìm cần chỉ ra số lớn nhất rồi chặn theo số đó, ta sẽ tìm ra kết quả một cách dễ dạng.
 Bài 3: (sách nâng cao và các chuyên đề toán 6)
a) Tìm các số tự nhiên x, y biết và .
b) Tìm các số tự nhiên x, y biết và .
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
Yêu cầu học sinh nêu lên các suy nghĩ khi gặp bài toán này.
+/ Câu trả lời mong muốn
+ x, y là các số tự nhiên, 
+ Đề bài đã chặn không phải là một số mà là một hiệu.
+ Cần chuyển từ chặn một hiệu thành chặn một số để sử dụng được điều kiện đã cho còn lại là biết 
 Hướng dẫn: Vì ta đã biết các số không nhiều nên có thể dùng phương pháp khác để giải cũng rất dễ dàng, tuy nhiên vấn đề đặt ra là rèn kỹ năng giải bằng phương pháp chặn, Do đó có thể giải bài này như sau:
Vì , cộng mỗi vế với y ta có 
Đặt A= . Do , nên 
Mà . Ta lại có 
 Và . 
 Vậy 
b) Tương tự câu a ta có: Đặt 
Cộng mỗi vế với y, ta được: . Do 
. Mà 
Vậy hai số cần tìm là: x = 96; y = 43.
 Qua các bài toán vừa xét tôi nhận thấy với học sinh lực khá, giỏi khi giải dạng này với các em sẽ không mấy khó khăn, tuy nhiên giáo viên vẫn cần đưa ra để hướng dẫn các em cách sử dụng phương pháp chặn và cách chọn biến để chặn cho phù hợp, qua đó dần hình thành cho các em kỹ năng sử dụng phương pháp.
	 Dạng 2. Sử dụng phương pháp chặn vào bài toán tìm các chữ số trong một số.
	 Khi dạy cho học sinh các bài toán trong dạng này tôi nhận thấy đa phần các em rất lúng túng không biết bắt đầu từ đâu, vì với dạng này các điều kiện của bài không cho một cách tường minh mà các em phải hiểu về tính chất của các chữ số trong một số, tính chất của số tự nhiên,, sau đó dùng lập luận kết hợp với các điều kiện trước đó để giới hạn các chữ số cần tìm (tức là chặn được các số đó), từ đó suy ra kết quả cần tìm. Sau đây ta xét một số bài tập thường gặp của dạng: 
 Bài 1: (đề thi HSG lớp 6 trường THCS cẩm Phong, năm 2015- 2016)
Tìm các số tự nhiên a, b, c sao cho (1)
 Hướng dẫn. Có nhận xét gì về số ? Là số có mấy chữ số? Vậy số này có thể nhận các giá trị trong khoảng nào? 
( Với gợi ý trên học sinh rất dễ dàng trả lời được: là số có 3 chữ số, chữ số hàng trăm là 4 nên có thể nhận các giá trị từ 400 đến 499). Như vậy ta đã có thể giới hạn được số .Ta có : . 
Vì theo bài ra ta có , có nhận xét gì về kết quả của phép nhân?
( là số có 5 chữ số). Từ kết quả đó kết hợp với đề bài suy ra a nhận các giá trị trong khoảng nào? Vì sao?
HS: Có thể trả lời: Vì , nên suy ra .
Vì: Nếu . 
 Nếu . Suy ra 
Khi đó thay vào (1) ta được 36. = 17064
 . Vậy a = 3, b = 7, c = 4
 Lưu ý: Trong bài toán trên ta đã chặn theo các giá trị của a . Ngoài cách chặn trên ta cũng có thể chặn như sau:
Û => Vậy a = 3 hoặc a= 2 hoặc a = 1. 
	Như vậy ta đã giới hạn lại a chỉ còn 3 giá trị, khi đó ta dễ dàng giải tiếp và kết luận. Tuy nhiên khi giải bài này cần lưu ý không nên chặn theo các giá trị của b hoặc của c vì nếu có giải được thì lời giải cũng phức tạp dễ gây nhầm lẫn. Do đó trong bài này nên chọn các số có ít chữ số hơn để chặn. Sau đây ta sẽ xét thêm một số bài dạng này.
 Bài 2. (đề thi HSG lớp 7 trường THCS cẩm phong, năm 2015- 2016) 
Tìm các số tự nhiên a, b, c, biết: = 874.
	Hướng dẫn: Ta có =
=> = 874 (1)
Từ (1) ta suy ra: vì nếu , khi đó ta có: 
Mặt khác vì nếu a6 thì ta có: 
Vậy khi đó ta suy ra vì a N, nên a = 7 => = 777.
=> (2). Từ (2) ta có: b .
Và b > 7, vì nếu b 7 thì 
, vì .Vậy ba số a, b, c phải tìm là 7, 8, 9. 
	Khi giải bài này trọng tâm của vấn đề đó là giáo viên phải hướng dẫn học sinh tách các số ; thành dạng tổng các lũy thừa của 10, sau đó nhóm các số có chứa a, b,c với nhau sao cho tao thành dạng số tự nhiên có các chữ sô giống nhau, rồi căn cứ vào đề bài và tính chất của số để chặn. Cần khắc sâu cho học sinh thứ tự chặn các số ở dạng này đó là:
 	+ Chặn chữ số hàng lớn nhất trước (bài này ta chặn chữ a ở hàng trăm, nếu ở những bài có chữ số hàng nghìn hoặc lớn hơn thì luôn phải chặn hàng cao trước) 
	 + Tiếp theo chặn theo thứ tự các chữ từ trái qua phải trong dạng của số đó.
Sử dụng nhận xét trên, yêu cầu học sinh áp dụng giải tiếp bài tập sau:
 Bài 3. (đề thi HSG lớp 7, huyện Cẩm Thủy năm 2013-2014)
	 Tìm một số tự nhiên, biết số đó cộng với tổng các chữ số của chính nó được kết quả là 249.
 	 Hướng dẫn: Đối với bài này khi mới đọc đề học sinh sẽ thấy khó và không giống với các bài đã được làm, vì số tự nhiên cần tìm trong bài chưa biết là số có mấy chữ số, do đó giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách quy lạ thành quen bằng cách bám vào đề bài để rút ra nhận xét về số cần tìm, sau đó mới gọi số đó là số như thế nào và thực hiện giải, cụ thể bài này ta làm như sau:
	 	Gọi số tự nhiên cần tìm là n và tổng các chữ số của nó là T(n). Theo bài ra ta có: (1). Vì tổng là số có ba chữ số nên : n phải là số có 3 chữ số, vì nếu n có một hoặc hai chữ số thì khi đó ta có: 
và tất nhiên n không thể có nhiều hơn 3 chữ số.
Do n có ba chữ số nên , từ (1) ta suy ra: (2)
Vì a, b, c N và ; 0 b, c 9 
 và Þ a = 2
 Thay vào (2) ta được: 
 => b £ 4 . 
Ta lại có 
+ Nếu b = 2 ta có ( loại )
+ Nếu b = 3 ta có: 
+ Nếu b = 4 ta có thay tương tự ta được Û 2c = 3 ( loại )
Vậy a= 2; b = 3; c = 7. Số phải tìm là 237
	Như vậy qua các bài toán vừa xét ta nhận thấy, việc sử dụng phương pháp chặn để tìm số hoặc chữ số nếu biết sử dụng hợp lý thì sẽ làm cho bài toán đơn giản, dễ hiểu, lời giải ngắn gọn hơn rất nhiều.
	 Dạng 3. Sử dụng phương pháp chặn vào bài toán liên quan đến số chính phương. 
	Một trong những dạng toán khó của số học đó là liên quan đến số chính 
phương, nhưng trong các đề thi học sinh giỏi lại rất hay gặp. Để giải dạng toán này tôi cũng thường hướng dẫn học sinh áp dụng phương pháp chặn để giải. 
	Bài 1: (đề thi HSG lớp 9, huyện Cẩm Thủy, năm 2012- 2013)
Tìm số nguyên tố (a > b > 0) sao cho là số chính phương.
	 Hướng dẫn: Để giải bài này cần yêu cầu học sinh nắm được các tính chất của chữ số, tính chất số chính phương, kết hợp đề bài cho để chặn cho phù hợp.
Theo bài ra ta có: 
 Do là số chính phương, nên a - b cũng là số chính phương.
Ta có: và 
* Với , vì là số nguyên tố nên loại các hợp số trong tập trên còn lại số 43 là số nguyên tố.
* Với 
Tương tự ta được 73 là số nguyên tố. Vậy bằng 43 hoặc 73
Khi đó ta có: 43 - 34 = 9 = 3hoặc 73 - 37 = 16 = 4(thỏa mãn đề bài).
 Bài 2. (Các chuyên đề bồi dưỡng HSG toán 7)
	 Tìm số chính phương có bốn chữ số sao cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau.
 Hướng dẫn: Gọi số cần tìm là p= (a, b N, 1 £ a £ 9, 0 £ b £ 9 )
Ta có . Do đó (kN)
Vì là số có ba chữ số nên suy ra , chia cả hai vế cho 11 ta được: . Lần lượt cho k bằng 4, 5, 6, 7, 8, 9 ta được:
 = 11k thứ tự bằng 176, 275, 396, 539, 704, 891. trong các số vừa tìm được chỉ có số 704 có chữ số hàng chục là 0 thỏa mãn dạng số => k =8 
Vậy với k = 8 thì . Số cần tìm thỏa mãn đề bài là 7744.
	Bài 3: (thi HSG toán 8, huyện Cẩm Thủy, năm 2014- 2015)
 Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết đều là các số chính phương.
 Hướng dẫn : 
Vì n là số có 2 chữ số 
Vì 2n+1 là số lẻ, nên 2n+1 chỉ nhận các số lẻ là số chính phương.
 Trong khoảng trên có các số lẻ là số chính phương là 25, 81, 121, 169. 
Tương ứng với n =12, 40, 60, 84.
Khi đó 3n+1 có giá trị tương ứng là : 37, 121, 181, 253. trong các số này chỉ có số 121 là số chính phương. Vậy số cần tìm là n = 40.
	* Trong các bài vừa xét có một điểm chung để chặn đó là đều bám vào điều kiện số là số có 3 chữ số, do đó ta chặn được và n là số tự nhiên có hai chữ số nên suy ra: 
 tức đã chặn được n, từ đó suy ra kết quả bài toán. Tuy nhiên không phải bài nào cũng dựa vào số chữ số của số cần tìm, mà trong nhiều bài toán về số chính phương thường dựa vào chữ số tận cùng rồi mới kết hợp với dạng của số để chặn cho thích hợp, hay có những bài không cho biết là số chính phương nhưng sử dụng các điều kiện đã có trong đề để suy ra số chính phương, nhằm mục đích để sử dụng các tính chất của số chính phương và tính chất của số để chọn cách chặn cho phù hợp. Sau đây ta sẽ xét một số bài như vậy: 
Bài 4. (thi HSG toán 9, huyện Cẩm Thủy, năm 2014- 2015)
 	 Tìm số chính phương có bốn chữ số, biết chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn vị và số chính phương đó viết dưới dạng Với n N
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
Yêu cầu học sinh nêu lên các suy nghĩ khi gặp bài toán này.
	 - Số có dạng có tận cùng như thế nào => bình phương của số đó có tận cùng là bao nhiêu, rồi xét các trường hợp của nó theo tận cùng
+/ Câu trả lời mong muốn
- có tận cùng bằng 4 hoặc 9
- có tận cùng bằng 6 hoặc 1.
- Cần xét số ứng với hai trường hợp trên
 Hướng dẫn. Ta có: có tận cùng bằng 4 hoặc 9, nên có tận cùng bằng 6 hoặc 1.
 	* Với có tận cùng là 6 suy ra số cần tìm có dạng chính là bình phương của một số có tận