SKKN Khắc phục một số sai lầm của học sinh lớp 12 trường thpt Triệu Thị Trinh khi giải các bài toán liên quan đến xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT TRIỆU THỊ TRINH
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT TRIỆU THỊ TRINH KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN XÁC ĐỊNH TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 
Người thực hiện: Lê Đình Quyền
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2018
MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
01
 II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
02
 III. NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
 1. Về nhiệm vụ
 2. Về phương pháp
02
02
PHẦN 2: NỘI DUNG
I.CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
03
II.THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
03
III.BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
 1. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN.
 1.1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh chưa nắm vững
 1.2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp.
 1.3. Tăng cường đổi mới phương pháp dạy học 
03
04
04
04
 2. CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN ( NGUYÊN CỨU QUA THỰC TẾ GIẢNG DẠY).
2.1 Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số
2.2 Phương pháp giải một số bài toán tìm giá trị của tham số m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một miền D và khắc phục một số lỗi sai khi giải toán này.
04
04
06
 III. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU.
1. Các bài tập khảo sát:
2. Kết quả khảo việc giải các bài tập trên trong năm học 2016-2017 ở 
 hai lớp 12C1 và 12C2
3. Kết quả khảo việc giải các bài tập trên trong năm học 2017-2018 ở 
hai lớp 12A1 và 12A5
11
11
12
12
 PHẦN 3: KẾT LUẬN
13
Tài liệu tham khảo 
14
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số là một bài toán rất quen thuộc đối với học sinh lớp 12, nó có mặt trong hầu hết các kì thi, đặc biệt là trong kỳ thi THPT Quốc gia. Vì vậy nó có một vị trí rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Tuy nó cũng không phải là nội dung được xếp vào “dạng khó” trong đề thi THPT Quốc gia, Nhưng do đối tượng học sinh của trường THPT Triệu Thị Trinh (nguyên là trường THPT bán Cống số 1 Nông Cống được chuyển sang công lập từ năm 2010) chất lượng đầu vào không cao nên việc dạy và học phần này cũng gặp nhiều khó khăn. Nhất là khi các em giải bài thi trắc nghiệm, do nắm bản chất bài toán không tốt nên các em thường mắc một số sai lầm dẫn đến chọn phương án nhiễu sai. Những sai lầm của các em tưởng như là rất nhỏ ( Nếu như đối với bài thi tự luận thì các em vẫn có chút ít điểm), Nhưng với cách thi mới như hiện nay là thi trắc nghiệm môn toán thì dù chỉ sai rất nhỏ thì các em sẽ được dẫn đến đáp án sai và kết quả học sinh sẽ được điểm không câu này. 
	Việc giúp học sinh nắm vững bản chất bài toán xác định đồng biến của hàm số có tác dụng to lớn đối với học sinh:
	- Thứ nhất: Thông qua bài toán xác định tính đồng biến và nghịch biến của hàm số giúp học sinh chủ động hơn trong cách phân tích, tìm lời giải
 cho bài, học sinh thấy được mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn, qua đó giúp học sinh có hứng thú học tập hơn, hiệu quả giờ dạy cao hơn.
	- Thứ hai: Việc giải bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số giúp học sinh củng cố, đào sâu kiến thức rèn luyện tính linh hoạt, khả năng sáng tạo. Khi giải bài toán này học sinh phải thường xuyên phải sử dụng kiến thức liên quan như: Giải phương trình, biến đổi tương đương, các kiến thức về đạo hàm, tam thức bậc hai, xét chiều biến thiên, kĩ năng biến đổi
	- Thứ ba: Thông qua việc giải bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy như: Phân tích, tổng hợp, có khả năng đặc biệt hoá, khái quát hoá bài toán. Mặt khác còn rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trí tuệ như: Tính cẩn thận, chặt chẽ, linh hoạt, nâng cao khả năng sáng tạo mỗi khi gặp một bài toán có thể suy nghĩ tìm tòi những lời giải khác nhau, chọn ra cách giải hay nhất.
	Vì những lí do trên, bài viết này tôi hệ thống một số dạng bài tập, phương pháp giải bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số, cũng như nêu lên một số sai lầm mà học sinh hay mắc phải trong quá trình giải bài toán.
	Đây chỉ là một sai lầm trong số rất nhiều sai lầm mà học sinh thường mắc phải, việc khắc phục những sai lầm này trong kỳ ôn thi THPT Quốc gia năm 2017 diễn ra mất rất nhiều thời gian. Sang năm học 2017-2018 này, nhằm giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số, có kỹ năng giải các bài toán liên quan đến tính đồng biến, nghịch biến của hàm số, tôi đã nghiên cứu để phân tích những sai lầm mà học sinh thường gặp và trong kỳ ôn thi THPT Quốc gia vừa qua những vấn đề tồn tại của năm học trước được khắc phục một cách có hiệu quả. Vì vậy tôi viết sáng kiến kinh nghiệm " Khắc phục một số sai lầm của học sinh lớp 12 trường THPT Triệu Thị Trinh khi giải các bài toán liên quan đến xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số " với hy vọng giúp các em học sinh học tập tốt và có kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc gia 2018 .
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
	1. Chỉ ra cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải. Qua đó, học sinh hiểu đúng bản chất của vấn đề.
	2. Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
III. NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
	1. Về nhiệm vụ:
	 Đánh giá thực tế quá trình vận dụng giải bài tập toán liên quan đến xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số, để có được bài giải toán hoàn chỉnh và chính xác.
	2. Về phương pháp:
	- Phương pháp điều tra.
	- Phương pháp đối chứng.
	- Phương pháp nghiên cứu tài liệu, đề thi thử THPT Quốc gia 2017, 2018.
PHẦN 2: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
 Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung và phạm vi nghiên cứu của đề tài)
	1. Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số.
Giả sử hàm số y =f(x) xác định trên khoảng (a;b). Ta nói:
	- Hàm số y =f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu (a;b) mà 
- Hàm số y =f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu (a;b) mà 
Hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng gọi chung là hàm số đơn điệu trên khoảng đó.
	2. Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến.
-Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì tổng f(x) + g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D. Tính chất này nói chung không đúng với hiệu f(x) - g(x).
-Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số dương, cùng đồng biến (hoặc nghịch biến)
trên D thì tích f(x)g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D. Tính chất này nói chung không đúng với tích f(x)g(x) khi f(x) và g(x) là hai hàm số không cùng dương trên D.
	3. Công thức tính đạo hàm.
	4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số .
	5. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên tập D.
II. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
 Trong thực tế giảng dạy tôi thấy rằng, khi học sinh học và giải các bài toán liên quan đến xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số thường gặp một số khó khăn như sau :
	1. Không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng, không hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số.
	2. Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng.
	3. Không nắm vững về phương pháp xét dấu tam thức bậc hai
	4. Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên một miền D để vận dụng vào giải bài toán xác định giá trị của tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước.
III. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
1. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN.
 	Để khắc phục những sai lầm mà học sinh thường gặp phải khi giải các bài toán liên quan đến xác định tính đồng biến của hàm số, khi nghiên cứu đề tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau:
	1.1 Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh chưa nắm vững
- Phân tích kỷ lưỡng các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó.
- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng.
- Đưa ra các ví dụ, chỉ rõ cách giải, hướng đi sai lầm mà học sinh thường gặp, chỉ rõ tại sao học sinh lại chọn đáp án này
	1.2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp.
- Thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp so sánh các kết quả, ...
- Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề. 
- Phương pháp: phương pháp gải từng dạng toán cụ thể từ đó vận dụng vào giải các bài toán khác.
	1.3. Tăng cường đổi mới phương pháp dạy học 
- Chia nhóm, tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh.
- Lựa chọn hệ thống các dạng bài tập và sử dụng phương pháp dạy học sát đối tượng. 
2. CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN ( NGUYÊN CỨU QUA THỰC TẾ GIẢNG DẠY).
2.1 Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số
Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số.
+ Sai lầm trong kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
Ví dụ 1: Cho hàm số có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số đồng biến trên các khoảng nào?
A. B. và 
C. D. 
Trong ví dụ đơn giản này vẫn có một số em chọn đáp án C ( Học sinh chọn theo giá trị của hàm số tăng từ đến 2)
 * Học sinh nắm vững kiến thức sẽ nhanh chóng chọn đáp án A ( đáp án đúng)
Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu của hàm số
Một số học sinh giải bài toán này như sau:
+) Tập xác định: 
+) Ta có: 
+) Bảng biến thiên:  x - 1 +
 f’(x) +	 +
 f(x) + 1
 1 - 
Kết luận: Hàm số đồng biến trên 
Khi hỏi học sinh trong lớp đa số đồng ý với kết quả này. Xong đây lại là đáp án sai
Phân tích: 
	Lời giải trên nhìn thoáng qua có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài toán. Chú ý rằng: nếu hàm số đồng biến trên tập thì với mọi ta có . 
	Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy và thì nhưng và 
Lời giải đúng:
	Qua phân tích ta thấy để có lời giải đúng thì ta phải kết luận: Hàm số đồng biến trên từng khoảng và .
-Sai lầm khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc xét dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai.
 Ví dụ 3: Xét tính đơn điệu của hàm số 
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Tập xác định: 
+) Ta có: 
	Cho 
+) Bảng biến thiên:  x -1 1 
 f’(x) - 0 + 0 -
 f(x) -2 
 -1 0
+) Hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên các khoảng và .
Phân tích: 
	Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên đoạn . Thực ra ở đây - không phải là điểm tới hạn của hàm số.
	Lời giải đúng là:
+) Tập xác định: 
+) Ta có: 
	Đạo hàm không xác định tại 
	Cho 
+) Bảng biến thiên:  x -1 1 
 f’(x + 0 -
 f(x) 
 -2 0
+) Hàm số đồng biến trên nửa khoảng và nghịch biến trên nửa khoảng 
2.2 Phương pháp giải một số bài toán tìm giá trị của tham số m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một miền D và khắc phục một số lỗi sai khi giải toán này:
Phương pháp: Sử dụng các kiến thức sau đây:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
Nếu thì f(x) đồng biến trên K.
Nếu thì f(x) nghịch biến trên K.
( Lưu ý trong mỗi trường hợp dấu “=” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm.
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có biệt thức . Ta có:
Xét bài toán: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên K”. Ta thực hiện theo các bước sau:
B1. Tính đạo hàm f’(x,m).
B2. Lý luận: 
Hàm số đồng biến trên K ( dấu ‘‘=’’ chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm) 
B3. Lập BBT của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.
	Khi sử dụng quy tắc 1 để xét tính đơn điệu của hàm số các em quên rằng đó là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần
	Quy tắc : Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
· Nếu f '(x) > 0, thì y = f(x) đồng biến trên K.
· Nếu f '(x) < 0, thì y = f(x) nghịch biến trên K
Ví dụ 4:
Cho hàm số y = . Tìm m để hàm số luôn đồng biến.
Một số học sinh giải bài toán này như sau:
TXĐ : D = R
y’ = .
’ = 
 = 
Để hàm số luôn đồng biến thì ta phải có:
	y’ 0, .
Vậy các giá trị của m cần tìm là 
Phân tích:
Lời giải của học sinh như trên là sai vì
Chẳng hạn hàm số y = đồng biến trên R, nhưng y’=3x2=0 .
Chú ý: 
Giả sử y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f ¢(x) ³ 0 (f¢(x) £ 0), "x Î K và f¢(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.
Lời giải đúng
y’= .
’= = 
Để hàm số luôn đồng biến thì ta phải có:
	y’ 0, .
Vậy các giá trị của m cần tìm là 
Ví dụ 5: 
Với giá trị nào của m, hàm số nghịch biến trên R ?
 Học sinh thường giải :
TXĐ: R
Ta có: 
Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi 
Vậy, với thì thỏa mãn bài toán.
 ( Lời giải sai do học sinh không quan tâm đến xét hệ số a= 0)
Lời giải đúng
TXĐ: R
Ta có: 
Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi 
*m = 0, khi đó f’(x) = 
*, khi đó 
Vậy, với thì thỏa mãn bài toán.
Ví dụ 6: Tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số nghịch biến trên 
A. 	B. 	C. 	D. 
Nhiều học sinh giải như sau
+TXĐ: ..Hàm số nghịch biến trên 
Nên học sinh chọn đáp án D (đáp án sai)
 Nguyên nhân sai là học sinh không nắm vững bản chất 
* Có em lại giải như sau:
+TXĐ: ..Hàm số nghịch biến trên 
Nên học sinh chọn đáp án A (đáp án sai)
Nguyên nhân sai là do học sinh sử dụng định lí mở rộng về sự đồng biến, ngịch biến của hàm số (
* Lời giải đúng:
TXĐ: ..Hàm số nghịch biến trên 
Chọn đáp án C
Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng .
Nhiều học sinh giải như sau:
Đặt t = sinx, vì 
Nên bài toán trở thành tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng .
Nguyên nhân sai là do học sinh không nắm vững tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y=sinx trên khoảng .
Lời giải đúng là: 
Đặt t = sinx, vì 
Vì hàm số nghịch biến trên khoảng .
Nên bài toán trở thành tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng .
Hàm số cần xác định và . 
Vậy 
Ví dụ 8 Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng 
Nhiều học sinh quá “máy móc” sử dụng xét dấu tam thức bậc hai để giải bài toán, nên xét không hết các trường hợp xảy ra dẫn đến kết quả sai
	Trong trường hợp này ta nên sử dụng ứng dụng của đạo hàm để giải
Lời giải
Ta có 
Hàm số nghịch biến trên  khi và chỉ khi 
Xét hàm số  trên  có .
Bảng biến thiên:  x 0 1 +
 f’(x) - 0 +
 f(x) 0 +
 -1
Từ bảng biên thiên ta có .
Vậy với , hàm số đã cho nghịch biến trên .
Tuy nhiên việc sử dụng ứng dụng đạo hàm để xác định tham số m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng D, một số học sinh vẫn mắc một số sai lầm cụ thể như ví dụ 9 sau:
Ví dụ 9: Giá trị m để hàm số    đồng biến trên là: 
A. 	B. 	C. 	D. R	
Một số học sinh giải bài toán này như sau:
Ta có:  .
Hàm số đồng biến trên  khi và chỉ khi  
.
Xét hàm số   trên   có .
Bảng biến thiên:  x 0 3
 f’(x	 +
 f(x) 
 -3
Từ bảng biến thiên suy ra  .
Hoặc từ bảng biến thiên kết luận 
Hoặc học sinh chọn đáp án D chọn ngẫu nhiên
Các kết quả này đều sai 
Lời giải đúng:  Ta có:  .
Hàm số đồng biến trên  khi và chỉ khi  
.
Xét hàm số   trên   có .
Bảng biến thiên:  x 0 3
 f’(x	+
 f(x) 
 -3
Từ bảng biến thiên suy ra  .
Vậy với  , hàm số đã cho luôn đồng biến trên .
III. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU.
Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết quả đạt được có tốt hơn khi chưa sử dụng . Cụ thể qua việc khảo sát bằng hình thức làm bài kiểm tra trắc nghiệm ở 2 lớp 12C1, 12C2 năm học 2016-2017 và ở 2 lớp 12A1, 12A5 năm học 2017-2018 cùng một dạng bài tập như sau:
( Bài kiểm tra mang tính khảo sát, không lấy điểm, học sinh cố gắng làm hết năng lực của bản thân; Việc kiểm tra diễn ra khách quan, nghiêm túc, hiệu quả) 
1. Các bài tập khảo sát:( Kiểm tra trắc nghiệm)
Câu 1: Cho hàm số . Hãy chọn mệnh đề sai trong bốn phát biểu sau:
A. Trên các khoảng và , nên hàm số nghịch biến
B. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng và 
C.Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và 
D. Trên các khoảng và , nên hàm số đồng biến
Câu 2: Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó khi: 
 A. B. C. hoặc D. 
Câu 3: Giá trị của m để hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định là:
 .	b. 	c. 	d. 
Câu 4: Hàm sốđồng biến trên (1;2) thì m thuộc tập nào sau đây:
A.	B. 	C. 	D. 
2. Kết quả khảo việc giải các bài tập trên trong năm học 2016-2017 ở hai lớp 12C1 và 12C2
Lớp
SS
Điểm 0
Điểm 2.5
Điểm 5
Điểm 7.5
Điểm 10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12C1
40
2
5 %
10
25%
15
37.5%
12
30%
1
2.5%
12C2
42
3
7.1%
20
47.7%
14
33.3%
5
11.9%
0
0
3. Kết quả khảo việc giải các bài tập trên trong năm học 2017-2018 ở hai lớp 12A1 và 12A5
Lớp
SS
Điểm 0
Điểm 2.5
Điểm 5
Điểm 7.5
Điểm 10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12A1
38
0
0
2
5.3%
7
18.4%
21
55.3%
8
19%
12A5
41
0
0
5
12.2%
17
41.5%
16
39%
3
7.3%
Như vậy, qua kết quả trên ta thấy đề tài đã khắc phục được cơ bản những sai lầm của học sinh thường mắc phải khi giải các bài tập toán liên quan đến việc xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số; đề tài đã góp phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh phần này và áp dụng nó vào giải các bài toán liên quan khác và đem lại hiệu quả rõ rệt. 
PHẦN 3: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. KẾT LUẬN
 Trước hết, đề tài này nhằm cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học sinh trong trường THPT Triệu Thị Trinh như một tài liệu tham khảo. Thông qua đề tài nay học sinh nắm vững hơn về bản chất của tính đồng biến, nghịch biến, biết cách giải các bài toán liên quan, học sinh sẽ có cái nhìn sâu sắc hơn về những sai lầm thường mắc phải khi giải toán. Đồng thời, qua những sai lầm ấy mà rút ra cho mình những kinh nghiệm và phương pháp giải toán trắc nghiệm cho bản thân.
 Ở cấp độ trường THPT Triệu Thị Trinh, đề tài có thể áp dụng để cải thiện phần nào chất lượng bộ môn, củng cố phương pháp giải toán, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học ; giúp học sinh hiểu rõ hơn bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí cũng như những kiến thức liên quan đã được học, giúp các em tránh khỏi lúng túng trước một bài toán đặt ra và không mắc phải những sai lầm thường gặp.
Trong khuôn khổ của bài viết này, tôi chỉ có thể đưa ra một số sai lầm mà học sinh thường mắc phải mà không thể phân tích được hết tất cả những sai lầm của học sinh và cũng sẽ không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của Hội đồng khoa học trường Trung học phổ thông Triệu Thị Trinh, của Hội đồng khoa học Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa và của quý thầy cô. 
2. KIẾN NGHỊ ( Không)
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Lê Đình Quyền
Mục lục tài liệu tham khảo:	
1. Sách giáo khoa, sách bài tập giải tích lớp 12 cơ bản và nâng cao.
2. Một số đề thi thử THPT Quốc gia của một số trường trong cả nước.
3. Các dạng bài tập trắc nghiệm về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số