SKKN Kinh nghiệm giải một số bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học giải tích

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT SẦM SƠN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
KINH NGHIỆM GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 
Người thực hiện: Nguyễn Minh Thế
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2019
MỤC LỤC
Trang
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình Toán THPT, phần đại số mà cụ thể là chủ đề số phức, học sinh sẽ được hoàn thiện hiểu biết của mình về các tập hợp số. Trong chủ đề này, học sinh đã bước đầu làm quen với các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa; lấy môđun,  các số phức. Bằng cách đặt tương ứng mỗi số phức với mỗi điểm trên mặt phẳng tọa độ , ta thấy giữa Đại số và Hình học có mối liên hệ với nhau khá "gần gũi". Hơn nữa, nhiều bài toán số phức, khi chuyển sang hình học, từ những con số khá trừu tượng, bài toán đã được minh họa một cách rất trực quan, sinh động và cũng giải được bằng hình học với phương pháp rất đẹp. Đặc biệt, trong kỳ thi THPT Quốc gia, việc sử dụng phương pháp hình học để giải quyết các bài toán về số phức là một trong những phương pháp khá hay và hiệu quả, đặc biệt là các bài toán về cực trị trong số phức. Hơn nữa, với những bài toán hình học theo phương pháp trắc nghiệm, nếu khi biểu diễn được trên giấy thì qua hình ảnh minh họa, ta có thể lựa chọn đáp án một cách dễ dàng.
Tuy nhiên, trong thực tế giảng dạy, việc chuyển từ bài toán đại số nói chung và số phức nói riêng sang bài toán hình học ở nhiều học sinh nói chung còn khá nhiều lúng túng, vì vậy việc giải các bài toán về số phức gây ra khá nhiều khó khăn cho học sinh.
Trước vấn đề trên tôi thấy cần có một lý thuyết, phương pháp và phân loại bài tập đối với loại toán này.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Bài toán cực trị số phức thông thường thì có khá nhiều cách lựa chọn để giải như dùng bất đẳng thức, dùng khảo sát hàm số,  Qua nội dung này, tôi muốn gợi ý cho học sinh một lối tư duy vận dụng linh hoạt các phương pháp chuyển đổi từ bài toán đại số sang hình học cho học sinh, giúp các em có cái nhìn cụ thể hơn về việc chuyển đổi đó và vận duy tư duy này cho những bài toán khác.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Với mục tiêu trên, trong nội dung này, tôi chỉ tập trung giải quyết bài toán theo hướng hình học, không đặt nặng việc so sánh phương pháp nào nhanh hơn, tối ưu hơn phương pháp nào.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm.
II. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Các định nghĩa và kí hiệu
	a) Số (đơn vị ảo): .
	b) Số phức: Biểu thức () gọi là số phức. được gọi là phần thực, được gọi là phần ảo.
	c) Với mỗi số phức , giá trị biểu thức gọi là môđun của . Kí hiệu: . Như vậy , .
	d) Với mỗi số phức . Số phức gọi là số phức liên hợp của số phức . Kí hiệu . Như vậy nếu thì .
	e) Với mỗi số phức . Xác định điểm trên mặt phẳng tọa độ . Điểm gọi là biểu diễn hình học của số phức .
Để cho thuận tiện trong nội dung này tôi kí hiệu hay đơn giản để chỉ là điểm biểu diễn cho số phức . 
2.1.2. Các phép toán trên tập hợp số phức
Cho hai số phức 
	+ Phép cộng: 
	+ Phép trừ: 
	+ Phép nhân: 
	+ Phép chia: với .
2.1.3. Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ Oxy quen thuộc
	+ Với thì 
	+ Với thì 
	+ Với trong đó là hai số phức khác nhau cho trước thì tập hợp các điểm thỏa mãn hệ thức là đường trung trực của đoạn 
	+ Với , tập hợp các điểm thỏa mãn hệ thức là đường tròn tâm bán kính .
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
	Hiện nay, đa số các em học sinh còn rất lúng túng trong việc giải các bài toán liên quan đến cực trị số phức. Với mong muốn có một hệ thống các bài tập liến quan đến liên quan đến cực trị số phức để các em làm tốt hơn các bài tập thuộc dạng này.
Vì vậy, bản thân tôi cũng đã viết được sáng kiến kinh nghiệm cho mình: 
"Kinh nghiệm giải một số bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học giải tích"
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
BÀI TOÁN 1: Cho số phức và tập hợp các số phức thỏa mãn hệ thức :
	a) Tìm giá trị nhỏ nhất của .
	b) Tìm để nhỏ nhất.
Nhận xét:
+ Gọi thì 
+ Từ đẳng thức suy ra, thuộc là trung trực của đoạn .
Bài toán trở thành:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của với 
b) Tìm sao cho nhỏ nhất 
Định hướng: Ta thấy, với mọi điểm thì , trong đó là hình chiếu của lên .
Do đó, . Và để nhỏ nhất với thì hay là hình chiếu của lên .
Phương pháp giải
Từ hệ thức , suy ra phương trình đường thẳng .
+ Với câu a), ta tính khoảng cách , và kết luận .
+ Với câu b) 
• Viết phương trình đường thẳng đi qua , vuông góc với (hoặc song song với ).
• Giải hệ gồm hai phương trình: và suy ra nghiệm . Kết luận, số phức cần tìm là .
Đặc biệt: tức là tìm số phức sao cho môđun của là nhỏ nhất.
Ví dụ 1.1. Trong tất cả các số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của môđun của 
	A. 	B. 	C. 	D. .
Lời giải
Chọn A.
Đặt và .
Ta có: 
.
Khoảng cách từ đến là . Vậy .
Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô, rồi đoán đáp án đúng.
Ví dụ 1.2. Trong tất cả các số phức thỏa mãn hệ thức , tìm giá trị nhỏ nhất của .
	A. .	B. . 	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C.
Đặt và .
Ta có :
.
, ở đây .
Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô, rồi đoán đáp án đúng.
Ví dụ 1.3. Trong tất cả các số phức thỏa mãn hệ thức , biết rằng nhỏ nhất. Tính .
	A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A.
Đặt . Từ hệ thức , ta được .
Đặt , thì .
Gọi là đường thẳng đi qua và vuông góc với thì hay .
Xét hệ phương trình .
Vậy hình chiếu vuông góc của lên là .
Từ đó nhỏ nhất khi .
Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô, rồi đoán đáp án đúng.
BÀI TOÁN 2: Cho số phức thỏa mãn hệ thức , trong đó cho trước.
a) Tìm giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của , trong đó là số phức cho trước.
b) Tìm số phức để đạt giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất).
Nhận xét :
+ Đặt thì .
+ Từ đẳng thức suy ra thuộc đường tròn tâm , bán kính .
Bài toán trở thành :
a) Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của với .
b) Tìm sao cho lớn nhất (nhỏ nhất).
+ Gọi là giao điểm của đường thẳng và thì với mọi điểm ta luôn có .
Do đó .
Phương pháp giải
a) .
b) Tìm .
+ Từ hệ thức . Suy ra phương trình đường tròn .
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm .
+ Giải hệ phương trình gồm phương trình của và , suy ra các nghiệm 
+ Thử lại để bộ thích hợp từ hai bộ trên.
Ví dụ 2.1 Trong tất cả các số phức thỏa mãn hệ thức Tìm min 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn A.
Đặt và 
Từ hệ thức Suy ra đường tròn bán kính 
Vậy .
Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô rồi đoán đáp án đúng
Ví dụ 2.2 Trong tất cả các số phức thỏa mãn hệ thức . Tìm giá trị lớn nhất của .
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn A.
Ta có: 
 với thỏa mãn hệ thức suy ra thuộc đường tròn bán kính . Vậy .
Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô rồi đoán đáp án đúng
Ví dụ 2.3. Trong tất cả các số phức thỏa mãn biết đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn A.
Ta có:
Đường thẳng 
hay 
Xét hệ
Với thì Với thì 
Vậy .
Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô rồi đoán đáp án đúng
Ví dụ 2.4. Cho số phức thỏa mã hệ thức Biết lớn nhất. Tìm phần ảo của 
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn A.
Đặt Từ hệ thức 
Đường thẳng qua và tâm của có phương trình 
Giao của và là nghiệm của hệ 
• Với thì 	• Với thì 
Vậy lớn nhất khi , phần ảo của số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là 3.
Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô rồi đoán đáp án đúng
BÀI TOÁN 3. Cho số phức thỏa mãn hệ thức Với là các số phức.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của Với là các số phức cho trước.
b) Tìm số phức để nhỏ nhất
Nhận xét:
	- Đặt thì .
	- Từ hệ thức . Suy ra, thuộc đường thẳng .
Dẫn đến bài toán: Tìm nhỏ nhất
 khác phía so với 	 cùng phía so với 	
Ta thấy rằng:
	+ Nếu nằm về hai phía so với thì với mọi điểm . Vậy nhỏ nhất là khi và chỉ khi thẳng hàng hay .
	+ Nếu nằm về cùng một phía so với thì gọi là điểm đối xứng với qua . Khi đó, với mọi điểm 	.
Phương pháp giải
- Từ hệ thức . Suy ra phương trình đường thẳng .
- Thay tọa độ các điểm vào phương trình để kiểm tra xem nằm cùng phía hay khác phía so với:
* Nếu cùng phía với thì 
	+ 
	+ Để tìm thì ta viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm . Giải hệ gồm phương trình và phương trình . Nghiệm suy ra số phức cần tìm.
* Nếu khác phía với thì viết phương trình đường thẳng qua và vuông góc với . Giải hệ phương trình gồm phương trình của và phương trình của suy ra nghiệm là tọa độ điểm là trung điểm của . Từ tọa độ củavà công thức tính tọa độ trung điểm suya ra tọa độ .
	+ với 
	+ Để tìm thì ta viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm . Giải hệ gồm phương trình và phương trình . Nghiệm suy ra số phức cần tìm.
Ví dụ 3.1. Cho số phức thỏa hệ thức . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn B.
Đặt .
Từ hệ thức suy ra 
Đặt .
Thay A vào phương trình , ta được 
Thay vào phương trình , ta được . Vậy nằm cùng phía với .
Gọi là đường thẳng qua và vuông góc với thì hay . Gọi thì tọa độ của là nghiệm của hệ: 
 .
Gọi là điểm đối xứng với qua thì là trung điểm của nên . Suy ra .
Nhận xét: Nếu ta biểu diễn bài toán trên giấy có ô thì ta cũng có thể chọn đáp án phù hợp với 1 trong 4 đáp án đưa ra.
Đáp án 
Dựa vào hình minh họa: nên chọn đáp án B.
Ví dụ 3.2. Cho số phức thỏa mãn hệ thức . Tìm phần thực của số phức biết đạt giá trị nhỏ nhất.
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn D.
Đặt .
Từ hệ thức 	, ta được: .
Đặt , thì khác phía so với . Đường thẳng .
Tọa độ giao điểm của và là nghiệm của hệ .
Vậy, phần thực của số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là .
Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô, rồi đoán đáp án đúng.
Ví dụ 3.3. (Câu 46 - Đề minh họa THPT Quốc gia năm 2018)
Xét các số phức , thỏa mãn . Tính khi đạt giá trị lớn nhất.
	A. .	B. .	C. . 	D. .
Lời giải
Chọn A.
Đặt . Từ hệ thức , ta được .
Đặt , , là trung điểm của thì . 
Theo lí thuyết ở trên, ta thấy lớn nhất khi lớn nhất , khi .
Đường thẳng qua vuông góc với có phương trình .
Xét hệ phương trình . Ta được . Tức là , . Chọn điểm (như đã nói trên). 
Vậy .
BÀI TOÁN 4. Cho số phức thỏa mãn hệ thức . Tìm 
a) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
b) Tìm số phức để đạt giá trị lớn nhất. Ở đây , , , là các số phức cho trước. 
Nhận xét
- Đặt , , thì .
- Từ hệ thức . Suy ra thuộc đường thẳng . Dẫn đến bài toán tìm sao cho nhỏ nhất.
- Gọi là trung điểm . Khi đó với mọi điểm , ta có: 
 suy ra 
.
Do , cố định nên không đổi, do đó nhỏ nhất nhỏ nhất , trong đó là hình chiếu của lên đường thẳng . Khi đó giá trị nhỏ nhất của là .
Phương pháp giải 
- Từ . Suy ra được phương trình đường thẳng .
- Tìm trung điểm của đoạn thẳng .
+ Với câu a): Tính khoảng cách từ đến , và độ dài đoạn thẳng . Kết luận .
+ Với câu b): Viết phương trình đường thẳng qua và vuông góc với . Nghiệm , của hệ hai phương trình và là phần thực và phần ảo của .
Ví dụ 4.1. Cho số phức thỏa hệ thức . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
	A. .	B. .	C. . 	D. .
Lời giải
Chọn A.
Đặt . Từ . Ta được . 
Đặt , và gọi là trung điểm thì . Khoảng cách từ đến là , .
Vậy .
Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô, rồi đoán đáp án đúng.
Ví dụ 4.2. Cho số phức thỏa hệ thức . Tìm số phức sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
	A. .	B. .	C. . 	D. .
Lời giải
Chọn B.
Đặt . Từ hệ thức . Ta được .
Đặt , . Gọi là trung điểm của thì .
Đường thẳng qua vuông góc với có phương trình hay 
Xét hệ phương trình . Vậy số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là 
Ví dụ 4.3. Cho số phức thỏa mãn hệ thức . Biết rằng số phức thỏa mãn đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức là
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn A.
Đặt 
Từ hệ thức ta được 
Đặt là trung điểm của AB thì 
Đường thẳng qua và vuông góc với có phương trình 
Xét hệ phương trình . Vậy 
BÀI TOÁN 5. Cho số phức thỏa mãn hệ thức 
a) Tìm giá trị lớn nhất của 
b) Tìm để đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải
Nhận xét và phân tích.
Đặt thì 
Từ suy ra 
Dẫn đến bài toán: Tìm trên đường thẳng cho trước điểm sao cho lớn nhất. Tính giá trị đó.
 cùng phía so với 	 khác phía so với 	
- Với cố định.
+) Nếu cùng phía so với thì với mọi điểm , ta luôn có Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi thẳng hàng hay 
+) Nếu khác phía so với , gọi là điểm đối xứng với qua thì với mọi điểm , ta luôn có Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi thẳng hàng hay 
Phương pháp giải 
Từ hệ thức suy ra phương trình đường thẳng .
Thay lần lượt tọa độ điểm vào phương trình để kiểm tra xem cùng phía hay khác phía so với .
+) Nếu cùng phía so với .
Với câu a) thì giá trị lớn nhất của là .
Với câu b) ta viết phương trình đường thẳng . Giải hệ gồm phương trình đường thẳng và ta được nghiệm là phần thực và phần ảo của 
+) Nếu khác phía so với .
- Viết phương trình đường thẳng đi qua , vuông góc với . Giải hệ phương trình gồm phương trình của và , ta được nghiệm là tọa độ điểm .
- Lấy điểm sao cho là trung điểm của 
Với câu a) thì giá trị lớn nhất của là 
Với câu b) ta viết phương trình đường thẳng Giải hệ gồm phương trình đường thẳng và ta được nghiệm là phần thực và phần ảo của 
Ví dụ 5.1. Cho số phức thỏa mãn hệ thức . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn A.
Đặt 
Từ hệ thức , ta được 
Thay tọa độ điểm vào phương trình , ta được 
Thay tọa độ điểm vào phương trình , ta được 
Suy ra cùng phía so với .
Theo phần lý thuyết ở trên, ta được giá trị lớn nhất của là 
Ví dụ 5.2. Cho số phức thỏa mãn hệ thức Biết rằng, số phức thỏa mãn đạt giá trị lớn nhất. Giá trị biểu thức bằng 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn A.
Đặt Từ hệ thức ta được: 
Thay tọa độ điểm vào phương trình ta được 
Thay tọa độ điểm vào phương trình ta được 
Vậy hai điểm khác phía so với 
Theo phần lý thuyết ở trên. Gọi là điểm đối xứng của qua đường thẳng thì được Đường thẳng hay 
Giao điểm của và là nghiệm của hệ 
Vậy số phức thỏa mãn đạt giá trị lớn nhất là nên 
Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô, rồi đoán đáp án đúng.
BÀI TOÁN 6. Cho số phức thỏa mãn hệ thức 
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
b) Tìm số phức để đạt giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất).
Nhận xét:
- Đặt thì 
- Từ . Suy ra đường tròn tâm bán kính .
Dẫn đến bài toán: Với cố định. Tìm để nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
- Gọi là trung điểm của . Ta có suy ra .
Do cố định nên không đổi. Vậy
+ nhỏ nhất nhỏ nhất và 
+ nhỏ nhất nhỏ nhất và 
Phương pháp giải 
- Từ hệ thức . Suy ra phương trình đường tròn , tâm và bán kính của .
- Tìm tọa độ trung điểm của đoạn .
- Nếu yêu cầu tìm thì .
- Nếu yêu cầu tìm thì viết phương trình đường thẳng . Giải hệ gồm phương trình đường thẳng và , suy ra hai nghiệm của hệ. Thử lại để chọn kết quả phù hợp với đáp án.
- Nếu yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của thì giá trị lớn nhất của là .
Ví dụ 6.1. Cho số phức thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức lần lượt là:
	A. và 	B. và 	C. và 	D. và 
Lời giải
Chọn A.
Đặt . Từ hệ thức suy ra thuộc đường tròn tâm , bán kính .
Đặt . Gọi là trung điểm thì , và 
Theo lý thuyết ở trên thì:
• Giá trị nhỏ nhất của là
• Giá trị lớn nhất của là
Ví dụ 6.2 Trong tất cả các số phức thỏa mãn , tìm số phức sao cho nhỏ nhất.
	A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A.
Đặt . Từ hệ thức . Suy ra, điểm thuộc đường tròn . Tâm , bán kính .
Đặt , . Gọi là trung điểm thì . Đường thẳng hay .
Tọa độ giao điểm của và là nghiệm của hệ . Giải ra ta được: .
Với thì với .
Với thì với .
Theo phần lý thuyết ở trên, thì nhỏ nhất khi và chỉ khi . Vậy số phức cần tìm là .
BÀI TOÁN 7. Cho hai số phức thỏa mãn các hệ thức , . Trong đó là các số phức cho trước, tìm giá trị nhỏ nhất của .
Nhận xét:
- Đặt , .
Từ hệ thức . Suy ra, thuộc đường tròn . Từ hệ thức . Suy ra, thuộc đường thẳng và .
Dẫn đến bài toán: Tìm điểm , sao cho nhỏ nhất.
+ Trường hợp thì giá trị nhỏ nhất của bằng .
+ Trường hợp thì giá trị nhỏ nhất của là .
Lời giải
- Từ hệ thức . Suy ra, đường tròn , tâm , bán kính của .
- Từ hệ thức . Suy ra, đường thẳng .
- Tính khoảng cách từ đến .
+ Nếu thì giá trị nhỏ nhất của là , và .
+ Nếu thì giá trị nhỏ nhất của là . là hình chiếu của lên và , trong đó là đường thẳng qua và vuông góc với , (Chú ý: chọn là điểm nằm giữa ).
Ví dụ 7.1 Cho các số phức , thỏa mãn và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức gần bằng số nào trong các số sau.
	A. .	B. .	C. .	D. . 
Lời giải
Chọn D.
Đặt , .
Từ hệ thức , suy ra thuộc đường tròn với tâm , bán kính .
Từ hệ thức , suy ra thuộc đường thẳng .
Khoảng cách từ đến là . Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là .
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Kết quả thu được sau 2 lần kiểm tra của học sinh khá, giỏi lớp 12A2 của trường như sau
Dưới trung bình
Trung bình
Khá
Giỏi
Thời gian
Lần 1
10/42
24/42
5/42
3/42
Lần 2
14/42
18/42
10/42
Nhanh hơn
Sau khi áp dụng tôi cảm thấy hài lòng với kết quả trên, đa số các em hiểu và giải quyết tốt được vấn đề.
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Sáng kiến kinh nghiệm đã tương đối thể hiện đầy đủ một số dạng toán liên quan đến cực trị số phức.
Tôi hy vọng sáng kiến kinh nghiệm này sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi giải quyết các dạng bài tập liên quan đến đồ số phức từ đó đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới.
3.2. Kiến nghị
	Với sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn chia sẻ với quý thầy cô đồng nghiệp một số kinh nghiệm mà bản thân đã tích lũy được trong nhiều năm giảng dạy. Hy vọng qua sáng kiến kinh nghiệm này quý thầy cô giảng dạy sẽ lồng ghép sử dụng vào bài giảng của mình, để tiết dạy trở nên đơn giản dễ hiểu hơn cho học sinh. 
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 22 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)
Nguyễn Minh Thế
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Giải tích 12-Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên), nhà xuất bản Giáo dục. 
[2]. Đề tham khảo và đề thi THPT Quốc gia môn toán năm 2018 của bộ GDĐT. 
[3]. Đề thi thử của một số trường trong nước.