SKKN Rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình cho học sinh lớp 12 thông qua kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp khác

MỤC LỤC
Nội dung
 Trang
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
2
II. THỰC TRẠNG
2
III. CÁC GIẢI PHÁP
3
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ
3
1. Các định lý
3
2. Các tính chất
3
B. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP
3
1. Sử dụng đồng thời phương pháp hàm số giải hệ phương trình
4
- Bài 1; 2; 3
5 - 6
2. Kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp biến đổi tương đương
6
2.1. Kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp nâng lũy thừa khử căn hoặc phương pháp giải những phương trình đa thức bậc cao.
6 - 7
- Bài 1; 2; 3
 7- 8
2.2. Kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp giải phương trình đẳng cấp
- Bài 1; 2
9- 10 - 11
2.3. Kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp nhân liên hợp
- Bài 1; 2; 3
11- 12- 13
3. Kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp đặt ẩn số phụ
- Bài 1; 2
14 - 15
4. Sử dụng phương pháp thế sau đó kết hợp với phương pháp hàm số
- Bài 1; 2
16 - 17
5. Kết hợp phương pháp cộng đại số với phương pháp hàm số
- Bài 1; 2
17 - 18
IV. Hiệu quả do sáng kiến đem lại
19
V. Đề xuất, khuyến nghị
20
PHỤ LỤC
21
Rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình cho học sinh lớp 12
thông qua kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp khác
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: 
	Hệ phương trình là một chủ đề rất quan trọng trong các chủ đề toán học ở trường phổ thông. Đặc biệt, trong kỳ thi THPT Quốc gia những bài toán hệ phương trình thường xuất hiện ở những góc độ khác nhau và độ khó cũng ngày càng được nâng lên nên đôi lúc cách giải quyết đối với nhiều học sinh còn gặp nhiều khó khăn.
	Một trong những loại hệ phương trình hay gặp trong các kỳ thi và gây cho học sinh khó khăn khi tiếp cận là hệ phương trình trong đó có sử dụng phương pháp hàm số. Với mong muốn giúp các em học sinh có kỹ năng tốt, không còn bỡ ngỡ khi gặp các hệ phương trình dạng này, tôi suy nghĩ rằng, cần phải hệ thống lại kiến thức, phân dạng bài tập cụ thể và cần có phân tích đối em học sinh về các bài toán đó để học sinh hiểu, vận dụng và có tư duy logic những bài tập có dạng tương tự.
II. THỰC TRẠNG
	Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình được đánh giá là một trong ba câu phân loại học sinh (cùng với bài toán về hình giải tích trong mặt phẳng Oxy và bất đẳng thức) trong các đề thi thpt Quốc gia. Cho nên khi gặp hệ phương trình nói chung, hệ phương trình có thể giải được bằng phương pháp hàm số nói riêng, đa số học sinh đều đánh giá đây là câu khó nên thường có chung tâm lý là không làm câu này, do đó trong quá trình ôn tập cũng không chú trọng ôn luyện dạng toán này. 
	Số lượng học sinh làm được trọn vẹn câu hệ phương trình có thể giải được bằng phương pháp hàm số không nhiều, thường chỉ có những em khá giỏi về môn Toán mới làm được, điều này được thể hiện qua kết quả của các kỳ thi cấp trường và cấp sở. Lý do là các em không biết bắt đầu từ phương trình nào của hệ, không biết cách biến đổi để đưa về việc xét hàm đặc trưng, hoặc quên các phương pháp giải cơ bản của phương trình
III. CÁC GIẢI PHÁP
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ
1. Các định lý
Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng .
a) Nều với mọi , dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên .
b) Nếu với mọi , dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên .
Nếu hàm số liên tục trên đoạn (hoặc nửa khoảng) và có đạo hàm trên khoảng , dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên đoạn (hoặc nửa khoảng tương ứng).
Nếu hàm số liên tục trên đoạn (hoặc nửa khoảng) và có đạo hàm trên khoảng , dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên đoạn (hoặc nửa khoảng tương ứng).
2. Các tính chất
Tính chất 1: Giả sử hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng và , khi đó
Tính chất 2: Nếu hàm số đồng biến trên và là hàm hằng hoặc là một hàm số nghịch biến trên thì phương trình có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng .
Nếu có sao cho thì phương trình có nghiệm duy nhất trên .
Chú ý: 
Khoảng nêu trong tính chất có thể thay bởi các miền
.
Khi gặp hệ phương trình có dạng 
Xét hàm số , ta thường gặp trường hợp hàm số liên tục trong tập xác định của nó.
	Nếu hàm số đơn điệu, thì từ (1) suy ra . Khi đó bài toán đưa về giải phương trình (2) theo ẩn x (hoặc y).
Nếu hàm số có một cực trị tại thì nó thay đổi chiều biến thiên một lần khi qua a. Từ (1) suy ra hoặc nằm về hai phía của a.
Vận dụng linh hoạt các định lí, tính chất trên, từ một phương trình ẩn ta sẽ đưa hai vế về dạng (chẳng hạn như ) với là một hàm đơn điệu đặc trưng trên miền D đang xét. Thông thường có thể dự đoán được và bậc của từ đó đồng nhất hệ số để tìm .
B. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP
1. Sử dụng đồng thời phương pháp hàm số giải hệ phương trình
	Đối với hệ phương trình hai ẩn , ta thường phải xuất phát từ một phương trình của hệ để tìm mối liên hệ đơn giản hơn giữa và , một trong những cách đó là sử dụng phương pháp hàm số. Khi tìm được mối liên hệ giữa và đơn giản hơn ta thế vào phương trình còn lại, thường ta sẽ thu được phương trình một ẩn (theo ẩn x hoặc ẩn y). Nhưng phương trình thu được lại phức tạp (chứa bậc cao, chứa căn,...) hoặc chứa những biểu thức tương đồng nhau về mặt hình thức, khi đó ta có thể tiếp tục sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình một ẩn này.
(Đại học khối A năm 2010) Giải hệ phương trình: 
Phân tích: Ta nhận thấy khó có thể bắt đầu với phương trình (2), để ý đến phương trình (1), là biểu thức bậc hai của và có thể coi là biểu thức bậc hai của . Nếu đặt thì 
Biểu thức có hình thức giống với , do vậy ta sẽ biến đổi về dạng . Để đưa về dạng này ta thường “cô lập” biến, do vậy sẽ chuyển sang vế phải của .
Giải
Điều kiện 
Khi đó 	(3)
Xét hàm số với 
Ta có suy ra đồng biến trên R	Do đó 
Thay vào phương trình (2) ta được:
 	(4)
Phân tích: Phương trình (4) trông khá “phức tạp” nên ta định hướng sử dụng phương pháp hàm số để giải quyết
Nhận thấy và không là nghiệm của phương trình (4)
Xét hàm số với , ta có:
Do đó nghịch biến trên . Mà nên phương trình (4) có nghiệm duy nhất suy ra .
Vậy hệ đã cho có nghiệm .
 (ĐH-A2013) Giải hệ phương trình 
Giải
Điều kiện 
Coi (2) là phương trình bậc hai ẩn x, điều kiện để tồn tại x là
Đặt suy ra Phương trình (1) trở thành: 
Xét với Ta có 
Do đó phương trình (3) tương đương với , nghĩa là 
Thay vào phương trình (2) ta được: 
Hàm có với .
Mà nên (4) có hai nghiệm không âm là và 
Với ta được nghiệm ; với ta được nghiệm 
Vậy nghiệm của hệ đã cho là và .
	Nhận xét: Phương trình chỉ khi hàm số đơn điệu trên và . Nếu hàm đặc trưng có đạo hàm chưa xác định một dấu (luôn dương hoặc luôn âm) trên thì ta phải tìm cách chặn biến để và đơn điệu trên . Để chặn biến ta có thể dựa vào điều kiện xác định của hệ phương trình, điều kiện để phương trình bậc hai ẩn tham số (hoặc ẩn tham số ) có nghiệm, hoặc nhận xét điều kiện của biểu thức để hệ có nghiệm (chẳng hạn: ; ,.)
Giải hệ phương trình
Giải
Xét thay vào (2) thì không thoả mãn.
Xét , chia 2 vế của (1) cho ta được: 	(3)
Xét hàm số , ta có nên là hàm số đồng biến trên . Do đó, 
(3),
Thế vào (2) ta được: 
Xét không là nghiệm phương trình, chia 2 vế cho ta được: 
Đặt , phương trình trên trở thành
Xét hàm số ta có nên hàm số đồng biến trên .
Do đó,
Suy ra , hệ đã cho vô nghiệm.
Bài tập tương tự:
Giải hệ phương trình 
Đáp số: 
Giải hệ phương trình 
Đáp số: 
2. Kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp biến đổi tương đương
2.1. Kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp nâng lũy thừa khử căn hoặc phương pháp giải những phương trình đa thức bậc cao.
Ngoài phương pháp hàm số đã nêu ở phần trước, giáo viên cần nhắc lại cho học sinh một số phép biến đổi tương đương cơ bản của phương trình để biến đổi phương trình ban đầu về phương trình đã biết cách giải sau:
(Đại học khối A năm 2012) Giải hệ phương trình: 
Phân tích: Hai vế của phương trình đầu đều có dạng bậc 3 (với hai biến x, y), nên ta định hướng đưa phương trình đầu về dạng , tuy nhiên hàm đặc trưng lúc đó không đơn điệu trên do đó ta phải chặn biến. Nhìn vào phương trình thứ 2 ta thấy đưa được về suy ra .
Giải
Hệ đã cho tương đương với: 
Từ (2), suy ra 
Xét hàm số trên , ta có suy ra nghịch biến.
Do đó 
Thay vào (2), ta được 
Thay vào (3), ta được nghiệm của hệ là ; 
 Giải hệ phương trình 
Giải
Điều kiện .
Ta có 
Do 
Xét hàm số với , có nên hàm số đồng biến trên .
Do đó hay 
Thế vào (2) ta được 
Với (thỏa mãn điều kiện).
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất .
Giải hệ phương trình: 
Giải.
Điều kiện: 
Phương trình (1) của hệ được viết lại dưới dạng
Xét hàm số với có .
Ta thấy .
Bảng biến thiên
Ta có .
Nếu thuộc cùng một miền đơn điệu của hàm số thì
	.
Thế vào phương trình (2) ta được: 
Nếu nằm trên hai miền đơn điệu khác nhau của thì . Khi đó vế trái của (2) luôn dương, phương trình không thỏa mãn.
Vậy hệ đã cho có nghiệm .
Bài tập tương tự
Giải hệ phương trình 
Đáp số: .
Giải hệ phương trình 
Đáp số: .
Giải hệ phương trình 
	Đáp số: 
2.2. Kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp giải phương trình đẳng cấp
	Trong phương pháp này, ngoài việc nắm được ứng dụng hàm số vào giải phương trình, ta cần phải nắm được cách giải một số dạng phương trình đẳng cấp sau:
	+) Phương trình: 
	Xét .
	Xét chia hai vế cho được phương trình là phương trình bậc hai ẩn .
	+) Phương trình .
	Xét 
	Xét , chia hai vế cho được là phương trình bậc ba ẩn .
	+) Phương trình dạng: , bình phương hai vế của phương trình ta được phương trình đẳng cấp bậc hai đối với hai ẩn x; y.
Giải hệ phương trình 
	Phân tích: Ta đưa được phương trình (2) về dạng với đồng biến trên , do đó ta có (*).
Để ý đến phương trình (1) ta thấy các biểu thức chứa biến đều có bậc 4, nếu chữ số 1 có thể chuyển về thành biểu thức bậc 4 thì ta được phương trình đẳng cấp bậc 4, điều này giải quyết được do phương trình (*) ta vừa thu được. Ta có lời giải sau:
Giải
Điều kiện: 
Ta có: 
Xét hàm số: với , có với mọi 
Nên hàm số đồng biến trên 
Mà nên:
	(4)
Thay vào ta được: 
	(5)
Do không thỏa mãn nên chia hai vế phương trình (5) cho ta được:
Với , thay vào (4) ta có: 
Với , cũng từ (4) ta có: (vô nghiệm)
Vậy hệ đã cho có nghiệm là: .
 Giải hệ phương trình: 
Giải
Điều kiện .
Xét hàm số 
, suy ra đồng biến trên .
Phương trình (1) có dạng: 
Thay vào (2) ta được 
Đặt 
Phương trình trở thành (3)
Do chia hai vế phương trình (3) cho ta được:
	 hoặc .
Do nên 
Suy ra(thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ phương trình có nghiệm là: 
.
Bài tập tương tự
Giải hệ phương trình 
Đáp số: 
Giải hệ phương trình 
Đáp số: 
2.3. Kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp nhân liên hợp
	Trong mục này ta xét đến lớp bài toán có thể sử dụng phương pháp hàm số để đơn giản một phương trình trong hệ, sau đó thế vào phương trình còn lại sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp. 
Mục đích của phương pháp nhân lượng liên hợp là đưa phương trình thu được về phương trình tích số. Một số dạng nhân lượng liên hợp cần chú ý sau:
- Nhân lượng liên hợp bằng cách nhóm các số hạng trong phương trình: Quan sát các số hạng có trong phương trình để tìm mối liên hệ giữa chúng, sau đó nhóm lại rồi nhân lượng liên hợp để làm xuất hiện nhân tử chung.
- Nhân lượng liên hợp bằng cách thêm bớt hằng số: Đoán nghiệm của phương trình, sau đó thêm bớt hằng số rồi nhân lượng liên hợp để xuất hiện nhân tử . Cách đoán nghiệm ta có thể dùng chức năng của máy tính cầm tay hoặc chọn số sao cho là số nguyên (hoặc hữu tỉ).
Giải hệ phương trình 
Giải
Điều kiện .
Do không thỏa mãn hệ đã cho nên chia hai vế của phương trình (1) cho ta được: 
Xét hàm số .
Ta có: nên hàm số đồng biến trên R
Do đó 
Thế vào (2) ta được: 
Ta có nên nhân hai vế của phương trình trên với ta được:
Vậy hệ có nghiệm: .
Giải hệ phương trình 
Giải
Điều kiện: 
Do 
Nên nhân hai vế của phương trình (1) với ta được
	(3)
Xét hàm số 
Ta có 
Suy ra hàm số đồng biến trên R
Do đó .
Thay vào phương trình (2) ta được
Nhẩm được nghiệm, thực hiện nhân liên hợp ta thu được nghiệm và phương trình:
 (*)
đặt ;
Ta có: và 
 với .
Suy ra nghịch biến, đồng biến trên 
Mà suy ra phương trình (*) có nghiệm duy nhất 
Vậy nghiệm của hệ đã cho: 
Giải hệ phương trình: 
Giải
Điều kiện: .
Phương trình (2) tương đương với
Xét hàm số , có nên hàm số đồng biến trên .
Do đó, 
Thay vào (1) ta được 
Do nên nên phương trình trên chỉ có nghiệm , suy ra .
Vậy hệ đã cho có nghiệm .
Bài tập tương tự
Giải hệ phương trình 
Đáp số: .
Giải hệ phương trình 
	Hướng dẫn
Đưa phương trình đầu của hệ về dạng: , với , hàm số đồng biến trên nên ta thu được 
Thế vào phương trình thứ hai của hệ, đến đây giải đơn giản.
3. Kết hợp phương pháp hàm số với phương pháp đặt ẩn số phụ
Một số phép đặt ẩn phụ cơ bản giải phương trình:
+ Nếu phương trình chứa và ta đặt 
+ Nếu phương trình chứa và , ta đặt 
Ngoài ra cần chú ý một số cách biến đổi để làm xuất hiện ẩn phụ: Chia hai vế cho một biểu thức khác 0 hoặc thực hiện biến đổi hằng đẳng thức.
 Giải hệ phương trình 
Giải
Điều kiện . 
	(3)
Xét hàm số có nên hàm số đồng biến trên R
Do đó, 
Thế vào (2) ta được:
	(4)
Đặt 
Phương trình (4) trở thành 
Với , ta có 
	 (vô nghiệm)
Với ta có 
Với (thỏa mãn điều kiện).
Vậy hệ đã cho có nghiệm .
Giải hệ phương trình 
Giải
Điều kiện .
Do , nên
Xét hàm số , ta có 
Nên hàm số đồng biến trên R. Do đó,
Thay vào (2) ta được: 	(4)
Ta thấy phương trình (4) có nghiệm thì . Khi đó,
Đặt , phương trình trên trở thành:
Do nên , và ta có 
Đối chiếu điều kiện ta được 
Vậy hệ đã cho có nghiệm ; .
Bài tập tương tự
Giải hệ phương trình 
	Đáp số: 
Giải hệ phương trình 
	Đáp số: = 
4. Sử dụng phương pháp thế sau đó kết hợp với phương pháp hàm số
	Trong phương pháp này, ta thực hiện biến đổi một phương trình của hệ về dạng tích số, thực hiện rút một ẩn theo ẩn kia (trong một số trường hợp ta phải rút ) và thế vào phương trình còn lại của hệ và sử dụng phương pháp hàm số. 
Giải hệ phương trình 
Phân tích: Nhìn vào hệ ta thấy khó có thể bắt đầu ở phương trình thứ nhất của hệ. Để ý đến phương trình thứ hai, ta thấy có những cặp hệ số giống nhau: hệ số 2 (trong ), hệ số 3 (trong ), hệ số 1 (trong ) do đó ta sẽ nghĩ đến ghép từng cặp biểu thức có hệ số giống nhau lại để làm xuất hiện nhân tử chung.
Giải
Điều kiện: 
Ta có (2)
 (vì , với mọi )
Thay vào (1) ta được: (3)
Xét hàm số 
Ta có 
 Và 
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 2), nên phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm. Mặt khác, từ đó ta có BBT của 
Vì f() = < 0, nên từ bảng biến thiên suy ra phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất 2 nghiệm, hơn nữa f(0) = f(1) = 0, do đó phương trình (3) có 2 nghiệm x =0; x = 1.
Tóm lại hệ đã cho có 2 nghiệm (0; 0) và (1;1)
Giải hệ phương trình: 
	Phân tích: Ta thấy phương trình thứ nhất của hệ là phương trình bậc nhất ẩn y nên ta sẽ rút y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai của hệ.
Giải
ĐKXĐ: . 
Ta có 
 (1). 
Thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta có :
.
 (*)
Xét hàm số với . Ta có đồng biến trên R. 
Mặt khác, phương trình (*) có dạng . 
Thay vào (1) ta tìm được .
Vậy hệ đã cho có nghiệm là .
Bài tập tương tự
1. Giải hệ phương trình: 
Đáp số: 
2. Giải hệ phương trình: 
Đáp số: .
5. Kết hợp phương pháp cộng đại số với phương pháp hàm số
	Trong dạng này, chúng ta chưa sử dụng luôn được phương pháp hàm số để biến đổi hệ phương trình mà muốn sử dụng được, chúng ta cần phải kết hợp các phương trình của hệ lại, khi đó mới áp dụng được tính chất của hàm số để biến đổi.
Giải hệ phương trình 
Phân tích: Đối với hệ này, ta nghĩ đến cô lập biến rồi sử dụng phương pháp hàm số. Chia hai vế phương trình thứ nhất cho , chia hai vế phương trình thứ hai cho rồi cộng lại ta được: , đến đây ta có thể sử dụng phương pháp hàm số.
Giải
Với x = 0 dễ thấy không thỏa mãn hệ trên.
Với , ta có: 
Hệ đã cho tương đương với (1)
Xét hàm số có với mọi R nên hàm số đồng biến trên R.
Do đó, (1) có dạng .
Thế vào hệ sẽ được: 
Vậy hệ đã cho có nghiệm là: .
 Giải hệ phương trình 
Hướng dẫn:Tương tự bài 1, ta cô lập các biến x, y; chia hai vế phương trình (1) cho , phương trình (2) cho x rồi cộng lại với nhau biến đổi về dạng: 
Giải
Với x = 0 hoặc y = 0 thì hệ không được thỏa mãn.
Với , HPT
Cộng theo vế lại ta được: 	(3)
Xét hàm số có nên hàm số đồng biến trên . 
Phương trình (3) có dạng 
Kết hợp với (1) ta được: 
Vậy hệ đã cho có nghiệm .
Bài tập tương tự
 Giải hệ phương trình: 
.
	Đáp số: Nghiệm của hệ: .
Giải hệ phương trình: 
Đáp số: Nghiệm của hệ là: .
IV. Hiệu quả do sáng kiến đem lại
	Qua áp dụng tại các lớp 12A, 12B và 12C ở trường THPT Mai Anh Tuấn đã mang lại những kết quả thiết thực, cụ thể:
	Trong đề thi khảo sát chất lượng 8 tuần đầu học kì I năm học 2015-2016 của trường THPT THPT Mai Anh Tuấn có câu:
	“Giải hệ phương trình: ”
Đây là một câu không quá khó, ta chỉ cần cộng theo vế các phương trình của hệ (mục đích là để khử ) và biến đổi về dạng với . Tuy nhiên theo thống kê, những học sinh làm được câu này không nhiều, mặc dù nội dung ứng dụng hàm số giải phương trình, hệ phương trình đã được tổ chuyên môn thống nhất ngay từ đầu năm và các thầy cô nghiêm túc thực hiện.
Lớp 12A
Lớp 12B
Lớp 12C
Tổng số HS
Số học sinh làm được câu HPT
12/42
17/43
13/45
42/130
Tỉ lệ
28,6%
39,5%
30,2%
32,2%
	Sau khi áp dụng sáng kiến tại 3 lớp 12A, 12B, 12C (với thời lượng 20 tiết/lớp), trong kỳ thi thử đại học lần 2 của trường THPT Mai Anh Tuấn có câu:
	“Giải hệ phương trình:”
tỉ lệ học sinh làm được câu này đã tăng lên rõ rệt mặc dù cách giải quyết hệ này phức tạp hơn (biến đổi phương trình thứ nhất về dạng với từ đây được . Thế vào phương trình thứ 2 và dùng tiếp phương pháp nhân lượng liên hợp sẽ được: sau đó dựa vào đánh giá chứng minh phương trình (*) vô nghiệm.)
Lớp 12A
Lớp 12B
Lớp 12C
Tổng số HS
Số học sinh làm được câu HPT
25/42
26/43
24/45
75/130
Tỉ lệ
59,5%
60,5%
53,3%
57,7%
- Các em không còn tâm lý e ngại khi gặp hệ phương trình nói riêng và phương trình, bất phương trình, hệ phương trình nói chung vì qua sáng kiến các em đã nắm được một cách hệ thống các phương pháp cơ bản giải phương trình còn bất phương trình thì các phương pháp giải cũng tương tự.
V. Đề xuất, khuyến nghị
Đối với các nhà quản lý giáo dục, các nhà trường: Tổ chức các chương trình tập huấn bồi dưỡng nghiệp vụ hàng năm cho giáo viên đặc biệt là các chuyên đề ôn thi thpt Quốc gia, thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Các chuyên đề khó như phương trình-bất phương trình-hệ phương trình, phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, bất đẳng thức cần được tập trung nhiều hơn để giúp cho các cơ sở giáo dục, các thầy cô giáo có thêm tư liệu trong việc đào tạo, bồi dưỡng nâng cao năng lực toán học nói riêng và phát triển tư duy cho học sinh nói chung.
Đối với mỗi giáo viên: 
- Phải không ngừng tự học, tự trau dồi bản thân để nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ của mình. 
- Mỗi dạng toán cần có phương pháp giải riêng, có công thức từ đó hình thành cho học sinh con đường tư duy logic để giải toán, giúp cho các em có cách học, tự học hiệu quả.
- Người thầy cần phải tăng cường kiểm tra, sửa chữa sai sót cho học sinh, bên cạnh đó cũng cần động viên kịp thời để các em luôn có hứng thú với bộ môn của mình.
- Thầy giáo hướng dẫn cách tự đọc sách cho học sinh, hướng dẫn các em tự tìm tòi qua sách vở, báo toán, các trang web về toán học. Sử dụng mạng xã hội để trao đổi với các em về các vấn đề liên quan đến môn học.
- Người thầy tăng cường luyện tập cho các em các dạng chuyên đề và bộ đề thi để các em có nhiều thời gian tiếp cận và tập dượt với dạng toán thi, từ đó giúp các em có được kết quả học tập ngày càng tốt hơn.
Trên đây là báo cáo sáng kiến của tôi được đúc rút trong quá trình học tập và công tác của mình tại trường thpt Mai Anh Tuấn, chắc chắn sẽ có nhiều thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý vị và các bạn đồng nghiệp. 
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Ngươi viết SKKN
Lê Thị Liên
PHỤ LỤC
 Danh mục các tài liệu tham khảo
Phạm Kim Chung, Phạm Chí Tuân, Lê Đình Mẫn, Ngô Hoàng Toàn. Phương trình vô tỷ, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
Lê Văn Đoàn, Văn Đức Chín. Phương trình, bất phương trình & hệ phương trình, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
Báo toán học và tuổi trẻ
Các Website toán học: mathvn.com, k2pi.ne