SKKN Kỹ thuật sử dụng máy tính bỏ túi trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng phương pháp tiếp tuyến

MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài:
	Mục tiêu giáo dục hiện nay là nâng cao chất lượng, hiệu quả của việc dạy và học, làm cho kết quả của học sinh ngày một nâng cao. Muốn đáp ứng được yêu cầu đó thì nhiệm vụ của giáo viên và học sinh là: " phải dạy và học thế nào để đạt hiệu quả cao nhất".
	Cùng với các môn học khác, môn toán giữ vai trò rất quan trọng. Dạy toán tức là dạy phương pháp suy luận. Học toán là rèn luyện khả năng tư duy logic. Giải toán là hoạt động hấp dẫn và bổ ích, nó giúp các em nắm vững thêm kiến thức, phát triển từng bước năng lực tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo.
	Chứng minh bất đẳng thức hay tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức là một bài toán khó trong quá trình giải toán nhưng gần như không thể thiếu được trong các đề thi THPT quốc gia và thi chọn học sinh giỏi. Mặc dù mảng kiến thức này học sinh đã được tiếp cận ngay từ các lớp THCS song để học tốt bất đẳng thức là điều không hề dễ và phải mất khá nhiều thời gian. 
	Qua nhiều năm thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy rằng học sinh rất ngại va chạm với các bài toán chứng minh bất đẳng thức hay tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức vì phần này tương đối khó, các dạng bài tập quá nhiều, quá phong phú trong khi đó thì thời lượng kiến thức trong sách giáo khoa thì ít. Vì vậy tôi luôn trăn trở là làm thế nào để tháo gỡ giúp các em bớt đi khó khăn khi gặp các dạng toán này.
	Trong phạm vi nhỏ hẹp này, tôi xin được trình bày một số kinh nghiệm nhỏ qua thực tế giảng dạy môn toán về mảng bất đẳng thức cho học sinh THPT, đó là: 
" Kỹ thuật sử dụng máy tính bỏ túi trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng phương pháp tiếp tuyến" , hy vọng sẽ giúp các em say mê và hứng thú học toán hơn.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Mục đích nghiên cứu của đề tài là rèn luyện cho học sinh các kỹ thuật sử dụng máy tính bỏ túi trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng phương pháp tiếp tuyến
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Học sinh trường THPT Trần Phú – Nga Sơn.
 1.4. Phương pháp nghiên cứu:	
- Nghiên cứu lý luận chung.
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học .
- Tổng hợp so sánh, đúc rút từ kinh nghiệm giảng dạy.
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn. 
PHẦN II: NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận:
	a) Đối với một đường cong cho bởi hàm số tiếp tuyến tại một số điểm nào đó của đồ thị hàm số luôn nằm trên hay nằm dưới đồ thị. Dựa vào tính chất này, người ta thiết lập nên một phương pháp thú vị để chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp tiếp tuyến:
Cho hàm số có đồ thị xác định, liên tục và có đạo hàm trên khoảng . Nếu là tiếp tuyến của đồ thị tại điểm , và luôn nằm phía trên (hoặc phía dưới) tiếp tuyến trong khoảng thì (hoặc ). 
Đẳng thức xảy ra 
Như vậy, với mọi thì: 
 .....
Nếu ( không đổi) thì 
( Hoặc )
Đẳng thức xảy ra 
	b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có dạng: 
Giả sử phương trình tiếp tuyến là : 
Như vậy: . Thao tác sử dụng máy (Caiso fx-570 ES PLUS hoặc máy có chức năng tương đương): Nhấn máy hiện trong nhập biểu thức , thì nhập nhấn , từ đó suy ra giá trị của a
Lại có: . Thao tác sử dụng máy: Nhấn (a là giá trị vừa tìm được) cho nhấn , từ đó suy ra giá trị của b
2.2. Thực trạng của vấn đề:
	Khi chữa đề thi thử THPT quốc gia môn toán năm 2016 của Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Thanh Hóa cho học sinh lớp 12 có câu số 10 như sau: 
	Cho là độ dài ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
( Trích từ đề thi khảo sát chất lượng lớp 12 môn toán năm học 2015 - 2016 sở GD&ĐT Thanh Hóa)
Tôi có hướng dẫn học sinh trình bày lời giải như sau:
Lời giải: Giả sử , đặt và . 
Khi đó:
Do là độ dài ba cạnh của một tam giác nên
 tức là , tương tự 
Ta sẽ chứng minh đúng với mọi 
Thật vậy, 
Hiển nhiên, (**) luôn đúng với mọi nên (*) đúng với mọi 
Áp dụng (*) ta được: 
	Dấu bằng xảy ra 
Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 9 khi 
	Khi trình bày xong lời giải bài toán, học sinh đặt ra câu hỏi là: " làm thế nào để tìm ra biểu thức (*)" . Nếu như không giải thích được cho học sinh hiểu thì đây là một lời giải không đẹp và thiếu tự nhiên. Thế thì cách làm ở đây đó là chúng ta sử dụng "phương pháp tiếp tuyến" . Qua thực tế giảng dạy, phương pháp tiếp tuyến được học sinh 12 tiếp thu khá tốt, các em đã vận dụng ngày càng linh hoạt, sáng tạo để giải quyết một lớp các bài toán bất đẳng thức đối xứng, thuần nhất ba biến trong các đề thi chọn học sinh giỏi và THPT quốc gia . Tuy nhiên, bản thân tôi suy nghĩ rằng:
	- Nếu đọc lời giải trên thì học sinh lớp 10 và 11 vẫn hiểu được, vậy liệu có mẹo nhỏ nào để tìm ra biểu thức (*) để bài toán trên có thể áp dụng được cho học sinh lớp 10 và 11 không?
	- Trong thực tế THI TRẮC NGHIỆM hiện nay thì việc giải nhanh một bài toán là hết sức cần thiết, vậy thì liệu máy tính bỏ túi có hỗ trợ được cho việc tìm tòi lời giải?
	Để khắc phục tình trạng nêu trên, tôi nghĩ rằng đề tài " Kỹ thuật sử dụng máy tính bỏ túi trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng phương pháp tiếp tuyến" sẽ giúp chúng ta giải quyết các một số bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức nhanh hơn, khoa học hơn, có cơ sở và có tính sáng tạo hơn.
2.3. Giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề:
Nếu gặp các bất đẳng thức (tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức) thuần nhất hoặc có dạng đối xứng ta nên chuẩn hóa đưa về dạng sau:
Cho,.
Chứngminh rằng: (hoặc )
Dấu bằng xảy ra 
Hoặc là: Cho ,. Tìm giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của biểu thức:
(Điều mong ước là đạt được )
Phương pháp: Nếu sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức thì tùy thuộc bài toán ta sẽ phải lựa chọn một hàm số để viết phương trình tiếp tuyến của nó tại điểm có hoành độ , giả sử phương trình tiếp tuyến là 
Theo đó ta sẽ có: ( hoặc ) với mọi . 
 Dấu bằng xảy ra khi 
 ( hoặc )
 .....
 ( hoặc )
 Suy ra: ( hoặc )
Tuy nhiên, trong sáng kiến này tôi sẽ trình bày cách sử dụng máy tính bỏ túi (Casio fx-570 ES PLUS hoặc máy có chức năng tương đương) để tìm a, b thay vì viết phương trình tiếp tuyến của hàm số như trên, cụ thể:
* Cách tìm a: Nhấn máy hiện trong nhập biểu thức , thì nhập nhấn , từ đó suy ra giá trị của a
* Cách tìm b: Nhập vào máy (a là giá trị vừa tìm được) cho nhấn , từ đó suy ra giá trị của b
Ví dụ 1: Cho và . CMR: 
Phân tích: Trước hết ta đánh giá dấu bằng xảy ra 
Ta sẽ đánh giá để tìm bất đẳng thức phụ như sau: 
- Tìm a: Nhấn nhập nhấn ta được 
- Tìm b: Nhấn nhập , nhấn cho ta được 
Lời giải: 
 Xét biểu thức: 
 Tương tự: 
Suy ra: (đpcm)
Dấu bằng xảy ra 
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho và . CMR: 
Bài 2: Cho và . CMR:
Ví dụ 2: Cho và . CMR: 
Phân tích: Ta thấy: Dấu bằng xảy ra 
BĐT . 
Ta sẽ đánh giá để tìm bất đẳng thức phụ như sau: 
- Tìm m: Nhấn nhập nhấn ta được 
- Tìm n: Nhấn nhập , nhấn cho ta được 
Lời giải: 
 Xét biểu thức: 
Suy ra: . Tương tự:
Do đó: 
(đpcm)
Dấu bằng xảy ra 
Bài tập tương tự: Cho và . CMR:
Ví dụ 3: Cho thỏa mãn . CMR: 
Phân tích: Do biểu thức điều kiện nên bài này có sự khác biệt một chút. Ta sẽ đánh giá để tìm bất đẳng thức phụ như sau : 
Nhập nhấn ta được , nhập , nhấn cho ta được 
Lời giải: 
 Xét biểu thức: 
( Vì , )
Suy ra: , tương tự:
Do đó: (đpcm)
Dấu bằng xảy ra 
Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho thỏa mãn . CMR: 
Bài 2: Cho là các số thực thỏa mãn . CMR: 
Ví dụ 4: Cho . CMR: 
Phân tích: Không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử . Khi đó, BĐT đã cho trở thành: 
Ta sẽ đánh giá để tìm bất đẳng thức phụ như sau :
- Tìm m: Nhấn nhập nhấn ta được 
- Tìm n: Nhấn nhập , nhấn cho ta được 
Lời giải: 
 Xét biểu thức: 
Suy ra: . Tương tự:
Do đó: (đpcm)
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho . CMR: 
Bài 2: Cho . CMR: 
Ví dụ 5: Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng:
Phân tích: Trước hết ta đưa mỗi phân số về một biến
Ta có: 
Tương tự: , 
 Ta cần chứng minh: 
Đặt , khi đó: và , 
Đến đây ta dễ dàng đưa ra lời giải
Gợi ý: Ta sẽ đánh giá để tìm bất đẳng thức phụ như sau:
- Tìm a: Nhấn nhập nhấn ta được 
- Tìm b: Nhấn nhập , nhấn cho ta được 
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho và . CMR: 
Bài 2: Cho và . CMR: 
Ví dụ 6: Cho và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Phân tích:
Ta có: 
Đặt . Khi đó: và . Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Ta sẽ đánh giá để tìm bất đẳng thức phụ như sau: 
- Tìm m: Nhấn nhập nhấn ta được 
- Tìm n: Nhấn nhập , nhấn cho ta được 
Lời giải: 
 Xét biểu thức: 
Với 
Suy ra: . Tương tự: 
Vậy 
Bài tập tương tự: Cho và . CMR: 
Ví dụ 7: Cho và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Phân tích:
Ta sẽ đánh giá để tìm bất đẳng thức phụ như sau:
Ở bài toán này việc đưa các biểu thức về một biến tương đối khó nên để tìm a và b ta xem x là biến, còn gán cho y một giá trị cụ thể, có thể là 10, 100, 1000,...(để việc trả biến dễ dàng hơn), có thể hiểu đây là các con số thế thân, xong xuôi ta sẽ trả lại cho biến đó, cụ thể:
- Tìm a: Nhấn nhập nhấn ta được 
- Tìm b: Nhấn nhập , nhấn cho ta được 
(Lưu ý việc thực hiện thao tác ấn máy trên chưa xét dấu bằng xảy ra , mà chỉ xét là )
Lời giải: Xét biểu thức:
Suy ra: . Tương tự: 
Suy ra: 
Vậy 
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 2: Cho và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
Sáng kiến có thể áp dụng cho học sinh tất cả các khối lớp 10, 11, 12, mặc dù phần cơ sở lý luận học sinh 10, 11 chưa có thể hiểu được song thao tác máy tính được xem là "mẹo nhỏ", vì trong quá trình trình bày lời giải ta chỉ cần có bất đẳng thức phụ, chứ không cần thiết trình bày cách tìm bất đẳng thức phụ. Đề tài này tôi đã triển khai ở các lớp 10A trong năm học 2015 - 2016 và các lớp 12E, 12H trong năm học 2016 – 2017 mà tôi trực tiếp giảng dạy ở trường THPT Trần Phú - Nga Sơn. Để kiểm tra hiệu quả của đề tài sáng kiến kinh nghiệm tôi đã tiến hành tổng hợp, phân tích số lượng học sinh làm được câu chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức ở 3 lớp. 
Kết quả thu được như sau:
Năm học
Lớp
Tổng số
Số lượng học sinh làm được câu chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng phương pháp tiếp tuyến khi sử dụng máy tính bỏ túi
Ghi chú
2015-2016
10A
40
20
Đã triển khai đề tài SKKN
2016-2017
12E
42
25
Đã triển khai đề tài SKKN
2016-2017
12H
45
03
Chưa triển khai đề tài SKKN
Với kết quả như trên tôi nhận thấy đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã mang lại kết quả đáng khích lệ.
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Mảng kiến thức về bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình môn Toán THPT. Nhưng đối với học sinh đây lại là một mảng kiến thức tương đối khó nên phần nhiều thầy cô giáo quan tâm. Sáng kiến kinh nghiệm góp thêm một phần thiết thực vào kho các công cụ giải toán bất đẳng thức của giáo viên và học sinh. Nó giúp chúng ta nhìn thấy được cách giải quyêt vấn đề nhanh chóng và hiệu quả.
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học mà tôi giảng dạy lớp 10, 12 được học sinh đồng tình và đạt được kết quả đáng khích lệ. Với đề tài này, chúng ta có thể phát triển thành một đề tài rộng hơn đó là: " Kỹ thuật sử dụng máy tính bỏ túi trong các bài toán đại số"
3.2. Kiến nghị
Mặc dù tôi đã cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và hạn chế. Tôi rất mong nhận được sự quan tâm đóng góp ý kiến của tất cả các đồng chí, đồng nghiệp để đề tài sáng kiến kinh nghiệm được hoàn thiện hơn. 
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 12 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Người viết
Phạm Thị Mai
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Một số đề thi thử THPT quốc gia các năm 2015 và 2016
[2]. Đề thi olypic trong nhiều năm học
[3]. Sử dụng MTBT giải một số bài toán trong chương trình 10, 11, 12
 (www.luyenthithukhoa.vn)
[4]. Những viên kim cương trong BĐT toán học 
 (Nhóm tác giả, chủ biên : Trần Phương, nhà xuất bản Tri thức)
[5]. Tổng hợp các phương pháp chứng minh bất đẳng thức hay trên mạng internet