SKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số bài tập bất phương trình vô tỷ theo hình thức trắc nghiệm

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU	1
1.1 Lí do chọn đề tài	1
1.2 Mục đích nghiên cứu	1
1.3 Đối tượng nghiên cứu	1
1.4 Phương pháp nghiên cứu	2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM	2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến	2
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến	3
2.3. Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề	3
2.3.1. Hệ thống kiến thức liên quan	3
2.3.2.Một số bài tập vận dụng	 3
2.3.3. Hệ thống bài tập tự luyện18	
2.4. Hiệu quả của sáng kiến	20
3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ	 21
3.1. Kết luận	21
3.2 Kiến nghị	21
A.ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
 Đất nước ta đang trên con đường hội nhập và phát triển, từ đó cần những con người phát triển toàn diện. Muốn vậy, phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục phải được đổi mới một cách căn bản và toàn diện để đáp ứng nhu cầu phát triển của xã hội. Để đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo trước hết phải đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có cả phương pháp dạy học môn Toán.
Từ năm học 2016 – 2017 hình thức thi THPT Quốc Gia của môn Toán đã có sự thay đổi ( chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm), bước đầu làm cho giáo viên và học sinh thấy bỡ ngỡ. Không những vậy,năm học 2018 – 2019 tới đây trong đề thi THPT Quốc gia sẽ có cả phần kiến thức lớp 10, và trong đề thi sẽ có phần BPT vô tỷ, ngoài ra trong đề thi HSG môn Toán của tỉnh Thanh Hóa những năm gần đây cũng có phần này. Trước kì thi THPT Quốc gia năm học 2018 – 2019 đến gần, với mong muốn có thể cung cấp thêm cho các em học sinh một số kiến thức để có thể lấy được điểm tối đa bài thi của mình, từ đó tôi nghiên cứu và viết đề tài “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số bài tập bất phương trình vô tỷ theo hình thức trắc nghiệm’’. Hi vọng nó sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên và học sinh.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận và làm quen với cách học, cách làm nhanh bài toán trắc nghiệm, từ đó có thể phát huy tối đa hiệu quả làm bài, nhằm đạt được kết quả cao nhất.
Thứ hai: Thông qua sáng kiến kinh nghiệm của mình, tôi muốn định hướng để học sinh có thể giải gianh, giải chính xác đối với những bài toán có liên quan bất phương trình vô tỷ
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Kiến thức về BPT vô tỷ
- Kiến thức về tính đơn điệu của hàm số, vectơ.
- Học sinh lớp 10A, 12A năm học 2018 – 2019 trường THPT Nga Sơn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp nghiên cứu tổng hợp.
- Sử dụng phương pháp thực nghiệm.
- Sử dụng phương pháp phân tích và so sánh những vấn đề có liên quan đến đề tài.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Bất phương trình vô tỷ cơ bản
a/ b/ 
c/ d/ 
2.1.2.Tìm tham số để bất phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước
Định lý: Cho hàm số liên tục trên tập D.
 Giả sử trên D tồn tại , nếu không ta cần lập bảng biến thiên và đưa ra kết luận( m là tham số)
a/ Bất phương trình có nghiệm 
b/ Bất phương trình có nghiệm 
c/ Bất phương trình nghiệm đúng 
d/ Bất phương trình nghiệm đúng 
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Việc hướng dẫn cho học sinh biết cách “Giải một số bài tập bất phương trình vô tỷ theo hình thức trắc nghiệm” là rất cần thiết vì các lí do sau: 
Thứ nhất: Môn toán đã có sự thay đổi hình thức thi từ hình thứ tự luận sang trắc nghiệm, từ đó đòi hỏi học sinh phải giải một bài toán một cách nhanh nhất có thể để tiết kiệm thời gian. 
Thứ hai: Ngoài việc trực tiếp giải quyết các dạng bài tập phần bất phương trình vô tỷ thì học sinh cần nắm vững kiến thức về hàm số, vectơ  và nhiều kiến thức có liên quan khác.
 Trong bài viết này, tôi đưa ra một số bài toán tìm tham số bất phương trình có nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi giá trị thuộc miền cho trước , thấy kết quả đạt tốt và phù hợp đối với các đối tượng học sinh trường tôi.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Hệ thống kiến thức liên quan
 Biểu thức có biểu thức liên hợp là 
 Biểu thức có biểu thức liên hợp là 
 Với hai vectơ bất kì thì , đẳng thức xảy ra khi cùng hướng
 Cho hàm số đơn điệu trên miền D
 + Nếu đồng biến trên D thì bất phương trình 
 + Nếu nghịch biến trên D thì bất phương trình 
 2.3.2. Một số bài tập vận dụng 
 +) Phương pháp biến đổi tương đương
Với phương pháp biến đổi tương đương, tôi đưa ra một số bài tập ở mức độ thông hiểu và vận dụng để học sinh làm quen và rèn luyện kĩ năng làm bài. Cụ thể:
Bài tập 1 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 2
Bài tập 12 : Nghiệm của bất phương trình 
Có dạng . Tính 
A. 9 B. 12 C. 17 D. 18
Lời giải: Đk: 
Khi ta có 
Bpt 
Kết hợp với điều kiện, ta được . Chọn đáp án C
Bài tập 22: Tập nghiệm của bất phương trình 
 A. B. C. D. 
Lời giải: 
Bpt đã cho 
Bài tập 2 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
Chọn đáp án D
Từ bất phương trình đã cho, học sinh sẽ đặt điều kiện xác định của bất phương trình(nếu có), sau đó sử dụng các phép biến đổi tương đương để giải bất phương trình. Kết hợp với điều kiện ta sẽ suy ra được tập nghiệm của bất phương trình.
+) Phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp
Đới với phương pháp này, học sinh cần có kiến thức về biểu thức liên hợp. Đồng thời khi nhân và chia với biểu thức liên hợp thì phải tìm điều kiện cho biểu thức liên hợp.
Bài tập 15: Tập nghiệm của bất phương trình 
A. B. C. D. 
Lời giải: Điều kiện: 
Với, bpt 
( vì , với )
Bài tập 1 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 5
Từ suy ra: 
Vậy: Tập nghiệm của bất phương trình là . Chọn đáp án D
Học sinh cần phát hiện ra biểu thức liên hợp của bất phương trình đã cho,sau khi thực hiện nhân và chia với biểu thức liên hợp ta đưa bất phương trình đã cho về bất phương trình vô tỷ cơ bản để giải và tìm tập nghiệm của nó.
Bài tập 25: Tập nghiệm của bất phương trình là Tính tích a.b
A. B. C. 2 D.3
Lời giải: Điều kiện: Nếu thì 
Nên 
Từ suy ra: 
Bài tập 2 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 5
Vậy: Tập nghiệm của bất phương trình là 
Chọn đáp án A
Qua bài tập trên ta thấy, sau khi thức hiện liên hợp thì bất phương trình đã cho có dạng , ( luôn dương trên tập xác định của bất phương trình). Bài tập sau đây kết hợp cả hai phương pháp miền giá trị và phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp để giải bất phương trình.
Bài tập 35 : Số nghiệm nguyên của bất phương trình (*)
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
Lời giải: Đk: 
TH1: Nếu luôn đúng
TH2: Nếu thì bpt
Từ (1) và (2) suy ra: 
Chọn đáp án D
Bài tập 45 :Tập nghiệm của bất phương trình 
là . Tính 
A. 1 B. 4 C. 6 D. 2
Lời giải: 
ĐK: 
Tập nghiệm của bpt là 
 Chọn đáp án B
Bài tập 3, bài tập 4 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 5
Các bài tập 1, 2, 3 thì biểu thức liên hợp có sẵn trong bất phương trình nhưng ở bài tập 4 thì ta tìm ra hai nghiệm đẹp đó là sau đó để tìm biểu thức liên hợp của biểu thức , ta đặt và thay hai nghiệm để giải hệ tìm các hệ số a, b. Đối với biểu thức ta làm tương tự.
+) Phương pháp miền giá trị
Với phương pháp này, học sinh phải biết cách chia tập xác định của bất phương trình thành các miền nhỏ, sau đó giải bất phương trình trên từng miền và kết hợp nghiệm trên từng miền ta sẽ được tập nghiệm của bất phương trình đã cho.
Bài tập 13: Số nghiệm nguyên của bất phương trình (*)
A. 5 B. 4 C. 3 D. 6
Lời giải: 
ĐK: 0≤x≠3
TH1: Nếu 0≤x0 nên (*) x3-x+3+x<3-x
 (vô nghiệm)
TH2: Nếu thì 3-x3-x
Kết hợp với điều kiện ta được: 
Chọn đáp án A
Bài tập 23: Tập nghiệm của bất phương trình có dạng . Tính 
A. B. C. D. 
Bài tập 1, bài tập 2 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 3
Lời giải: ĐK: 
TH1: Nếu thì (*) luôn đúngTH2: Nếu ( vì , (*) vô nghiệm) thì (*) 
Tập nghiệm của bất phương trình là 
Chọn đáp án A
Bài tập 34: Tập nghiệm của bất phương trình có dạng . Tính 
A. B. C. D. 
Lời giải: Đk: 
Nếu , (*) có dạng: (luôn đúng) là một nghiệm của (*)
Nếu , (vô nghiệm) 
Nếu , 
Bài tập 3 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 4
(luôn đúng với )
Vậy: Tập nghiệm Chọn đáp án B 
Bài tập 44: Tập nghiệm của bất phương trình 
Có dạng . Tính 
A. 2 B. 3 C. 1 D. 0
Lời giải: ĐK: 
TH1: Nếu 
Kết hợp với (1) ta được 
TH2: Nếu 
Bài tập 4 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 4
 Kết hợp với (2) ta được: 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
Chọn đáp án A 
Sử dụng phương pháp miền giá trị để giải bất phương trình vô tỷ làm cho lời giải của bài toán rất tự nhiên, có những bài toán trên 1 miền xác định nào đó ta đánh giá được bất phương trình luôn đúng với , khi đó trên các miền còn lại ta sẽ xử lý bất phương trình một cách đơn giản rất nhiều.
+) Phương pháp đặt ẩn phụ
Đối với phương pháp nay, học sinh cần nhận biết được khi nào đặt ẩn phụ để đưa về bất phương trình đa thức, khi nào đặt ẩn phụ để đưa về bpt hai ẩn, hoặc đưa bất phương trình về hệ. Chú ý khi đặt ẩn phụ cần có điều kiện của ẩn phụ.
Bài tập 13: Số nghiệm nguyên của bất phương trình 
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải: ĐK: 
Bpt đã cho có dạng 
TH1: Nếu , (*) trở thành ( luôn đúng)
Vậy là một nghiệm của bất phương trình (*)
TH2: Nếu trở thành 
Đặt , bất phương trình có dạng :
Bài tập 1 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 3
Với 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
Chọn đáp án C
Bài toán trên ta đã kết hợp cả hai phương pháp: miền giá trị và đặt ẩn phụ để giải bất phương trình, từ đó cho ta lời giải rất tự nhiên và ngắn gọn. Bài toán sau đây ta sẽ đặt ẩn phụ để đưa về bất phương trình hai biến, cụ thể như sau:
Bài tập 23: Tập nghiệm của bất phương trình 
Có dạng . Tính b.c 
A. 1 B. 0 C. 4 D. 2
Lời giải: ĐK: 
Đặt 
Bất phương trình trở thành: 
Nếu (loại)
Nếu trở thành (với )
Suy ra: 
Bài tập 2 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 3
Vậy tập nghiệm của bpt là 
Chọn đáp án A
Bài tập 35: Số nghiệm nguyên của bất phương trình 
A. 2 B. 1 C. 3 D. 5
Lời giải: ĐK: 
Bpt 
Đặt , bất phương trình (*) trở thành
( Vì )
Vậy tập nghiệm của bpt là . Chọn đáp án A 
Qua các ví dụ trên ta thấy, sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ làm cho bất phương trình trở nên đơn giản hơn nhiều,và lời giải cũng ngắn gọn hơn.
+) Phương pháp hàm số
Bài tập 3 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 5
Tôi đưa ra một số bài toán cơ bản vận dụng tính đơn điệu của hàm số, ngoài ra để học sinh thấy được rằng một bài toán có thể xử lí bằng nhiều cách khác nhau.Cụ thể:
Bài tập 15: Số nghiệm nguyên của bất phương trình 
A. 2 B. 1 C. 3 D. 5
Lời giải: 
ĐK: 
Bpt 
Xét hàm số đặc trương trên khoảng 
Có suy ra đồng biến trên khoảng 
Mà: (*) có dạng 
Vậy tập nghiệm của bpt là . Chọn đáp án A 
Bài toán này ta đã sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải, và ta cũng đã sử dụng phương pháp hàm số để xử lý bài toán. Chúng ta thấy sử dụng phương pháp hàm số lời giải ngắn gọn và rất đơn giản.
Bài tập 25: Tập nghiệm của bất phương trình có dạng . Tính 
A. 5 B. 10 C. 11 D. 13
Lời giải: Đk: 
Bpt 
Bài tập 1, bài tập 2 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 5
Xét hàm số đặc trương trên đoạn
Có suy ra đồng biến trên 
Mà: (*) có dạng 
 Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bpt là . Chọn đáp án D 
+) Phương pháp vectơ
Đối với phương pháp này, vấn đề mấu chốt là học sinh phải biết chọn tọa độ của hai vectơ và áp dụng tính chất của tích vô hướng của hai vectơ vào bài toán cụ thể
Bài tập 12: Cho bất phương trình . Biết nghiệm của bất phương trình là một số tự nhiên a. Khi đó có giá trị bằng
A. 10 B. 15 C. 21 D. 23
Lời giải:
Đk: 
Bpt 
Xét các vectơ 
Ta có: 
Khi đó bpt hai vectơ cùng hướng 
Kết hợp với Đk, bất phương trình có nghiệm duy nhất 
Chọn đáp án C
Bài tập 22: Cho bất phương trình
Bài tập 1, bài tập 2 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 2
 . Biết nghiệm của bất phương trình là một số tự nhiên b. Khi đó, b chia hết cho
A. 3 B. 2 C. 5 D. 7 	
Lời giải:
Đk: 
Xét các vectơ 
Ta có: 
Khi đó bpt hai vectơ cùng hướng 
Kết hợp với Đk, bất phương trình có nghiệm duy nhất 
Chọn đáp án B
Qua hai bài toán trên ta thấy,khi sử dụng phương pháp vectơ để giải bất phương trình vô tỷ thì lời giải khá ngắn gọn và tự nhiên, cho ta kết quả của toán rất nhanh. 
Thông qua các phương pháp và các bài toán tương ứng chúng ta thấy, không có phương pháp nào là Vạn năng, mỗi phương pháp có những ưu điểm riêng, có những bài toán ta cần sử dụng kết hợp nhiều phương pháp với nhau để tìm ra lời giải và kết quả một cách nhanh nhất.
+) Một số bài toán về bất phương trình vô tỷ có chứa tham số
Với dạng toán này, học sinh cần nắm vững cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và áp dụng định lí cơ bản để xử lí bài toán.
Bài tập 15: Giá trị lớn nhất của tham số m để bất phương trình có nghiệm có dạng . 
Khi đó bằng
Bài tập 1 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 5
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
Lời giải: 
Đk: 
Xét hàm số 
Có: , 
Mặt khác, 
Yêu cầu bài toán . Chọn đáp án B
Bài tập 25: Giá trị nguyên âm lớn nhất của tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi 
A. B. C. D. 
Lời giải:
Đk: 
Bất phương trình 
Đặt 
 thì 
Bất phương trình trở thành 
Bài tập 2 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 5
Xét hàm số 
Mặt khác, 
Yêu cầu bài toán . Chọn đáp án A
Để xử lý các bài toán về bất phương trình vô tỷ có chứa tham số ta sẽ kết hợp với công cụ đạo hàm ( hoặc bất đẳng thức) để tìm miền giá trị của hàm số(hoặc của ẩn phụ), từ đó chúng ta sẽ tìm được điều kiện của tham số thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
2.3.3.Hệ thống bài tập tự luyện
Bài tập 1: Tập nghiệm của bất phương trình 
A. B. C. D. 
Bài tập 2: Tập nghiệm của bất phương trình có dạng . Tính 
A. 0 B. 4 C. 6 D. 7
Bài tập 3: Tập nghiệm của bất phương trình 
A. B. C. D. 
Bài tập 4: Tập nghiệm của bất phương trình 
Bài tập 1,2,3,4 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 2
A. B. C. D. 
Bài tập 5: Tập nghiệm của bất phương trình có dạng . Tính 
A. 10 B. 11 C. 6 D. 9
Bài tập 6: Tập nghiệm của bất phương trình là . Tính 
A. 10 B. 11 C. 6 D. 8
Bài tập 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để bất phương trình 
 có nghiệm
A. 4 B. 5 C. 6 D. 3
Bài tập 8: Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi 
A. B. C. D. 
Bài tập 9: Tìm m để bất phương trình có nghiệm
A. B. C. D. 
Bài tập 10: Tập nghiệm của bất phương trình là Tính 
A. 10 B. 11 C. 6 D. 0
Bài tập 5,6,7,8,9,10 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 3
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 
 Thực tế cho thấy, với cách làm trên đã tạo được cho học sinh sự nhanh nhẹn, kiên trì, linh hoạt, tiết kiệm được thời gian trong quá trình giải toán. Học sinh biết vận dụng và có sự sáng tạo hơn trong học tập, biết liên kết nhiều mảng kiến thức, nhiều phương pháp giải cho mỗi phần trong cùng một bài toán. Cách làm trên đã đáp ứng được nhu cầu học tập tích cực của học sinh. Sau khi đã được ôn tập những kiến thức cơ bản về bất phương trình vô tỷ , học sinh đã tự giải được những bài tập tương tự, nhất là những bài tập nằm trong các đề thi thử THPT Quốc gia của các trường trên cả nước trong thời gian gần đây. Đồng thời biết tự xây dựng cho mình hệ thống bài tập phù hợp với nội dung kiến thức được học và những bài tập tương tự trong các đề thi thử nghiệm của Bộ giáo dục và đào tạo. Qua đó, hiệu quả trong học tập của học sinh đã được nâng lên rõ rệt.
Để có được bài viết trên, tôi đã phải mày mò nghiên cứu và kiểm chứng qua một số nhóm học sinh có học lực khá và trung bình khá trong các lớp mà tôi giảng dạy như lớp 12A và lớp 10A năm học 2018 – 2019.
Với bài toán: Số nghiệm nguyên của bất phương trình 
 A. 2 B. 1 C. 3 D. 5
Tôi đã chọn ra hai nhóm học sinh với số lượng bằng nhau, có lực học ngang nhau, làm theo hai cách: 
Cách 1: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
Cách 2: Sử dụng phương pháp hàm số
Kết quả thu được thể hiện ở bảng sau: 
Nhóm
Số học sinh
Số học sinh có lời giải
Số học sinh có lời giải đúng
Số lượng
%
Số lượng
%
Nhóm I( phương pháp đặt ẩn phụ)
15
10
66,7%
7
46,7%
Nhóm II(phương pháp hàm số)
15
15
100%
14
93,3%
Qua bảng thống kê trên ta thấy, kết quả học tập của học sinh đã vượt trội sau khi các em tìm được lời giải phù hợp với khả năng của mình trong một bài toán cụ thể.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
 Trong quá trình dạy học, đối với mỗi thể loại kiến thức, nếu giáo viên biết tìm ra những cơ sở lý thuyết, biết phát huy, sáng tạo cái mới và hướng dẫn học sinh vận dụng một cách hợp lý vào việc giải các bài tập tương ứng thì sẽ tạo được điều kiện để học sinh củng cố và hiểu sâu về lý thuyết cùng với việc thực hành giải toán một cách hiệu quả hơn, tạo được sự hứng thú, phát huy được tính chủ động và sự sáng tạo trong học tập của học sinh.
 Mỗi nội dung kiến thức luôn chứa đựng những cách tiếp cận thú vị. Mỗi giáo viên, cần có sự chủ động trong việc tìm tòi cách giải mới, kế thừa và phát huy những kiến thức có sẵn một cách sáng tạo. Trong quá trình giảng dạy, cần xây dựng phương pháp giải và đưa ra hệ thống các bài tập phù hợp với từng đối tượng học sinh để giúp cho việc học của học sinh tích cực, chủ động và đạt kết quả cao hơn.
3.2. Kiến nghị
Mặc dù đã có sự đầu tư kĩ lưỡng nhưng bài viết chắc không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong các bạn đồng nghiệp bổ sung góp ý để bài viết được hoàn thiện hơn, cũng như ứng dụng vào việc dạy học cho học sinh lớp mình giảng dạy, đem lại cho học sinh những bài giảng hay hơn, cuốn hút hơn.
Thanh Hoá, ngày 20/05/2019
 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỎNG
ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
 Người viết
 Mai Phi Thường
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Chuyên đề luyện thi vào đại học – Đại số - Trần Văn Hạo – NXB Giáo Dục
[2]. Các bài giảng luyện thi môn Toán – Tập III – Phan Đức Chính – Lê Thống Nhất – Tạ Mân – Đào Tam – Vũ Dương Thụy – NXB Giáo Dục
[3]. Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPTQG môn Toán năm 2018 – Phan Đức Tài – Nguyễn Ngọc Hải – Lại Tiến Minh – NXBGD Việt Nam
[4]. Bài Tập Phương trình – Bất phương trình vô tỷ - Trần Sĩ Tùng – Nguồn internet
[5]. Đề thi thử THPTQG của các trường THPT – Nguồn internet
DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Mai Phi Thường
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THPT Nga Sơn
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại 
Kết quả đánh giá xếp loại 
Năm học đánh giá xếp loại
Rèn luyện kĩ năng xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Sở GD&ĐT tỉnh Thanh Hóa
C
2014 - 2015
Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số dạng bài toán về tính đơn điệu của hàm số 
theo hình thức thi trắc nghiệm
Sở GD&ĐT tỉnh Thanh Hóa
C
2017 - 2018