SKKN Hướng dẫn học sinh phương pháp kẻ thêm đường phụ để giải một số bài toán hình 7; 8

 1. MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài:
 Ngày nay việc nâng cao chất lượng dạy và học là vấn đề được quan tâm hàng đầu. Để chất lượng học của học sinh (HS) ngày càng được nâng lên, yêu cầu người giáo viên(GV) phải có phương pháp dạy phù hợp và hệ thống bài tập đa dạng, phong phú đối với mọi đối tượng HS .Toán học là một trong những bộ môn khó ở chương trình phổ thông. Song nó sẽ không khó nếu như chúng ta nắm vững được kiến thức cơ bản, cũng như hiểu được phương pháp giải bài tập.
 Chẳng hạn, khi giải các bài tập hình học, đặc biệt là các bài tập hình học phương pháp giải cần vẽ thêm đường phụ là những bài toán khó đối với HS THCS. Nhưng khi thông qua một số phương pháp giải các bài toán hình có kẻ thêm đường phụ chắc chắn các em HS sẽ hiểu kĩ hơn, sâu sắc hơn, hứng thú hơn về phương pháp giải loại toán này. Từ đó là nền tảng cho các em trong quá trình giải các bài tập hình ở mức độ cao hơn, phức tạp hơn.
 Trong khi tìm các phương pháp giải các bài toán hình học, có lúc việc kẻ thêm yếu tố phụ làm cho giải các bài toán trở nên dễ dàng hơn.Thậm chí, có những bài toán cần phải vẽ thêm đường phụ thì mới tìm ra được lời giải.Tuy nhiên việc kẻ thêm đường phụ như thế nào để cho bài toán có lời giải hay và ngắn gọn mới là vấn đề khiến cho người thầy cần phải đầu tư suy nghĩ.
 Thực tế cho thấy rằng không có phương pháp chung cho việc vẽ thêm đường phụ khi giải các bài toán hình học.Vì thế khi giải bài toán đòi hỏi HS phải có suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp nhiều kiến thức cũ và mới một cách có hệ thống và tổng hợp, để từ đó có cách vẽ thêm những đường phụ hợp lý để có thể đưa đến cách giải hay và độc đáo, và vì vậy khi giải một bài toán hình việc xác định phương pháp là một trong những yếu tố quan trọng để tìm lời giải, điều đó đòi hỏi HS phải có năng lực trí tuệ và tư duy khoa học của hình học, cụ thể là tìm hướng giải và phương pháp giải, để làm được điều đó GV cần phải cung cấp cho HS một số phương pháp giải các bài toán hình có kẻ thêm đường phụ.
 Với đề tài “Hướng dẫn học sinh phương pháp kẻ thêm đường phụ để giải một số bài toán hình 7;8”, tôi muốn góp phần tạo nên cơ sở để học tốt loại toán hình có kẻ thêm đường phụ nói riêng và các loại toán hình học nói chung.
1.2 Mục đích nghiên cứu :
 Mục đích của đề tài là: - Giúp trang bị cho HS một số kiến thức để học tập môn Toán nói chung và việc đưa ra phương pháp dạy và học "giải các bài toán hình có kẻ thêm đường phụ " nói riêng tốt hơn. 
 - Để HS ứng dụng làm bài tập một cách chủ động, linh hoạt, tránh lúng túng, mất hướng giải và mất nhiều thời gian, củng cố niềm tin cho HS khi học môn Toán nói chung và "giải các bài toán hình có kẻ thêm đường phụ " nói riêng.
 - Để các em có ý thức vươn lên học tốt hơn bộ môn Toán, cũng như các môn học khác.Từ đó dần dần hình thành năng lực học tập, phát triển tư duy sáng tạo, hình thành kỹ năng vẽ hình, tính cẩn thận, chính xác cho HS .
1.3 Đối tượng nghiên cứu :
 Đề tài áp dụng đối với HS THCS chủ yếu là HS lớp 7; 8 trong giờ luyện tập, các buổi học thêm ,bồi dưỡng HS mũi nhọn hoặc bồi dưỡng HS giỏi, ôn tập cuối năm và ôn tập cho các kỳ thi ở trường, thi HS giỏi các cấp, thi vào cấp TPTH.
1.4 Các phương pháp nghiên cứu:
 Trong khi nghiên cứu đề tài , tôi đã sử dụng một số phương pháp sau:
 - Phương pháp quan sát, điều tra, theo dõi thực tế; Phương pháp nghiên cứu; Phân tích, tổng hợp; Phương pháp tham khảo thu thập tài liệu; Phương pháp thùc nghiÖm; Phân tích, tổng kết kinh nghiệm; Kiểm tra kết quả chất lượng HS.
... Qua đó giúp các em có phương pháp giải đúng, tránh được tình trạng định hướng sai khi giải bài toán hoặc còn lúng túng trong việc chưa tìm ra hướng giải và trình bày lời giải, giúp các em làm việc tích cực hơn, say mê và ham thích hơn , ®Ó tõ ®ã đạt ®­îc kết quả cao trong các kỳ thi.
1.5 Nh÷ng ®iÓm míi cña SKKN:
- Thông qua SKKN, HS được nâng cao tư duy sáng tạo, độc lập, phát huy tính tự giác, tích cực trong học tập, thúc đẩy cho các em sự say mê và hứng thú học tập tốt hơn.
 2. NỘI DUNG
2.1 Cơ sở lý luận:
 Các bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ là những bài toán khó đối với HS THCS. Bởi vì để giải các bài toán dạng này không chỉ yêu cầu HS nắm vững kiến thức mà còn đòi hỏi HS cần có một kỹ năng giải toán và có sự sáng tạo nhất định. Để chứng minh các định lý phải sử dụng việc kẻ thêm đường phụ thì trong SGK đề cập đến không đáng kể. Việc làm các ví dụ về dạng toán này ở trên lớp cũng không nhiều. Tuy nhiên, các bài tập trong SGK lại đưa ra khá nhiều dạng toán này và đặc biệt là ở một số bài tập nâng cao khi giải phải kẻ thêm đường phụ, nếu không thì việc tìm lời giải trở nên khó khăn hơn nhiều.
 Trên thực tế,đối với HS khi giải các bài toán dạng này cần phải mất rất nhiều thời gian nghiên cứu. Mà việc đi sâu vào nghiên cứu và tìm tòi các cách giải bài toán có kẻ thêm đường phụ đối với HS còn rất ít. Mặt khác, đối với đa số HS việc nắm vững về mục đích,yêu cầu khi kẻ các đường phụ cũng như kiến thức về một số loại đường phụ còn rất hạn chế. Các tài liệu viết rêng về loại toán này cũng rất ít nên việc tham khảo đối với HS còn gặp nhiều khó khăn.
 Vì vậy với nội dung trình bày của đề tài này bản thân tôi mong muốn đó sẽ là một nội dung tham khảo cho GV để góp phần tạo nên cơ sở cho GV có thể dạy tốt hơn, HS hiểu và làm tốt hơn các bài tập loại toán hình có kẻ thêm đường phụ.
2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
 Trong quá trình dạy môn toán nói chung, đặc biệt là phân môn hình học nói riêng, tôi nhận thấy hầu hết các em HS không thích và rất ngại khi làm các bài toán hình. Bởi vì các em thấy nó rất khó, các em không biết phương pháp giải và giải như thế nào. Chính vì thế đã làm tôi trăn trở rất nhiều, là một GV trực tiếp dạy bộ môn toán tôi suy nghĩ là làm thế nào để giúp các em có được phương pháp giải các bài toán hình. Từ đó giúp các em khi gặp các bài toán hình các em không còn ngại nữa mà trở nên ham thích hơn, say mê và hứng thú hơn trong việc tìm ra lời giải hay, ngắn gọn và đơn giản nhất.
 Trước khi đưa vào thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã tiến hành điều tra về hiểu và có kỹ năng giải bài toán hình đối với HS khối 7, 8 tại trường THCS nơi tôi đang trực tiếp giảng dạy trong các năm học 2014- 2015, 2015-2016. 
Kết quả thu được như sau: 
Khối Tổng số lớp HS
Số HS giải thành thạo
Số HS giải chưa thành thạo
Số HS không biết giải
Số lượng
Tỉ lệ %
Số lượng
Tỉ lệ %
Số lượng
Tỉ lệ %
 7 81
 2
 2,7
 9
 11
 70
 86,3
 8 70
 3
 4,3
 11
 15,7
 56
 80
 Qua kết quả trên tôi nhận thấy rằng : Số HS không biết làm, còn lúng túng, lơ mơ chưa giải quyết được các bài toán hình học là rất lớn, trong khi đó chỉ một số ít các em biết giải thành thạo đối với dạng toán này.
 Từ thực tế trên, bản thân tôi là một GV trực tiếp giảng dạy bộ môn Toán tại trường THCS, tôi luôn trăn trở làm thế nào để cuốn hút các em HS vào môn học này và làm thế nào để tạo cho các em có một tâm lý vững vàng, không còn sợ sệt khi gặp các bài toán hình nữa.Và SKKN“Hướng dẫn học sinh phương pháp kẻ thêm đường phụ để giải một số bài toán hình 7; 8” là một phương pháp mà bản thân tôi muốn đưa ra để chúng ta cùng áp dụng nhằm nâng cao chất lượng Dạy - Học đối với phân môn Hình học nói riêng và bộ môn Toán nói chung.
2.3 Các giải pháp thực hiện:
A, Giải pháp:
1. Các yêu cầu khi kẻ (dựng) các đường phụ.
1.1 Kẻ đường phụ phải có mục đích.
 Đối với một số bài toán hình để giải được chúng ta cần phải kẻ thêm yếu tố đường phụ.Vì thế kẻ đường phụ phải giúp được cho việc giải quyết bài toán. Muốn vậy nó phải là kết quả của sự phân tích tổng hợp, tương tự hoá, dự đoán logic theo một mục đích xác định là gắn kết được mối quan hệ của kiến thức đã có với điều kiện đã cho của bài toán và kết luận phải tìm.
 Nếu kẻ đường phụ không giúp ích cho việc chứng minh thì nó sẽ làm cho hình vẽ rối thêm, dẫn đến làm khó thêm cho việc tìm ra lời giải đúng. Vì vậy khi tiến hành kẻ đường phụ, phải luôn đặt ra câu hỏi:”Kẻ đường phụ này có đạt được mục đích mình yêu cầu không ? ”
1.2 Các đường phụ phải là các đường có trong phép dựng hình cơ bản và phải xác định được.
2. Một số loại đường phụ thường được sử dụng trong giải c¸c bµi toán hình học ở THCS.
- Kéo dài một đoạn thẳng cho trước với độ dài tuỳ ý.
- Nối hai điểm cho trước hoặc hai điểm đã xác định.
- Từ một điểm cho trước dựng đường thẳng song song với đường thẳng cho trước. 
- Từ một điểm cho trước dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước.
- Dựng đường phân giác của một góc cho trước.
- Dựng một đường thẳng đi qua một điểm cho trước hợp thành với một đường thẳng khác một góc bằng góc cho trước. 
3. Các phương pháp sử dụng đường phụ và phân dạng các loại toán hình mà lời giải có sử dụng đường phụ.
* Các phương pháp sử dụng đường phụ.
- Kẻ thêm đường phụ để tạo nên các hình rồi sử dụng định nghĩa hoặc tính chất các hình để giải quyết bài toán.
- Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối liên hệ để giải quyết bài toán.
- Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng.
* Phân dạng các loại toán hình mà lời giải có sử dụng đường phụ
Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng một nửa (hay gấp hai lần) đoạn thẳng cho trước. 
Dạng 3: Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng tổng (hiệu) hai đoạn thẳng xác định.
Dạng 4: So sánh hai đoạn thẳng hoặc tổng (hiệu) hai đoạn thẳng.
Dạng 5: Tính độ dài đoạn thẳng.
Dạng 6: Tính số đo góc. 
B, Các biện pháp đã tổ chức thực hiện.
B1. Phương pháp kẻ thêm đường phụ để tạo nên các hình rồi sử dụng định nghĩa hoặc tính chất các hình để giải quyết bài toán.
Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
* Một trong những cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau là ta có thể tạo ra các hình rồi sử dụng định nghĩa hay tính chất các hình để giải quyết bài toán.
Bài 1: Cho ABC, có B = C. Chứng minh: AB =AC.
 *Phân tích: Từ kết luận của bài toán gợi cho ta nghĩ đến việc kẻ thêm đường phụ như thế nào? Để chứng minh được AB = AC gợi cho ta nghĩ ngay đến việc kẻ thêm đường phụ sao cho AB và AC là 2 cạnh của 2 tam giác nào đó, rồi chứng minh 2 tam giác có chứa 2 cạnh đó bằng nhau.
* Kẻ thêm đường phụ: 
+ Cách1: - Qua A kẻ tia phân giác AI của BAC ( I BC).
+HD Chứng minh : Ta có thể chứng minh AB = AC 
 bằng cách chứng minh : ABI = ACI 
- Để chứng minh ABI = ACI ta chỉ cần chứng minh : 
AIB = AIC. Đến đây HS dễ dàng chứng minh được bài toán. 
+ Cách2: - Qua A kẻ AH BC( H BC).
+ HD Chứng minh : Ta có thể chứng minh AB = AC A
 bằng cách chứng minh : ABH = ACH . 
- Để ABH = ACH ta chỉ cần chứng minh : BAH = CAH 
- Để chứng minh : BAH = CAH ta chỉ cần dựa vào kiến thức 
tổng 3 góc trong tam giác. Từ đó, ta giải quyết được bài toán. B H C
 Như vậy, cũng từ một đường phụ kẻ thêm nhưng do cách dựng khác nhau nên dẫn ®Õn cách chứng minh cũng khác nhau. Tuy nhiên, ta nên lựa chọn cách nào nhanh và đơn giản nhất để giải.
Bài 2. Cho tứ giác ABCD có AB // CD; AD // BC. 
 Chứng minh: AB = CD, AD = BC.
*Phân tích: -Để chứng minh cho AB= CD, AD = BC gợi cho ta nghĩ đến việc cần t¹o ra cặp tam giác bằng nhau có 2 cạnh tương ứng là AB và CD hoặc AD và BC .Từ suy nghĩ đó gợi cho ta nghĩ đến việc kẻ thêm đường phụ như thế nào?
+ Kẻ thêm đường phụ:- Nối A với C (hoặc B với D) A B
+ HD Chứng minh : Ta có thể chứng minh AB = CD, AD = BC
 bằng cách chứng minh : ABC = CDA . 
 - Để chứng minh ABC = CDA ta chỉ cần chứng minh : D C
 BAC = ACD và CAD = ACB ( so le trong).
 Đến đây HS dễ dàng chứng minh được bài toán. 
 Như vậy, ta có thÓ giải bài toán dễ dàng bằng cách vẽ thêm đường phụ AC.
Bài 3. Cho ABC, vẽ AH vuông góc với BC (H BC). Trên nửa mặt phẳng bờ AH có chứa điểm B, dựng AD AB sao cho 
AD = AB. Trên nửa mặt phẳng còn lại dựng AE AC sao cho AE = AC. Nối D với E, AH cắt DE ở M. 
Chứng minh MD = ME.
 *Phân tích: Từ kết luận của bài toán, hình cần tạo ra là hình nào để từ đó có thể giải được bài toán?.
+ Kẻ thêm đường phụ:-Từ D hạ DK AH (K AH).
 -Từ E hạ EN AH (N AH).
+ HD Chứng minh: 
- Để chứng minh DM = ME ta chứng minh KDM = NEM.
- Để KDM =NEM. Ta cần chứng minh DK = EN, KDM =NEM (so le trong).
- Để DK = EN ta chứng minh HAB =KDA (cạnh huyền - góc nhọn).
 Và HAC = NEA (cạnh huyền - góc nhọn).
Vậy, bằng cách kẻ thêm đường phụ DK và EN ta có thể giải bài toán dễ dàng.
Kết luận: Bằng cách kẻ thêm đường phụ để tạo nên các tam giác bằng nhau, tõ ®ã suy ra các cạnh tương ứng (các đoạn thẳng cần chứng minh) bằng nhau
* Bài tập tự luyện: Cho ABC, có A = 60o. Các tia phân giác của B và C cắt nhau ở I và cắt AC, AB theo thứ tự ở D và E. Chứng minh: ID= IE
Gợi ý kẻ thêm đường phụ: Kẻ tia phân giác của BIC cắt BC tại K (K BC).
Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng một nửa (hay gấp hai lần) đoạn thẳng cho trước. 
* Chứng minh một đoạn thẳng có độ dài bằng nửa độ dài đoạn thẳng khác hoặc đoạn này gấp hai lần đoạn thẳng cho trước ta có thể:
Cách1: Chia đôi đoạn thẳng dài rồi chứng minh trong mét hai đoạn thẳng này bằng đoạn thẳng ngắn.
Cách2: Gấp đôi đoạn thẳng ngắn được đoạn thẳng mới và chứng minh đoạn thẳng này bằng đoạn thẳng dài.
 Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có A = 120o. Tia phân giác của góc D đi qua
 trung điểm I của cạnh AB. Kẻ AH CD. Chứng minh AH = DI.
 *Phân tích: Từ kết luận của bài toán để chứng minh AH =DI gợi cho ta nghĩ đến việc tạo ra đoạn thẳng nào đó trên DI sao cho đoạn thẳng đó bằng DI. 
Từ sự phân tích trên ta đi đến kẻ thêm đường phụ nào?
+ Kẻ thêm đường phụ: - Qua A dựng AM DI (M DI).
+ HD Chứng minh: Để chứng minh AH = DI. Ta cần: chứng minh AH = DM.
 Vì ADI cân tại A ( hai góc đáy bằng nhau).Mà AM là đường cao, suy ra AM là trung tuyến DM = DI. Để AH = DM ta chỉ cần chứng minh : 
ADM =ADH (cạnh huyền-góc nhọn). Đến đây HS dễ dàng chứng minh bài toán. 
Bài 2: Cho ABC vuông tại A, có B = 60o. Chứng minh AB = BC. 
*Phân tích: Từ kết luận của bài toán AB = BC hay 2AB = BC
 gợi cho ta phải nghĩ đến việc tìm cách tạo ra đoạn thẳng nào đó bằng 2AB, rồi chứng minh đoạn thẳng đó bằng BC và lại có B = 60o nên gợi cho ta nghĩ đến việc tìm tạo ra tam giác đều. C
+ Kẻ thêm đường phụ: 
- Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB 
60o
+ HD Chứng minh: Để chứng minh AB = BC ta chỉ cần 
chứng minh : BC = BD. Để chứng minh BC= BD ta chỉ cần D A B
chứng minh :ABC =ADC (c-g-c) vàBCD là đều. 
 Đến đây HS dễ dàng chứng minh bài toán.
Bài 3: Chứng minh rằng: Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. 
 *Phân tích: Để chứng minh được AM =BC ta cần phải chứng minh điều gì? Điều này gợi cho ta cần phải chứng minh: AM = BM hoặc AM = CM.
Vậy để chứng minh AM = BM( hoặc AM = CM).Ta phải chứng minh : AMB (hoặc AMC) là tam giác cân tại M.Từ sự phân tích đó, để chứng minh 
AM =BC hay AM =MC ta cần kẻ thêm đường phụ nào?.
+ Kẻ thêm đường phụ: 
- Dựng điểm E là trung điểm của AC .
- Dựng đoạn thẳng ME .
+ HD Chứng minh:- Để c/m AM =BC ta chứng minh AM = MC =BC.
- Để AM = MC ta chứng minhAMC cân tại M (hoặc ME là đường trung trực của AC).
 Như vậy với việc kẻ thêm đường phụ ME. ta có thể chứng minh bài toán một cách dễ dàng.
 * Ta có thể kẻ thêm đường phụ bằng cách khác:
+ Kẻ đường phụ: Từ M dựng Mx // AB cắt AC tại E.
+ Kẻ đường phụ: Dựng đường trung trực ME của AC.
+ Kẻ đường phụ: Từ M dựng ME AC (E AC).
+ Kẻ đường phụ: Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA
GV lưu ý : §ối với một bài toán ta cũng có thể có nhiều cách kẻ đường phụ khác nhau. Mỗi cách kẻ đường phụ, cho ta một cách chứng minh. vì thế ta nên lựa chọn phương pháp kẻ đường phụ nào mà dẫn đến cách chứng minh dễ hiểu, đơn giản và hay nhất.
* Bài tập tự luyện: Cho ABC,M là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng không chứa C có bờ AB, vẽ tia AxAB, trên tia đó lấy điểm D sao cho AD = AB .Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC, vẽ tia AyAC,trên tia đó lấy điểm E sao cho AE = AC. Chứng minh : AM =DE
Gợi ý kẻ đường phụ: Trên tia đối của tia MA lấy điểm K sao cho MK = MA
Dạng 3: Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng tổng (hay hiệu) hai đoạn thẳng xác định.
Bài 1: Chứng minh rằng “ Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy và có độ dài bằng nửa tổng độ dài hai đáy”. 
*Phân tích: Để hướng cho HS biết cách kẻ thêm đường phụ thì GV cần phải phân tích cho HS: 
Từ khái niệm“ đường trung bình” của hình thang gợi cho ta liên tưởng đến định lí tương tự nào trong tam giác? Liệu định lí đường trung bình trong tam giác có thể sử dụng cho lời giải bài toán này không?
 Từ đó GV cho HS có suy nghĩ tìm cách đưa về tam giác để vận dụng kiến thức đã có để chứng minh bài toán. Vậy phương án kẻ thêm đường phụ cụ thể là gì?
+ Kẻ thêm đường phụ:
- Dựng đoạn thẳng BN
- Kéo dài BN về phía N cắt CD tại E.
+ HD Chứng minh:
- Như vậy, ta đã có được MN là đường trung bình của BEC
Do đó MN = EC. Mà EC = ED + CD. Nên MN = (ED + CD).
- Như vậy để chứng minh MN = ( AB +CD) ta chỉ cần chứng minh AB = ED.
- Để chứng minh AB = ED ta chứng minh ABN =DEN (g.c.g)
Kết luận: Việc kẻ thêm đường phụ BN cắt DC tại E là do suy nghĩ quy về việc sử dụng định lí về đường trung bình của tam giác (kiến thức đã có) để giải bài toán. Đoạn thẳng CE tạo được bằng tổng hai đáy của hình thang (phù hợp với mục đích tính chất). Như vậy đối với bài toán này nếu không dùng phương pháp kẻ thêm đường phụ thì việc tìm lời giải trở nên khó khăn hơn nhiều.
Bài 2: ChoABC vuông cân tại A. Lấy một điểm M tuỳ ý trên cạnh BC (M khác B và C).Chứng minh : MB2 + MC2 = 2 MA2 
 *Phân tích: Từ kết luận của bài toán gợi cho ta liên tưởng đến định lý Py-ta-go. Và Từ đó ta suy nghĩ đến việc kẻ thêm đường phụ sao cho MB và MC là hai cạnh của tam giác vuông nào đó. Từ phân tích, ta đi đến việc kẻ đường phụ như thế nào ?
+ Kẻ thêm đường phụ :
- Từ M, dựng MN AB ( N AB). 
- Từ M, dựng MP AC ( P AC).
+ HD Chứng minh: Từ việc kẻ thêm đường phụ ta có:
- Để chứng minh MB + MC = 2 MA2 ta cần chứng minh
 MB + MC =2(MN+NA).
Hay ta cần phải chứng minh: MB= 2 MNvà MC= 2 NA
 Đến đây ta chỉ cần áp dụng định lý Pitago đối với NMB vuông cân tại N.
 MB= NB +MN = 2 MN
 áp dụng định lý Py-ta-go đối với PMC vuông cân tại P.
 MC = PM + PC = 2 MP
 Đến đây HS chỉ cần chỉ ra MP = NA (tứ giác ANMP là hình chữ nhật).
 Và dễ dàng suy ra điều cần chứng minh.
 Kết luận: §ể có thể giải được bài toán hình ta cần chú ý đến phương pháp kẻ thêm đường phụ. V× vËy đối với việc kẻ đường phụ là rất cần thiết khi giải một bài toán hình.
* Bài tập tự luyện: Cho đoạn thẳng AB, O là trung điểm của AB .Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tia Ax, ByAB. Gọi C là 1 điểm thuộc tia Ax, đường vuông góc với OC tại O cắt tia By ở D. Chứng minh : CD = AC + BD
Gợi ý kẻ đường phụ: Kéo dài CA về phía A, OD về phía O cắt nhau tại K
Dạng 4: So sánh hai đoạn thẳng hoặc tổng (hiệu) hai đoạn thẳng.
Bài 1: Cho ABC có AB BD.
*Phân tích: Từ kết luận của bài toán gợi cho ta suy nghĩ cần tạo ra một tam giác mà hai cạnh có độ dài bằng BD;CD.Từ đó có thể so sánh các góc đối diện với hai cạnh ấy. Đến đây ta có thể kẻ thêm đường phụ nào 
* Kẻ thêm đường phụ: 
- Trên AC lấy điểm E sao cho AE = AB.
 Ta được DEC đạt được theo yêu cầu trên. Vậy điểm E là yếu tố phụ cần vẽ thêm để giúp ta giải được bài toán này.
* HD Chứng minh: - Để chứng minh CD > BD ta cần chứng minh (CD và DEDEC). 
Do vậy để chứng minh CD > DE ta chứng minh DEC > ECD. Đến đây có thể dễ dàng chứng minh DEC > ECD dựa vào mối quan hệ góc ngoài của tam giác.
Bài 2: ChoABC ( AB = AC) , D là điểm bất kỳ trong tam giác sao cho ADB > ADC.
Chứng minh rằng : DC > DB .
*Phân tích: Tương tự như bài toán trên, ta tìm cách tạo ra tam giác có hai cạnh có độ dài bằng DC; DB.
 Như vậy ta cần kẻ thêm đường phụ nào ?
* Kẻ thêm đường phụ:
-Vẽ tia Ax trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B sao cho CAx = BAD
- Trên tia Ax lấy điểm E sao cho AE = AD
* HD Chứng minh :
- Để chứng minh DC > DB ta cần chứng minh
DC > EC ( EC = BD vì DAB = EAC ( c.g.c))
- Để DC > EC ta chứng minh DEC > EDC.
- Để chứng minh DEC > EDC ta chỉ cần chứng minh AEC - AED > ADC - ADE.
 Đến đây HS dễ dàng chứng minh vì AEC > ADC và ADE = AED.
Bài 3. Cho ABC, M là điểm trên tia phân giác n