SKKN Sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng giải phương trình bất phương trình vô tỉ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Người thực hiện: Lê Xuân Thắng
Chức vụ: Giáo viên
SKKN môn: Toán
THANH HOÁ NĂM 2018
MỤC LỤC
 Nội dung	Trang
1.MỞ ĐẦU
1
1.1.Lí do chọn đề tài
1
1.2. Mục đích nghiên cứu
1
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
2
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
3
2.3.1. Các kĩ năng cần phải luyện tập với máy tính cầm tay
3
2.3.2. Biện pháp tổ chức thực hiện.
6
2.3.3. Bài tập áp dụng
17
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
17
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.
18
3.1. Kết luận
18
3.2. Kiến nghị
18
TÀI LIỆU THAM KHẢO
20
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Máy tính cầm tay hiện nay là người bạn thân thiết đối với các em học sinh cấp 3, hầu hết các em đều có máy tính và sử dụng máy tính thành thạo để phục vụ cho việc học tập, thi cử. Một học sinh sử dụng thành thạo máy tính không chỉ dừng lại ở việc học sinh đó biết thực hiện nhanh các phép toán hay một tổ hợp các phép toán phức tạp chính xác mà còn đòi hỏi học sinh đó phải biết dùng máy tính như một công cụ tìm kiếm, phán đoán, định hướng, kiểm tra, để tìm ra được lời giải của bài toán.
Dạng toán giải phương trình, phương trình vô tỉ là trọng tâm của kiến thức toán cấp 3, nó xuất hiện đều đặn trong chương trình toán lớp 10, lớp 11, lớp12 và trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh và toàn quốc. Chính vì vậy dạng toán này luôn luôn nhận được sự quan tâm, yêu thích đối với các em học sinh và cả giáo viên dạy Toán. Một trong những vẻ đẹp của loại toán này đó là sự phong phú, đa dạng mang tính “thách thức”, buộc người học phải khám phá, tìm ra nghiệm là bao nhiêu, có bao nhiêu nghiệm, lời giải – trình bày thế nào ?. 
Năm học 2017-2018 chúng ta tiếp tục thực hiện đổi mới phương pháp dạy học. Góp phần thuận lợi cho học sinh trong quá trình tiếp thu và chủ động chiếm lĩnh kiến thức. Trong phạm vi bài viết này, tôi xin đưa ra một vài ý tưởng đóng góp cho việc giải phương trình đó là: “Sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng giải phương trình, bất phương trình vô tỉ”, theo tinh thần đổi mới phương pháp dạy học, giúp các em phát triển năng lực tư duy và phát hiện vấn đề một cách mạch lạc, chính xác hiệu quả hơn nhờ sự hỗ trợ từ máy tính.
1.2. Mục đích nghiên cứu
 Nghiên cứu nội dung chương trình hình học THPT, các bài toán dành cho học sinh khá, giỏi từ đó xây dựng các thao tác cần thiết để giúp học sinh sử dụng tốt máy tính cầm tay vào giải các bài toán tổng hợp.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu mà đề tài hướng tới là:
- Hình thành cô đọng lượng kiến thức thiết yếu, nền tảng làm cơ sở cho giải pháp sử dụng máy tính cầm tay.
- Khám phá, phân tích nhiều lời giải trên một bài toán, làm rõ quan hệ hữu cơ, sự hỗ trợ bổ sung cho nhau giữa các cách giải, từ đó hoàn thiện kiến thức và nắm bắt bài toán một cách thấu đáo và có chiều sâu.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo liên quan đến vấn đề sử dụng máy tính cầm tay, nghiên cứu chương trình giáo khoa của bộ môn.
- Phương pháp nghiên cứu thực tế: thông qua việc dạy và học phân môn Đại số ở THPT rút ra một số nhận xét và phương pháp giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán bằng máy tính cầm tay.
- Phương pháp kiểm chứng sư phạm: tiến hành dạy và kiểm tra khả năng ứng dụng của học sinh nhằm minh chứng bước đầu cho khả năng giải quyết mạnh mẽ của máy tính cầm tay và việc áp dụng máy tính cầm tay vào giải toán.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Bài toán giải phương trình, bất phương trình vô tỉ là kiến thức đa dạng của chương trình toán toán cấp 3. Để học tốt được phần này học sinh phải nắm được nhiều dạng toán, ứng với mỗi dạng toán lại có một phương pháp giải riêng. Học sinh phải thường xuyên sưu tầm các bài tập mới lạ, thường xuyên làm bài tập để học hỏi, trau rồi phương pháp, kĩ năng khi biến đổi, dùng máy tính cầm tay. Thế nhưng làm được điều này thật không đơn giản bởi một số nguyên nhân sau:
- Các bài tập SGK của phần này ở mức đơn giản, chưa thể hiện nhiều về dạng lẫn phương pháp cũng như kỹ năng mà các em cần đạt được, để tự tin bước vào các kì thi quan trọng. 
 - Có quá nhiều dạng toán và đi kèm với đó là nhiều phương pháp, dẫn tới việc các em cảm thấy lúng túng khi gặp dạng toán lạ. Kĩ năng nhận biết, dùng máy tính cầm tay định hướng cách giải
 - Phần lớn khi biến đổi thấy phương trình, bất phương trình bậc quá 3, vô tỉ là các em nản, không biết xử lí thế nào, không biết bắt đầu từ đâu. Trong khi đó lại hay gặp nhiều phương trình, bất phương trình đưa về bậc cao, bất phương rình chứa căn.
 - Học sinh rất thích thú, cảm thấy phấn chấn khi được học với máy tính cầm tay, nhưng chưa biết sử dụng máy tính như công cụ thật sự khi giải phương trình, bất phương trình.
Do đó tôi luôn luôn có ý định tìm ra một phương pháp mới, để truyền dạy cho học sinh, một phương pháp đơn giản dễ làm, một phương pháp mà học sinh cảm thấy phấn chấn khi học, một phương pháp giải quyết được nhiều dạng toán khó mà các em gặp phải trong quá trình ôn luyện.
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
 - Bài toán giải phương trình là phần khó và là trọng tâm Đại số và Giải tích. Lượng kiến thức khai thác là rất nhiều và đa dạng, nếu không khéo truyền đạt sẽ làm cho các em thấy lan man, mất phương hướng chứ chưa nói đến sau khi học xong các em được những phương pháp nào, kĩ năng gì. Do vậy ở phần này người giáo viên cần phải có hệ thống bài tập minh hoạ cho các phương pháp trọng tâm, các dạng toán quan trọng. Đặc biệt làm cho các em phải cảm thấy tự tin khi các gặp phương trình, bất phương trình chứa căn bằng cách dùng máy tính cầm tay để định hướng cách giải.
 - Khi dạy dạng toán này, một thực tế thường xảy ra là đa số giáo viên đi theo lối mòn như: Nêu dạng toán, phương pháp giải chứ chưa mạnh dạn cho học sinh dùng máy tính định hướng cách giải. Các phương trình, bất phương trình bình phương thì thu được phương trình mới có bậc ra sao, có giải được không. Hầu hết gặp phải phương trình bậc 4 trở lên là dừng lại, trong khi tính năng và giải dạng này rất hiệu quả. Sở dĩ có thực trạng trên là vì giáo viên chưa chịu thực hiện đổi mới phương pháp dạy học hoặc biết nhưng ngại áp dụng, xem thường hoặc chưa đánh giá đúng vai trò của máy tính. Do có thể chưa biết nhiều về máy tính mà một số giáo viên khi thấy học sinh sử dụng máy tính lại cảm thấy rụt rè, không khích lệ các em, trong khi các em lại rất hứng thú với máy tính. Điều này làm hạn chế niềm đam mê, hứng thú học tập rất nhiều.
2. 3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Các kĩ năng cần phải luyện tập với máy tính cầm tay
Trước hết cho học sinh rèn luyện các kĩ năng thiết yếu để dùng được phương pháp này là kĩ năng dùng hai phím và .
	Kĩ năng 1. Kĩ năng nhân đa thức hệ số nguyên với đa thức hệ số nguyên một biến bằng phím .
	Kĩ năng 2. Kĩ năng chia đa thức hệ số nguyên cho đa thức hệ số nguyên một biến bằng phím (chủ yếu là đa thức hệ số nguyên chia hết)
	Kĩ năng 3. Kĩ năng phân tích đa thức một biến hệ số nguyên thành nhân tử bằng phím và .
Các ví dụ minh họa cho các kĩ năng
VD1. Nhân đa thức với đa thức biểu thức sau
Cách thực hiện. 
Nhập vào máy biểu thức 
- Bấm phím máy hỏi ta cho tức là 
- Bấm máy cho kết quả 
Ta tìm được đơn thức chứa lũy thừa cao nhất. Để tìm đơn thức chứa lũy thừa tiếp theo ta làm tiếp như sau
- Bấm (Phím 9h)máy hiển thị biểu thức cần nhân ta nhập tiếp thành biểu thức 
- Bấm máy cho kết quả 
- Bấm máy hiển thị biểu thức ta nhập tiếp thành biểu thức 
- Bấm máy cho kết quả 
- Bấm máy hiển thị biểu thức ta nhập tiếp thành biểu thức 
- Bấm máy cho kết quả là 
- Bấm máy hiển thị biểu thức ta nhập tiếp thành biểu thức 
- Bấm máy cho kết quả bằng 0
Kiểm tra tính chính xác của biểu thức bằng cách phím cho x một vài giá trị sao cho biểu thức trên có nghĩa mà kết quả biểu thức cuối luôn bằng không thì biểu thức thu được chắc chắn chính xác.
Vậy 
VD2. Chia đa thức với đa thức biểu thức sau 
Làm tương tự như ví dụ 1 cụ thể như sau:
Nhập vào máy biểu thức 
- Bấm phím máy hỏi ta cho 
- Bấm máy cho kết quả 
Ta tìm được đơn thức chứa lũy thừa cao nhất. Để tìm đơn thức chứa lũy thừa tiếp theo ta làm tiếp như sau
- Bấm máy hiển thị biểu thức ta nhập tiếp thành biểu thức 
- Bấm máy cho kết quả 
- Bấm máy hiển thị biểu thức ta nhập tiếp thành biểu thức 
- Bấm máy cho kết quả 
Kiểm tra tính chính xác của biểu thức bằng cách phím cho x một vài giá trị sao cho biểu thức trên có nghĩa mà biểu thức cuối luôn bằng 0 thì kết quả thu được chắc chắn chính xác.
Vậy 
VD3. Biến đổi đa thức thành nhân tử 
Dùng tính năng nhẩm lấy 3 nghiệm(có thể chỉ có 2 nghiệm)
Nhập vào máy tính biểu thức 
-Bấm dấu để lưu biểu thức vào bộ nhớ máy.
-Bấm SHIFT, SOLVE, , máy tính cho ta nghiệm:, gán nghiệm vào biến nhớ bằng thao tác tiếp theo SHIFT, STO , A. 
-Bấm (phím 12h)để lấy lại biểu thức 
-Bấm SHIFT, SOLVE, , máy tính cho ta nghiệm: -0,309016994, gán nghiệm vào biến nhớ bằng thao tác tiếp theo SHIFT, STO , B. 
-Bấm để lấy biểu thức 
Bấm SHIFT, SOLVE, , máy tính cho ta nghiệm: , gán nghiệm vào biến nhớ bằng thao tác tiếp theo SHIFT, STO , C. 
- Kiểm tra tổng các biến nhớ: 
(loại, cái ta cần là kết qủa hữu tỷ). 
(nhận), kiểm tra tiếp , Như vậy ta thấy rằng phương trình đã cho có hai nghiệm và , theo viet ta có hai nghiệm này là nghiệm của tam thức bậc hai .
Suy ra có nhân tử là . Để tìm nhân tử còn lại ta lấy chia cho (ví dụ 2) 
2.3.2. Biện pháp tổ chức thực hiện.
Nêu một số ví dụ bài tập điển hình để các em luyện tập
Ví dụ 1. 
Giải phương trình: 
Phân tích: Ta dễ dàng kiểm tra bằng máy tính bài toán có nghiệm và là nghiệm đơn.
Lời giải
Điều kiện xác định: . 
Ta có phương trình 
Do nên 
Do đó phương trình 
Ví dụ 2.
Giải bất phương trình: .
Phân tích: Ta dễ dàng kiểm tra bằng máy tính bài toán có nghiệm và là nghiệm đơn.
Nếu chúng ta thay giá trị vào căn:.
Lời giải
Cách 1. Nhân liên hợp căn với số:
Cách 2. Sử dụng truy ngược dấu.
Do trong bài có 2 biểu thức bị âm dấu do đó ta cần xử lí ở hai căn này theo đúng trình tự ở trên ta được lượng liên hợp tương ứng như sau: . Do đó bài toán được trình bày như sau:
Điều kiện xác định: 
Bất phương trình 
Vậy nghiệm bất phương trình là 
Ví dụ 3. 
Giải bất phương trình: 
Phân tích: Dùng máy tính dễ dàng ta nhẩm được phương trình có 2 nghiệm . Do cần tạo ra liên hợp nên: Giả sử liên hợp với là 
. Khi đó nhận là nghiệm nên do đó liên hợp của là 
Tương tự liên hợp của là 
Vậy ta có liên hợp thích hợp trong bài toán đó là 
Lời giải
Điều kiện xác định: 
Ta có bất phương trình 
Do nên do đó 
Kết hợp điều kiện 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: 
Ví dụ 4. Giải phương trình: 
Giải bất phương trình: 
Phân tích: Dễ dàng dùng máy tính để tìm được bài toán có 2 nghiệm đơn là do đó rất dễ dàng tìm được liên hợp của bài toán 
Lời giải
Điều kiện xác định 
Do 
Nên bất phương trình 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 
Ví dụ 5. Giải phương trình: 
Lời giải
Điều kiện xác định: . Ta bấm máy tính tìm được do đó 
.
Vậy phương trình có tập nghiệm là: .
Ví dụ 6. 
Giải phương trình: 
Lời giải
Điều kiện xác định: . Ta bấm máy tính tìm được do đó 
 Xét: (không có giá trị thỏa mãn).
.
. 
Do 
Nên 
Vậy phương trình có tập nghiệm là: 
Ví dụ 7. 
Giải phương trình: .
Lời giải
Điều kiện xác định . Bấm máy tính thu được . Tìm mối quan hệ:
 do đó:
Do nên
Xét 
.
.
Nên .
Trường hợp 1: .
Trường hợp 2: 
..
Trường hợp 3: (vô nghiệm). Vậy tập nghiệm của phương trình là: .
Chú ý: Học sinh có thể giải bằng ẩn phụ không hoàn toàn.
Ví dụ 8. 
Giải phương trình sau: 
Lời giải
Điều kiện xác định
Bấm máy tính ta thấy bài toán có 3 nghiệm: và .
Ta tạo liên hợp với . 
.
 Ta có phương trình 
.
Ta kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ:
Trừ vế với vế ta được:
.
Vậy tập nghiệm của phương trình là: .
Ví dụ 9. 
Giải bất phương trình: .
Lời giải
ĐKXĐ: . Tương tự những bài trước kiểm tra máy tính vày thay vào căn ta sẽ tìm được liên hợp của bài toán. 
Xét: 
PT
.
. 
Kết hợp với điều kiện thì phương trình có nghiệm duy nhất .
Chú ý: Học sinh có thể giải bằng ẩn phụ không hoàn toàn.
Ví dụ 10: Giải phương trình 
Lời giải: Phương trình đã cho tương đương
Thử lại (1), nghiệm PT là , 
Trước đó: Để giải dạng này đặt , cần tìm được hai số
thực thích hợp để chuyển về hệ đối xứng hai ẩn là 
Ví du 11. Giải phương trình 
Lời giải: Phương trình đã cho tương đương
Thử lại (1), nghiệm PT là , 
Trước đó: Đối với dạng này học sinh sẽ cảm thấy lúng túng, không biết
biến đổi từ đâu, áp dụng phương pháp nào cho hiệu quả.
Ví dụ 12. Giải phương trình 
Lời giải: Phương trình đã cho tương đương
Thử lại (1), nghiệm PT là , 
Trước đó: Phương trình này là dạng đặt ẩn phụ không hoàn toàn, nhờ sự
phân tích “khéo léo” như sau:
Đặt , phương trình trở thành 
Có 
Bước phân tách là vấn đề khó nhất của bài toán này, giải đáp câu hởi tại sao tách như vậy cho học sinh lại là vấn đề còn khó hơn !
Ví dụ 13: Giải phương trình 
Lời giải: Phương trình đã cho tương đương
Thử lại (1), nghiệm PT là , 
Trước đó: Để giải dạng này đặt , cần tìm được hai số
thực thích hợp để chuyển về hệ đối xứng hai ẩn là 
Ví dụ 14. Giải phương trình 
Lời giải: Phương trình đã cho tương đương
Thử lại (1), nghiệm PT là , 
Trước đó: Đối với dạng này học sinh sẽ cảm thấy lúng túng, không biết
biến đổi từ đâu, áp dụng phương pháp nào cho hiệu quả.
2.3.3. Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải phương trình: .
Bài 2: Giải phương trình: .
Bài 3: Giải phương trình 
Bài 4: Giải bất phương trình: 
Bài 5: Giải phương trình: 
Bài 6: Giải phương trình 
Bài 7: Giải bất phương trình: 
Bài 8: Giải bất phương trình: 
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 
Như trong phần đặt vấn đề đã nêu, sáng kiến “Sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng giải phương trình, bất phương trình vô tỉ” là phương pháp có sự kết hợp chặt chẽ của tư duy toán và máy tính, là cách tiếp cận tìm lời giải mới phù hợp với yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học, đó là kích thích tính tự học, tự nghiên cứu và phát hiện vấn đề.
Với tinh thần đó, trong quá trình soạn, dạy dạng toán này tôi thực hiện theo cách phân loại từ dễ đến khó, thông qua 11 ví dụ được chọn lọc. Kết hợp công nghệ thông tin nên tiết kiệm được nhiều thời gian và dễ hướng dẫn học sinh thao tác trên máy tính cầm tay hơn, do đó đảm bảo giải quyết được số lượng bài tập. Kết thúc phần này tôi nhận thấy đã đạt được hiệu quả cao, cụ thể:
- Học sinh tỏ ra hứng thú hơn khi giải toán, tập trung đào sâu suy nghĩ vấn đề, phát hiện vấn đề hiệu quả hơn, nhanh hơn
- Giờ dạy tránh được tính đơn điệu, nhàm chán theo một lối mòn lâu nay.
- Học sinh có nhiều thay đổi tích cực về phương pháp học tập và tư duy giải toán.
 Kết quả đó còn được thể hiện rõ rệt qua các bài kiểm tra.
Lớp
Số HS
Giỏi
Khá
TB
Yếu
SL
TL(%)
SL
TL(%)
SL
TL(%)
SL
TL(%)
11B3
42
6
14.2
17
40.5
9
21.4
2
4.9
10C3
41
7
17.1
19
46.3
15
36.6
0
0
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết quả thực hiện
Qua thời gian thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy khi chưa đưa chuyên đề vào giảng dạy, học sinh chỉ có thể giải quyết được các bài tập đơn giản. Không biết phân tích bài toán, đặc biệt là các bài toán có nghiệm là vô tỉ, hoặc đưa về bậc cao. Sau khi học chuyên đề học sinh đã có thể làm tốt các bài tập khó, các em hứng thú và say mê hơn trong học tập. Qua khảo sát kết quả học tập của các em tăng lên rõ rệt.
3.2. Kiến nghị
Để học sinh có kết quả cao trong các bài kiểm tra, kỳ thi Đại học đặc bệt là thi trắc nghiệm người thầy cần nghiên cứu, tìm tòi và xây dựng được các phương pháp giải toán sao cho học sinh dễ hiểu và cách giải ngắn nhất.
Thầy giáo tăng cường kiểm tra, sửa chữa sai sót cho học sinh, đồng thời động viên các em khi các em tiến bộ.
Thầy giáo hướng dẫn cách tự đọc sách của học sinh, động viên các em học sinh giỏi đọc báo toán, tài liệu trên internet, tìm hiểu thêm các cách giải khác.
Thầy giáo tăng cường luyện cho các em các chuyên đề và bộ đề thi, để các em có nhiều thời gian tiếp cận và tập dượt với dạng toán thi, từ đó dần dần đạt kết quả học tập cao hơn.
Trong quá trình dạy học nói chung, dạy – học Toán nói riêng, việc giải bài tập; phân tích hướng giải; trả lời câu hỏi tại sao lại làm như vậy là quan trọng nhưng việc hướng dẫn cho học sinh có óc phân tích – tổng hợp – khái quát các phần kiến thức và trên hết là có cách học đúng đắn mới là cốt lõi của vấn đề. Chính vì vậy người thầy luôn phải suy nghĩ, trăn trở nhằm đáp ứng được yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học, nâng cao hiệu quả giáo dục.
Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ trong quá trình thực hiện việc đổi mới phương pháp dạy học, đề tài không tránh khỏi những hạn chế.
Rất mong sự đóng góp quý báu của bạn bè, đồng nghiệp. 
Tôi xin chân thành cảm ơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Lê Xuân Thắng
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đề thi đại học các năm 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015...
2. Đề thi thử đại học của các trường THPT trong cả nước qua các năm gần đây, các trang mạng uy tín luyện thi về Toán như: www.nguoithay.vn, www.moon.vn và www.diendantoanhoc.net .
3. Tạp chí THTT và Đặc san THTT.