SKKN Một số ứng dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ ỨNG DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM
 CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Người thực hiện : Trịnh Thị Nga
Chức vụ : Giáo viên
Đơn vị công tác : Trường THCS Trần Mai Ninh
SKKN thuộc môn: Toán
THANH HÓA NĂM 2016
THANH HOÁ NĂM 2015
nn 	
nnnnnnnmmnnmM
+
MỤC LỤC
NỘI DUNG
TRANG
MỤC LỤC
1
PHẦN THỨ NHẤT: MỞ ĐẦU
2
A. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
2
B. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 
C. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
3
D. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
3
PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG
3
A. CƠ SỞ LÍ LUẬN
3
B. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
3
C. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
4
I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
4
II. SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
5
III. SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT(GTLN), GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT(GTNN)
9
IV. SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
14
PHẦN THỨ BA: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
19
TÀI LIỆU THAM KHẢO
20
PHẦN THỨ NHẤT: MỞ ĐẦU
A. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình phổ thông các dạng bài tập toán rất phong phú và đa dạng. Ở sách giáo khoa Toán lớp 9 THCS, học sinh được làm quen với phương trình bậc hai một ẩn: Công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai, định lý Vi-ét và các ứng dụng trong việc giải một số bài toán. Tuy nhiên việc ứng dụng chúng vào việc giải quyết các bài toán khó như: chứng minh bất đẳng thức (BĐT), tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN), giải phương trình (PT) nghiệm nguyên thì nhiều học sinh còn lúng túng bởi vì kiến thức toán THCS rất ít đề cập trực tiếp đến vấn đề này. 
Nhiều năm gần đây trong các kỳ thi chọn lọc học sinh giỏi bậc THCS và các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và các hệ chuyên thường có các bài toán chứng minh BĐT, tìm cực trị và giải phương trình nghiệm nguyên. Đây là hai dạng toán tương đối khó đối với học sinh THCS. Để giải các bài toán này học tổng hợp các kiến thức và kỹ năng tính toán, tư duy sáng tạo. Vậy làm thế nào để học sinh có thể định hướng được hướng đi, hay hơn thế là hình thành được một công thức "ẩn tàng" nào đó mỗi khi gặp một bài toán. 
Là một giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán THCS, trong quá trình giảng dạy, tôi luôn luôn trăn trở, tìm tòi, chọn lọc những phương pháp hợp lý nhất để để dẫn dắt, hình thành cho học sinh một cách suy nghĩ mới làm quen với dạng toán này để dần dần các em có được một số phương pháp giải cơ bản nhất. 
Bằng kinh nghiệm và quá trình học hỏi, tích lũy, tôi đi sâu vào nghiên cứu "Một số ứng dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai". Trong phạm vi của đề tài này tôi xin được đưa ra một số phương pháp mà bản thân tôi đã soạn, dạy cho học sinh của mình. Mời các bạn cùng tham khảo và đóng góp ý kiến để việc dạy và trang bị cho học sinh giải các dạng toán liên quan đến việc sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai ngày càng tốt hơn. 
B. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 
Trong thực tế khi dạy học sinh cứu "Một số ứng dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai" thì ngoài việc cung cấp cho các em các ứng dụng cơ bản như: giải phương trình bậc hai và các điều kiện liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai, lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích hai số, chứng minh đẳng thức, chứng minh chia hết, chứng minh số chính phương, tính giá trị biểu thức, chứng minh số vô tỉ, giải hệ phương trình bậc cao, giải hệ phương trình có nhiều ẩn số, giải phương trình nghiệm nguyên, chứng minh BĐT, tìm GTLN, GTNN,. và đã có nhiều những tài tiệu, những đề tài khoa học nghiên cứu về vấn đề này, trong đề tài này, tôi xin đưa ra một số ứng dụng như:
Chứng minh bất đẳng thức.
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Giải phương trình nghiệm nguyên.
C. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Đối tượng nghiên cứu là môn toán và những kiến thức toán học có liên quan đến "Một số ứng dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai".
 - Đối tượng khảo sát : Học sinh giỏi lớp 9- trường THCS Trần Mai Ninh
 D. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Khảo sát, tìm hiểu thực tế học sinh.
2. Nghiên cứu SGK, tài liệu hướng dẫn cần thiết.
3. Xây dựng phương pháp khi soạn giáo án chính khoá và tự chọn.
4. Áp dụng vào các tiết dạy lý thuyết cũng như các tiết luyện tập, các tiết dạy tự chọn, dạy bồi dưỡng HS khá, giỏi .
5. Hoàn thành phương pháp sau khi đã cho học sinh thực hành qua đó rút ra bài học kinh nghiệm.
PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG
CƠ SỞ LÍ LUẬN
Mục tiêu của môn Toán ở trường THCS là nhằm cung cấp cho học sinh những kiến thức phổ thông cơ bản và thiết thực, hình thành và rèn luyện các kĩ năng giải toán và ứng dụng vào thực tế, rèn luyện khả năng suy luận hợp lí, sử dụng ngôn ngữ chính xác, bồi dưỡng các phẩm chất tư duy linh hoạt, độc lập, sáng tạo. Xuất phát từ mục tiêu trên, phương pháp dạy học trong giai đoạn mới là tích cực hóa các hoạt động học tập của học sinh, rèn luyện khả năng tự học, tự phát hiện và giải quyết các vấn đề của học sinh nhằm hình thành và phát triển ở học sinh phẩm chất tư duy cần thiết.
	Toán học là một bộ môn khoa học đòi hỏi sự tư duy cao độ của người dạy, người học và cả người nghiên cứu. Qua việc dạy và học toán, con người được rèn luyện năng lực phân tích, tổng hợp, tư duy linh hoạt và khả năng sáng tạo, góp phần hình thành kĩ năng, nhân cách cần thiết của người lao động trong thời đại mới. Muốn học giỏi toán, học sinh phải luyện tập, thực hành nhiều, tức là phải học giải toán. Học giải toán là một cách tư duy sáng tạo về toán đồng thời là một vấn đề trừu tượng và khá khó đối với học sinh, nhưng đó lại là điều cần thiết cho mỗi học sinh trong quá trình học toán ở trường THCS. Vì vậy, để nâng cao chất lượng dạy và học toán, người thầy giáo cần truyền cho học sinh sự ham thích giải toán, bằng những phương pháp, kĩ năng cơ bản và ứng dụng của mỗi dạng toán.
B. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
 Với mỗi em học sinh lớp 9 trường THCS Trần Mai Ninh thì ước mơ và cũng là mục tiêu đặt ra cho mình là tham dự các kì thi HSG các cấp, thi đậu vào lớp 10 chuyên Lam Sơn, các trường chuyên ở Hà Nội, nhưng cũng có không ít học sinh đã không thực hiện được mục tiêu đó vì thiếu điểm .
 Trong những năm gần đây, các đề thi HSG cấp tỉnh, thi vào lớp 10 các trường chuyên thường có những câu liên quan đến các ứng dụng về điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai như: chứng minh BĐT, tìm GTLN, GTNN, giải phương trình nghiệm nguyên,  
Đây là một nội dung khó đối với chương trình toán 9. Khi giải bài tập dạng này học sinh gặp rất nhiều vướng mắc dẫn đến không hứng thú, bởi vì các em chưa tìm ra được phương pháp thích hợp. Mặt khác công cụ giải các bài tập dạng trên còn nhiều hạn chế. Không vì thế mà giáo viên xem nhẹ khi dạy các bài tập dạng này mà giáo viên cần phải bắt đầu từ đâu, dẫn dắt như thế nào để các em không ngại. Chính vì vậy giáo viên cần đưa các em từ những bài toán đơn giản đến phức tạp bằng một hệ thống câu hỏi thích hợp.
Trong chương trình toán THCS chắc hẳn các bạn đã gặp ít nhiều những ứng dụng về điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai như: giải hệ phương trình có nhiều ẩn số, giải phương trình nghiệm nguyên, chứng minh BĐT, tìm GTLN, GTNN đơn giản và trong sáng, từ lâu đã là một phương pháp hay và hiệu quả. Thực tế, có nhiều dạng bài tập liên quan, song tôi chỉ đưa ra một số bài tập điển hình và sắc màu của nó qua mỗi bài toán.
C. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Dạng phương trình bậc hai một ẩn x: ax2+ bx+ c = 0 (a0) (1)
2. Công thức nghiệm của phương trình (1):
Biệt thức 	(, với b = 2b')
- Nếu > 0 (hoặc > 0 ): Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
 ()	;	 ()
- Nếu = 0 (hoặc = 0): PT (1) có nghiệm kép (nghiệm duy nhất)
 ()
- Nếu < 0 (hoặc < 0): Phương trình (1) vô nghiệm.
3. Hệ thức Vi - ét: 1. Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) thì: 
2. Nếu hai số x1, x2 có tổng bằng S và tích bằng P thì x1, x2 là nghiệm của phương trình 
X2 – SX + P = 0 với điều kiện S2 – 4P ≥ 0.
4.Xác định dấu của các nghiệm:
Xét tam thức bậc hai với a ≠ 0. Ta có:
Nếu thì f(x) cùng dấu với a với mọi giá trị của x.
Nếu thì f(x) cùng dấu với a với mọi giá trị của x khác .
Nếu thì: 
f(x) trái dấu với a với mọi giá trị của x nằm trong khoảng hai nghiệm;
f(x) cùng dấu với a mọi giá trị của x nằm ngoài khoảng hai nghiệm.
II. SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
	- Phương pháp này được sử dụng với các phương trình có dạng: (trong đó: là đa thức bậc hai). 
	- Ý tưởng chính của phương pháp này là xét phương trình bậc hai theo một ẩn nào đó, ẩn còn lại coi là tham số. Sau đó tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm. Từ đây ta thiết lập được bất đẳng thức để chặn giá trị của tham số và liệt kê nghiệm(nếu có).
	- Biến đổi phương trình đưa về dạng phương trình bậc hai(một ẩn là ẩn của phương trình bậc hai; một ẩn là tham số). Biện luận nghiệm theo điều kiện nghiệm của phương trình bậc hai.
GHI NHỚ: Sau khi biến đổi phương trình đưa về dạng phương trình bậc hai(một ẩn là ẩn của phương trình bậc hai; một ẩn là tham số) rồi tính D, ta thấy có 5 khả năng xảy ra: 
 D là một tam thức bậc hai có hệ số của bậc cao nhất âm.
 D là một tam thức bậc hai có hệ số của bậc cao nhất dương.
 D là một biểu thức không dương với mọi giá trị của biến. 
 D là một biểu thức âm với mọi giá trị của biến.
 D là một biểu thức có bậc lớn hơn 2.
Sau đây là các ví dụ cho từng dạng và cách xử lí tương ứng.
Dạng 1: D là một tam thức bậc hai có hệ số của bậc cao nhất âm.
Cách xử lí: Để PT có nghiệm nguyên, phải có D ≥ 0 rồi xét các giá trị nguyên của biến.
Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên 2x2 + 3y2 = 19 - 4x (1) 
Cách giải: Phương trình (1) 2x2 + 4x + 3y2 - 19 = 0 (1’) 
Ta coi phương trình (1’) là phương trình bậc hai ẩn x, tham số y. Điều kiện cần để phương trình (1’) có nghiệm nguyên là D ≥ 0 và D’ phải là số chính phương.
Ta có D’= 4 – 2(3y2 – 19) ≥ 0 Û 4 – 6y2 + 38 ≥ 0 Û 42 - 6y2 ≥ 0 Û y2 7. Mà y Z nên y 
+ Với y = 0, ’ = 42, không chính phương (loại)
+ Với y = 1, ’ = 36 ; phương trình (1’) trở thành 2x2 + 4x - 16 = 0 
 Hay x2 + 2x - 8 = 0 ; x1 = 2 , x2 = -4
Vậy PT đã cho có 4 nghiệm nguyên: (x;y){(2 ; 1); (2; -1); (-4 ; 1); (-4 : -1)}
Với y = 2, ’ = 18, không chính phương (loại) 
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm (x; y)(2;1); (2;-1); (-4;1); (-4;-1)}
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 +2y2 – 2xy + 3x – 3y + 2 = 0 
Cách giải: 	PT được biến đổi về dạng: x2+ (3 – 2y)x + 2y2 - 3y + 2 = 0 (2)
Ta coi phương trình (2) là phương trình bậc hai ẩn x, tham số y. Điều kiện cần để phương trình (2) có nghiệm là D ≥ 0 Û (3 – 2y)2 – 4(2y2 – 3y + 2) ≥ 0
Û 9 – 12 y + 4y2 – 8y2 + 12y – 8 ≥ 0 Û 4y2 – 1 ≤ 0
Û . Do y là số nguyên nên y = 0.
Với y = 0, ta có phương trình x2 + 3x + 2 = 0 Û x = - 1 hoặc x = -2. 
Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên (x; y) { (-1; 0); (-2; 0)}.
Ví dụ 3: Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: (3) 
Nhận xét: Ta thấy phương trình này có thể xem là một phương trình bậc hai ẩn y tham số x
Cách giải: 	Phương trình (3) .Ta có: y nhận giá trị nguyên với giá trị nguyên x 
 + Với 
	+ Với 
	+ Với 
	+ Với x = -2 hoặc x = 2 thì 
	Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 
Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x3 + y3 = (x + y)2
Cách giải: Phương trình đã cho (x + y)(x2 – xy + y2) – (x + y)2 = 0
(x + y)(x2 – (y + 1)x + y2 – y) = 0.
+ Nếu x + y = 0 thì nghiệm của phương trình là: (n; -n) trong đó n là số nguyên.
+ Nếu x + y ≠ 0 thì x2 – (y + 1)x + y2 – y = 0 (4)
Điều kiện cần để phương trình (4) có nghiệm là (y + 1)2 – 4( y2 – y) ≥ 0
Û y2 + 2y + 1 – 4 y2 + 4y ≥ 0 Û 3y2 – 6y – 1 ≤ 0 
Vì y Z nên y { 0; 1; 2}
* Khi y = 0 thì x = 0 hoặc x = 1 * Khi y = 1 thì x = 0 hoặc x = 2
* Khi y = 2 thì x = 1 hoặc x = 2. 	 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên là:
(x; y){(1 ; 0); (0; 1); (2 ; 1); (1 ; 2); (2; 2); (n; -n)}, trong đó n là số nguyên.
Dạng 2: D là một tam thức bậc hai có hệ số của bậc cao nhất dương.
Cách xử lí: Ta tính D rồi tìm giá trị của biến để D ≥ 0, sau đó xét các giá trị nguyên của biến để D là số chính phương.
Ví dụ 5: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x2 + 3y2 - 5xy + 3x - 2y - 3 = 0 (1)
Cách giải: Phương trình (1) 2x2 + (3 - 5y)x + 3y2 - 2y - 3 = 0 (1’)
 = (3 - 5y)2 – 8(3y2 – 2y – 3) = 9 – 30y + 25 y2 - 24y2 + 16y + 24
 	Û y2 - 14y + 33. Điều kiện cần để phương trình có nghiệm nguyên thì phải có là số chính phương 
 	Đặt: y2 - 14y + 33 = k2	 y2 - 14y + 49 = k2 + 16
 2 - 2 = 16 	= 16
Nhận xét: Hai thừa số ở vế trái có tổng bằng 2 là số chẵn nên chúng cùng tính chẵn lẻ mà tích bằng 16 là số chẵn nên chúng cùng chẵn. 
Mặt khác . Do đó phân tích 16 = 8.2 = 4.4
Xét 2 = 5 
+ Với y = 2 thì phương trình (1’) trở thành:
2x2 + 7x + 5 = 0 có dạng a - b + c = 0 nên x1= -1; x2 = -2,5 (loại)
+ Với y = 12 thì phương trình (1’) trở thành:
 2x2 - 57x + 405 = 0; = 9 , = 3; x1 = 15 , x2 = 2,25 (loại)
Xét 2 
+ Với y = 11 thì phương trình (1’) trở thành: 2(x2 - 26x + 169) = 0 
 2(x - 13)2 = 0 x = 13
+ Với y = 3 thì phương trình (1’) trở thành 2(x - 3)2 = 0 x = 3
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm là (x; y){ (3; 3); (13 ; 11); (-1 : 2); (15; 12)}
Dạng 3: D là một biểu thức không dương với mọi giá trị của biến. 
Cách xử lí: Ta chứng tỏ D ≤ 0 với mọi giá trị của biến rồi kết hợp với điều kiện để phương trình có nghiệm nguyên D ≥ 0 để suy ra D = 0.
Ví dụ 6: Giải phương trình nghiệm nguyên x2 + xy + y2 + x - y + 1 = 0 (1)
Cách giải: Phương trình (1) x2 + (y + 1)x + y2 - y + 1 = 0. (1’)
Ta coi phương trình ( 1’) là phương trình bậc hai ẩn x, tham số y. 
Điều kiện cần để phương trình (1’) có nghiệm là D ≥ 0
Ta có: = -3(y - 1)2 0 y ; ta phải có 0 mà -3(y - 1)2 ≤ 0 với mọi y. Do đó D =0. Hay -3(y - 1)2 = 0 y = 1; 
Phương trình (3) trở thành: x2 + 2x + 1 = 0 Û (x + 1)2 = 0 x = -1 hoặc x = 1 
Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất: (x; y) = (-1; 1)
Dạng 4: D là một biểu thức có bậc lớn hơn 2.
Cách xử lí: Điều kiện cần để phương trình có nghiệm nguyên thì D ≥ 0, trong đó D có dạng A(y) .(ay2+ by+ c) phải xét A(y)= 0 rồi xét A(y) 0 suy ra ay2+ by + c là số chính phương.
Ví dụ 7 : Giải phương trình nghiệm nguyên x2 + xy + y2 = x2y2 (1)
Cách giải: Phương trình (1) (1 – y2).x2 + yx + y2 = 0 (1’)
+ Nếu 1 - y2 = 0 tức y = 1 thì (1) trở thành x + 1 = 0 x = -1; x = 1
phương trình có hai nghiệm là (-1 ; 1) ; (1 ; -1)
+ Nếu 1- y2 0 tức y 1 thì phương trình (1’) là phương trình bậc hai ẩn x tham số y có = y2(4y2 - 3)
+ Nếu y = 0 thì = 0; phương trình có nghiệm kép x = 0, do đó phương trình có thêm một nghiệm là (0 ; 0)
+ Nếu y 0 thì phải có 4y2 - 3 là số chính phương.
 	Đặt 4y2- 3 = k2 4y2- k2 = 3. Giải ra ta được y = 1 (loại). 
 	Vậy phương trình có 3 nghiệm là: (x; y) {(-1 ; 1); (1 ; -1); (0 ; 0)}
Dạng 5: D là một biểu thức âm với mọi giá trị của biến.
Cách xử lí: Ta phải lùng lập luận để chỉ ra D < 0 với mọi giá trị của biến rồi khẳng định phương trình vô nghiệm thực nên không có nghiệm nguyên.
Ví dụ 8: Giải phương trình nghiệm nguyên: 6x2 + 2y2- 6xy - 8x - 3y + 168=0(1) 
Cách giải: Phương trình (5)6x2 - 2(3y + 4)x + 2y2 - 3y + 168 = 0;
Ta có: ’ = -3y2 + 42y - 992 = -3 
Phương trình (1) vô nghiệm thực nên không có nghiệm nguyên.
Ví dụ 9 (tổng hợp các dạng trên): Tìm số tự nhiên a sao cho phương trình x2 – a2x + a + 1 = 0 có nghiệm nguyên.
Cách giải: Xét phương trình x2 – a2x + a + 1 = 0 (1)
(a2)2 (1) có biệt số: D = a4 – 4a – 4. 
Để (1) có nghiệm nguyên, trước hết điều kiện cần là: D phải là số chính phương. Xét các khả năng sau:
Nếu a = 0 Þ D = -4 < 0 Þ (1) vô nghiệm
Nếu a = 1 Þ D = -7 < 0 Þ (1) vô nghiệm
Nếu a = 2 Þ D = 4 Þ (1) có hai nghiệm x = 1; x = 3.
Nếu a ≥ 3. Trước hết ta có: D < a4 Û D < (a2)2 (2)
Mặt khác, có thể thấy D > (a2 - 1)2 (3)
Thật vậy, (3) Û a4 – 4a – 4 > a4 - 2a2 + 1Û2a2 - 4a – 5 > 0 Û 2a(a - 2) > 5 (4)
(4) đúng vì do a ≥ 3. Vậy (3) đúng.
Từ (2) và (3) suy ra: (a2 - 1)2 < D < (a2)2 (5). 
Từ (5) suy ra D không phải là số chính phương. Do vậy khi a ≥ 3 (a N) thì (1) không thể có nghiệm nguyên.
Tóm lại, a = 2 là giá trị tự nhiên duy nhất của a để phương trình đã cho có nghiệm nguyên.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài tập 1: Tìm nghiệm nguyên của các PT:
Bài tập 2: Tìm các số nguyên dương x, y thoả mãn:
 3. 
 4. 2x6 +y2 – 2x3y = 320
III. SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT(GTLN), GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT(GTNN)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là một dạng toán khó với nhiều cách giải trong chương trình toán THCS. Ở trường THCS dạng toán này thường được giải bằng cách nhận xét giá trị của biến và biến đổi biểu thức cần tìm GINN, GTLN về dạng (hoặc ) với khi đó GTNN của biểu thức ( hoặc GTLN của 
 )
Do việc biến đổi biểu thức cần tìm GTNN, GTLN về dạng (hoặc ) với là việc làm khó cần tư duy linh hoạt. Điều đó không phải học sinh nào cũng làm được. Để khắc phục điều này, ta có một phương pháp giải vận dụng kiến thức đơn giản hơn.
DẠNG 1: BIỂU THỨC DẠNG PHÂN THỨC
Phương pháp chung: Chúng ta đã biết phương trình bậc hai () có nghiệm khi biệt số delta . Vì vậy để tìm GTNN, GTLN của biểu thức f(x) có bậc hai ta biến đổi biểu thức đã cho về dạng phương trình bậc hai, ta gọi a là một giá trị của hàm số tại một giá trị cho trước của x, coi a là tham số của phương trình và giải tìm điều kiện của a để phương trình có nghiệm.
Ví dụ 1. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: .
Cách giải: A nhận giá trị a khi và chỉ khi PT ẩn x: = a (1) có nghiệm.
Do ≠ 0 suy ra: (1)(2)
Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0
Trường hợp 2: Nếu a ≠ 1 thì (2) có nghiệm, cần và đủ là: , tức là (a≠1).
Với a = thì x = 1; với a = 3 thì x = -1.
Từ (1) và (2) suy ra: min A = x = 1; max A = 3 x = -1.
* Chú ý: Phương pháp giải như ví dụ trên gọi là phương pháp tìm miền giá trị của hàm số Đoạn [; 3] là tập giá trị của hàm số .
Ví dụ 2: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức: .
Cách giải: Chuyển về xét điều kiện có nghiệm của phương trình (1) trong đó x là ẩn số, y là tham số tùy ý còn z là tham số có điều kiện. Xét hai trường hợp: a) z = 0 x + 2y + 1 = 0.
z0 thì PT (1) luôn có nghiệm x khi biệt thức ∆’ không âm (2)
Coi (4) là bất phương trình ẩn y, BPT này xảy ra khi: .
Khi z nhận các giá trị này thì đẳng thức xả ra ở (2) và (1), khi đó: và 
Vậy GTLN (z) = khi y = 2 và x = 1, GTNN (z) = khi y = và x = .
DẠNG 2: BIỂU THỨC CÓ CĂN THỨC CHỨA BIẾN
Phương pháp chung: Sử dụng phương pháp đổi biến để đưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng điều kiện có nghiệm. 
Ví dụ : Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:.
Cách giải: Điều kiện: . Đặt thì (1). Ta cần tìm GTLN của d = 4z + 3y với 2c = d + 7. Điều kiện: .
Thay vào (1) được: .
Để PT bậc hai ẩn z này có nghiệm thì GTLN của d là 5 GTLN của c là 6 và đạt được khi (thỏa mãn ).
Ta có: 
Áp dụng BĐT , ta có: 
Dấu “=” x = 0 hoặc x = 1.
. Dấu bằng xảy ra khi x = 0. Suy ra ; c = 5 tại x = 0.
Vậy GTNN của c là 5 tại x = 0.
DẠNG 3: TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ BIỂU THỨC ĐẠT GTNN, GTLN
Phương pháp chung: Sử dụng điều kiện có nghiệm của PT bậc hai để tìm miền giá trị của tham số rồi tìm điều kiện của tham số nhờ miền giá trị đã ràng buộc.
Ví dụ 1. Cho biểu thức . Tìm các giá trị của m, n để biểu thức A có GTNN bằng , giá trị lớn nhất bằng 3.
Cách giải: Gọi a là một giá trị tùy ý của biểu thức A. Ta có: 
	(1)
Theo điều kiện của bài toán, giá trị a = 1 không là GTNN, không là GTLN của A nên ta chỉ xét a ≠ 1. Từ (1) ta có: 	(2)
Điều kiện để (1) có nghiệm là: 
Nghiệm của BPT (2) là trong đó là các nghiệm của PT:
 	(2’)
Theo đề bài, ta phải có . Như vậy cần tìm m, n để (2’) có hai nghiệm là . Theo hệ thức Viète đối với phương trình (2’):
Thay n = 6 + m vào , ta được nên m = 6 hoặc m = -2.
Với m = 6 thì n = 12, khi đó có GTNN là và GTLN là 3.
Với m = -2 thì n = 4, khi đó có GTNN là và GTLN là 3.
Ví dụ 2. Tìm u, v để biểu thức đạt GTLN bằng 4 và GTNN bằng -1.
Cách giải: Đặt .
Vì > 0 với mọi x nên dấu của f(x) chính là dấu của tử thức 
g(x) = ux + v – t() hay g(x) = .
Để GTLN Q(x) là = 4 (lúc đó = -4 0) xảy ra đồng thời thì dựa vào (*) phải có:
 nghĩa là (u, v) bằng (4; 3) hoặc (-4; 3).
Ví dụ 3. Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm lớn nhất, nhỏ