SKKN Hướng dẫn học sinh sử dụng tích phân vào giải một số bài toán thực tế trong chương trình Toán lớp 12

MỤC LỤC
PHẦN 1. MỞ ĐẦU
 Lí do chọn đề tài.	
 Toán học có liên hệ chặt chẽ, mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đời sống. Toán học có vai trò thiết yếu đối với mọi ngành khoa học. Bởi vậy, việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn là điều cần thiết đối với sự phát triển của xã hội và phù hợp với mục tiêu của giáo dục hiện nay. 
 Để theo kịp sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và công nghệ, chúng ta cần phải đào tạo những con người lao động có hiểu biết, có kỹ năng và ý thức vận dụng những thành tựu của Toán học trong điều kiện cụ thể nhằm mang lại những kết quả thiết thực. Vì thế, việc dạy học Toán ở trường phổ thông phải luôn gắn bó mật thiết với thực tiễn, nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng và giáo dục họ ý thức sẵn sàng ứng dụng Toán học một cách có hiệu quả trong các lĩnh vực kinh tế, sản xuất.
 Với vị trí đặc biệt quan trọng của môn Toán là môn học công cụ; cung cấp kiến thức, kỹ năng, phương pháp, góp phần xây dựng nền tảng văn hóa phổ thông của con người lao động mới, việc thực hiện nguyên lí giáo dục ''Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội'' cần phải quán triệt trong mọi trường hợp để hình thành mối liên hệ qua lại giữa lao động sản xuất, cuộc sống và Toán học.
 Trong đề thi THPT quốc gia những năm gần đây các câu hỏi về vận dụng kiến thức vào các bài toán thực tiễn được khai thác rất nhiều, đó là một trong những đổi mới của chương trình môn Toán về tính thực tiễn và liên môn. Tuy nhiên đây là các câu hỏi thuộc mức độ vận dụng hoặc vận dụng cao, ngoài ra trong sách giáo khoa hiện nay lại ít đề cập đến vấn đề này. 
	Trong các bài toán thực tế trên thì những bài toán tính diện tích và thể tích bằng cách sử dụng tích phân thường hay gặp.
 	 Vì vậy, để giúp học sinh tiếp cận và làm tốt câu hỏi phần này là rất cần thiết nhằm đáp ứng nhu cầu thực tế hiện nay. Từ thực tiễn giảng dạy lớp 12 cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy. Tôi xin đưa ra đề tài: "Hướng dẫn học sinh sử dụng tích phân vào giải một số bài toán thực tế trong chương trình Toán lớp 12 ".
2. Mục đích nghiên cứu
Thiết kế, xây dựng cách sử dụng tích phân vào giải các bài toán về diện tích và thể tích.
3. Đối tượng nghiên cứu
 Nguyên hàm, tích phân đặc biệt là ứng dụng của tích phân.
4. Phương pháp nghiên cứu
4.1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
- Nghiên cứu tài liệu và các công trình nghiên cứu về nguyên hàm, tích phân.
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về các ứng dụng của tích phân.
4.2. Phương pháp chuyên gia
Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến của các đồng nghiệp để tham khảo ý kiến làm cơ sở cho việc nghiên cứu đề tài.
4.3. Phương pháp thực tập sư phạm
Thực nghiệm sư phạm ở trường THPT 4 Thọ Xuân, tiến hành theo quy trình của đề tài nghiên cứu khoa học giáo dục để đánh giá hiệu quả của đề tài nghiên cứu.
4.4. Phương pháp thống kê toán học
Sử dụng phương pháp này để thống kê, xử lý, đánh giá kết quả thu được.
PHẦN 2. NỘI DUNG
1.Cơ sở lí luận
1.1. Phương pháp dạy học tích cực
Phương pháp dạy học tích cực (PPDH tích cực) là một thuật ngữ rút gọn, được dùng ở nhiều nước để chỉ những phương pháp giáo dục, dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của người học. PPDH tích cực hướng tới việc hoạt động hóa, tích cực hóa hoạt động nhận thức của người học, tức là tập kết vào phát huy tính tích cực của người học chứ không phải là tập kết vào phát huy tính tính tích cực của người dạy.
1.2. Dạy học tích hợp liên môn
Là định hướng dạy học trong đó giáo viên tổ chức, hướng dẫn để học sinh biết huy động tổng hợp kiến thức, kĩ năng, thuộc nhiều lĩnh vực (môn học/hoạt động giáo dục) khác nhau nhằm giải quyết các nhiệm vụ học tập; thông qua đó hình thành những kiến thức, kĩ năng mới; phát triển được những năng lực cần thiết, nhất là năng lực giải quyết vấn đề trong học tập và thực tiễn cuộc sống.
Hình minh họa (nguồn từ internet)
2. Thực trạng.
 Trong chương trình giải tích lớp 12, khi học về vấn đề: diện tích, thể tích học sinh gặp rất nhiều khó khăn. Hầu hết các em học sinh thường có cảm giác “sợ” bài toán tính diện, thể tích trong thực tế. Khi học vấn đề này nhìn chung các em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích , thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn, hoặc không giải được, đặc biệt là những bài toán cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích mới tính được. Thêm vào đó trong sách giáo khoa cũng như các sách tham khảo có rất ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp học sinh học tập và khắc phục “những sai lầm đó”. 
	Trong thực tế các bài toán thuộc dạng này rất phong phú và đa dạng. 
3. Các giải pháp thực hiện 
3.1. Kiến thức trang bị
3.1.1. Diện tích hình phẳng
	· Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
	– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
	– Trục hoành.
	– Hai đường thẳng x = a, x = b.
	là:	(1)
	· Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
	– Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].
	– Hai đường thẳng x = a, x = b.
	là:	(2)
3.1.2. Thể tích vật thể
	· Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các điểm a và b.
	S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a £ x £ b).
 Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].
	Thể tích của B là:	
	· Thể tích của khối tròn xoay:
	Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
	(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b)sinh ra khi quay quanh trục Ox:
3.1.3. Phương trình các đường thường gặp
Phương trình đường tròn
	Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R:	.
 Đặc biệt: Phương trình đường tròn có tâm O(0;0) và bán kính R:	.
Phương trình chính tắc của elip
	· Toạ độ các tiêu điểm:	.
 · Toạ độ các đỉnh:	
Phương trình chính tắc của parabol
	(p > 0)
	· Toạ độ tiêu điểm:	.
	Hình dạng của parabol
	· (P) nằm về phía bên phải của trục tung.
	· (P) nhận trục hoành làm trục đối xứng.
	· Toạ độ đỉnh:	
	· Tâm sai:	e = 1.	
Chú ý: 
+) Đồ thị hàm số bậc hai có dạng : là đường parabol.
+) Các phương trình có dạng: ; ; cũng là phương trình của parabol.
 Phương trình chính tắc của hypebol
	· Toạ độ các tiêu điểm:	.
	 Hình dạng của hypebol
	· (H) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
	· Toạ độ các đỉnh:	
	· Độ dài các trục:	trục thực: 2a,	trục ảo: 2b
3.2. Phương pháp
 - Giải bài toán thực tiễn bằng cách dùng tích phân thường là các bài tập vận dụng. Để giúp cho học sinh phân tích bài toán và tìm ra phương pháp giải, tôi dạy học sinh tiến hành theo các bước sau đây:
+ Bước 1: Nhận dạng, phân tích hình hoặc vật thể.
Tôi xem đây là bước quan trọng nhất, bởi vì chúng ta phải biết nhận dạng hình hoặc vật thể thì mới chọn được hệ tọa độ để thiết lập hàm số. Thông thường ta thường dựa vào tính đối xứng của hình; hoặc chia thành nhiều phần để tính.
+ Bước 2: Chọn hệ tọa độ thích hợp.
+ Bước 3: Thiết lập hàm số.
+ Bước 4: Tính kết quả.
-Dựa vào các công thức về tích phân và máy tính cầm tay Casio, Vinacal,...
3.3 Thời gian tổ chức thực hiện
- Giáo viên nên dạy phương pháp này vào những tiết tự chọn hoặc dạy bồi dưỡng. Giáo viên có thể cho học sinh nhiều bài tập về nhà để học sinh nghiên cứu, chuyên sâu tạo kỹ năng làm toán.
- Giáo viên dạy phương pháp này cho học sinh ở khối 12. 
- Giáo viên dạy phương pháp này như một chuyên đề trong các lớp luyện thi THPT Quốc gia.
3.4 Các dạng toán cụ thể
Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng.
Ví dụ 1: Một mảnh vườn hình tròn tâm O bán kính . Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là đồng. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó (số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị) 
Hướng dẫn
+) Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho tâm O trùng với tâm của hình tròn, Ox song song với dây cung của mảnh đất. 
+) Tính diện tích của phần hình phẳng phía trên Ox. 
6m
O
y
x
+) Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, sau đó suy ra số tiền.
Cách giải:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
Xét hệ trục tọa độ oxy đặt vào tâm khu
vườn, khi đó phương trình đường tròn tâm O 
là . 
Khi đó phần nửa cung tròn phía trên trục Ox có phương trình 
Khi đó diện tích S của mảnh đất bằng 2 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, đồ thị và hai đường thẳng 
 (bấm máy).
Do đó số tiền cần dùng là đồng.
Ví dụ 2: Một người có mảnh đất hình tròn có bán kính 5m, người này tính trồng cây trên mảnh đất đó, biết mỗi mét vuông trồng cây thu hoạch được giá 100 nghìn đồng. Tuy nhiên cần có khoảng trống để dựng chồi và đồ dùng nên người này căng sợi dây 6m sao cho 2 đầu mút dây nằm trên đường tròn xung quanh mảnh đất. Hỏi người này thu hoạch được bao nhiêu tiền.
y
Hướng dẫn:
Đặt hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.
Phương trình đường tròn của miếng đất sẽ là 
Diện tích cần tính sẽ bằng 2 lần diện tích phần tô đậm phía trên.
x
Phần tô đậm được giới hạn bởi đường cong có phương trình là , trục (trong đó giá trị 4 có được dựa vào bán kính bằng 5 và độ dài dây cung bằng 6)
Vậy diện tích cần tính là (bấm máy)
Vậy thu hoạch được 7445228 đồng.
10m
y
x
Ví dụ 3: Ông A có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 20m và độ dài trục bé bằng 16m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 10m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m2. Hỏi Ông A cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên mảnh đất đó? 
10m
Hướng dẫn
+) Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho tâm O trùng với tâm của hình elip.
+) Tính diện tích của phần hình phẳng phía trên Ox. 
+) Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.
Cách giải:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Khi đó: Phương trình đường elip là . 
Phần nửa hình phẳng phía trên trục Ox có phương trình .
Khi đó diện tích S của mảnh đất bằng 2 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, đồ thị và hai đường thẳng x = -5, x = 5.
(bấm máy).
Vậy cần 15.305.783 đồng.
Ví dụ 4: Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch đế tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng bao nhiêu ?
Hướng dẫn
+) Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho tâm O trùng với tâm của viên gạch hình vuông. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông. 
+) Tính diện tích của một cánh hoa ở góc phần tư thứ nhất. Xác định các phương trình parabol tạo nên cánh hoa đó.
+) Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.
Cách giải:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
Với xét hình phẳng ở góc phân tư thứ nhất.
Hai Parabol có phương trình lần lượt là: và 
Do Parabol qua điểm 
Do Parabol qua điểm 
Vậy diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng 
Ví dụ 5: Thành phố P xây cây cầu dài 500m bắc ngang qua sông, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, mỗi nhịp cách nhau 40m, biết 2 bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết 1 nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (bỏ qua thể tích cốt sắt trong mỗi nhịp cầu). 
Hướng dẫn
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O(0;0) là chân cầu (điểm tiếp xúc Parabol trên), đỉnh I(25; 2), điểm A(50;0) (điểm tiếp xúc Parabol trên với chân đế)
Gọi Parabol trên có phương trình (): (do (P) đi qua O)
là phương trình parabol dưới
Ta có ) đi qua I và A 
Khi đó diện tích mỗi nhịp cầu là với là phần giới hạn bởi trong khoảng 
Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên coi thể tích là tích diện tích và bề dày
 số lượng bê tông cần cho mỗi nhip cầu 
Vậy 10 nhịp cầu 2 bên cần bê tông. 
Ví dụ 6: Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng là người ta làm một con đường nằm trong sân (như hình vẽ). Biết rằng viền ngoài và viền trong của con đường là hai đường Elip, Elip của đường viền ngoài có trục lớn và trục bé lần lượt song song với các cạnh hình chữ nhật và chiều rộng của mặt đường là . Kinh phí của mỗi làm đường đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó. 
y
Hướng dẫn
O
x
Đặt hệ trục tọa độ với tâm O là giao điểm 2 đường chéo hình chữ nhật và Ox, Oy song song với cạnh chiều dài và chiều rộng. 
Diện tích mặt đường là diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi 2 elip và 
Số tiền làm đường là: 294053072 đồng.
Ví dụ 7: Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng (m). Trên đó người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng (m), phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là đồng/m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó ?
Hướng dẫn
y
x
O
Đặt hệ trục tọa độ với tâm O là tâm của đường tròn như hình vẽ trên. 
Khi đó nửa đường tròn có phương trình: , 
parabol có phương trình: 
Diện tích cần tính bằng: 
Số tiền cần là: 1193961 đồng. 
Ví dụ 8: Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật có chiều cao , chiều dài (hình vẽ bên). Cho biết là hình chữ nhật có; cung có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh và đi qua hai điểm , . Kinh phí làm bức tranh là đồng/.
Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó ?
y
x
Hướng dẫn
O
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ trên. 
Khi đó parabol có phương trình: 
Diện tích cần tính bằng: 
Số tiền cần là: 2080000 đồng. 
Dạng 2: Tính thể tích vật thể.
Ví dụ 9. Gọi là phần giao của hai khối hình trụ có bán kính , hai trục hình trụ vuông góc với nhau. Xem hình vẽ bên. Tính thể tích của .
Hướng dẫn 
Ta gọi trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó phần giao là một vật thể có đáy là một phần tư hình tròn tâm bán kính , thiết diện của mặt phẳng vuông góc với trục là một hình vuông có diện tích 
Thể tích khối là .
Ví dụ 10: Người ta dựng một cái lều vải (H) có dạng hình “chóp lục giác cong đều” như hình vẽ bên. Đáy của (H) là một hình lục giác đều cạnh Chiều cao (SO vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của (H) là các sợi dây nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với SO. Giả sử giao tuyến (nếu có) của (H) với mặt phẳng (P) vuông góc với SO là một lục giác đều và khi (P) qua trung điểm của SO thì lục giác đều có cạnh bằng 1m Tính thể tích phần không gian nằm bên trong cái lều (H) đó. 
Hướng dẫn
Đặt hệ tọa độ như hình vẽ, ta có parabol cần tìm đi qua 3 điểm có tọa độ lần lượt là nên có phương trình là 
Theo hình vẽ ta có cạnh của thiết diện là 
Nếu ta đặt thì 
Khi đó diện tích của thiết diện lục giác:
 với 
Vậy thể tích của túp lều theo đề bài là: 
Ví dụ 11: Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol).
Hướng dẫn
Chọn hệ trục như hình vẽ.
Gọi là Parabol đi qua hai điểm 
Nên ta có hệ phương trình sau: 
Gọi là Parabol đi qua hai điểm 
Nên ta có hệ phương trình sau: 
Ta có thể tích của bê tông là: 
 Ví dụ 12: Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc để lấy một hình nêm (xem hình minh họa dưới đây)
Hình 1 Hình 2
Kí hiệu là thể tích của hình nêm (Hình 2).Tính .
Hướng dẫn
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó hình nêm có đáy là nửa hình tròn có phương trình : 
Một một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ ,
cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là (xem hình).
Dễ thấy và khi đó suy ra thể tích hình nêm là : 
Ví dụ 13: Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn bán kinh 4 cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều. Thể tích của vật thể là:
Hướng dẫn
Chọn tâm đường tròn làm gốc. 
Diện tích thiết diện là 
Ví dụ 14: Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ 2 phần bằng 2 mặt phẳng vuông góc bán kính và cách tâm 3dm để làm một chiếc lu đựng. Tính thể tích mà chiếc lu chứa được.
Hướng dẫn:
 Đặt hệ trục với tâm O, là tâm của mặt cầu; đường thẳng đứng là Ox, đường ngang là Oy; đường tròn lớn có phương trình .
 Thể tích là do hình giới hạn bởi Ox, đường cong , quay quanh Ox.
 = (bấm máy).
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Trên cơ sở thực tiễn việc đổi mới phương pháp và nội dung giảng dạy môn Toán cho học sinh lớp 12 là hợp lý và thu được kết quả tốt, tôi đã thực hiện thành công mục tiêu đề ra, đó là vận dụng những kiến thức trong sách giáo khoa để có thể giải quyết được những bài toán trong thực tế. Từ đó không chỉ giúp các em có thể giải quyết được những bài tập mà còn có thể vận dụng vào thực tế cuộc sống, các em hứng thú hơn trong việc lĩnh hội tri thức.
Kết quả về điểm số là khả quan trên cơ sở đặt tỷ lệ đó vào mối tương quan với chất lượng các lớp thực nghiệm và các lớp vẫn dạy theo phương pháp truyền thống. Học sinh đó bắt đầu nắm vững kiến thức, có kỹ năng vận dụng vào thực tiễn cuộc sống, có hứng thú, say sưa học toán.
Bên cạnh một số bài tập cơ bản phù hợp với đa số đối tượng học sinh, cũng có những bài tập đòi hỏi học sinh phải có khả năng tư duy cao, phải tích luỹ được nhiều kinh nghiệm. Từ đó, khuyến khích lòng hăng say tìm tòi giải bài tập của một nhóm học sinh có nhận thức khá. 
Tôi đã chọn lớp 12A3 là lớp thực nghiệm (TN) để dạy cho học sinh, còn lớp 12A4 là lớp đối chứng (ĐC) chỉ dạy theo sách giáo khoa. Kết quả thực nghiệm thu được khi cho hai lớp cùng làm một đề kiểm tra 45 phút về giải những bài toán tính diện tích và thể tích:
Lớp
n
Điểm số Xi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
TN
40
0
0
0
0
3
5
5
11
9
7
ĐC
40
0
0
0
6
5
10
9
6
3
1
Bảng tần số các bài kiểm tra
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
TN
(%)
0.00
0.00
0.00
0.00
7.50
12.50
12.50
27.50
22.50
17.50
ĐC
(%)
0.00
0.00
0.00
15.00
12.50
25.00
22.50
15.00
7.50
2.50
Từ đồ thị và bảng số liệu phân tích điểm số qua các bài kiểm tra cho thấy:
	Lớp TN: 
- Điểm giỏi có tỷ lệ 40,00%.
- Tỷ lệ HS khá chiếm 40,00%.
- HS trung bình 20,00%, không có yếu kém. 
Lớp ĐC: 
- Tỷ lệ HS đạt điểm giỏi là 10,00%. 
- Tỷ lệ HS đạt điểm khá 37,50%.
- Tỷ lệ HS đạt điểm trung bình 37,50%
- Tỷ lệ HS đạt điểm yếu 15,00%. 
Thông qua tỷ lệ trên chứng tỏ rằng kết quả học tập của HS lớp TN tốt hơn lớp ĐC. Cụ thể, điểm trung bình của lớp TN thấp hơn lớp ĐC, điểm khá và điểm giỏi tăng. Lớp đối chứng không có điểm yếu.
Thông qua việc áp dụng đề tài sáng kiến, Tôi thấy học sinh đã biết áp dụng kiến thức đã học để giải quyết những bài toán thực tế hay là những tình huống trong thực tiễn cuộc sống biết áp dụng kiến thức toán học vào thực tế nhanh hơn, tốt hơn và bản thân được rèn luyện bản lĩnh hơn, tự tin trước câu hỏi cũng như câu trả lời khi xây dựng bài học, tự tin trước tập thể lớp, trước công việc được giao, có cách sống chan hòa mình vì mọi người, mọi người vì mình yêu thích môn học nhiều hơn vì được trải nghiệm thực tế, nói năng văn minh, lịch sự, ngăn chặn được tối đa các tai tệ nạn thâm nhập vào học đường.
PHẦN 3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
 1. Kết luận
 Việc nghiên cứu, áp dụng sáng kiến kinh nghiệm ở mức độ ban đầu nên kết quả còn nhiều hạn chế. Đòi hỏi phải tiếp tục đầu tư thời gian và trí tuệ trong một thời gian dài để hoàn thành tốt việc giảng dạy phần kiến thức này cho học sinh. Đề tài trên chỉ là những kinh nghiệm nhỏ, kết quả của sự nghiên cứu cá nhân, thông qua một số tài liệu tham khảo nên không tránh khỏi những hạn chế, khiếm khuyết. 	
 Do giới hạn về thời gian cũng như các điều kiện khác nên tôi chưa thực hiện thực nghiệm được trên quy mô lớn hơn. Chính vì thế mà kết quả thực nghiệm chắc chắn chưa phải là tốt nhất. Mặc dù vậy, qua thời gian thực nghiệm tôi nhận thấy rằng, việc tạo hứng thú học tập môn Toán