SKKN Giúp học sinh khá giỏi lớp 4 giải các bài toán có liên quan đến cấu tạo số

I. LỜI MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
 Trong chương trình môn toán ở Tiểu học, mạch kiến thức về số học là hạt nhân, là trung tâm của cấu trúc chương trình toán Tiểu học. Với chương trình môn toán lớp 4, số tự nhiên được dạy hoàn thiện về số lượng chữ số, các phép tính hay các tính chất có liên quan ... Các bài toán có liên quan đến cấu tạo số là loại bài tập quan trọng trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 4. Loại bài tập này rất phong phú và rất hấp dẫn đối với học sinh. Trong thực tế bồi dưỡng học sinh khá, giỏi môn Toán lớp 4 trong những năm vừa qua, tôi nhận thấy rằng, nếu so với các loại bài tập khác như hình học, giải toán có lời văn, ...thì các bài tập về cấu tạo số không phải là dạng khó. Tuy nhiên, số lượng học sinh làm tốt dạng toán này lại không nhiều. Qua quá trình bồi dưỡng, tôi thấy rằng chưa có một tài liệu nào viết riêng cho dạng toán cấu tạo số một cách dễ hiểu, bài bản và đầy đủ. Hơn thế nữa, để học sinh tiếp cận, hiểu sâu bản chất và làm một cách thành thạo dạng toán này thì đó là cả một vấn đề không phải là đơn giản. Gặp những bài toán có liên quan đến cấu tạo số, học sinh không chỉ cần có khả năng mô tả, phân tích, tổng hợp, lựa chọn, tìm mối liên hệ giữa các chữ số, các số, tìm tòi và kết hợp các kiến thức để giải quyết bài toán mà còn cần sự hướng dẫn, định hướng quan trong của người giáo viên. 
Những năm học gần đây, mặc dù cấp trên không tổ chức các cuộc giao lưu học sinh giỏi, song việc phát hiện, bồi dưỡng và phát huy khả năng vốn có của học sinh là việc làm thường xuyên của người giáo viên. Để hoàn thiện mình, đồng thời đáp ứng được nhiệm vụ dạy học, tôi đã chọn và nghiên cứu tìm ra các giải pháp để giúp học sinh của mình giải tốt các bài toán về cấu tạo số. Đó cũng chính là lí do tôi chọn đề tài: ''Giúp học sinh khá giỏi lớp 4 giải các bài toán có liên quan đến cấu tạo số". 
2. Mục đích nghiên cứu:
	Khi chọn và nghiên cứu đề tài này, tôi muốn tìm ra những giải pháp, con đường đi, những cách dạy sao cho học sinh hiểu được bản chất về cấu tạo số, nắm được cách giải các dạng bài cụ thể, vận dụng linh hoạt trong quá trình học Toán của mình. Bên cạnh đó, trong quá trình thực hiện, bản thân tôi thấy nghiệp 
vụ chuyên môn được nâng cao, được tham gia nghiên cứu khoa học, được trao đổi với các bạn đồng nghiệp để học tập những kinh nghiệm quý.
	Để làm được điều đó, Tôi nhiều lần tự mình luyện giải các bài tập có liên quan đến cấu tạo số, phân ra các dạng nhỏ để rút ra cách giải. Thường xuyên trao đổi và học hỏi các bạn đồng nghiệp, rút kinh nghiệm sau mỗi năm bồi dưỡng học sinh giỏi, nghiên cứu, lập kế hoạch và giải pháp để tìm cách dạy các bài toán liên quan đến cấu tạo số một cách hiệu quả nhất. 
3. Đối tượng nghiên cứu:
	Để thực hiện được đề tài đã chọn, Trước hết, tôi đã nghiên cứu chương trình Toán học các lớp 1,2,3 và nhất là chương trình Toán 4 để xem các em đã có những kiến thức cơ bản nào, các kiến thức về cấu tạo số các em đã được học đến đâu. Tiếp theo, tôi đã tiến hành nghiên cứu các tài liệu, các bài toàn có liên quan đến cấu tạo số, chia thành các dạng nhỏ để có cách giải phù hợp. Lên kế hoạch và tiến hành dạy thực nghiệm đối với học sinh khá , giỏi lớp 4 tôi chủ nhiệm để từ thực tiễn dạy học, rút ra các giải pháp ''Giúp học sinh khá giỏi lớp 4 giải các bài toán có liên quan đến cấu tạo số". 
4. Phương pháp nghiên cứu: Trong quá trình thực hiện, tôi đã áp dụng nhiều phương pháp như: Phương pháp thực nghiệm sư phạm, phương pháp kiểm tra, phương pháp tổng hợp, phương pháp nghiên cứu tài liệu, ......
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
1. Cơ sở lí luận: 
	Trong chương trình Toán 4, học sinh đã hoàn thiện về Số tự nhiên, được phân tích và nhận biết giá trị từng chữ số trong một số cụ thể theo hàng. Với đối tượng học sinh khá, giỏi, từ những số, những bài toán cụ thể và các tính chất mà các em đã được học ở SGK như tính chất giao hoán, kết hợp, ....kết hợp thêm những hiểu biết về chữ số tận cùng, số chẵn lẻ, dấu hiệu chia hết.....các em hoàn toàn có thể phân tích và giải những bài toán liên quan đến cấu tạo số mang tính khái quát hơn, đòi hỏi tư duy cao hơn. Trong quá trình hình thành cách giải cho học sinh những bài toàn có liên quan đến cấu tạo số, Giáo viên cần khai thác triệt để những kiến thức cơ bản mà các em có được trong chương trình, đồng thời cho các em nhận biết thêm những kiến thức khác có liên quan hỗ trợ cho các bước giải. Giáo viên cũng cần đi từ bài đơn giản, những kiến thức các em đã có để học sinh dế hiểu và làm tốt hơn những bài toán khái quát.
2. Thực trạng của vấn đề 
2.1 Thực trạng.
	Ngôi trường tôi đang công tác có hơn một nửa số học sinh là con em thị trấn, số còn lại đa số bố mẹ làm nghề nông. Đa số phụ huynh đều quan tâm đến việc học của con em mình. Nhũng học sinh mà tôi chọn để bồi dưỡng đều ham học, yêu thích môn toán và có ý thức tự giác trong học tập. 
	Trong những năm học trước, khi bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi thấy các em tỏ ra rất lúng túng khi gặp các bài tập có liên quan đến cấu tạo số. Sau quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi đã cho các em làm các bài kiểm tra tổng hợp để rèn kĩ năng làm bài. Các bài kiểm tra tổng hợp ( gồm cả các bài số học, giải toán có lời văn) bao giờ tôi cũng đưa ra một bài tập về cấu tạo số. 
 Đây là kết quả khảo sát nhóm học sinh khá, giỏi lớp 4 bài kiểm tra cuối cùng năm học 2012- 2013 và năm học 2013- 2014 
	a. Năm học 2012- 2013 
Số lượng học sinh làm được bài tập về cấu tạo số (trong nhóm 25 em)
Bài số 1
Bài số 2
Bài số 3
4 em
5 em
6 em
	b. Năm học 2013- 2014 
Số lượng học sinh làm được bài tập về cấu tạo số (trong nhóm 22 em)
Bài số 1
Bài số 2
Bài số 3
5 em
7 em
9 em
Kết thúc năm học 2013-2014, kết quả bồi dưỡng học sinh khá, giỏi của tôi so với mặt bằng chung của toàn trường đã đạt yêu cầu, nhưng tôi chưa thấy hài lòng. Tôi nhận ra rằng, học sinh của tôi làm chưa tốt các các bài tập có liên quan đến phân tích cấu tạo số. 
2.2 Nguyên nhân của thực trang:
Từ quá trình dạy học, kết quả khảo sát, tôi nhận thấy rằng, kĩ năng làm các bài tập có liên quan đến cấu tạo số còn nhiều điều đáng bàn mà các lỗi thường gặp của các em là: 
2.2.1. Chưa diễn tả được số cần tìm dưới dạng tổng quát
Ví dụ : Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng khi viết thêm số 12 vào bên trái số đó ta được số mới lớn gấp 26 lần số phải tìm.
Thông thường khi làm bài toán trên, ta gọi số cần tìm là (a khác 0; a và b nhỏ hơn 10, viết thêm số 12 vào bên trái số đó, ta được ....
Nhưng hầu hết các em chưa diễn tả được số cần tìm dưới dạng nên việc triển khai các bước tiếp theo để tìm ra kết quả của bài toán gặp nhiều khó khăn 
 2.2.2. Chưa xác định được giá trị của mỗi chữ số trong số
 Ví dụ : Tìm số có 3 chữ số biết rằng nếu ta xoá chữ số hàng trăm thì số đó giảm đi 7 lần. 
Gặp bài toán trên, một số em làm như sau
Gọi số cần tìm là (a ¹ 0; a , b và c nhỏ hơn 10)
Xóa đi chữ số hàng trăm của số đó, ta được 
Theo đề bài ta có: = 7 
 + = 7 
 = 7 - bc 9 (sai)
Như vậy mặc dù đã diễn tả được đúng số tự nhiên cần tìm dưới dạng tổng quát nhưng do chưa xác định giá trị của chữ số a nên dẫn đến việc phân tích sai và dẫn đến kết quả sai. 
 2.2.3. Kĩ năng phân tích số theo giá trị của từng chữ số trong số hoặc mối quan hệ với các số khác còn còn lúng túng.
Vídụ : Tìm số tự nhiên có 4 chữ số. Biết rằng nếu ta xóa đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì số đó giảm đi 4455 đơn vị. 
Hướng giải quyết bài tập này như sau;
Bài giải
Gọi số cần tìm là (a ¹ 0; a , b, c và d nhỏ hơn 10)
Xóa đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số đó, ta được 
Theo đề bài ta có: - = 4455
 100 + - = 4455 (phân tích cấu tạo số)
 + 100 - = 4455
 + (100 - 1) = 4455
 + 99 = 45 99 
 = 99 (45 - ) 
Ta nhận thấy tích của 99 và một số tự nhiên là một số tự nhiên bé hơn 100 nên 45 - phải bằng 0 hoặc 1.
- Nếu 45 - = 0 thì = 45 và = 00
- Nếu 45 - = 1 thì = 44 và = 99
Số cần tìm là 4500 hoặc 4499
Với ví dụ này nhiều em đã tách nhỏ giá trị từng chữ số a, b, c, d theo giá trị từng hàng (thay vì nên tách thành và ) nên bài toán trở nên rối dẫn đến việc lập luận tìm ra số cần tìm bị bế tắc.
2.2.4. Kĩ năng dùng tư duy, sử dụng dấu hiệu chia hết, chữ số tận cùng, tính chất chẵn lẻ... để lựa chọn số, chữ số phù hợp chưa linh hoạt, chưa đúng cách.
Ví dụ : Tìm số có 3 chữ số biết rằng nếu ta xóa chữ số hàng trăm thì số đó giảm đi 7 lần. 
Hướng làm bài tập này như sau:
 Bài giải
Gọi số cần tìm là (a ¹ 0; a , b và c nhỏ hơn 10)
Xóa đi chữ số hàng trăm của số đó, ta được 
Cách 1:
Theo đề bài ta có: = 7 
 + = 7 (phân tích theo cấu tạo số)
 = 7 - 
 = (7 - 1) 
 = 6 (*)
Vì 6 chia hết cho 3 nên chia hết cho 3. Do đó a chia hết cho 3.
Mặt khác, vì < 100 nên 6 < 600. Từ đó suy ra a < 6.
Vậy a = 3. Thay vào biểu thức (*) ta tìm được = 50.
Vậy số cần tìm là 350.
Cách 2: 
Theo đề bài ta có: = 7 (*)
Vì 7 c có tận cùng bằng c nên c bằng 0 hoặc 5.
- Nếu c = 0, thay vào (*) ta có = 7 
 = 7 b
Suy ra b = 5 (vì b không thể bằng 0) và = 35.
Vậy số cần tìm là 350.
- Nếu c = 5, thay vào (*) ta có = 7 
Vỡ 7 5 = 35 nên 7 b + 3 = 
Nếu b là số chẵn thì 7 b + 3 có kết quả là số lẻ.
Nếu b là số lẻ thì 7 b + 3 có kết quả là số chẵn.
Vậy trường hợp c = 5 không xảy ra.
Với bài toán trên, mặc dù có hai cách giải nhưng ngoài kĩ năng phân tích cấu tạo số ( đến bước *), học sinh còn phải vận dụng linh hoạt dấu hiệu chia hết, dấu hiệu chẵn lẻ, chữ số tận cùng, kĩ thuật tính để tìm ra đáp số của bài toán nhưng học sinh hầu như không làm tiếp hoặc lặp luận để tìm ra kết quả được. 
2.2.5. Quên không ghi điều kiện, mối ràng buộc giữa các chữ số, của số cần tìm với mối quan hệ với các số khác ... dẫn đến bài giải dài dòng, kết quả thừa hoặc sai.
Ví dụ: Tìm số biết chia hết cho 3 và 5, tổng các chữ số của bằng 9 và a, b, c là ba chữ số khác nhau.
Vì không quan tâm đến dữ kiện a, b, c là ba chữ số khác nhau nên học sinh có các kết quả không đúng như số 225.
2.2.6. Kĩ năng dùng kĩ thuật tính, vận dụng các các tính chất phép tính (như thêm bớt số ở hai vế, vận dụng tính chất giao hoán, kết hợp, một số nhân với một tổng, một hiệu...) còn chậm và lúng túng. 
Ví dụ: Cho số có 2 chữ số, nếu lấy tổng các chữ số cộng với tích các chữ số của số đã cho thì bằng chính số đó. Tìm chữ số hàng đơn vị của số đã cho.
	 Với ví dụ trên, học sinh phải thực hiện các bước giải sau:
 Bài giải
 Gọi số có 2 chữ số phải tìm là (a > 0, a, b < 10)
 Theo bài ra ta có = a + b + a b 
 a 10 + b = a + b + a b 
 a 10 = a + a b (cùng bớt b)
 a 10 = a (1 + b) (Một số nhân với một tổng)
 10 = 1 + b (cùng chia cho a)
 b = 10 - 1
 b = 9
 Như vậy để đi đến được kết quả là 9 học sinh phải vận dụng linh hoạt các tính chất của phép tính nhưng hs lại khá lúng túng . Các em chỉ có thể làm được vài bước đầu tiên mà không làm được đến bước giải tiếp theo để tìm được kết quả cuối cùng.
Học sinh mắc những lỗi trên, tôi nhận thấy rằng một phần do lỗi ở giáo viên. Nhìn lại thực tế dạy học từ nhũng năm học trước, tôi nhận ra mình chưa thực sự có một cách dạy quy củ. Tôi thường sưu tầm, tìm được bài toán nào thì dạy bài toán đó mà không chú ý đến việc cần nghiên cứu để dạy những gì, dạy bài nào trước, bài nào sau, cần củng cố cho các em những kiến thức nào xung quanh loại bài tập này. Trong quá trình giúp học sinh giải dạng bài tập này, tôi thường dừng lại khi đang làm dở bài toán khó để bổ sung cho các em những kiến thức cơ bản có liên quan mà đáng lẽ phải cho các em nắm vững những kiến thức này trước khi rèn kĩ năng giải các bài toán cụ thể. 
 Hè năm 2014, tôi đã tự mình sưu tầm và giải nhiều bài tập có liên quan đến cấu tạo số và tìm hướng đi để dạy dạng toán này cho học sinh. Vào đầu năm 2011-2012, tôi đã lập kế hoạch và nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi nói chung và dạy các bài toán có liên quan đến cấu tạo số nói riêng .Vậy tôi đã dạy học sinh giỏi giải các bài toán có liên quan đến cấu tạo số như thế nào. Sau đây tôi xin trình bày các giải pháp mà tôi đã thực hiện.
3. Các giải pháp thực hiện
3.1. Ôn tập, bổ sung các kiến thức có liên quan đến qúa trình giải bài toán về cấu tạo số. 
 Trước khi đi vào thực hành làm các bài tập cụ thể, để học sinh hiểu sâu và có cơ sở để làm tốt các bài toán dạng này, tôi đã rà soát lại chương trình xem kiến thức nào mà các em đã được học có liên quan đến quá trình giải các bài toán về cấu tạo số để củng cố và ôn tập lại. Bên cạnh đó, tôi nhận thấy rằng, cần phải bổ sung cho các em một số kiến thức mới và khái quát về số, nhắc nhở học sinh có ý thức sử dụng chúng trong quá trình làm bài, đó là:
3.1.1. Viết các số cần tìm dưới dạng khái quát và phân tích cấu tạo của chúng.
 Để học sinh đẽ dàng diễn tả được các số cần tìm dưới dạng tổng quát, Tôi giúp các em nhận biết, hiểu và viết được:
- Số có hai chữ số bất kì ta kí hiệu: ab và ab = a 10 + b = a0 + b
- Số có ba chữ số bất kì ta kí hiệu: abc và: 
 abc = a 100 + b 10 + c= + + c = 10 +c
- Số có bốn chữ số bất kì ta kí hiệu abcd và: 
= a 1000 + b 100 + c 10 + d = 100 + = 10 + d
 Tương tự như vậy học sinh có thể diễn tả và phân tích các số có năm, sáu ... chữ số tùy theo yêu cầu cảu bài toán. Có nhiều cách để phân tích số, tùy theo các điều kiện của bài toán mà ta chọn cách phân tích cho phù hợp, tiện lợi khi làm bài.
 Trong quá trình viết số nhất là những số có nhiều chữ số, tôi khuyên học sinh nên viết tách số theo lớp vì viết số như vậy vừa dễ đọc, vừa dễ phát hiện giá trị của mỗi chữ số trong số. VD: Thay vì viết các số 439656, , theo cách thông thường, các em nên viết 439 656, abc mn, 56b 78c . Một điều lưu ý nữa là khi viết số chứa chữ dưới dạng tổng quát cần phải có dấu gạch ngang ở trên.
3.1.2. Củng cố , ôn tập lại các kiến thức có liên quan.
a) Sử dụng tính chất chẵn lẻ và chữ số tận cùng của số tự nhiên
Kiến thức cần ghi nhớ:
- Số có tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 là số chẵn. Số có tận cùng là: 1, 3, 5, 7, 9 là các số lẻ.
- Tổng (hiệu) của 2 số chẵn là một số chẵn.- Tổng (hiệu ) của 2 số lẻ là một số chẵn.
- Tổng (hiệu) của một số lẻ và một số chẵn là một số lẻ. Tổng của hai số tự nhiên liên tiếp là một số lẻ.
- Tích có ít nhất một thừa số chẵn là một số chẵn.- Tích của a x a không thể có tận cùng là 2, 3, 7 hoặc 8.
- Nếu biểu thức có hai vế bằng nhau, vế này là số chẵn, lẻ....thì vế kia cũng có tính chất như vậy.
b) Xác định giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của một số hoặc một biểu thức:
Kiến thức cần ghi nhớ:
- Mỗi chữ số trong số có giá trị lớn nhất bằng 9 và giá trị bé nhất bằng 0.
- Xét giá trị lớn nhất, bé nhất của số cần căn cứ vào số lượng chữ số của số
- Nếu hai vế bằng nhau, nếu vế này có giá trị lớn nhất ( hoặc bé nhất) bằng bao nhiêu thì về kia cũng có giá trị lớn nhất ( bé nhất ) bấy nhiêu.
c) Sử dụng dấu hiệu chia hết
- Các dấu hiệu chia hất cho 2, 3, 4, 5, 6, 9, 15
- Nếu hai vế bằng nhau, về này chia hết cho a thì vế kia cũng chia hết cho a
- Trong một phép chia có dư thì số chia luôn lớn hơn số dư.
d) Sử dụng các tính chất của phép tính và kĩ thuật tính:
- Ghi nhớ và vận dụng thành thạo các tính chất của phép tính như: một tổng 
( hiêu) nhân với một số, ....
- Xác định đúng thành phần trong phép tính để cộng, trừ, nhân, chia các vế của biểu thức cho phù hợp. 
- Nếu hai vế bằng nhau, nêu ta cùng thêm, bớt, nhân, chia cả hai vế với cùng một số thì hai vế vẫn bằng nhau.
- Trong phép cộng, nếu cộng hai chữ số trong cùng một hàng thì có nhớ nhiều nhất là 1, nếu cộng 3 chữ số trong cùng một hàng thì có nhớ nhiều nhất là 2, 
3.2. Sưu tầm và xây dựng các bài tập theo từng dạng nhỏ và chốt cách làm từng dạng đó.
 	Trong quá trình dạy học, để học sinh hiểu rõ vấn đề và sử phương pháp phân tích cấu tạo số một cách hiệu quả, tôi đã chia chúng thành các dạng nhỏ, dạy từ dạng dễ đến khó . Sau mỗi dạng bài, tôi thường lưu ý cho các em cách làm của từng dạng:
Dạng 1: Dạng bài tập phân tích, tổng hợp số theo giá trị của từng chữ sô 
	Để làm tốt các bài tập có liên quan đến cấu tạo số, học sinh phải biết rõ giá trị từng chữ số trong số. Các bài tập trong sách giáo khoa đã rèn cho hs kĩ năng xác định giá trị của từng chữ số trong một số tự nhiên cụ thể, tuy nhiên đối với các số ở dạng khái quát thì SGK chưa đề cập đến. Vì vậy, tôi bắt đầu dạy cho các em giải các bài tập có liên quan đến cấu tạo số bằng dạng bài tập này.
Ví dụ 1: Viết vào chỗ chấm ( theo mẫu)
a) = 100 000 + + 2 000 + 300 + + 
b) 3a5bc5 = ................
c) ab50cd = .....................
d) m0n0q52 = ......................
Ví dụ 2: Viết vào chỗ chấm ( theo mẫu)
a) a0 000 + 2000 + + 30 + = a2 b3c 
b) 40 000 + a 000 + b00 + = ..............
c) a00 000 + 20 000 + 6000 + + ..................
d) m00 000 + n0 000 + 50 + q = ......................
Ví dụ 3: Điiền dấu vào ô trống
a) 3 a00 + 2b6 + + 3 215
b) a463e + b603 + cd2 a0 000 + bcd2 + 565e 
c) a2 346 + 34b 43c 	4ab 234 + 23c
Bài tập ở ví dụ này tôi hướng dẫn các em làm như sau:
a) 3 a00 + 2b6 + + 3 215
3 000 + + 200 + + 6 + + 3 215
( + + ) + (3 000 + 200 + 6) + 3 215
 + 3 216 + 3 215
Phân tích tương tự, ta cũng so sánh được hai vế của câu b, c 
b) a463e + b603 + cd2 a0 000 + bcd2 + 565e 
 abcde + 5235 	 abcde + 5652
c) a2 346 + 34b 43c 	4ab 234 + 23c
a0b00c + 302 776 a0b00c + 400 464 
 Như vậy ở dạng bài tập trên, mục đích của tôi là rèn cho học sinh kĩ năng phân tích số dưới dạng khái quát (Ví dụ 1) hay tổng hợp số (Ví dụ 2) và ví dụ 3 là nâng cao hơn 0028Kết hợp cả ví dụ 1 và 2). Ở mỗi ví dụ tôi thượng chọn các bài tập có sự khác nhau một chút, nâng cao độ khó để tạo sự đa dạng, giúp các em được va chạm nhiều, làm thành thạo. Đối với dạng bài tập này, học sinh cần chú ý:
- Quan sát và xác định rõ giá trị của từng chữ số để phân tích hay gom chúng lại một cách chính xác để giá trị của mỗi chữ số không thay đổi.
- Ở dạng so sánh, cần gom các số chứa chữ lại và kết hợp so sánh các số tụ nhiên cụ thể.	
Dạng 2: Dạng bài tập tìm số khi biết mối quan hệ của các chữ sô trong số, mối quan hệ của số cần tìm với chữ số trong số. 
Ví dụ1: Tìm số có 3 chữ số, biết chữ số hàng trăm gấp đôi chữ số hàng chục, chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng đơn vị.
Bài giải
Gọi số phải tìm là (0 < a < 10; b, c < 10).
	 Vì a = 2 b và b = 3 c nên a = 2 3 c = 6 c, mà 0 < a < 10 nên 0 < 6 c < 10. Suy ra 0 < c < 2. Vậy c = 1.
	Nếu c = 1 thì b = 1 3 = 3
	 a = 3 2 = 6
Vậy số phải tìm là: 631. 
Ví dụ 2: Cho số có hai chữ số, nếu lấy số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 5 dư 12.
Bài giải
Gọi số cần tìm là ab ( a khác 0, a, b < 10). Theo đề bài ta có: 
ab = (a + b) 5 + 12
ab = a 5+ b 5 + 12
a 10 + b = a 5+ b 5 + 12
a 5 + b = b 5 + 12 ( bớt 2 vế đi a 5)
a 5 = b 4 + 12 ( bớt 2 vế đi b)
a 5 = 4 (b + 3)
Nhận xét: vì 4 (b + 3) chia hết cho 4 nên a 5 chia hết cho 4, như vậy a 5 đồng thời chia hết cho 4 và 5. nên a 5 = 20, a 5 = 40 ( vì a < 10 không xét các trường hợp a 5 = 60, a 5 = 80)
- Nếu a 5 = 20 thì a = 20 : 5 = 4 khi đó 4 ( b + 3) = 20
 b + 3 = 20 : 4 = 5
 b = 5-3 = 2
 Số cần tìm 42, thử lại 42 : (4 + 2) = 7. Trái với đầu bài nên loại.
- Nếu a 5 = 40 thì a = 40 : 5 = 8 khi đó 4 ( b + 3) = 40
 b + 3 = 40 : 4 = 10
 b = 10 - 3 = 7
 Số cần tìm 87, thử lại 87 : (8 + 7) = 5 dư 12. Đúng với đầu bài .
 Vậy số cần tìm là 87.
Ví dụ 3: Cho số có hai chữ số chữ số hàng chục chia hết cho chữ số hàng đơn vị. Tìm số đã cho biết rằng số đó gấp 21 lần thương của chữ số hàng chục và hàng đơn vị. 
Bài giải
 Gọi số cần tìm là ab (a, b khác 0, a, b < 10, a chia hết cho b). Theo đề bài ta có: ab = a : b 21
Vì ab < 100 nên a : b < 5
- Nếu a : b = 1 thì ab = 1 21 = 21
Thử lại: 2: 1 21 = 42. Trái với điều kiện bài toán.
- Nếu a : b = 2 thì ab = 2 21 = 42
Thử lại: 4: 2 21 = 42. Đúng với điều kiện bài toán. Số cần tìm là 42.
- Nếu a : b = 3 thì ab = 3 21 = 63
Thử lại: 6: 3 21 = 42. Trái với điều kiện bài toán.
- Nếu a : b = 4 thì ab = 4 21 = 84
Thử lại: 8 : 4 21 = 42. Trái với điều kiện bài toán.
 Vậy số cần tìm là 42.
Thông qua các ví dụ cụ thể, tôi lưu ý hs khi làm dạng bài tập này cần chú ý:
- Diễn tả số cần tìm dưới dạng khái quát và kèm theo kí hiệu ràng buộc của các chữ số.
- Diễn tả mối quan hệ của các chữ số trong số cần tìm , của số cần tìm với các chữ số