SKKN Giúp học sinh lớp 4 giải những bài toán được mở rộng từ bài toán cơ bản, điển hình dạng Tìm hai số biết tổng và tỉ số của hai số đó

1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài:
	Trước ngưỡng cửa của thế kỷ 21- thế kỷ của nền công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước, ngành giáo dục nói chung và giáo dục tiểu học nói riêng rất quan tâm đến mục đích nâng cao trí tuệ cho học sinh. Không những thế mà còn phải giáo dục học sinh thành những con người phát triển toàn diện về đức - trí - thể - mỹ, chuẩn bị hành trang cho thế hệ trẻ vững bước vào tương lai. Chính vì thế mà nhiệm vụ trồng người của giáo viên cũng nặng nề hơn rất nhiều. Giờ đây, nhiệm vụ đó không chỉ dừng lại ở đào tạo những em học sinh ngoan, chăm học, có lòng yêu nước mà cần phải hình thành và phát triển ở các em những phẩm chất và năng lực của một công dân Việt Nam trong thời kì mới: năng động, sáng tạo, tự chủ và có ý chí vươn lên, có năng lực tự học và có thói quen học tập suốt đời, ham hiểu biết và có niềm tự hào dân tộc. Ngoài mục tiêu chủ yếu là bồi dưỡng kĩ năng tính toán thì giờ đây, môn toán tiểu học còn phải chú ý phát triển tư duy, bồi dưỡng phương pháp suy luận cho các em, tạo cho các em niềm say mê hứng thú trong học tập, tích lũy kiến thức để tương lai có thể tiếp nhận được những thành tựu khoa học kĩ thuật mới nhất đang được sáng tạo hàng ngày, hàng giờ của thế kỉ XXI, thế kỉ mở đầu cho thiên niên kỉ thứ ba. 
 Toán là một môn học khó, tưởng chừng như khô khan nặng nề, khó tiếp nhận nhưng cũng khá lí thú và không kém phần hấp dẫn đối với những ai đã say mê nó. Sự say mê học môn Toán của học sinh thường được tạo ra bởi nhiều cách khác nhau và có một lí do không thể phủ nhận đó chính là từ người thầy trực tiếp giảng dạy các em. Chính những bài giảng hấp dẫn của thầy, cách hướng dẫn của cô làm cho các em thích thú và tạo dần cho các em niềm say mê học tập. Từ sự say mê, hứng thú đó, các em sẽ cố gắng tập trung vào việc học nhiều hơn, như vậy việc học trở nên tự nhiên và cũng nhờ đó mà chất lượng học tập của các em ngày một nâng cao.
 Với học sinh lớp 4, tuy khả năng nhận thức của các em đã được hình thành và phát triển hơn các lớp trước, nhưng vẫn là thời kì đầu của giai đoạn phát triển tư duy. Các em đang được tiếp cận với toán học của lớp 2, 3 rất dễ. Lên lớp 4, kiến thức nhiều hơn, khó hơn, đòi hỏi phải có sự tư duy, suy luận và sáng tạo. Vốn sống thực tế bước đầu có những hiểu biết nhất định song vẫn còn nặng về tư duy cụ thể. Con đường để các em lĩnh hội kiến thức nhanh nhất vẫn là trực quan sinh động. Chính vì thế việc hướng các em tới những bài toán mới, được sáng tạo từ bài toán cơ bản để các em làm quen là hết sức quan trọng, vừa giúp học sinh có thêm kiến thức vừa làm cho khả năng tư duy của các em phát triển thêm một bậc, đồng thời tạo hứng thú học tập cho các em trong môn toán – một môn học được coi là khô khan và "hóc búa". Khi làm toán, các dạng bài thuộc về kĩ năng thì em làm rất nhanh và chính xác nhưng lại không biết khai thác bài toán cơ bản thành một chuỗi bài toán có liên quan. Vì thế với một bài toán mới, nhiều học sinh không biết phải bắt đầu từ đâu? Vận dụng những kiến thức nào? Bài toán có liên quan đến những kiến thức nào đã học?...
 Để giúp các em phát hiện được dạng và giải được một số bài toán nâng cao từ bài toán cơ bản đã học, tôi đã chọn đề tài “Giúp học sinh lớp 4 giải những bài toán được mở rộng từ bài toán cơ bản, điển hình dạng Tìm hai số biết tổng và tỉ số của hai số đó”
1.2 Mục đích nghiên cứu:
 Đưa ra một số biện pháp giúp học sinh năng khiếu môn toán lớp 4 phát hiện và giải tốt các bài toán được mở rộng từ bài toán cơ bản, điển hình dạng Tìm hai số biết tổng và tỉ số của hai số đó.
1. 3 Đối tượng nghiên cứu:
	Giáo viên, học sinh lớp 4 trong việc dạy, học toán nâng cao dạng Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó.
1.4 Phương pháp nghiên cứu: 
+ Phương pháp đọc sách: 
Tìm đọc, phân tích các tài liệu, sách báo, sáng kiến về giải bài toán về tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó.
+ Phương pháp Trò chuyện:
Trò chuyện trực tiếp với giáo viên, học sinh khi học các tiết toán của buổi thứ 2 và các buổi sinh hoạt Câu lạc bộ Toán tuổi thơ.
+ Phương pháp điều tra:
	 Điều tra cách dạy, học bằng hệ thống câu hỏi, bài tập đối với giáo viên và học sinh về dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó.
 	+ Phương pháp thống kê: 
	Sử dụng thống kê để xử lí các tài liệu, số liệu thu thập được.
2. NỘI DUNG
2.1 Cơ sở lí luận:
 Toán điển hình là gì? Là những bài toán cùng dạng, đơn giản có dữ kiện rõ ràng, có thể giải dựa vào công thức hoặc các bước tính đã được cụ thể hóa. 
Ở lớp 4, học sinh được học một số dạng toán điển hình như: Tìm hai số biết tổng (hiệu) và tỉ số của hai số đó; Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó; ...
 Bài toán cơ bản là gì? Là những bài toán được hướng dẫn cụ thể cách giải trong sách giáo khoa thuộc chương trình quy định của Bộ GD&ĐT.
 Những bài toán được mở rộng từ bài toán cơ bản là gì? 
Là những bài toán không hiển thị cụ thể dữ kiện bài toán mà được ngụy trang bằng cách này hay cách khác để phát triển tư duy và kích thích khả năng nhận biết của học sinh.
	Dạng toán Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó được học trong chương trình lớp 4 vào giữa học kì II. Chương trình giới thiệu một bài về Tìm hai số biết tổng và tỉ số của hai số đó. Trước đó, học sinh được học một bài Giới thiệu về tỉ số. Tỉ số của hai số được giới thiệu như sau: 
Tỉ số của hai số a và b là a : b hay (b khác 0).
 Những bài toán được mở rộng từ bài toán cơ bản thường là những bài toán rút ra từ thực tế cuộc sống. Nội dung bài toán được thông qua những câu văn nói về những mối quan hệ, sự tương quan và phụ thuộc, có liên quan đến những vấn đề thường xảy ra hàng ngày xung quanh các em. Cái khó đối với học sinh là phải biết lược bỏ những yếu tố về lời văn đã che đậy bản chất toán học của bài toán, phát hiện ra các mối quan hệ giữa các yếu tố toán học chứa đựng trong bài toán và nêu ra phép tính thích hợp để từ đó tìm được đáp số bài toán. Giải những bài toán được mở rộng từ bài toán cơ bản vừa giúp các em tư duy nhanh hơn vừa cung cấp cho các em một số hiểu biết nhất định trong thực tế cuộc sống, từ đó giúp các em có khả năng thích ứng tốt hơn trong những vấn đề xã hội. 
	Để đạt được mục tiêu đó, giáo viên phải biết vận dụng linh hoạt các phương pháp và hình thức dạy học để vừa phù hợp với đặc điểm tâm sinh lý của lứa tuổi tiểu học và trình độ nhận thức của học sinh vừa nâng cao hiệu quả cho học sinh, đáp ứng với công cuộc đổi mới của đất nước nói chung và của ngành giáo dục tiểu học nói riêng. 
	2.2. Thực trạng của việc dạy học sinh về dạng toán được mở rộng từ dạng cơ bản đã học:
 Khi bồi dưỡng cho học sinh năng khiếu về môn Toán, nhận thấy:
 - Khả năng nhận dạng toán của học sinh còn hạn chế: các em còn khá lúng túng trong việc phát hiện dạng toán khi gặp một bài toán lạ.
 - Hầu hết các em chỉ làm được những bài toán giống mẫu, nếu thay đổi câu, từ trong đề bài hoặc dữ kiện bài toán cho không tường minh là các em không giải được. Số ít học sinh tìm ra cách làm nhưng trình bày bài giải không rõ ràng, ít có cơ sở. 
 Cụ thể khảo sát 20 em học sinh có năng khiếu về môn toán của lớp 4 với bài toán như sau:
 Bài toán: An và Bình có 40 nhãn vở. Tính số nhãn vở của mỗi bạn, biết rằng số nhãn vở của An bằng số nhãn vở của Bình. 
Qua khảo sát nhận thấy: Một số học sinh học sinh không biết cách làm hoặc hiểu nhưng vẫn còn lúng túng, cần sự giúp đỡ của giáo viên khi giải bài toán. Cụ thể:
TS học sinh
Không làm được
Biết cách làm
Làm đúng bài
20 em
5 em
15 em
8 em
 Nguyên nhân dẫn đến tình trạng trên là:
 - Học sinh còn thụ động trong việc tiếp thu kiến thức, một số chưa tự tin trong học toán và ít hứng thú đối với môn học.
 - Khi hướng dẫn học sinh giải toán, giáo viên chưa tìm ra phương pháp thích hợp dẫn đến tình trạng học sinh thường làm theo một cách máy móc, chưa tự tư duy cách nghĩ, cách làm. Khi gặp dạng toán mới hoặc đề toán thay đổi câu, từ, hành văn khác với thông thường thì học sinh thường gặp khó khăn.
	- Giáo viên chưa tạo được không khí cũng như hứng thú học tập cho các em khi học toán đặc biệt là đối với dạng toán nâng cao.
2.3 Các biện pháp thực hiện để giải quyết vấn đề:
 Qua thực tế giảng dạy, khi hướng dẫn học sinh làm toán giải, giáo viên cần giúp học sinh nắm được những vấn đề cơ bản sau:
 - Các em phải biết cách phân tích đề, tóm tắt bài toán ở dạng ngắn gọn và khoa học nhất.
 - Phải có kĩ năng nhận dạng toán, từ đó mới định hướng được cách giải.
 - Thực hiện được kĩ năng tính toán một cách thành thạo và phải biết cách thử lại bài toán.
 Nếu như giáo viên hướng dẫn các em biết cách thực hiện một cách linh hoạt, sáng tạo những kiến thức đã học thì việc giải toán trở nên đơn giản và nhẹ nhàng hơn rất nhiều.
 Để giúp học sinh vận dụng kiến thức đã học vào giải toán, bản thân đã nghiên cứu và tìm ra được một số kinh nghiệm và bước đầu đem lại kết quả. Cụ thể như sau:
	2.3.1 Hướng dẫn học sinh các bước thực hiện khi giải toán có lời văn:
Khi hướng dẫn học sinh giải toán, cần thực hiện qua các bước sau:
 Bước 1: Đọc kĩ đề toán.
 Ở bước đầu tiên này cần hướng dẫn các em phải xác định cho đúng những cái đã cho, cái phải tìm và các mối quan hệ chính trong đề toán. Trong bước này, các em phải huy động toàn bộ vốn hiểu biết của mình về những gì có liên quan đến các nội dung đã nêu trong đề toán, sẵn sàng đưa chúng ra để phục vụ cho việc giải toán.
 Bước 2: Tóm tắt bài toán.
 Sau khi đã hướng dẫn các em thực hiện thành thạo bước phân tích đề, tiếp tục triển khai thực hiện bước 2: tóm tắt bài toán.
 Thông thường, sau khi đã xác định được cái đã cho, cái phải tìm thì giáo viên cần hướng dẫn học sinh biểu thị lại bài toán một cách trực quan và ngắn gọn những điều đã biết, chưa biết trong bài toán để dựa vào đó tìm ra cách giải bài toán hợp lí, ngắn gọn và cụ thể nhất.
 Trước khi cho các em tóm tắt bài toán, cần nhắc nhở các em hướng sự tập trung chú ý vào những chính yếu nhất của đề toán, tìm cách thể hiện chúng bằng hình vẽ, sơ đồ. Trong trường hợp khó vẽ bằng sơ đồ đoạn thẳng thì cần dùng ngôn ngữ ngắn gọn để ghi lại nội dung đề toán.
 Bước 3: Xác định dạng toán và giải toán.
 Từ phần tóm tắt vừa thực hiện, học sinh sẽ suy nghĩ để nhận ra mối liên quan giữa bài toán với những kiến thức đã học, nhận dạng toán và tìm ra hướng giải. Trong giải toán, nếu hiểu đề và tóm tắt được bài toán coi như đã thành công được 50%. 
 Trong toán có lời văn thì việc nắm vững cách giải những dạng toán điển hình là vô cùng quan trọng. Nhưng bước quan trọng không kém là phải nhận ra được dạng toán, đặc biệt là những bài toán được mở rộng từ bài toán cơ bản. Để giúp các em dễ dàng hơn trong việc nhận ra dạng toán thì sau khi khắc sâu các bước làm một bài toán cơ bản thuộc loại toán điển hình, cần hướng dẫn các em ghi nhớ tóm tắt mối quan hệ giữa cái đã cho, cái phải tìm và dạng toán của một số dạng thông qua bảng sau:
Nếu đã biết
Hãy tìm thêm
Sẽ có dạng toán
Tổng
Hiệu
Tổng – hiệu
Tỉ
Tổng – tỉ
Hiệu
Tổng
Tổng – hiệu
Tỉ
Hiệu – tỉ
Tỉ
Tổng
Tổng – tỉ
Hiệu
Hiệu - tỉ
	Bước 4: Thử lại. 
 Đây là bước không thể thiếu trong giải toán, nhất là những bài toán được mở rộng từ bài toán cơ bản. Công việc này giúp các em có thể kiểm tra lại chắc chắn bài làm của mình cũng như đánh giá được việc nhận dạng toán của bản thân.
 Dạng toán tổng - tỉ các em đã được học trong chương trình sách giáo khoa. Song, để giúp các em làm tốt những bài toán mới có liên quan, trước tiên phải giúp học sinh củng cố lại cách làm bài toán cơ bản.
	2.3.2 Củng cố cách giải bài toán cơ bản: Tìm hai số biết tổng và tỉ số của hai số đó.
 Để học sinh có thể giải được những bài toán được mở rộng từ bài toán cơ bản thì trước tiên, học sinh cần phải nắm vững cách giải bài toán cơ bản. Có như thế thì các em mới có thể tư duy cách nghĩ, cách làm của những bài toán mới khi dữ kiện bài toán đã cho không tường minh như bài toán cơ bản trong chương trình sách giáo khoa. Vì vậy, trước khi đưa ra các bài toán mới, cần phải củng cố cách giải bài toán cơ bản là việc làm rất cần thiết. Nên giáo viên cần đưa ra bài toán cơ bản để củng cố cách làm như sau:
Đề bài: Tổng của hai số là 96. Tỉ số của hai số đó là . Tìm hai số đó.
Bước 1: GV yêu cầu học sinh tự làm bài toán.
Bài giải
Ta có sơ đồ:
 ?
 Số bé: 
96
 ?
 Số lớn: 
Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là:
 3 + 5 = 8 (phần) 
	Giá trị mỗi phần là:
	 96 : 8 = 12
 Số bé là: 12 3 = 36
 Số lớn là: 96 – 36 = 60
 Đáp số: Số bé: 36; Số lớn: 60
Bước 2: Sau khi các em làm xong, GV cần đưa ra hệ thống câu hỏi để củng cố:
 - Bài toán gồm mấy đại lượng? (2 đại lượng)
 - Muốn tìm đươc 2 đại lượng đó chúng ta cần biết những gì? (tổng và tỉ số của chúng)
 - Nêu các bước thực hiện giải bài toán.
 + Bước 1: Vẽ sơ đồ biểu thi mối quan hệ giữa hai đại lượng.
	 + Bước 2: Tìm tổng số phần.
 + Bước 3: Tìm giá trị mỗi phần = tổng 2 số : tổng số phần
	 + Bước 4: Tìm số bé = Giá trị mỗi phần số phần của số bé
 + Bước 5: Tìm số lớn.
 (Có thể tìm số lớn trước rồi tìm số bé) 
Bước 3: Khắc sâu: muốn làm tốt dạng toán này các em phải đọc kĩ đề, xác định dữ kiện của bài toán xem hai đại lượng chính trong bài toán là gì? Đã biết dữ kiện nào? Từ đó vẽ sơ đồ đoạn thẳng biểu thị mối quan hệ giữa hai đại lượng rồi giải theo các bước 1, 2, 3, 4, 5 như đã được hướng dẫn.
Bước 4: Giới thiệu các bài toán mới: Có những bài toán khác cũng thuộc dạng này nhưng dữ kiện bài toán được ngụy trang bằng cách này hay cách khác. Để làm được bài toán như thế chúng ta phải tìm ra được dữ kiện ẩn của bài toán (có thể ẩn tổng số, tỉ số hoặc cả tổng và tỉ số), từ đó đưa về bài toán cơ bản.
	2.3.3 Hướng dẫn làm những bài toán được sáng tạo từ bài toán cơ bản.
a. Dạng thứ nhất: Những bài toán ẩn tỉ số.
 Bài toán 1: Mai và Trang có 32 quyển vở. Tính số vở của mỗi bạn, biết rằng số vở của Mai bằng số vở của Trang. 
 Sau khi các em đọc kĩ đề trong 2 phút. Cả lớp đã xác định được như sau:
 Cái đã cho: Mai và Trang: 32 quyển vở.
 số vở của Mai = số vở của Trang
 Cái phải tìm: Mỗi bạn có  quyển vở?
 	Lúc này cần cho học sinh trao đổi nhóm đôi để tìm ra tỉ số ẩn của 2 số.
Vì chưa gặp những bài toán dạng này nên đầu tiên các em khá lúng túng.
 Giáo viên cần gợi ý: 
 Em hiểu thế nào về dữ kiện: số vở của Mai bằng số vở của Trang? 
( số vở của Mai bằng số vở của Trang tức là: nếu số vở của Mai gồm 3 phần bằng nhau thì số vở của Trang gồm 5 phần như thế). 
 Từ đó xác định được tỉ số của hai đại lượng cần tìm là . Lúc này bài toán trở nên đơn giản. 
 Các em tự vẽ sơ đồ và giải như sau:
 Bài giải
Ta có sơ đồ:
 ?
32 quyển vở
Số vở của Mai: 
 ? 
Số vở của Trang: 
 Tổng số phần bằng nhau là:
 3 + 5 = 8 ( phần)
	 Giá trị mỗi phần là : 
	 32 : 8 = 4 (quyển)
 Số vở của bạn Mai là :
 4 3 =12 (quyển)
 Số vở của bạn Trang là :
 32 – 12 = 20 (quyển)
 Đáp số: Mai: 12 quyển vở.
 Trang: 20 quyển vở
 Thử lại (hs nháp): 
20 + 12 = 32 (quyển vở) ; 12 = 4 (quyển); 20 = 4 (quyển).
Như vậy bài toán được giải đúng.
 	Bài toán 2: Sau Tết, tổng số tiền mừng tuổi của hai anh em là 3300000 đồng. Biết rằng số tiền mừng tuổi của em bằng số tiền mừng tuổi của anh. Hỏi mỗi người có bao nhiêu tiền mừng tuổi?
	Hướng dẫn học sinh suy nghĩ và tìm cách giải như sau : Tôi cho các em thảo luận cách tóm tắt bài toán 2. 
Một số nhóm cũng vẽ đươc tỉ số thể hiện trong bài toán bằng cách suy luận: số tiền mừng tuổi của em bằng số tiền mừng tuổi của anh nghĩa là: nếu số tiền mừng tuổi của em gồm 3 phần, số tiền mừng tuổi của anh gồm 5 phần thì 1 phần số tiền của em bằng 2 phần số tiền của anh. Còn một số học sinh không tìm được tỉ số giữa số tiền mừng tuổi của em và anh.
 	Đối với bài toán này GV cần hướng dẫn các em cách làm đơn giản hơn: nếu các dữ kiện thể hiện tỉ số của hai số chưa cùng mẫu hoặc cùng tử thì ta quy đồng để đưa về cùng tử số. Các em sẽ làm được như sau:
 Ta có:
 = như vậy số tiền của em = số tiền của anh.
 Tức là: nếu số tiền của em gồm 6 phần bằng nhau thì số tiền của anh gồm 5 phần như thế. Tỉ số giữa số tiền của em và số tiền của anh là .
Bài giải
 Ta có sơ đồ: 
 ?
3 300 000 đồng
Số tiền của em:
 ?
Số tiền của anh:
 Tổng số phần bằng nhau là:
 5 + 6 = 11 (phần)
	Giá trị của mỗi phần là :
	3 300 000 : 11 = 300 000 (đồng)
 Số tiền mừng tuổi của em là:
 300 000 6 = 1 800 000 (đồng )
 Số tiền mừng tuổi của anh là:
 3 300 000 – 1 800 000 = 1 500 000( đồng)
 Đáp số: Em: 1 800 000 đồng.
 Anh: 1 500 000 đồng.
Thử lại (nháp): số tiền của em là: 1 800 000 = 600 000 (đồng)
 số tiền của anh là : 1 500 000 = 600 000 (đồng)
Như vậy bài toán được giải đúng.
 Tiếp tục nâng dần mức độ khó của bài tập qua bài toán 3.
 Bài toán 3: Cô giáo phát thưởng 135 quyển vở cho một số học sinh giỏi lớp Một và lớp Hai. Mỗi em lớp Một được 2 quyển, mỗi em lớp Hai được 1 quyển. Số học sinh giỏi lớp Một gấp đôi số học sinh giỏi lớp Hai. Hỏi có bao nhiêu em học sinh giỏi lớp Một được nhận vở?
 Trước khi cho các em làm bài, cần gợi ý bằng hệ thống câu hỏi như sau: 
 - Bài cho biết gì? Dữ kiện nào bị ẩn? Dựa vào tỉ số học sinh giỏi lớp Một và lớp Hai ta tìm được gì?
 - Các em đã chỉ ra được: Bài cho biết tổng số vở của lớp Một và lớp Hai được nhận. Tỉ số vở của hai lớp còn ẩn. Từ tỉ số học sinh hai lớp sẽ tìm được tỉ số vở của hai lớp. 
 Như vậy các em đã đồng thời xác định được dạng toán và lập luận đưa về bài toán cơ bản như sau:
 Nếu coi số học sinh giỏi lớp Hai là 1 phần thì số học sinh giỏi lớp Một sẽ là 2 phần như thế . Vậy số vở của lớp Một sẽ là 4 phần bằng nhau và số vở của lớp Hai sẽ gồm 1 phần.
 Tỉ số vở của hai lớp là . Ta có sơ đồ sau:
 ?
135 quyển vở
Số vở lớp Hai: 
 ?
Số vở lớp Một: 
 Tổng số phần bằng nhau là: 
 1 + 4 = 5( phần) 
 Số vở lớp Một là: (Sau khi đã thành thạo, HS có thể làm gộp bước này)
 135 : 5 4 = 108 ( quyển)
 Số học sinh giỏi lớp Một được nhận vở là : 
 108 : 2 = 54 (em)
Đáp số: 54 em
Yêu cầu học sinh thử lại để khẳng định bài giải đúng.
Nhận thấy các em đã nhận dạng khá tốt, tôi đưa ra bài toán 4.
 Bài toán 4: Trước đây, vào lúc anh bằng tuổi em hiện nay thì anh gấp đôi tuổi em. Hiện nay, tổng số tuổi của 2 anh em là 60 tuổi. Tính tuổi mỗi người hiện nay.
 Học sinh phát hiện ra ngay đây là dạng toán tổng tỉ. Tổng số tuổi đã biết nhưng lại không biết tìm tỉ số tuổi của hai anh em hiện nay bằng cách nào.
 Giáo viên cần gợi ý: Đọc kĩ dữ kiện thứ nhất của bài toán và tìm cách vẽ sơ đồ biểu thị tuổi hiện nay dựa vào tuổi trước đây của hai anh em. Chú ý hiệu số tuổi của hai anh em không thay đổi theo thời gian.
 Sau ít phút suy nghĩ, các em đã rất vui khi tìm ra được tỉ số như sau: 
 Nếu coi số tuổi của em trước đây là 1 phần thì tuổi anh trước đây sẽ là 2 phần (Vì lúc đó anh gấp đôi tuổi em). Như vậy tuổi em hiện nay là 2 phần. Vì hiệu số tuổi không thay đổi theo thời gian nên hiện nay anh vẫn hơn em 1 phần. Suy ra tuổi của anh hiện nay sẽ là 3 phần. Tỉ số tuổi của hai anh em hiện nay là .
Ta có sơ đồ:
Tuổi em trước đây:
Tuổi anh trước đây
 ? 
Tuổi em hiện nay:
 ? 60 tuổi
Tuổi anh hiện nay: 
 Đến lúc này thì học sinh đều thích thú khi tìm ra hướng giải của một bài toán lạ. Phần còn lại các em làm rất nhanh và đều đưa ra đáp án đúng.
 (anh: 36 tuổi; em: 24 tuổi)
 Yêu cầu học sinh thử lại kết quả. Các em đã làm được như sau:
 Tổng số tuổi: 36 + 24 = 60 (đúng)
 Khi anh bằng tuổi em hiện là 24 thì tuổi em lúc đó là : 24 – 12 = 12 và bằng tuổi anh. (đúng).
 Như vậy các em đã phần nào tìm ra được cách chuyển đổi dữ kiện bài toán . Tôi yêu cầu các em tự làm bài toán 5 và thu chấm.
 Bài toán 5: Hiện nay, tổng số tuổi của ba cha con là 85 tuổi, trong đó: tuổi con gái bằng tuổi cha, tuổi con trai bằng tuổi con gái. Tính số tuổi từng người. 
Bài giải
 Ta có = 
Nếu coi số tuổi của con trai là 3 phần thì số tuổi của con gái sẽ là 4 phần và số tuổi của cha sẽ là 10 phần như thế.
Ta có sơ đồ: ?
Tuổi con trai:
85 tuổi
 ?
Tuổi con gái: 
 ?
Tuổi cha: 
 Tổng số phần bằng nhau là:
 3 + 4 + 10 = 17 ( phần) 
 Một phần gồm số tuổi là:
 85 : 17 = 5 (tuổi) 
 Tuổi của con trai là: 
 5 3 = 15( tuổi)
 Tuổi của con gái là:
 5 4 = 20(tuổi)
 Tuổi cha là:
 5 10 = 50 (tuổi)
 Đáp số: Con trai:15 tuổi
 Con gái: 20 tuổi
 Cha: 50 tuổi
 Kết quả như sau:
Số học