SKKN Hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh THCS

 1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài:
 Đại hội XII của Đảng xác định: “Đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục, đào tạo theo hướng mở, hội nhập, xây dựng xã hội học tập, phát triển toàn diện năng lực, thể chất, nhân cách, đạo đức, lối sống, ý thức tôn trọng pháp luật và trách nhiệm công dân...”. Để thực hiện tốt các yêu cầu đó, việc đổi mới giáo dục cần tập trung vào hai việc: "Đổi mới mạnh mẽ và đồng bộ các yếu tố cơ bản của giáo dục, đào tạo; coi trọng phát triển phẩm chất và năng lực người học". Một trong những năng lực mà người Việt Nam nói chung và giới trẻ hiện nay còn yếu đó là tư duy phản biện. Tư duy phản biện hay tư duy phân tích là "một quá trình tư duy biện chứng gồm phân tích và đánh giá một thông tin đã có theo các cách nhìn khác cho vấn đề đã đặt ra nhằm làm sáng tỏ và khẳng định lại tính chính xác của vấn đề". Tư duy phản biện không chỉ đơn thuần là sự tiếp nhận và duy trì thông tin thụ động. Đó có thể tóm tắt là quá trình tư duy tìm lập luận phản bác lại kết quả của một quá trình tư duy khác để xác định lại tính chính xác của thông tin. Ý kiến phản biện có giá trị rất lớn quyết định tới sự thành bại của tổ chức thậm chí là sự tiến bộ của loài người. 
 Với tình hình đó, các nhà giáo dục cho rằng trường học nên tập trung hơn vào việc dạy học sinh tư duy phản biện. Mỗi giáo viên trong quá trình giảng dạy cần có ý thức hình thành cho HS tư duy phản biện. Đối với bộ môn Toán một trong những việc làm có thể góp phần hình thành tư duy phản biện đó là giáo viên cần chú ý hình thành cho HS phương pháp chứng minh bằng phản chứng. Nếu nắm vững và vận dụng tốt phương pháp chứng minh phản chứng thì sẽ tạo cho HS thói quen biết lật lại vấn đề, biết nhìn ra nhiều mặt của một vấn đề, biết lập luận logic để phân tích sự việc, tìm ra mặt tối ưu của vấn đề. Đó là những cơ sở vững chắc để hình thành tư duy phản biện.
 Phương pháp chứng minh bằng phản chứng được đề cập rất ít trong chương trình THCS. Hiện nay chưa có một tài liệu nào nghiên cứu về việc áp dụng phương pháp này như thế nào trong môn Toán THCS. Nhưng phương pháp chứng minh bằng phản chứng là "một phương pháp chứng minh độc đáo và phổ biến trong toán học". Thậm chí với nhiều bài toán nó trở nên duy nhất, không dùng phương pháp phản chứng thì việc chứng minh rất khó khăn. Đây lại là phương pháp đòi hỏi khả năng tư duy logic, khả năng khái quát, khả năng tưởng tượng nên đối với đa phần học sinh khi nói đến chứng minh bằng phương pháp này đều cảm thấy rất mơ hồ, khó hiểu và không biết phải bắt đầu từ đâu, làm như thế nào? Do đó giáo viên cần tạo điều kiện cho học sinh có được những hiểu biết đầy đủ về chứng minh Toán học trong đó có phương pháp chứng minh bằng phản chứng.
 1.2 Mục đích nghiên cứu:
 Thông qua đề tài nghiên cứu này giúp cho học sinh: 
 - Nắm được các bước cần thực hiện khi chứng minh một bài toán bằng phương pháp phản chứng.
Dần hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh. 
Tạo thói quen vận dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng trong chứng minh Toán học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
 Đề tài này đưa ra các tính chất, các định lí và các bài tập ở cấp THCS có thể vận dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng .
1. 4. Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài: nắm vững cơ sở lý luận chứng minh Toán học và chứng minh bằng phản chứng.
- Điều tra khảo sát, tìm hiểu thực tế.
- Đối chiếu, so sánh, tích luỹ thông tin.
- Đánh giá kết quả, rút ra bài học kinh nghiệm.
1.5 Những điểm mới của SKKN
Với đề tài "Phương pháp chứng minh phản chứng trong chứng minh Hình học 7" chúng ta đã thấy rằng phương pháp chứng minh bằng phản chứng là một phương pháp hay cần được hình thành cho học sinh. Nhưng nếu chỉ hình thành trong phạm vi Hình học 7 thì HS có thể bị lãng quên ở các năm lớp 8, lớp 9. Mặt khác một số bài toán Số học, Đại số cũng có thể vận dụng phương pháp phản chứng để chứng minh rất hiệu quả. Vì vậy tôi mạnh dạn mở rộng đề tài trên thành đề tài "Hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh Trung học cơ sở". Đề tài này sẽ giúp học sinh được rèn luyện thường xuyên phương pháp chứng minh bằng phản chứng, từ đó nắm vững và trở thành công cụ chứng minh hữu ích mà học sinh có thể vận dụng khi cần.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Giáo viên bộ môn phải bao quát nội dung chương trình môn học
 Nội dung chương trình môn Toán THCS được xây dựng theo nguyên tắc "đảm bảo tính chỉnh thể của chương trình môn Toán trong Nhà trường phổ thông: Chương trình Toán THCS phải được xây dựng cùng với chương trình Tiểu học và chương trình Toán THPT theo một hệ thống quan điểm chỉ đạo chung: đảm bảo tính hệ thống giữa các lớp trong toàn cấp THCS". Mặt khác nội dung chương trình trong từng lớp phải phù hợp với đặc điểm tâm sinh lí, khả năng tiếp nhận của học sinh. Ví dụ như phần Toán 6 được xây dựng trên tinh thần tiếp nối các kiến thức đã học ở bậc Tiểu học đồng thời bổ sung thêm một số kiến thức mới ở mức độ đơn giản. Nhưng lên lớp 7, chương trình đưa vào nhiều nội dung kiến thức mới và khó. Đặc biệt, "các kiến thức hình học được trình bày theo con đường kết hợp trực quan và suy diễn. Nhờ đo đạc, gấp hình,....học sinh dự đoán các sự kiện hình học và tiếp cận với các định lí. Yêu cầu về tập dượt suy luận, chứng minh tăng dần qua các chương". Vì vậy đối với giáo viên bộ môn nói chung và giáo viên dạy Toán nói riêng, cần có sự nghiên cứu kĩ nội dung chương trình môn học, nắm được những nội dung nào các em đã được học, những nội dung nào là sự củng cố mở rộng kiến thức đã học, những nội dung nào học sinh bắt đầu được tiếp nhận. Điều này sẽ giúp cho giáo viên khi giảng dạy có được cách truyền đạt phù hợp với từng nội dung kiến thức.
2.1.2. Giáo viên dạy bộ môn Toán phải có hiểu biết đầy đủ về chứng minh Toán học:
 Các bài toán chứng minh là một phần không thể thiếu của Toán học. Do đó trong quá trình dạy Toán, giáo viên cần có được những hiều biết đầy đủ về chứng minh Toán học để dần hình thành cho học sinh những kiến thức về phương pháp chứng minh Toán học.
 Trong toán học, chứng minh là "một cách trình bày thuyết phục (sử dụng những chuẩn mực đã được chấp nhận trong lĩnh vực đó) rằng một phát biểu toán học là đúng đắn". Chứng minh có được từ lập luận suy diễn, chứ không phải là tranh luận kiểu quy nạp hoặc theo kinh nghiệm. Có nghĩa là, "một chứng minh phải biểu diễn cho thấy một phát biểu là đúng với mọi trường hợp, không có ngoại lệ". Một mệnh đề chưa được chứng minh nhưng được chấp nhận đúng được gọi là một phỏng đoán.
 Ở bậc phổ thông các em học sinh được tiếp cận với các phương pháp chứng minh toán học sau: 
 + Phương pháp suy luận trực tiếp
 + Phương pháp quy nạp
 + Phương pháp chứng minh bằng phản chứng
 + Phương pháp đồ thị
 + Phương pháp bảng
 + Phương pháp sơ đồ
 Các bài toán chứng minh ở THCS chủ yếu sử dụng phương pháp suy luận trực tiếp. Các phương pháp chứng minh còn lại tuy ít gặp nhưng chúng có ý nghĩa rất quan trọng, là phần không thể thiếu của Toán học. Một số bài toán không thể dùng phương pháp suy luận trực tiếp, hoặc nếu suy luận trực tiếp rất phức tạp, khó khăn. Đối với bài toán chứng minh bằng phản chứng nếu ta muốn công nhận kết luận của bài toán là đúng thì phải chứng minh điều ngược lại là sai. Phương pháp chứng minh bằng phản chứng rất hiệu quả đối với những bài toán ít dữ liệu và khó có thể suy luận trực tiếp. 
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
 Mục tiêu của môn Toán THCS là "cung cấp cho học sinh những kiến thức, phương pháp toán học phổ thông, cơ bản, thiết thực; hình thành và rèn luyện các kĩ năng; rèn luyện khả năng suy luận hợp lí và hợp lôgic". Do đó bước vào THCS học sinh phải dần làm quen với suy luận, chứng minh toán học. Nếu như ở lớp 6 học sinh mới chỉ bước đầu làm quen với suy diễn đơn giản thì yêu cầu rèn luyện suy luận chứng minh được tăng dần từ lớp 7 đến lớp 9. Trong chương trình Toán 7 học sinh bắt đầu được làm quen với các phương pháp chứng minh cả trực tiếp và gián tiếp. Nhiều học sinh đặc biệt là học sinh trung bình, yếu, kém nói đến bài toán chứng minh là lúng túng không biết bắt đầu từ đâu. Một số giáo viên trong quá trình giảng dạy lại chưa chú ý đúng mức đến việc hình thành những tri thức về mặt phương pháp cho học sinh. 
 Phương pháp chứng minh bằng phản chứng được đưa vào chương trình sách giáo khoa Toán THCS bắt đầu từ lớp 7. Tuy nhiên tài liệu liên quan đến phương pháp chứng minh bằng phản chứng và các bài tập trong chương trình vận dụng phương pháp này rất ít. Vì vậy nhiều giáo viên không chú ý đến phương pháp này trong quá trình giảng dạy. Các em không hiểu được phương pháp chứng minh phản chứng là gì? Cách trình bày dạng bài này như thế nào? Những bài toán nào thì có thể chứng minh bằng phương pháp phản chứng. Thậm chí những em hiểu được cách chứng minh một số bài gợi ý rồi thì việc tìm được bài toán tương tự để vận dụng cũng rất khó khăn. 
2.3. Giải pháp để giải quyết vấn đề
 Phương pháp chứng minh bằng phản chứng vừa có thể vận dụng trong chứng minh các tính chất, các định lí vừa có thể vận dụng trong các bài tập ở một số phần kiến thức của chương trình Toán THCS.
 Để hình thành phương pháp chứng minh bằng phản chứng cho học sinh, giáo viên cần nắm được các bước cần thực hiện khi trình bày bài toán chứng minh bằng phương pháp phản chứng và nghiên cứu để nắm được trong các bài học những nội dung, những bài tập nào có thể vận dụng phương pháp này để chứng minh Trong quá trình dạy học giáo viên cần có sự nghiên cứu tìm tòi, tận dụng cơ hội để học sinh được vận dụng phương pháp này trong chứng minh một cách thường xuyên để học sinh xem đây là công cụ hữu hiệu trong chứng minh toán học, có thể vận dụng khi cần. Giáo viên cũng phải luôn gợi mở để học sinh vận dụng nhiều cách làm trong một bài toán và suy xét xem với mỗi bài, cách chứng minh, cách làm nào hay hơn, tối ưu hơn.
 2.3.1 Cấu trúc của bài trình bày theo phương pháp chứng minh bằng phản chứng 
Để chứng minh bằng phương pháp phản chứng ta thực hiện theo các bước sau:
 Bước 1: (Phủ định kết luận) Giả sử có điều trái với kết luận.
 Trong bước này, HS cần bao quát kiến thức, nắm rõ với một vấn đề, hay hiện tượng có thể xảy ra những trường hợp nào. Nếu không xảy ra điều như kết luận thì điều gì sẽ xảy ra.
Ví dụ: Khi xét hai đường thẳng thì xảy ra ba trường hợp: cắt nhau, song song, trùng nhau.
 Khi xét một điểm và một đường thẳng thì xảy ra hai trường hợp: Điểm thuộc đường thẳng và điểm không thuộc đường thẳng.
 Khi xét hai số a và b thì xảy ra ba trường hợp: a = b , a > b, a < b.
 .....v.v...
 Bước 2: (dẫn đến mâu thuẫn)
 Từ điều giả sử trên và cùng với các giả thiết, ta dùng các kiến thức đã học lập luận để suy ra điều mâu thuẫn với giả thiết, hoặc trái với những điều đã biết (tiên đề, định lí, hệ quả, các điều đã được chứng minh)
 Bước 3: (Khẳng định kết luận) 
Từ điều mâu thuẫn trên, ta khẳng định điều trái kết luận trên là sai. Vậy kết luận cần phải chứng minh là đúng.
2.3.2.Hình thành phương pháp chứng minh phản chứng qua các tiết học chính khoá
 *Lên lớp 7 HS mới tập suy luận và làm quen với chứng minh Toán học. Qua nghiên cứu nội dung chương trình các tiết dạy, tôi thấy rằng trong chương trình Toán lớp 7 phương pháp chứng minh bằng phản chứng được vận dụng ở các nội dung sau: 
Tính chất hai đường thẳng song song:
Nếu một đương thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:
+ Hai góc so le trong bằng nhau ;
+ Hai góc đồng vị bằng nhau;
+ Hai góc trong cùng phía bù nhau.
 Với tính chất này sau khi học sinh hiểu và vận dụng được thì cuối giờ học giáo viên có thể hướng dẫn học sinh suy luận ra tính chất thứ nhất qua việc trả lời câu hỏi gợi ý ở bài 30 trang 79 Sách bài tập Toán 7 tập 1: 
a
A
 "Trên hình vẽ , hai đường thẳng a, b song song với nhau, 
đường thẳng c cắt a tại A, cắt b tại B.
4
Lấy một cặp góc so le trong ( chẳng hạn cặp A4, B1) 
P
rồi đo xem hai góc đó có bằng nhau hay không?
1
b
Hãy lí luận vì sao theo gợi ý sau: 
Bố
 - Nếu thì qua A ta vẽ tia AP sao cho 
c
 - Thế thì AP // b, vì sao?	
 - Qua A vừa có a // b, vừa có AP // b thì sao?	
 - Kết luận: Đường thẳng AP và đường thẳng a chỉ là một. Nói cách khác từ đó ."	 
Giáo viên cho học sinh thực hiện câu a sau đó hướng dẫn học sinh trả lời câu b như sau: 
 - Nếu thì qua A ta vẽ tia AP sao cho 
- Do có cặp góc so le trong này bằng nhau nên cang songo cho oSachtheo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song thì AP // b
- Khi đó, qua A vừa có a // b, vừa có AP // b, trái với tiên đề Ơclit về đường thẳng song song.
-Vậy đường thẳng AP và đường thẳng a chỉ là một. Nói cách khác nghĩa là .
 Bài tập này vừa giúp HS suy luận ra tính chất thứ nhất của hai đường thẳng vừa củng cố được tiên đề Ơclit. Do đó giáo viên cần lưu ý dành thời gian cho HS làm. Và sau khi HS làm xong, giáo viên có thể giới thiệu cách suy luận như trên chính là suy luận theo phương pháp phản chứng, để giúp HS có được khái niệm ban đầu về phương pháp này. 
 b) Tính chất ba đường thẳng song song:
 Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
 Ở bài " Từ vuông góc đến song song " học sinh đã biết đến cách chứng minh tính chất này bằng cách chứng minh cho hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba. Ở tiết luyện tập sau đó, sách giáo khoa hướng dẫn học sinh suy luận theo cách khác thông qua bài tập 45 Trang 98 :
 a) Vẽ d' // d và d" // d ( d' và d" phân biệt).
 b) Suy ra d' // d" bằng cách trả lời các câu hỏi sau:
 + Nếu d' cắt d" tại điểm M thì M có nằm trên d không? Vì sao?
 + Qua điểm M nằm ngoài d, vừa có d' // d, vừa có d" // d thì có trái với Tiên đề Ơ-clit không?
 + Nếu d' và d" không thể cắt nhau ( vì trái với tiên đề Ơ-lit) thì chúng phải thế nào?
 Sau khi giáo viên cho học sinh vẽ hình ở câu a và hướng dẫn trả lời các câu hỏi ở câu b, giáo viên trình bày thành bài suy luận hoàn chỉnh chứng minh tính chất trên như sau:
d
d'
d''
 Giả sử căt tại điểm M 
Vì nên d và d' không có điểm chung.
 Mà M thuộc do đó M không thể nằm trên d 
 Khi đó qua điểm M nằm ngoài d vừa có 
vừa có mà và là hai đường thẳng 
phân biệt. Điều này trái với Tiên đề Ơ clit. 
Do đó và không thể cắt nhau.
 Vậy và song song với nhau.
 Sau khi trình bày bài xong, giáo viên giới thiệu ta vừa suy ra tính chất ba đường thẳng song song bằng phương pháp phản chứng. Giáo viên giới thiệu các bước:
+ Bước 1: Phủ định kết luận: Giả sử căt tại điểm M 
Vì nên d và d' không có điểm chung. Mà M thuộc do đó M không thể nằm trên d 
+ Bước 2: Dẫn đến mâu thuẫn
 Khi đó qua điểm M nằm ngoài d vừa có vừa có mà và là hai đường thẳng phân biệt. Điều này trái với Tiên đề Ơ clit. Do đó và không thể cắt nhau.
+ Bước 3: Kết luận: Vậy và song song với nhau.
Qua bài này học sinh bắt đầu biết đến cách trình bày một suy luận bằng phương pháp phản chứng. Từ đó tương tự sau khi học Bài " Định lí" giáo viên yêu cầu học sinh trình bày bài tập 43 trang 81 SBT theo phương pháp phản chứng: 
 Hãy chứng minh định lí: "Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau."
 Như vậy ở chương I học sinh đã có được hiểu biết ban đầu về chứng minh bằng phản chứng, biết trình bày bài chứng minh theo phương pháp này.
b) Trong bài ôn tập chương II của Hình học 7:
Trong phần củng cố các kiến thức của chương, GV cho HS làm BT 67 SGK:
Điền dấu "X" vào chỗ trống(...) một cách thích hợp:
 Câu
Đúng
Sai
1. Trong một tam giác, góc nhỏ nhất là góc nhọn
2. Trong một tam giác, có ít nhất hai góc nhọn
3. Trong một tam giác, góc lớn nhất là góc tù
4. Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn bù nhau
5. Nếu là góc ở đáy của một tam giác cân thì 
6. Nếu là góc ở đáy của một tam giác cân thì 
........
........
........
........
........
........
.........
.........
........
........
........
........
Qua bài tập này, GV có thể rèn luyện chứng minh bằng phản chứng cho HS khi giải thích tại sao mỗi câu trên đúng hay sai.
Ví dụ như: 
1. Trong một tam giác, góc nhỏ nhất là góc nhọn là câu đúng
 Giải thích: Giả sử trong một tam giác góc nhỏ nhất không phải là góc nhọn thì có thể là góc tù hoặc góc vuông.
 Nếu góc nhỏ nhất là góc tù thì hai góc còn lại cũng là góc tù. Khi đó tổng ba góc trong tam giác lớn hơn 180o. Điều này trái với định lí tổng ba góc trong tam giác
 Nếu góc nhỏ nhất là góc vuông thì hai góc còn lại là góc vuông hoặc góc tù. Khi đó tổng ba góc trong tam giác lớn hơn 180o. Điều này trái với định lí tổng ba góc trong tam giác
 Vậy điều giả sử trên không thể xảy ra, hay trong một tam giác, góc nhỏ nhất là góc nhọn.
d) Định lí về cạnh đối diện với góc lớn hơn:
 Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
 Định lí này SGK không yêu cầu chứng minh. Nhưng sau khi HS nắm được nội dung định lí, giáo viên yêu cầu HS về nhà làm BT 10 trang 25 SBT Toán 7:
A
B
C
 Cho tam giác ABC có 
 + Có thể xảy ra AC < AB hay không?
 + Có thể xảy ra AC = AB hay không?
 Qua bài toán này học sinh có thể trình bày 
thành bài chứng minh định lí trên như sau:
Cho tam giác ABC với , ta giả sử không thể 
xảy ra AC > AB. Khi đó có thể xảy : AC < AB hoặc AC = AB
+ Nếu AC < AB thì theo định lí về góc đối diện với cạnh lớn hơn ta có 
 Điều này trái với giả thiết là 
+ Nếu AC = AB thì tam giác ABC cân tại A. Khi đó .Điều này cũng trái với giả thiết là . Do đó điều giả sử trên không thể xảy ra.
 Vậy AC > AB
e) Phần Đại số 7, trong bài học: "Sô vô tỉ. Khái niệm căn bậc hai" đưa ra khẳng định: "Không có số hữu tỉ nào mà bình phương bằng 2". Với khẳng định này có thể chứng minh bằng phản chứng như sau: 
Giả sử là số hữu tỉ, tức là , trong đó m, n Î ¥*, tối giản hay ( m, n ) =1
 	Từ Þ m2 = 2n2 Þ m2 là số chẵn Þ m là số chẵn Þ m = 2k, k Î ¥*
Từ m2 = 2n2 Þ 4k2 = 2n2 Þ n2 = 2k2 Þ n2 là số chẵn Þ n là số chẵn
Do đó m chẵn, n chẵn Þ phân số chưa tối giản. Mâu thuẫn giả thiết.
 Vậy không có số hữu tỉ nào mà bình phương bằng 2 hay là số vô tỉ.
 *Lên lớp 8, học sinh chủ yếu vận dụng phương pháp chứng minh trực tiếp. Tuy nhiên, HS vẫn có cơ hội vận dụng phương pháp chứng minh phản chứng trong trường hợp sau:
a) Trong bài "Tứ giác" sau khi học sinh học xong định lí tổng các góc của một tứ giác, Gv có thể củng cố cho HS qua bài tập 6 trang 61 SBT: "Chứng minh các góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn, không thể đều là góc tù" bằng phương pháp phản chứng như sau:
 Giả sử bốn góc của một tứ giác là bốn góc nhọn thì tổng bốn góc của tứ giác nhỏ hơn 360o, trái với tính chất về tổng các góc của tứ giác.
 Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc nhọn.
 Giả sử bốn góc của một tứ giác là bốn góc tù thì tổng bốn góc của tứ giác lớn hơn 360o, trái với tính chất về tổng các góc của tứ giác.
 Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc nhọn, không thể đều là góc tù.
b) Trong bài "Đa giác. Đa giác đều" GV có thể cho HS làm BT 10 SBT trang 126 để củng cố bài: Một đa giác lồi có nhiều nhất bao nhiêu góc nhọn. 
Để trả lời câu hỏi này trước hết HS cần nắm được tổng số đo các góc ngoài của một đa giác bằng 360o từ đó dự đoán câu trả lời. Sau khi HS dự đoán, GV chốt lại: "Một đa giác lồi có không quá ba góc nhọn" và GV hướng dẫn HS chứng minh bằng phản chứng như sau:
 Giả sử có 1 đa giác có quá ba góc nhọn.
Mà một góc của đa giác là nhọn thì góc ngoài tương ứng là góc tù.
Khi đó đa giác có quá ba góc ngoài là góc tù. Nên tổng các góc ngoài của đa giác lớn hơn 360o, trái với định lí đã chứng minh.
 Vậy một đa giác lồi có không quá ba góc nhọn
 *Trong chương trình Toán 9, HS có thể được vận dụng phương pháp chứng minh phản chứng ở một số nội dung sau:
a) Trong bài "Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn" khẳng định:"Không vẽ được đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng" được chứng minh bằng phản chứng như sau: 
B
A
d1
d2
 C
Giả sử đường tròn (O) đi qua ba điểm thẳng hàng A, B, C
thì tâm O là giao điểm của đường trung trực d1
 của AB (vì OA = OB) và đường trung trực d2 
của BC (vì OB = OC). 
Do d1 // d2 nên không tồn tại giao điểm d1 và d