SKKN Giúp học sinh có định hướng đúng trong việc tìm lời giải bài toán tích phân

 I. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Nguyên hàm và tích phân là một phần rất quan trọng trong chương trình toán giải tích 12, trong đề thi THPT quốc gia của những năm gần đây bài toán tích phân hầu như không thể thiếu nhưng đối với học sinh THPT bài toán tích phân là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất , các phương pháp tính của tích phân. Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là: tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến lời giải sai hoặc rất lúng túng không tìm ra lời giải.Xuất phát từ thực tế đó, tôi nhận thấy việc giúp các em có thể tìm tòi, phát huy tính sáng tạo, hình thành nhiều phương pháp giải khác nhau và chọn được một phương pháp giải tối ưu nhất là một điều rất quan trọng nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung. Và cũng xuất phát từ lý do trên đã thôi thúc tôi đi vào nghiên cứu đề tài: “GIÚP HỌC SINH CÓ ĐỊNH HƯỚNG ĐÚNG TRONG VIỆC TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN ”
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
 Mục đích đề tài là hướng dẫn học sinh nắm vững các dạng bài tập và phương pháp giải các dạng bài tập phần tích phân. Học sinh biết vận dụng các kiến thức đã học vào giải bài tập từ đó trình bày bài toán chặt chẽ và khoa học.
1.3. ĐỐI TƯỢNG,PHẠM VI, THỜI GIAN NGHIÊN CỨU:
 3.1. Đối tượng nghiên cứu.
 - Học sinh khối lớp 12
 - Vấn đề : phần tích phân trong chương trình toán THPT.
3.2. Phạm vi nghiên cứu.
 - Các lớp 12 trường THPT Hoằng Hóa II.
 3.3. Thời gian nghiên cứu.
 - Năm học 2016-2017;2017-2018 và năm học 2018-2019
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
+ Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra phương pháp, lời giải đúng của bài toán.
+Thực nghiệm sư phạm
II: PHẦN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ:
Chương trình toán Trung học phổ thông đã cung cấp cho học sinh tương đối đầy đủ những kiến thức căn bản về tích phân và các ứng dụng của tích phân. Tuy nhiên phần thời gian luyện tập tích phân theo phân phối chương trình quá ngắn do đó học sinh không có điều kiện luyện tập nhiều, mặt khác theo chủ chương giảm tải SGK và SBT chỉ cung cấp một số lượng ít các ví dụ, bài tập về nguyên hàm và tích phân trong khi đề thi THPT quốc gia lại rất phong phú, đa dạng và hóc búa. Do vậy học sinh trung bình, yếu, kém thì hoang mang khi gặp bài toán tính Tích phân dù là cơ bản, học sinh khá, giỏi thì lo lắng khi gặp bài Tích phân nâng cao, tâm lí đó dẫn tới các em bế tắc hoặc mắc sai lầm khi giải toán.
Năm học 2016 – 2017, khi giảng dạy môn Toán ở lớp 12B1 ,12B2 .Năm học 2017-2018 và 2018-2019 tôi tham khảo thêm ý kiến các đồng nghiệp dạy lớp 12 của trường THPT Hoằng Hóa II, tôi nhận thấy học sinh thường bế tắc hoặc mắc rất nhiều các sai lầm khi giải bài toán tính nguyên hàm – tích phân. Các lỗi giống nhau này không chỉ xảy ra ở những lớp tôi giảng dạy mà còn ở các lớp khác của đồng nghiệp. Những kiến thức căn bản về nguyên hàm và tích phân là kiến thức hoàn toàn mới mẻ đối với học sinh nhưng sự hình thành ít nhiều liên quan đến kiến thức về đạo hàm, các em có thể dựa vào các công thức đạo hàm để hình thành công thức nguyên hàm, tuy vậy đa phần các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này. Các kiến thức căn bản về biến đổi đại số, học sinh cũng đã được học từ bậc THCS những em có lực học trung bình, yếu kém đều bị mất gốc phần kiến thức này do đó dù các em có nắm được kiến thức căn bản của nguyên hàm tích phân thì cũng sẽ bế tắc khi thực hiện lời giải. Còn với đa phần các em có học lực khá, giỏi tâm lí chung khi gặp một bài toán là nóng vội lao vào tìm phương pháp giải, tìm ra phương pháp rồi thì vội vàng trình bày lời giải, tìm ra đáp số, thấy kết quả gọn, đẹp là yên tâm mà quên mất các thao tác quen thuộc: phân tích đề, kiểm tra các điều kiện, kiểm tra các phép tínhVì vậy những sai sót xảy ra là điều tất yếu. Kinh nghiệm cũng cho thấy việc phát hiện ra lỗi sai của người khác thì dễ còn việc phát hiện ra lỗi sai của chính mình là rất khó. Trong quá trình dạy về phần kiến thức này, tôi cho các em chủ động tự làm theo lối tư duy logic của riêng mình, để các em theo dõi nhận xét lời giải của nhau từ đó phát hiện những lỗi sai và từ đó phân tích để các em hiểu được bản chất của vấn đề khắc phục sai sót và tổng kết thành kinh nghiệm. Tuy nhiên, nếu cứ lúc nào cũng chỉ ra những sai lầm của học sinh dễ khiến các em thấy nhàm chán, mất đi hứng thú học tập. Vì vậy, tôi vận dụng nó linh hoạt trong các tiết dạy và có những gợi ý cần thiết hỗ trợ cho các em tìm kiếm lời giải.
Một khó khăn nữa mà tôi cũng gặp trong quá trình giảng dạy trên đó là việc dạy học phân hóa theo từng đối tượng học sinh. Ở lớp 12B1 tôi nhận nhiệm vụ giảng dạy, học sinh khá, giỏi là đa số, còn lại là một bộ phận học sinh trung bình, yếu nên các giáo án, các ví dụ và bài tập của tôi cũng phải phân hướng vào hai loại đối tượng học sinh, trước tiên là ưu tiên các em diện trung bình và yếu sau đó nâng cao lên những bài toán mở rộng với tính chất hướng dẫn, giới thiệu. 
 2. 2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU :
Khi học sinh học chương III “Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng” 
2.2.1. Những lỗi đơn giản mà học sinh vẫn thường mắc phải như:
- Không nắm vững định nghĩa nguyên hàm, tích phân;
- Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức;
- Đổi biến số nhưng không đổi cận;
- Khi đổi biến không tính vi phân;
- Giải sai hoặc tính toán nhầm do kỹ năng tính toán chưa thuần thục.
2.2.2. Những lỗi tinh vi mà học sinh thường mắc phải như:
- Hàm số không liên tục nhưng vẫn sử dụng công thức Newtơn- Leibnitz;
- Đổi biến số t = u(x) nhưng u(x) không phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a; b];
- Không nắm vững phương pháp đổi biến số;
- Chọn cách đổi biến số nhưng gặp khó khăn khi đổi cận (không tìm được giá trị chính xác);
- Không nắm vững phương pháp nguyên hàm (tích phân) từng phần.
2.2.3.Học sinh thường bị sai lầm trong việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối .Chẳng hạn , thường áp dụng sai công thức : 
Học sinh không biết rằng : công thức trên chỉ đúng trong trường hợp biểu thức f(x) không đổi dấu trong khoảng (a ; b).
Ví dụ : 
Học sinh viết sai là : 
2.3.GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực hiện một số giải pháp như sau:
2.3.1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt
 - Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó;
 - Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí;
 - So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng;
 - Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải. 
2.3.2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp...
 - Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, ...;
 - Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề;
 - Phương pháp: phương pháp giải toán.
2.3.3. Đổi mới phương pháp dạy học (lấy học sinh làm trung tâm)
 - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế; 
 - Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh;
 - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu để học sinh thấy được hình động liên quan trực tiếp tới bài giảng. 
2.3.4. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá
 - Ra đề kiểm tra với nhiều mức độ nhận thức
 - Giáo viên đánh giá học sinh;
 - Học sinh đánh giá học sinh.
2.3.5. Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp với từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai lầm thường mắc phải khi giải các bài toán về nguyên hàm, tích phân. Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập.
2.3.6. Phân dạng bài tập và phương pháp giải
 - Hệ thống kiến thức cơ bản;
 - Phân dạng bài tập và phương pháp giải;
 - Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao;
 - Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết quả mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
2.3.7 Giúp học sinh thành thạo kỹ năng phá dấu giá trị tuyệt đối một cách linh hoạt tùy thuộc vào từng tình huống cụ thể bằng một trong các cách sau :
+ Hoặc bằng cách xét của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối .
+ Hoặc dựa vào hình vẽ (đồ thị ) để xét dấu của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối .
+ Hoặc dùng công thức sau :
 Với điều kiện f(x) không đổi dấu trên khoảng (a ;b) .
- Đưa ra nhiều bài tập minh họa có lời giải chi tiết để giảng dạy trong các giờ dạy phụ đạo và để học sinh tham khảo . Qua đây rèn luyện cho học sinh kỹ năng đọc đồ thị và vận dụng vào giải toán . Giúp học có hình ảnh trực quan về các hình phẳng .Từ đó học sinh có cảm giác nhẹ nhàng , gần gũi thực tế hơn , hứng thú hơn .
2.3.8 Nội dung cụ thể
Giúp học sinh có định hướng đúng trong việc tìm lời giải bài toán tích phân
Bài tập minh hoạ:
Bài 1:
 Chứng minh rằng là một nguyên hàm của hàm trên R. Từ đó hãy tìm nguyên hàm của hàm 
* Sai lầm thường gặp: 
F’(x) = -e - x + (1+x)e- x =f(x) với mọi x =>F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên R. 
* Nguyên nhân sai: Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm
* Lời giải đúng:
 với C = C1 – C2.
Bài 2:. Tìm nguyên hàm I=
* Sai lầm thường gặp: . 	
Đặt 
 (Vô lý)
* Phân tích: Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm
* Lời giải đúng: 
Bài 3: Tính tích phân: I = 
* Sai lầm thường gặp: I = = =-=--1 = -
* Nguyên nhân sai lầm :
Hàm số y = không xác định tại x= -2 suy ra hàm số không liên tục trên .
 * Lời giải đúng
Hàm số y = không xác định tại x= -2 suy ra hàm số không liên tục trên do đó tích phân trên không tồn tại.
* Chú ý đối với học sinh:
Khi tính cần chú ý xem hàm số y=f(x) có liên tục trên không? nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại.
* Một số bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau:
1/ .
2/.
3/
4/
Bài 4: Tìm nguyên hàm 
* Sai lầm thường gặp : 
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:
Học sinh vận dụng công thức với n ≠ – 1 
* Lời giải đúng:
Đặt 3x + 5 = t 
Bài 5: Tính tích phân 
* Sai lầm thường gặp: 
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Sự hình thành nguyên hàm ít nhiều cũng liên quan đến kiến thức đạo hàm, các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này 
* Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra công thức: lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho?
* Lời giải đúng: 
Bài 6: Tính tích phân I = dx
* Sai lầm thường gặp:
I =dx =
* Nguyên nhân sai lầm:
Phép biến đổi với x là không tương đương.
* Lời giải đúng:
I = dx 
 =
 = -
* Chú ý đối với học sinh:
I = ta phải xét dấu hàm số f(x) trên rồi dùng tính chất tích phân tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Một số bài tập tương tự: 
1/ I = dx ;
 2/ I = dx
3/ I = dx
4/ I = dx
Bài 7: tính I = 	
* Sai lầm thường gặp: I = 
Đặt t = x+
Đổi cận với x = -1 thì t = -2 ; với x=1 thì t=2;
I=
==(ln-ln
 = ( ln 
* Nguyên nhân sai lầm: là sai vì trong chứa x = 0 nên không thể chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được
* Lời giải đúng: 
xét hàm số F(x) = 
 F’(x) = 
Do đó I = = 
*Lưu ý: Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0 .
Bài 8 : Tính tích phân I = 
* Sai lầm thường gặp:
Đặt 
*Nguyên nhân của sai lầm :
 Học sinh đổi biến nhưng không đổi cận.
*Lời giải đúng : 
Đặt 
Đổi cận : 
Khi đó : 
Bài 9: Tính tích phân 
* Sai lầm thường gặp : 
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh tự “sáng tạo” ra quy tắc nguyên hàm của một tích thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần
* Lời giải đúng: 
* Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc các tính chất của nguyên hàm và tích phân. Giúp các em tổng quát hoá các dạng toán sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Cách làm: Biểu diễn về dạng 
- Chọn u sao cho du dễ tính
- Chọn dv sao cho dễ tính 
- Áp dụng công thức
* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 
Bài 10: Tính tích phân 
* Sai lầm thường gặp: Đặt x = sint dx = costdt . 
	Đổi cân: 
Đến đây học sinh thường rất lúng túng vì số lẻ, do đó các em không tìm ra được đáp số.
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa biểu thức thông thường ta đặt x = sint ( hoặc x = cost); nhưng đối với ví dụ 9, nếu làm theo cách này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận. Cụ thể khi x = 1/4 ta không tìm chính xác được t
* Lời giải khác:
Đặt 
Đổi cận: 
* Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa biểu thức , nếu cân của tích phân là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì ta mới tính tích phân bằng cách đặt x =sint( hoặc x = cost) còn nếu không thì ta phải tìm phương pháp khác
* Các bài tập tương tự: Tính các tích phân sau
a) 	b) 
Trên đây là một số ví dụ mà nếu học sinh không nắm vững kiến thức hoặc thiếu cẩn thận thì sẽ định hướng sai trong việc tìm lời giải cho bài toán. Để khắc phục việc này, ngoài những biện pháp đã nêu, giáo viên vẫn cần phải giúp các em học sinh rèn luyện các đức tính cẩn thận, tỉ mỉ, kiên trì và đặc biệt là khắc phục những điểm yếu tâm lí khi làm bài.
2.4.HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
2.4.1.Kết quả từ thực tiễn:
Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạng tích phân như đã nêu.Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài toán tích phân từ hàm số dưới dấu tích phân,cận của tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở giáo viên đưa ra những phương pháp giải không đúng mà học sinh thường mắc phải trong quá trình suy luận,trong các bước tính tích phân này rồi từ đó hướng các em đi đến lời giải đúng.
Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tập tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 và một số bài trong các đề thi THPT Quốc gia của các năm trước thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lời giải và đã giải được một lượng lớn bài tập đó.
2.4.2.Kết quả thực nghiệm:
Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2017-2018 và năm học 2018-2019
Bài kiểm tra trên hai đối tượng lớp 12B1(45 học sinh) không áp dụng sáng kiến và 12B2(45 học sinh) áp dụng sáng kiến như sau:
 xếp loại
đối tượng
giỏi
khá
tb
yếu
12B2
50%
40%
10%
0%
12B1
20%
20%
30%
30%
Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú đặc biệt là khi giải bài toán tích phân các em tính tích phân rất thận trọng và hiểu bản chất của vấn đề chứ không tính rập khuôn một cách máy móc như trước, đó là việc thể hiện việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh.
 III.KẾT LUẬN – ĐỀ XUẤT
3.1.KẾT LUẬN:
Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây
- Chỉ ra một số lỗi thường gặp của học sinh trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan đến tính tích phân
- Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết các
vấn đề liên quan đến Tích phân.
- Thiết kế cách thức dạy học các ví dụ, hoạt động theo hướng dạy tích cực.
- Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh hoạ tính khả thi và hiệu quả của những biện pháp sư phạm được đề xuất.
Như vậy có thể khẳng định rằng: Mục đích nghiên cứu đã được thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận được.
Qua thực tế giảng dạy của bản thân tại trường THPT với nội dung và phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về bài toán Tích phân nói riêng Toán học nói chung. Vấn đề tôi thấy học sinh khá, giỏi rất hứng thú khi được giáo viên nêu và chỉ ra những lỗi sai mà học sinh chưa hề nghĩ đến. 
Trong toán học, còn nhiều dạng toán mà học sinh rất hay mắc sai lầm trong khi giải quyết nó. 
3.2. ĐỀ XUẤT:
- Đối với các cấp lãnh đạo:
+ Về phía Sở Giáo Dục: nên triển khai, ứng dụng các nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng, các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã đạt giải để giáo viên các trường học tập và vận dụng vào giảng dạy để dạy tốt hơn. 
+ Về phía nhà trường: hỗ trợ mua các loại sách tham khảo có các bài toán nâng cao của tích phân để các em HS có thể tham khảo, học tập tốt hơn.
- Đối với giáo viên: không ngừng tự học, tự bồi dưỡng về chuyên môn qua sách tham khảo, mạng internet, đồng nghiệp,. Và trong quá trình giảng dạy cần chú ý: 
+ Những bài tập đưa ra cho học sinh phải từ dễ đến khó, có hệ thống, phân dạng để học sinh nắm chắc từng dạng bài.
+ Hướng dẫn học sinh tư duy, phân tích thật kỹ bài toán từ những bài đơn giản để hình thành thói quen tốt cho học sinh.
+ Chỉ dẫn các em cách tự học qua sách tham khảo, mạng internet và học nhóm bạn. Kiểm tra thường xuyên, có hiệu quả phần tự học của học sinh qua bài tập về nhà.
- Với kết quả của đề tài này, tôi rất mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô, của Ban giám hiệu nhà trường để đề tài này được hoàn chỉnh hơn và có thể ứng dụng đề tài này vào dạy học góp phần nâng cao chất lượng bộ môn Toán, tạo cho học sinh tư duy tốt và nâng cao hơn nữa kết quả học tập của học sinh qua các kỳ thi. Tôi xin chân thành cảm ơn
XÁC NHẬN CỦA BGH 
Hoằng Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. NGƯỜI VIẾT 
 Vũ Thị Nga
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Giải tích 12 (Trần Văn HạoTổng chủ biên – NXB GD – 2015)
2. Phương pháp giải toán Tích phân và Giải tích tổ hợp ( Nguyễn Cam – NXB Trẻ )
3. Phương pháp giải toán Tích phân (Trần Đức Huyên – Trần Chí Trung – NXB Giáo Dục)
4. Kiến thức cơ bản giải tích 12 ( Phan Văn Đức- Đỗ Quang Minh – Nguyễn Thanh Sơn – Lê Văn Trường – NXB ĐH Quốc gia thành phố HCM - 2002)
5. Phương pháp giải toán Tích phân ( Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà Nội – 2005)
6. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán ( Trần Phương và Nguyễn Đức Tấn – NXB Hà Nội – 2004)
7. Nguồn internet
MỤC LỤC
TT
Nội dung
Trang
MỤC LỤC
I.
 MỞ ĐẦU
1
1.1.
 Lý do chọn đề tài
1
1.2.
 Mục đích nghiên cứu
1
1.3.
 Đối tượng, phạm vi, thời gian nghiên cứu
1
1.4.
 Phương pháp nghiên cứu
2
II.
 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2
2.1.
 Cơ sở lý luận của vấn đề
2
2.2.
 Thực trạng của vấn đề
3
2.3.
 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
4
2.4.
 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 
11
III.
 KẾT LUẬN- ĐỀ XUẤT
12
3.1.
Kết luận
12
3.2.
Đề xuất
12
TÀI LIỆU THAM KHẢO