SKKN Một số biện pháp nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THCS thông qua dạy học giải toán cực trị trong hình học phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG PT TRIỆU SƠN
SÁNG KIẾN
MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THCS THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
Tác giả: Lê Thị Quang 
Đơn vị: Trường Phổ Thông Triệu Sơn, Triệu Sơn, Thanh Hóa
 Triệu Sơn, tháng 5 năm 2018
MỤC LỤC
I. Tên cơ sở được yêu cầu công nhận sáng kiến: Sở GD&ĐT Thanh Hóa
II. Tác giả: Lê Thị Quang, Giáo viên Toán, Trường PT Triệu Sơn
III.Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng
Tên sáng kiến: Một số biện pháp nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THCS thông qua dạy học giải toán cực trị trong hình học phẳng.
Lĩnh vực áp dụng : Tài liệu tham khảo bồi dưỡng học sinh giỏi cho các trường THCS
IV. Nội dung sáng kiến
1. Giải pháp 
1.1. Thực trạng dạy học toán cực trị hình học đối với các lớp đại trà
Qua khảo sát thực tế chúng tôi thấy việc dạy toán cực trị trong trường THCS chưa được quan tâm đúng mức. Đối với các lớp dạy đại trà phần lớn việc dạy lí thuyết dừng ở mức giới thiệu hoặc giao cho học sinh về nhà đọc. Việc chữa bài còn rất ít thậm trí có giáo viên không giao bài và không chữa bài tập phần này. Một số giáo viên chỉ dừng lại ở việc chữa bài hoặc hướng dẫn cho học sinh khá giỏi về nhà làm chứ chưa quan tâm đến việc khai thác, phát triển bài toán . Đặc biệt trong các bài kiểm tra định kỳ rất ít khi có nội dung cực trị hình học.
 	Đối với học sinh đa số học sinh không thích học và sợ học toán cực trị. Nhiều em không học và không làm bài tập giao về nhà. Số lượng học sinh mạnh dạn trao đổi với thày cô và tìm tòi, đề xuất bài toán mới còn rất ít, hầu như không có.
1.2. Thực trạng dạy học toán cực trị hình học đối với các lớp bồi dưỡng học sinh giỏi
	Qua khảo sát thực tế chúng tôi thấy việc dạy chuyên đề toán cực trị hình học cho học sinh giỏi vẫn chưa thực sự có hiệu quả. Số lượng giáo viên dạy bài bản, quan tâm đến việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh còn rất ít. Nhiều giáo viên không dạy phần này.
	Đối với học sinh giỏi, số lượng các em đam mê, tìm tòi, khám phá chưa nhiều, nhiều em chỉ làm cho xong chưa nghĩ đến tìm cách giải khác. Còn một bộ phận không nhỏ các em không làm bài.
1.3. Thống kê số tiết dạy theo PPCT hình học THCS có toán cực trị
Lớp
Tên bài
Số tiết dạy
7
Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, giữa đường xiên và hình chiếu
02
Bất đẳng thức tam giác
02
8
Đối xứng tâm, đối xứng trục
02
9
Quan hệ giữa đường kính và dây cung
02
Liên hệ giữa cung và dây, liên hệ giữa dây và hoảng cách từ tâm đến dây
02
Như vậy, qua khảo sát chúng tôi nhận thấy:
- Do số tiết học ở trên lớp còn ít, khối lượng tri thức cần truyền đạt nhiều đồng thời phải đúng lịch phân phối chương trình theo quy định nên việc mở rộng, khai thác, ứng dụng sáng tạo các kiến thức đã học chưa được triệt để sâu sắc. Điều này ảnh hưởng đến việc huy động vốn kiến thức của học sinh, hạn chế đến việc rèn luyện tính tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh trong học tập, nhất là đối tượng học sinh khá và giỏi.
- Trong chương trình toán THCS, số lượng các dạng toán về phần cực trị hình học còn đề cập rất hạn chế, nó chỉ nằm rải rác ở một bộ phận sách tham khảo, hơn nữa các bài toán về phần cực trị hình học là một chủ đề toán khó thường chỉ hay xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi. Do đó học sinh và giáo viên cũng ít được tiếp cận với dạng toán này và có thể nói một thực tế giáo viên còn thờ ơ trong việc thực hiện dạy học chủ đề đó. Điều này dẫn đến việc giải các bài tập cực trị hình học học sinh còn tỏ ra lúng túng, chưa được rèn luyện về kỹ năng giải toán, chưa kích thích được sự ham mê tìm tòi khám phá của học sinh, từ đó học sinh tiếp thu kiến thức một cách hình thức và hời hợt. Việc tiến hành bồi dưỡng cho đội ngũ học sinh khá và giỏi chưa được tiến hành một cách thường xuyên ngay từ đầu. Chính vì vậy quá trình bồi dưỡng kiến thức toán học theo hướng nâng cao của chủ đề cực trị hình học cho HS chưa được liên mạch và chưa có hệ thống, chỉ khi nào có những kỳ thi như thi vào trường chuyên, lớp chọn, HS giỏi thì giáo viên và học sinh mới thực sự nhảy vào cuộc. Chính điều đó làm cho HS dễ hụt hẫng về kiến thức, sự khai thác một bài toán còn gặp nhiều khó khăn, việc dạy học của giáo viên chủ yếu dựa vào kinh nghiệm của bản thân.
Hơn nữa, hệ thống bài tập trong sách tham khảo là rất đa dạng và phong phú nhưng đang còn rời rạc, thiếu sự liên kết với nhau trong từng chủ đề, đặc biệt trên thị trường tìm được một vài cuốn sách tham khảo viết dành riêng cho phần cực trị hình học thể hiện được sự chuyên môn hoá là rất hiếm, điều này cũng dẫn đến một tình trạng là GV và HS thiếu một hệ thống tài liệu tham khảo để phục vụ cho công tác dạy và học. Trong thực tế, cách dạy phổ biến hiện nay là GV với tư cách là người điều khiển đưa ra kiến thức rồi giải thích chứng minh, sau đó đưa ra một số bài tập áp dụng, làm cho HS cố gắng tiếp thu vận dụng. Rõ ràng với cách dạy như vậy GV cũng thấy chưa thoả mãn bài dạy của mình, HS cũng thấy chưa hiểu được cội nguồn của vấn đề mà chỉ học một cách máy móc, làm cho các em có ít cơ hội phát triển tư duy sáng tạo, ít có cơ hội khai thác tìm tòi cái mới.
2. Giải pháp mới thực hiện
2.1. Một số kiến thức thường dùng để giải bài toán cực trị hình học
2.1.1. Quan hệ đường vuông góc và đường xiên, hình chiếu
Trong các đường xiên và đường vuông góc hạ từ một điểm đến một đường thẳng.
- Đường vuông góc là đường ngắn nhất.
- Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn, hình chiếu nào lớn hơn thì có đường xiên lớn hơn.
2.1.2. Quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác, bất đẳng thức tam giác, qui tắc các điểm.
- Trong một tam giác, đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn và ngược lại.
- Bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh bất kỳ luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
- Qui tắc các điểm: cho n điểm A1, A2 , An
Ta có: A1 An £ A1 A2 + A2 A3 + + An-1 An, dấu “=” xảy ra Û A1, A2 An thẳng hàng và sắp xếp theo thứ tự đó.
2.1.3. Bất đẳng thức trong đường tròn
- Trong tất cả các dây cung của đường tròn, đường kính là dây lớn nhất.
- Trong một đường tròn, dây cung nào có độ dài ngắn hơn thì có khoảng cách đến tâm lớn hơn và ngược lại.
- Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc ở tâm lớn hơn.
- Trong hai cung nhỏ một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi dây trương cung lớn hơn.
2.1.4. Bất đẳng thức đại số
- Giả sử ta có với a > 0, nếu a không đổi, đạt giá trị lớn nhất nếu b đạt giá trị nhỏ nhất, đạt giá trị nhỏ nhất nếu b đạt giá trị lớn nhất.
- Nếu x + y là hằng số thì tích x. y lớn nhất Û x = y.
x . y là hằng số thì tổng x + y nhỏ nhất Û x = y.
- Bất đẳng thức Cauchy: cho 2 số a, b không âm ta có:
. Dấu “=” xảy ra Û a = b
Tổng quát: cho n số không âm a1, a2 an ta có:
	. Dấu “=” xảy ra Û a1 = a2 =  = an
- Bất đẳng thức Bunhiacopski: Cho 4 số thực: a, b, x, y ta có:
(ax + by)2 £ (a2 + b2) . (x2 +y2) Dấu “=” xảy ra Û ay = bx
2.1.5. Hệ thức lượng trong tam giác
- Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông: Trong một tam giác vuông:
Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc cos góc kề hoặc bằng cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc cotg góc kề.
- Định ký Pitago: Trong một tam giác vuông bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng các bình phương hai cạnh góc vuông.
2.2. Biện pháp chủ yếu bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho hs bậc THCS khá và giỏi thông qua dạy học giải toán cực trị hình học
2.2.1. Biện pháp 1: Xác định các hướng tiếp cận khác nhau để giải bài toán cực trị hình học
Hướng 1
Ta vẽ một hình có chứa các đại lượng hình học mà ta phải tìm cực trị, thay các điều kiện của đại lượng bằng các đại lượng tương đương (có khi phải chọn một đại lượng nào đó trong hình làm ẩn số, dựa vào mối quan hệ giữa ẩn số đó với các đại lượng khác trong hình, nhưng đại lượng này có thể do đầu bài cho sẵn, nhưng cũng có thể do ta làm xuất hiện trong quá trình đi tìm lời giải của bài toán. Biểu thị ẩn số theo các đại lượng đã biết, các đại lượng không đổi rồi biến đổi tương đương biểu thức vừa tìm được để cuối cùng xác định được giá trị của đại lượng cần tìm, từ đó suy ra vị trí của hình để đạt cực trị).
Thường dùng cách này khi đầu bài được cho dưới dạng:
“Tìm một hình nào đó thoả mãn các điều kiện cực trị của bài toán”
d
B’
A’
A
B
C
•
•
•
•
ù
Hình 1
Ví dụ 1: Trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích tam giác nào có chu vi nhỏ nhất ?
Lời giải (Hình 1)
Xét các tam giác có chung đáy là BC = a và có cùng diện tích là S. Gọi AH là đường cao tương ứng với đáy BC. Ta có: 
S = AH . BC Þ AH = = (không đổi) 
Suy ra: A di động trên đường thẳng d //BC và cách BC một khoảng bằng 
Þ Ta cần xác định vị trí của A trên đường thẳng d để chu vi D ABC có giá trị nhỏ nhất. Chu vi D ABC = AB + BC + CA = AB + AC + a. Vì a không đổi nên chu vi D ABC nhỏ nhất Û AB + AC nhỏ nhất.
Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua d, B’C cắt d tại A’. 
Xét D AB’C ta có: AB’ + AC ≥ B’C	(1)
Thay AB’ = AB, A’B’ = A’B vào (1) ta có:
AB + AC ≥ A’B + A’C (2). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi B’, A, C thẳng hàng. Khi đó A º A’.
Vì A’B = A’B’ = A’C nên D A’BC cân tại A’.
Vậy trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam giác cân có chu vi nhỏ nhất.
Nhận xét: Khi giải bài toán đã cho ta đã thay các điều kiện của bài toán bằng các điều kiện tương đương và tìm được tam giác cân thoả mãn điều kiện cực trị của bài toán.
Hướng 2
Ta đưa ra một hình vẽ (theo yêu cầu của đầu bài) rồi chứng minh mọi hình khác có chứa các yếu tố (mà ta phải tìm cực trị) lớn hơn hoặc bé hơn yếu tố tương ứng trong hình đã đưa. 
Thường dùng cách chứng minh này khi hình dạng của hình có cực trị đã được nói rõ trong đầu bài.
Ví dụ 2: Chứng mình rằng trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam giác cân có chu vi nhỏ nhất?
Phân tích bài toán: Đây là bài toán ta đã đề cập trong ví dụ 1, nhưng ở đây đầu bài đã nói rõ hình phải chứng minh là một tam giác cân, nên đưa ra một tam giác cân A’BC (Hình 1) rồi xét một tam giác không cân ABC có cùng đáy BC, đỉnh A chạy trên đường thẳng d // BC, ta chỉ việc chứng minh: Chu vi D ABC ≥ chu vi D A’BC tức là AB + AC ≥ A’B + A’C.
Hướng 3
Thay việc tìm cực đại của một đại lượng hình học này bằng việc tìm cực tiểu của một đại lượng khác và ngược lại.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng trong các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam giác cân có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.
Lời giải (Hình 2)
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của D ABC, r là bán kính 
đường tròn nội tiếp, S là diện tích D ABC.Ta có: 
S = SAIB + SBIC + SCIA = cr + ar + br = (a + b + c)
 Þ r = . Vì S không đổi, ta suy ra r lớn nhất 
Û (a + b + c) có giá trị nhỏ nhất, theo kết quả ở ví dụ 2, đó là tam giác cân.
Nhận xét: Để chứng minh bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác cân là lớn nhất, ta đưa về việc đi chứng minh chu vi của tam giác đó là nhỏ nhất (ví dụ 2) bằng cách biểu thị bán kính đường tròn nội tiếp tam giác cân qua diện tích và chu vi của nó.
Hướng 4
Trong các bài toán cực trị, thường có các điểm di chuyển trên các hình nhất định các hình đó có khi được cho ngay trong đề bài, có khi được tìm ra bởi một bài toán quỹ tích. Đó chính là: Vận dụng quỹ tích để giải bài toán cực trị.
Ví dụ 4: Cho các tam giác ABC có BC = a,  = a. Tam giác nào có diện tích lớn nhất? 
Lời giải (Hình 3) 
A
A’
C
B
H
H’
• 
o 
a 
Hình 3
Xét các tam giác ABC có BC = a,   = a. Khi đó A nằm trên cung chứa góc a dựng trên cạnh BC của tam giác ABC. Gọi A’ là điểm chính giữa của cung chứa góc nói trên. Kẻ AH ^ BC, A’H’ ^ BC. Hiển nhiên AH £ A’H’. Do đó SABC £ . Vậy trong các tam giác nói trên tam giác cân có diện tích lớn nhất.
Hướng 5
Trong các bài toán cực trị hình học giải bằng phương pháp đại số, ta thường chọn một đại lượng làm biến (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, tỷ số lượng giác của một góc...), cũng có trường hợp ta nên chọn hai biến, đồng thời chú ý đến các đại lượng không đổi để làm biến cho hợp lý. 
Tiếp cận theo hướng này ta gọi là: Chọn biến để giải các bài toán cực trị hình học.
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có góc B, C nhọn, BC = a, đường cao AH = h, xét hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác có M Î BC, N Î AC, P, Q Î BC. Hình chữ nhật MNPQ ở vị trí nào thì diện tích của nó có giá trị lớn nhất?
A
M
N
h-x
y
x
B
Q
H
P
C
Hình 4
Lời giải (Hình 4)
Đặt MQ = x, MN = y
Ta có: SAMN + SBMNC = SABC
Suy ra: 
Û h.y + a.x = ah Þ y = (h - x)
Gọi diện tích hình chữ nhật MNPQ là S, ta có:
S = x.y = . (h - x) . x
Do a và h là các hằng số dương nên S lớn nhất
Û Tích (h - x) . x lớn nhất, hơn nữa tổng (h - x ) + x = h (không đổi) nên tích (h - x) . x lớn nhất Û x = h - x Û x = .
 Khi đó MN là đường trung bình của D ABC.
Chú ý: 
 Có trường hợp để tìm cực trị của một đại lượng A, ta chia đại lượng A thành tổng của nhiều đại lương khác. Chẳng hạn như A = B + C +...
Lúc này việc đi tìm cực trị của đại lượng A ta đi tìm cực trị của B và C... rồi từ đó phải chỉ ra được B, C.... đạt cực trị thì A cũng đồng thời đạt cực trị và ngược lại.
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC vuông tại A. ở bên ngoài tam giác vẽ hai nửa đường tròn có đường kính AB, AC. Một nửa đường thẳng d quay quanh A cắt hai nửa đường tròn theo thứ tự tại M, N (khác A). Hãy xác định hai điểm M, N sao cho chu vi tứ giác BCMN lớn nhất.
M
A
y
z
N
d
x
t
B
C
•
Hình 5
Lời giải (Hình 5)
Đặt: BM = x, AM = y, AN = z, NC = t 
thì chu vi tứ giác BMNC = BC + x + y + z + t.
Với hai đại lượng a, b bất kỳ ta luôn có:
(a - b)2 ³ 0 Û a2 + b2 ³ 2ab
Û 2(a2 + b2) ³ (a + b)2 (*)
D ABC vuông tại M, áp dụng định lý Pitago ta có:
x2 + y2 = AB2. áp dụng hệ thức (*):
(x + y)2 £ 2AB2 Û x + y £ AB 
Dấu “=” xảy ra khi x = y 
Tương tự: z + t £ AC 
Dấu “=” xảy ra: khi z = t
Khi x = y thì điểm M là điểm chính giữa của cung AB, khi đó D AMB vuông cân. Suy ra:   = 45o hay   = 45o (vì M, A, N thẳng hàng). 
 N là điểm chính giữa của cung AC.
 Vậy chu vi tứ giác BCMN lớn nhất khi M, N đồng thời là điểm chính giữa của các cung AB, AC.
Nhận xét: Ta phải xác định vị trí của M, N để chu vi tứ giác BCMN lớn nhất, mà chu vi D ABC không đổi nên chỉ phụ thuộc vào chu vi của hai tam giác AMB và tam giác ANC, tức là phụ thuộc vào các đại lượng x + y và z + t. Từ đó ta xác định được vị trí của M, N để thoả mãn điều kiện cực trị của bài toán.
2.2.2. Biện pháp 2: Bồi dưỡng tư duy sáng tạo kết hợp với các hoạt động trí tuệ khác
Tư duy là một quá trình nhận thức lý tính, học tập là một nhận thức tích cực mà đặc trưng chính là quá trình tư duy. Vì vậy để phát triển năng lực học tập ban đầu thì đầu tiên phải phát triển tư duy cho HS. Điều này là cả một quá trình để vươn tới tư duy sáng tạo cho HS. Việc bồi dưỡng các yếu tố đặc trưng nhất của tư duy sáng tạo như tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo thông qua dạy học giải bài tập “Cực trị hình học” đòi hỏi phải thực hiện các thao tác trí tuệ như: phân tích và tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hoá, đặc biệt hoá trong đó phép phân tích và tổng hợp vẫn là nền tảng. Do vậy để bồi dưỡng một số yếu tố về tư duy sáng tạo cho HS thông qua dạy học hình học nói chung và dạy học giải bài tập “Cực trị hình học” nói riêng chúng ta cần quan tâm bồi dưỡng cho HS một số hoạt động trí tuệ cơ bản qua đó tạo cho HS tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau, khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra giải pháp lạ hoặc duy nhất. Các hoạt động này góp phần tạo ra tính mềm dẽo, tính nhuần nhuyễn cũng như tính độc đáo của tư duy.
2.2.2.1. Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp bài toán
- Phân tích là dùng trí óc để tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt của các toàn thể hoặc chia các toàn thể ra thành từng phần, là phương pháp suy luận đi từ cái chưa biết đến cái đã biết. Trái lại tổng hợp là dùng trí óc để kết hợp lại vài thuộc tính hay khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể hoặc hợp lại từng phần của cái toàn thể. Do đó là hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất trong tư duy, đó là hai thao tác trái ngược nhau.
Trong hoạt động giải toán, trước hết phải nhìn nhận một cách tổng hợp để xem bài toán đó thuộc loại gì, cần huy động những loại kiến thức thuộc vùng nào và có thể sử dụng những phương pháp nào, sau đó phải phân tích cái đã cho và cái phải tìm, hoặc phân tích bài toán lớn thành nhiều bài toán nhỏ hơn, phân tích mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán để tìm ra lời giải. Sau khi tìm được lời giải của các bài toán bộ phận phải tổng hợp lại để được lời giải của các bài toán đang xét. Thông thường khi tìm tòi lời giải, ta thường dùng phương pháp phân tích nhiều hơn, nhưng khi trình bày lời giải, ta dùng phương pháp tổng hợp cho ngắn gọn, dù đôi khi có vẽ thiếu tự nhiên trong lúc giải bài toán.
Các kiến thức trong SGK thường được trình bày theo phương pháp tổng hợp để đảm bảo tính ngắn gọn, cô đọng song khi thực hiện bài dạy lúc giảng bài, GV cần có những câu hỏi gợi mở dẫn dắt HS đi đến những kết luận đó sao cho quá trình lý luận càng tự nhiên càng tốt từ dễ đến khó không áp đặt, không đột ngột, đó chính là dùng phương pháp phân tích.
Ví dụ 7: Cho góc nhọn xOy và điểm A nằm trong góc đó. Tìm các điểm B, C tương ứng trên Ox, Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất?
Phân tích bài toán:
a. GV yêu cầu HS tìm hiểu nội dung bài toán.
- Đọc đề bài, xác định giả thiết, kết luận, vẽ hình.
- Bài toán yêu cầu gì? Tìm các điểm B, C tương ứng trên Ox và Oy sao cho tổng độ dài OA + BC + CA ngắn nhất ?
- Xác định dạng toán? Đây là bài toán thuộc dạng dựng hình, gồm các phần chính: ẩn, dữ kiện, điều kiện.
- Kiến thức? Thực hiện các bước của bài toán dựng hình: phân tích, cách dựng, chứng minh, biện luận
+ Bài toán yêu cầu cần gì? Dựng điểm B, C
+ Phương pháp? Quỹ tích tương giao (muốn dựng một điểm ta cần biến hai quỹ tích của nó). Ta thấy quỹ tích thứ nhất của B là Ox và quỹ tích của C là Oy. Bây giờ ta phải đi tìm quỹ tích thứ hai của B và C. Trong bài toán những yếu tố gì chưa dùng? Đó là chu vi tam giác bằng tổng độ dài các cạnh.
Chu vi tam giác ngắn nhất Û tổng các đoạn thẳng (độ dài đường gấp khúc) ngắn nhất. Độ dài đường gấp khúc ngắn nhất nếu điểm đầu và điểm cuối cố định và các điểm thẳng hàng. Với bài toán cụ thể này, đường gấp khúc là 2p = AB + BC + CA có điểm đầu trùng với điểm cuối và tất nhiên là cố định rồi, nên ta không sử dụng trực tiếp được. Do vậy ta cần biến đổi tương đương độ dài 2p thành đường gấp khúc, sao cho điểm đầu, điểm cuối cố định. Trong chương trình toán THCS phép biến đổi tương đương độ dài HS được học là: phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm.
Giả thiết bài toán cho điểm A, Ox và Oy cố định gợi ý cho ta thực hiện phép đối xứng trục.
Qua phép đối xứng trục Ox, Oy điểm A có ảnh tương ứng là E, D cố định. Đồng thời có được BA = BE và CA = CD. Từ đó, AB + BC + CA = DC + CB + CE ≥ DE. Như vậy, chu vi tam giác ABC ngắn nhất bằng DE.
Hình 6
Û D, C, B, E thẳng hàng Û B, C thuộc đường thẳng DE (1). Trong bài toán còn giả thiết gì chưa dùng? Đó là B, C tương ứng trên Ox, Oy (2). 
 Từ (1) và (2) cho ta điều gì?
b. GV yêu cầu HS tổng hợp những điều đã phân tích, xây dựng một chương trình giải cho bài toán.
Bước 1: Phân tích, tìm ra 2 điểm D, E, từ đó xác định được đường thẳng DE, dẫn đến xác định được hai điểm B và C.
Bước 2: Cách dựng: Dựng điểm D, E tương ứng là đối xứng của A qua oy, ox. Dựng đường thẳng DE, dựng B =Ox Ç DE và C = Oy Ç DE.
Bước 3: Chứng minh điểm B, C dựng được thoả mãn bài toán.
Bước 4: Biện luận (theo cách dựng) số nghiệm của bài toán.
Bước 5: Kết luận.
c. GV yêu cầu thực hiện một chương trình giải cho bài toán. Đây là bài làm của HS.
- Gọi D, E tương ứng là điểm đối xứng của A qua Oy, Ox. Khi đó ta có CD = CA và BA = BE. Từ đó AB + BC + CA = DC + CB + BE ³ DE. Do đó chu vi tam giác ngắn nhất.
Û D, C, B, E thẳng hàng Û 
- Cách dựng: Dựng D đối xứng của A qua Oy.
	Dựng E đối xứng của A qua Ox
	Dựng đường thẳng DE
	Dựng B = Ox Ç DE
	Dựng C = Oy Ç DE
- Chứng minh: Với bất kỳ 2 điểm M, N tương ứng trên Ox, Oy ta có:
AM + MN + NA = DM + MN + NE ³ DE = DC + CB + BE = AC + CB + BA.
Tức là chu vi tam giác ABC ngắn nhất. Như vậy các điểm B, C dựng được