SKKN Giúp học sinh lớp 12 hoàn thiện kĩ năng giải bài toán hình học tọa độ trong không gian về góc và khoảng cách có yếu tố lớn nhất, nhỏ nhất

MỤC LỤC
I. Mở đầu......................................................................................................... .. .......1
1. Lý do chọn đề tài .. ................................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu .. ..........................................................................................1
3. Đối tượng nghiên cứu .. .........................................................................................1
4. Phương pháp nghiên cứu .. ....................................................................................1
II. Nội dung................................................................................................................1
1. Cơ sở lý luận .. ......................................................................................................1
2. Thực trạng trước khi áp dụng đề tài .. .......2
3. Các sáng kiến kinh nghiệm áp dụng để giải quyết vấn đề .... .......2
3.1 Dạng toán phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách .. ......2
3.2 Dạng toán phương trình mặt phẳng liên quan đến góc.. .........6
3.3 Dạng toán phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách.. ...9
3.4 Dạng toán phương trình đường thẳng liên quan đến góc.. ................................17
4 Hiệu quả áp dụng của sáng kiến kinh nghiệm.. ................................19
III. Kết luận, kiến nghị.............................................................................................20 
1. Kết luận................................................................................................................20
2.Kiến nghị...20
Tài liệu tham khảo........................................................................................ ...21
I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình Hình học lớp 12, bên cạnh các dạng toán hình học tọa độ trong không gian quen thuộc ta còn gặp các bài toán mà trong yêu cầu của nó có yếu tố về giá trị lớn nhất nhỏ nhất của một góc, khoảng cách..Đây là lớp các bài toán mà ít tài liệu tham khảo đề cập đến hoặc có đề cập nhưng chưa thực sự dễ dàng tiếp nhận đối với học sinh, do cách viết của nhiều tài liệu không mang tới tri thức phương pháp, kĩ năng nhận dạng. Thông thường các tài liệu thường chỉ trình bày một cách làm.
Rõ ràng chúng ta đều thấy rằng đây là lớp các bài toán mà học sinh khó định hình về lời giải, do nó tương đối lạ lẫm với học sinh, cùng với đó là tâm lý e ngại khi đụng tới giả thiết có yếu tố lớn nhất, nhỏ nhất (do quan niệm nhất quán rằng, câu hỏi về bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là câu hỏi khó nhất trong nhiều kỳ thi như học sinh giỏi các cấp, thi THPT quốc gia hay thi ĐH, CĐ trước đây). Để giải được lớp các bài toán này, chúng ta cần một kiến thức tương đối tổng hợp về véc tơ, về hình học đơn thuần, về bất đẳng thức, về hàm số.
Với những lý do trên, nhằm giúp học sinh hứng thú hơn với môn Toán và đặc biệt là hình học, góp phần hình thành tư duy quy lạ về quen, vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu tìm tòi và sáng tạo, tôi trình bày chuyên đề “ Giúp học sinh lớp 12 hoàn thiện kĩ năng giải bài toán hình học tọa độ trong không gian về góc và khoảng cách có yếu tố lớn nhất, nhỏ nhất”. Các bài toán trong chuyên đề này chủ yếu được trình bày theo hai cách làm để học sinh có thêm lựa chọn cho lời giải của bài toán
2. Mục đích nghiên cứu
Giúp học sinh lớp 12 hoàn thiện kĩ năng giải bài toán hình học tọa độ trong không gian về góc và khoảng cách có yếu tố lớn nhất, nhỏ nhất
3. Đối tượng nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này xoay quanh các dạng toán hình học tọa độ trong không gian: viết phương trình mặt phẳng, đường thằng có giả thiết về góc, khoảng cách và liên quan đến yếu tố lớn nhất, nhỏ nhất.
4. Phương pháp nghiên cứu
Thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây:
Phương pháp nghiên cứu lý luận
Phương pháp khảo sát thực tiễn
Phương pháp phân tích
Phương pháp tổng hợp
Phương pháp khái quát hóa
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
II. NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận.
 	 Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả tri thức về phương pháp, khả năng tư duy, khả năng quy lạ về quen, đưa những vấn đề phức tạp trở thành những vấn đề tương đối nhẹ nhàng nhờ việc hiểu rõ cốt lõi của dạng toán. Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt hoc sinh có được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đặt ngay kiến thức nâng cao).
	Chuyên đề này, đa phần các ví dụ minh họa được trình bày dưới hai cách làm là phương pháp xác định vị trí của điểm từ đó tìm ra đặc điểm của mặt phẳng, đường thẳng và phương pháp hàm số.
2.Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Thuận lợi.
 	- Học sinh đã được trang bị đầy đủ kiến thức, các bài tập thông thường đã thành thạo.
- Học sinh hứng thú trong các tiết hình học tọa độ trong không gian.
2.2. Khó khăn.
	- Giáo viên mất nhiếu thời gian để chuẩn bị kiến thức, bài tập minh họa.
	- Nhiều học sinh đã quên kiến thức cơ bản trong hình học không gian, không biết vận dụng các kiến thức về véc tơ, bất đẳng thức, hàm số.
	- Đa số học sinh e ngại khi làm quen với các bài toán có yêu cầu về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
3.Các sáng kiến kinh nghiệm áp dụng để giải quyết vấn đề
3.1. Dạng toán phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách.
3.1.1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2,-1,1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất
Giải
Cách 1( Nhận biết vị trí điểm , mặt phẳng)
d(O,(P)=OH OA. Do đó d(O,(P) đạt GTLN bằng OA nên mặt phẳng (P) cần tìm đi qua A và nhận (2 ;-1 ;1) là véc tơ pháp tuyến.
(P) : 2(x-2)-(y+1) +(z-1)=02x-y + z -6 =0
Nhận xét : Ở bài toán này có hai yếu tố cố định là hai điểm O, A. Do đó bài toán chỉ có một hướng là so sánh d(O,(P)) với OA. Bài toán này không có yêu cầu d(O,(P)) nhỏ nhất bởi vì (P) có thể đi qua điểm O, khi đó d(O,(P))=0, vả lại có vô số mặt phẳng như vậy.
Cách 2( Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki)
Giả sử mp(P) có véc tơ pháp tuyến . Do nên
(P) : mx+ny+cz-2m+n –p =0.Theo BĐT Bunhiacopxki .Do đó .
 Do đó d(O,(P) đạt GTLN bằng . 
Chọn m=2, n=-1, p=1 ta có :(P) : 2(x-2)-(y+1) +(z-1)=02x-y + z -6 =0
Chỉ cần thay đổi giả thiết ở ví dụ 1 là ta có bài toán mang một hình thức khác, nhưng cùng nội dung như ví dụ 1.
Ví dụ 2: Cho A(2; 1; 3), B(1; -1; 1), gọi (α) là mặt phẳng qua B. Trong các mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (α), viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính lớn nhất.
 Giải:
Mặt cầu (S) có bán kính R = d(A; (α)). Bài toán trở thành, tìm điều kiện để mặt phẳng (α) đi qua B và cách A một khoảng lớn nhất. Theo ví dụ 1 ta có R = d(A; (α)) lớn nhất khi (α) qua B và vuông góc với AB là véctơ pháp tuyến của (α) (α): 1(x -1) + 2(y +1) +2( z – 1) = 0 x + 2y + 2z – 1 = 0
R = d(A; (α)) (S): (x -2)2 + (y -1)2 + (z – 3)2 = 9.
3.1.2. Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10 ;2 ;-1) và đường thẳng d có phương trình : . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d đến (P) là lớn nhất.
Giải
Cách 1.(Sử dụng tính chất hình học tổng hợp)
Gọi H là hình chiếu của A lên d Giả sử I là hình chiếu của H lên (P), khi đó , suy ra lớn nhất bằng AH. Vậy (P) cần tìm là một mặt phẳng đi qua A và nhận là véc tơ pháp tuyến
Nhận xét : Học sinh thường không biết tại sao lại chọn được điểm H. Đây là điều chúng ta cần định hình lời giải cho học sinh. Ở bài toán này có hai yếu tố cố định là điểm A và đường thẳng d. Do đó ta cần tạo ra một điểm cố định nữa từ hai yếu tố ban đầu này. Dễ thấy điểm cố định đó chỉ có thể là hình chiếu H của A lên d. Bài toán hướng đến so sánh d(d,(P)) với HA. 
	Ta cũng cần giải thích cho học sinh, tại sao đề bài lại không yêu cầu với trường hợp nhỏ nhất. Bởi vì nếu lấy mặt phẳng (P) đi qua A và d thì =0, và bài toán trở nên tầm thường là viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và d.
Cách 2 (Sử dụng kiến thức hàm số)
Giả sử là véc tơ pháp tuyến của (P). Do nên
. 
d có véc tơ chỉ phương 
. 
Nếu C=0 thì . Nếu 
 Đặt 
Vậy ở TH này 
Từ hai trường hợp trên ta thấy
Khi đó chọn A=7 thì C=-5, B=1
Nhận xét. Có một kinh nghiệm để học sinh nhận nhanh sự đúng sai của mình khi làm theo phương pháp hàm số. Chúng ta thấy rằng nếu làm theo cách 1, chỉ hoàn toàn dẫn tới giải phương trình bậc nhất, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Do đó nếu các hệ số của phương trình mặt phẳng, đường thẳng ở đề bài là số hữu tỷ thì kết quả tìm ra không thể có sự xuất hiện của số vô tỷ. Vậy ở pp hàm số, nghiệm của đạo hàm chắc chắn phải là một số hữu tỷ(nếu giải ra số vô tỷ, chắc chắn là sai)
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d có phương trình : . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất.
Giải
Cách 1.(Sử dụng tính chất hình học tổng hợp)
Gọi H là hình chiếu của A lên d, I là hình chiếu của A lên (P), khi đó
 , suy ra lớn nhất bằng AH. Vậy (P) cần tìm là một mặt phẳng đi qua A và nhận là véc tơ pháp tuyến. 
. 
Nhận xét :  Hai yếu tố cố định là điểm A và đường thẳng d. Do đó ta cần tạo ra một điểm cố định nữa từ hai yếu tố ban đầu này, đó chỉ có thể là hình chiếu H của A lên d. Bài toán hướng đến so sánh d(A,(P)) với AH. Yêu cầu về việc tìm điều kiện nhỏ nhât không nêu vì mp(P) có thể đi qua A.
H
Cách 2 (Sử dụng kiến thức hàm số)
Giả sử là véc tơ pháp tuyến của (P). nên. d có véc tơ chỉ phương . . 
* C=0 =>. * 
Đặt 
Vậy ở TH này 
Từ hai trường hợp trên ta thấy
Khi đó chọn A= 1 thì C= 1, B= - 4 
Nhận xét: Chỉ cần thay giả thiết mp(P) chứa đường thẳng d bằng giả thiết mp(P) đi qua hai điểm nào đó ta sẽ được một bài toán tương đương.
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d có phương trình , M(1 ;0 ;2), N(3 ;1 ;4) . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua M,N sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất.
 Rõ ràng chỉ cần viết phương trình đường thẳng d đi qua M,N là ví dụ 4 trở thành ví dụ 3.
3.2. Dạng toán phương trình mặt phẳng liên quan đến góc.
3.2.1. Góc giữa hai mặt phẳng
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm mặt phẳng (Q) : x+2y-z+5=0 và đường thẳng d có phương trình : . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất.
Giải
Giả sử là véc tơ pháp tuyến của (P). Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương ,
. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) . 
Ta cần tìm điều kiện để lớn nhất
Nếu B=0 thì . 
Nếu 
 Đặt 
Vậy ở TH này 
Từ hai trường hợp trên ta thấy 
Khi đó A= 0, thì C= -B, chọn B=1 thì C =-1 . Do.
Nhận xét : Dự đoán góc nhỏ nhất giữa (P) và (Q) bằng góc giữa d và (Q) (do đề bài chỉ cho hai yếu tố cố định là d và (Q)). Tuy vậy để chỉ ra việc này là không thực sự dễ dàng, rõ ràng với học sinh.
Đề bài không yêu cầu lớn nhất, bởi khi đó góc giữa hai mp (P) và mp(Q) sẽ là 900. Nghĩa là (P) chứa d và vuông góc với (Q). Đây là yêu cầu hết sức đơn giản.
Chỉ cần thay giả thiết (P) chứa d bằng giả thiết (P) đi qua hai điểm là ta có một phát biểu khác của bài toán trên.
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) : x+2y-z+5=0 và hai điểm M(-1 ;-1 ;3), N(1 ;0 ;4) . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm M, N và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất.
3.2.2. Góc giữa mặt phẳng và đường thẳng
Bài toán: Cho hai đường thẳng ∆1 và ∆2 phân biệt và không song song với nhau. Viết phương trình mp (α) chứa ∆1 và tạo với ∆2 một góc lớn nhất.(Có thể thay giả thiết (α) chứa ∆1 bằng các giải thiết tương đương như (α) đi qua hai điểm A,B hoặc (α) đi qua A và song song với ∆1 hoặc (α) đi qua A và vuông góc với mp(Q)
PP giải
Giả sử ∆3 là đường thẳng bất kì song song với ∆2 và cắt ∆1 tại M. Gọi I là trên ∆3 và H là hình chiếu vuông góc của I lên mp(α), kẻ IJ ∆1.Góc giữa (α) và ∆2 là góc , góc giữa ∆1 và ∆2 là góc
Trong tam giác vuông HMJ có nên
 không đổi(góc giữa ∆1 và ∆2) . Suy ra góc lớn nhất khi MJ = MH hay H ≡ J, khi đó =(∆1,∆2) và (α) là mặt phẳng chứa ∆1 đồng thời vuông góc với mặt phẳng (∆1,∆2). Khi đó (α) nhận làm véctơ pháp tuyến.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: và hai điểm A( 3; -4; 2), B( 4; -3; 4). Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa A;B và tạo với d một góc lớn nhất.
Giải:
 Đường thẳng d qua điểm M(2; -1; 1) có vtcp , 
 =>= .Mặt phẳng (α) qua điểm A và nhận làm véc tơ pháp tuyến.
Phương trình mp(α): 1(x – 3) - 1(y + 4) = 0 hay x – y – 7 = 0
Cách 2. (PP hàm số) Giả sử là véc tơ pháp tuyến của (α). d có véc tơ chỉ phương 
.
Gọi là góc giữa mặt phẳng (P) và d , khi đó 
 . Ta tìm điều kiện để lớn nhất
* C=0 thì . * 
t
 -1 
f’(t)
 + 0 - 
f(t)
 0 
Từ hai trường hợp trên ta thấy .Khi đó chọn A=-B, chọn A=1B=-1. Phương trình mp(α): 1(x – 3) - 1(y + 4) = 0 hay x – y – 7 = 0
Nhận xét: Thay giả thiết mặt phẳng đi qua hai điểm bằng mặt phẳng chứa một đường thẳng ta có bài toán với tương đương với cách giải hoàn toàn tương tự
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d và tạo với trục Oy một góc lớn nhất.
Ví dụ 3: Cho điểm A(1; 1; -1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 2 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A, vuông góc với (P) và tạo với trục Oy góc lớn nhất.
Giải:
Mp(p) có vécto pháp tuyến . Xét đường thẳng d qua A và vuông góc với (P), d có véctơ chỉ phương , Oy có véctơ chỉ phương nên d và Oy không song song. 
Theo bài toán tổng quát nêu trên (α) tạo với trục Oy góc lớn nhất thì (α) chứa d và vuông góc với mp(d,Oy), do đó (α) nhận = -2( 1; 4; 1) làm véctơ pháp tuyến nên pt (α): 	1(x -1) + 4(y -1) +1( z + 1) = 0 hay x + 4y + z – 4 = 0.
Nhận xét: cách 2(pp hàm số) ta chỉ cần thay như ví dụ 2 bởi 
3.3. Dạng toán phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách.
3.3.1. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Bài toán: Cho mp (α) và điểm A thuộc (α), lấy B không thuộc (α). Tìm đường thẳng ∆ nằm trong (α) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất.
PP chung:
Gọi H là hình chiếu của B lên ∆ ta thấy d(B; ∆) = BH ≤ AB.Vậy khoảng cách từ B đến ∆ lớn nhất khi A ≡ H hay ∆ là đường thẳng nằm trong (α) và vuông góc với AB. Nghĩa là ∆ có véc tơ chỉ phương là 
	Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên (α) khi đó d(B; (α)) = BK BH
Vậy khoảng cách từ B đến ∆ nhỏ nhất khi K ≡ H hay ∆ là đường thẳng đi qua A, K.
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): x +3y - z -1 = 0 và điểm A (1; 0; 0). Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (α), qua điểm A và cách điểm B(0;-2; 3) một khoảng :
1) Nhỏ nhất	.	2) Lớn nhất
Giải:
Cách 1:(Dùng tính chất hình học tổng hợp, nhận xét vị trí điểm)
Gọi H là hình chiếu của B lên ∆ .Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên (α) 
Khi đó BK BH=d(B; ∆).Vậy khoảng cách từ B đến ∆ nhỏ nhất khi K ≡ H hay ∆ là đường thẳng đi qua hai điểm A, K. (α)có véctơ pháp tuyến 
1) Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên (α)
Phương trình BK: . Tọa độ điểm K ứng với t là nghiệm của phương trình:t + 3(-2+3t) –( 3 – t) -1= 0 hay K(;;)
d(B; ∆) nhỏ nhất khi ∆ đi qua hai điểm A, K do vậy là véc tơ chỉ phương của ∆.
Phương trình của ∆:
2) Gọi H là hình chiếu của B lên ∆ ta thấy d(B; ∆) = BH ≤ AB.Vậy khoảng cách từ B đến ∆ lớn nhất khi A ≡ H ∆ là đường thẳng nằm trong (α), qua A và vuông góc AB. ∆ có véctơ chỉ phương 
 Phương trình của ∆: 
Cách 2:(PP hàm số)
Giả sử là véc tơ chỉ phương của . Mp(α) có véc tơ pháp tuyến ,.
 . Nếu b=0 thì . 
Nếu 
 ;
t
 - 
f’(t)
 + 0 - 0 +
f(t)
 28 
24 24
Vậy ở TH này 
Từ hai trường hợp trên ta thấy 
Chọn a=-1b=8, c=23. Phương trình của ∆: 
. Chọn a=7 b=-2, c=1.
 Phương trình của ∆:
Nhận xét: ở dạng toán này, rõ ràng cách 1 dễ làm hơn cách 2. Cách 2 chỉ dùng được khi học sinh được học chương trình SGK nâng cao( do SGK cơ bản không trình bày công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng)
Thay đổi một chút giả thiết ở ví dụ 1, ta có ví dụ 2 như sau
Ví dụ 2: Trong không gian, với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (α): x +3y - z -1 = 0 và điểm A (1; 0; 0). Viết phương trình đường thẳng ∆ // (α), qua điểm A và cách điểm B(0;-2; 3) một khoảng :
1) Nhỏ nhất	.	2) Lớn nhất
Nhận xét: Ví dụ 2 chỉ khác ví dụ 1 ở chỗ thay giả thiết đường thẳng ∆ nằm trong mp (α) bằng giả thiết ∆ // (α).Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và song song với (α), khi đó rõ ràng ∆ nằm trong (P). Nghĩa là vai trò của mp (α) trong ví dụ 1 đã thay bằng mặt phẳng (P)
Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(2; -1; 3), vuông góc với đường thẳng d: và cách điểm B(4; -2; 1) một khoảng lớn nhất.
Giải:
Xét mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với d, (α) nhận làm véctơ pháp tuyến, thì ∆ nằm trong (α).Do vậy d(B; ∆) lớn nhất khi ∆ nằm trong (α), qua A và vuông góc với AB.∆ có véctơ chỉ phương 
Phương trình ∆: 
Nhận xét: ở ví dụ 3, ta cũng phải xác định mp(α) chứa ∆ ( qua A và vuông góc với d). Sau đó, cách làm như ở ví dụ 1.
Ở cách 2, sử dụng phương pháp hàm số ta chỉ cần thay thế điều kiện bởi điều kiện với cách giải không có gì khác.
Ví dụ 4: Cho hai điểm A(2; 1; -1), B(-1; 2; 0) và đường thẳng d: 
a)Viết phương trình đường thẳng ∆1 đi qua B cắt d sao cho khoảng cách từ A đến ∆1 lớn nhất.
b)Viết phương trình đường thẳng ∆2 đi qua B cắt d sao cho khoảng cách từ A đến ∆2 nhỏ nhất.
Giải:
Cách 1.
Gọi (α) là mặt phẳng đi qua d và B. Đường thẳng d qua điểm M(2; 0; 0) có vtcp , , 
(α) đi qua B nhận là véctơ pháp tuyến nên (α): x + y + z – 1 = 0.
a) Gọi H là hình chiếu của A lên (α), d(A, ∆1) nhỏ nhất khi ∆1 đi qua hai điểm B,H.
Phương trình tham số AH: 
Tọa độ H ứng với t là nghiệm phương trình: 
2 + t + 1 + t -1 + t – 1 = 0 
 ∆1 nhận làm véc tơ chỉ phương
Ta thấy và không cùng phương nên d và ∆1 cắt nhau (do cùng thuộc mp (α))
Vậy phương trình ∆1: 
b) Gọi K là hình chiếu của A lên ∆2 ta có d(A, ∆2 ) = AK ≤ AB, d(A, ∆2 ) lớn nhất khi K ≡ B hay ∆2 nằm trong (α)và vuông góc với AB.
Ta có ∆2 nhận làm véc tơ chỉ phương, mặt khác và không cùng phương nên d và ∆2 cắt nhau (do cùng thuộc mặt phẳng (α))
Phương trình ∆2: 
Cách 2.(PP hàm số)
 Gọi ∆ là đường thẳng đi qua B và cắt d, giả sử ∆ cắt d tại điểm N(1+t, 0;-t), khi đó ∆ có véc tơ chỉ phương 
Ta có , 
Và d(A;∆) = =
Xét hàm số có , với mọi tR
Bảng biến thiên của 
t
 -2 2 
f’(t)
 + 0 - 0 +
f(t)
 11 3
 3 
Từ bảng biến thiên ta thấy:
d(A;∆) lớn nhất bằng khi t = -2 N(-1; 0;2); 
và đường thẳng cần tìm có phương trình là: 
d(A;∆) nhỏ nhất bằng khi t = 2 
N(3; 0;-2); và đường thẳng cần tìm có phương trình là : 
3.3.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Bài toán 1 : Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), đường thẳng d không song song hoặc nằm trên (α) và không đi qua A. Tìm đường thẳng ∆ nằm trên (α), đi qua A sao cho khoảng cách giữa ∆ và d là lớn nhất.
PP chung:
Gọi d1 là đường thẳng qua A và song song với d, B là giao điểm của d với (α).
Xét (P) là mặt phẳng (d1, ∆), H và I là hình chiếu vuông góc của B lên (P) và d1.
	Ta thấy khoảng cách giữa ∆ và d là BH và BH ≤ BI nên BH lớn nhất khi I ≡ H, khi đó ∆ có vtcp .
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: , mặt phẳng (α): 2x – y – z + 4 = 0 và điểm A( -1; 1; 1).Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (α), đi qua A sao cho khoảng cách giữa ∆ và d là lớn nhất.
Giải:
Đường thẳng d có vtcp (1; 2; -1), (α) có vtpt (2; -1; -1)
Phương trình tham số d: 
Gọi B là giao điểm của d và (α), tọa độ B ứng với t là nghiệm phương trình: 
 2+ 2t – 2 – 2t – 3+ t + 4 = 0 t = -1 B(0; 0; 4)
Xét d1 l