SKKN Phát huy năng lực tự học môn toán cho học sinh thông qua nghiên cứu bài toán tính đơn điệu của hàm số

1. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1. Lý do chọn đề tài	 
 Giảng dạy, nghiên cứu và hướng dẫn học sinh tập dượt nghiên cứu khoa học là những nhiệm vụ trọng tâm của mỗi giáo viên. Chính vì vậy trong những năm qua, trường THPT Như Thanh rất coi trọng việc bồi dưỡng nâng cao năng lực nghiên cứu và hướng dẫn, tập dượt nghiên cứu khoa học cho đội ngũ giáo viên của nhà trường thông qua nhiều hình thức như: Đổi mới sinh hoạt tổ, nhóm chuyên môn; phát động phong trào viết chuyên đề; sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy; nghiên cứu các đề tài khoa học sư phạm ứng dụng; tổ chức ngoại khoá.
Đổi mới PPDH phải gắn liền với đổi mới hình thức tổ chức dạy học. Hình thức tổ chức dạy học phù hợp sẽ cuốn hút HS tham gia vào nội dung bài học, từ đó HS có thể phát huy được tính tích cực, chủ động trong quá trình học, tạo điều kiện cho việc tiếp thu kiến thức có hiệu quả hơn.
Hình thức tổ chức dạy học phù hợp không chỉ tạo điều kiện cho GV và HS giao lưu, tranh luận với nhau mà còn tạo ra sự tranh luận giữa HS với HS, giữa các nhóm HS với nhau để từ đó đạt được mục đích về kiến thức một cách tự nhiên hơn. 
Môn toán là môn khoa học cơ bản, và có vai trò quan trọng trong sự phát triển tư duy, kỹ năng, tính sáng tạo của HS, do đó vấn đề cốt lõi của đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT là: hướng dẫn HS học tập tích cực, chủ động, phát huy tính sáng tạo, rèn luyện kỹ năng giải toán, phát triển tư duy toán học. Để làm được điều này đòi hỏi mối GV trước hết phải có trình độ chuyên môn vững vàng, đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực, chủ động, lấy học sinh làm trung tâm trong quá trình dạy học.
Trong chương trình toán lớp 12 THPT, các bài toán ứng dụng đạo hàm đóng một vai trò rất quan trọng đối với học sinh, không chỉ ở khía cạnh thi cử, mà còn giúp các em rèn luyện các kỹ năng sử dụng đạo hàm để giải toán, ứng dụng vào các môn khoa học khác như Lý, Hóa, Sinh...và xa hơn nữa là áp dụng kiến thức, kỹ năng đó vào thực tiễn, vào công việc sau này. 
Với những lý do trên, tôi đã chọn đề tài “ Phát huy năng lực tự học môn toán cho học sinh thông qua nghiên cứu bài toán tính đơn điệu của hàm số”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Rèn luyện tư duy sáng tạo, năng lực tự học- tự nghiên cứu trong dạy- học toán.
- Rèn luyện kỹ năng giải, và xây dựng các bài toán về tính đơn điệu hàm số
1.3. Phương pháp nghiên cứu.
 Nghiên cứu tài liệu
1.4. Phạm vi nghiên cứu của đề tài.
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về phương pháp dạy học tự học- tự nghiên cứu.
- Nghiên cứu mở rộng bài toán tính đơn điệu hàm số.
1.5. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu.
- Áp dụng phương pháp dạy học tự học- tự nghiên cứu thông qua nghiên cứu bài toán về tính đơn điệu của hàm số.
- Nghiên cứu bài toán về tính đơn điệu hàm số, từ đó làm cơ sở cho việc hướng dẫn HS tự học- tự nghiên cứu.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận 
2.1.1. Khái niệm PPDH hướng dẫn HS tự học tự nghiên cứu 
 Tự học là một hình thức hoạt động nhận thức của cá nhân nhằm nắm vững hệ thống tri thức và kỹ năng do chính bản thân người học tiến hành ở trên lớp hoặc ở ngoài lớp.
Có hai hình thức tự học:
- Tự học có hướng dẫn (GV hướng dẫn ở trên lớp hoặc là hướng dẫn các hoạt động ngoại khoá).
- Tự học không có sự hướng dẫn của GV (HS tự học với sách, tự mình xây dựng kế hoặch học tập).
- Đối với học sinh phổ thông, tập dượt nghiên cứu khoa học thông qua bài tập nghiên cứu. Đó là những bài làm, những công trình nghiên cứu mang tính chất thực hành sau một bài học hoặc một chương học, nhằm đào sâu, mở rộng tri thức, hoặc làm căn cứ bước đầu để học một chủ đề nào đó để làm phong phú thêm bài giảng bằng những tài liệu trong sách báo hay trong thực tế điều tra, tiến hành thử nghiệm. Bài tập nghiên cứu này do GV nêu ra và HS tiến hành tự học, tự nghiên cứu dưới hướng dẫn của GV.
2.1.2. Các bước thực hiện dạy học tự học- tự nghiên cứu
 Trên cơ sở về khái niệm PPDH tự học, tự nghiên cứu ta có thể đưa ra các bước cơ bản sau để thực hiên việc dạy học tự học, tự nghiên cứu: 
a) Xác định vấn đề cần nghiên cứu.
b) GV hướng dẫn học sinh thực hiện nhiệm vụ.
c) HS thực hiện nhiệm vụ và báo cáo kết quả.
d) Đánh giá.
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
 Trong giảng dạy lâu nay tại trường THPT Như Thanh đa số GV tổ toán đã thực hiện rất tốt công tác chuyên môn như: Đổi mới sinh hoạt tổ, nhóm chuyên môn; phát động phong trào viết chuyên đề...Tuy nhiên chuyên đề “ Hướng dẫn Học sinh tự học- tự nghiên cứu” còn chưa được quan tâm một cách đúng mức. Trong dạy học theo chủ đề, phần tính đơn điệu của hàm số có vai trò quan trọng trong chương ứng dụng hàm số, nhưng việc khai thác tính đơn điệu ở các hàm số hợp là khá khó, vì vậy phần lớn Giáo viên chỉ cho học sinh nghiên cứu vài bài tập dưới dạng trắc nghiệm, mà chưa hệ thống và xây dựng được chủ đề này một cách đầy đủ để HS dễ dàng tiếp cận hơn.
 Đối với HS chỉ có một số ít có ý thức tự học, phần còn lại học tập thụ động, không sáng tạo, dựa chủ yếu vào thầy-cô giáo. Đa số HS còn chưa có ý tứ về nghiên cứu toán học. Trong học toán phần lớn HS còn yếu về phần toán ứng dụng nói chung và bài toán về tính đơn điệu của hàm hợp nói riêng, và các hàm mở rộng của hàm số. Đó là những điều hạn chế trong cách học của HS tại trường THPT Như thanh nói riêng và tại các trường THPT nói chung. Để một phần khắc phục điều này tác giả mạnh dạn áp dụng phương pháp dạy học tự học- tự nghiên cứu vào một số đối tượng HS khá, giỏi tại trường.
2.3. Giải quyết vấn đề
 Để hướng dẫn HS tự học- tự nghiên cứu có hiệu quả thì trước hết mỗi GV cũng cần phải có những công trình nghiên cứu cụ thể đây là hoạt động đặc biệt quan trọng đối với một GV toán bời vì ngoài việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho mỗi GV, nó còn làm phong phú thêm kho tàng kiến thức của mỗi người thầy để từ đó mỗi giờ lên lớp ngày càng hiệu quả, hơn nữa nó là tấm gương sáng cho HS noi theo trên con đường học tập và nghiên cứu ở hiện tại và trong tương lai. 
Phần 1: Nghiên cứu xây dựng bài toán tính đơn điệu của hàm số
1. Tính đơn điệu của hàm số
Định nghĩa: Cho hàm số y = xác định trên 
Hàm số đồng biến trên nếu 
Hàm số nghịch biến trên nếu 
 ( là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng)
Định lý: Cho hàm số xác định trên 
Nếu thì hàm số đồng biến trên 
Nếu thì hàm số nghịch biến trên 
Định lý mở rộng: Giả sử hàm số có đạo hàm trên 
Nếu và tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên 
Nếu và tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên 
Nếu thì không đổi trên 
2. Xây dựng và mở rộng bài toán tìm khoảng đơn điệu của hàm số 
Bài toán: Cho hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
 
1. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số 
Lời giải
Từ bảng biến thiên ta và định lý đã nêu, suy ra hàm số đồng biến trên khoảng và , và nghịch biến trên khoảng .
2. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số 
Lời giải
Ta có 
Từ bảng xét dấu của ta có 
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng và , và đồng biến trên khoảng .
3. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số 
Lời giải
Ta có 
Từ bảng xét dấu của ta có 
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng và , và nghịch biến trên khoảng .
4. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số 
Lời giải
Ta có 
Từ bảng xét dấu của ta có 
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng và , và nghịch biến trên khoảng .
5. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số 
Lời giải
Ta có 
Từ bảng xét dấu của ta có 
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng và , và đồng biến trên khoảng .
6. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số 
Lời giải
Ta có 
Từ bảng xét dấu của ta có 
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng và , và nghịch biến trên khoảng .
7. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số 
Lời giải
Ta có 
Từ bảng xét dấu của ta có 
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng và , và đồng biến trên khoảng .
8. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số 
Lời giải
Đặt 
Cho .
Với thì nên .
Với thì nên 
Vậy , đồng biến trên khoảng và
nghịch biến trên khoảng 
9. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số 
Lời giải
Đặt 
Từ đó ta được kết quả: Hàm , nghịch biến trên khoảng vàđồng biến trên khoảng 
10. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số 
Lời giải
Đặt 
Do nên 
 Hàm đồng biến trên khoảng và ,
nghịch biến trên khoảng 
11. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số 
Lời giải
Đặt
Do nên 
 Hàm đồng biến trên khoảng và ,nghịch biến trên khoảng 
12. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số 
Lời giải
Đặt 
 Hàm đồng biến trên khoảng và , nghịch biến trên khoảng 
13. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số 
Lời giải
Đặt 
 Hàm đồng biến trên khoảng và , nghịch biến trên khoảng và 
14. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số 
Lời giải
Đặt 
Ta có 
Suy ra 
và 
Hàm đồng biến trên khoảng và, nghịch biến trên khoảng.
15. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
Lời giải
Đặt 
Hàm đồng biến trên khoảng và , nghịch biến trên khoảng 
16. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
Lời giải
Đặt 
 Hàm đồng biến trên khoảng và , nghịch biến trên khoảng 
Nhận xét Có một số bài toán, mà việc tìm ra tất cả các khoảng đơn điệu của nó là khó khăn, nhưng ta có thể chứng minh được các hàm số đó đồng biến, hay nghịch biến trên một khoảng nhất định, những bài toán này thường xuất hiện dưới bài toán chứng minh, hoặc các bài tập trắc nghiệm.
17. Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên và 
Lời giải
Ta có 
Từ bảng xét dấu ta có suy ra 
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng và 
18. Chứng minh rằng hàm số nghịch biến trên và 
Lời giải
Ta có 
Từ bảng xét dấu ta có suy ra 
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng và 
19. Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên và
Lời giải
Ta có 
Dễ thấy khi thì 
Vậy hàm số đồng biến trên và 
20. Chứng minh rằng hàm số đồng biến 
Lời giải
Ta có 
Ta có 
Vậy khi thì 
Suy ra hàm số đồng biến .
21. Chứng minh rằng hàm số đồng biến 
Lời giải
Ta có Ta có 
Vậy khi thì , mặt khác nên 
Vậy hàm số đồng biến trên .
22. Chứng minh rằng hàm số nghịch biến trên và 
Lời giải
 Ta có 
Từ bảng biến thiên ta có 
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng và .
Nhận xét: 
Tương tự như vậy ta có thể xây dựng thêm nhiều câu hỏi khác nữa, chỉ từ bài toán gốc đã cho.
Đối với bài toán cho biết đồ thị của đạo hàm, ta cũng dễ dàng suy ra được dấu của đạo hàm hàm số đó, vì vậy ta cũng có thể xây dựng bài toán này một cách tương tự.
Phần2: Kế hoặch bài dạy chuyên đề “Hướng dẫn học sinh tự học- tự
nghiên cứu” 
Đối tượng: HS lớp 12, HS ôn thi THPT QG
I. Mục tiêu bài dạy
 Nghiên cứu giải và mở rộng các bài toán về tính đơn điệu hàm số, khi biết dấu của đạo hàm.
II. Nhiệm vụ của GV
- GV tiến hành giảng dạy chuyên đề về mở rộng bài toán tính đơn điệu hàm số, nhận xét và hướng dẫn học sinh hoàn thành nhiệm vụ.
- GV giao đề tài nghiên cứu cho HS và hướng dẫn các bước tiến hành tự học, tự nghiên cứu cho HS.
- GV hướng dẫn cho HS một số kỹ năng giải các bài toán tính đơn điệu hàm số, hướng dẫn HS tìm tài liệu, viết thành bài báo và trình bày đề tài.
- GV đóng vai trò là người hướng dẫn, tổ chức, thiết kế, cố vấn, trọng tài trong quá trình nghiên cứu của HS. 
III. Nhiệm vụ của HS
Hoàn thành nhiệm vụ GV giao cho.
IV. Phương pháp dạyhọc
Hướng dẫn HS tự học tự- nghiên cứu.
V. Nội dung chi tiết
1. GV đặt vấn đề
 Trong các đề thi THPT QG những năm gần đây câu hỏi về tính đơn điệu của hàm số chiếm một phần rất quan trọng, câu hỏi về tính đơn điệu cũng tương đối đa dạng và nhiều mức độ từ dễ đến khó, trong đó những bài toán liên quan đến dấu đạo hàm, hay đọc đồ thi của hàm sốlà một phần tương đối khó với học sinh. 
 Để giúp học sinh tiếp cận chuyên đề tốt hơn, ngoài việc học ở SGK học sinh cần nghiên cứu sâu hơn về dạng toán này, nhằm có được kỹ năng tốt hơn, để đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT QG.
2. GV đưa ra các nội dung cần tự học, tự nghiên cứu
- Ngiên cứu và giải các bài toán tính đơn điệu hàm số
- Nghiên cứu xây dựng các bài toán tương tự về tính đơn điệu hàm số
3. GV gợi ý tài liệu tham khảo
- Đề thi THPTQG, các đề thi thử: 2016-2017, 2017-2018.
- Các tài liệu đọc thêm có liên quan đến tính đơn điệu của hàm số.
4. GV phát phiếu học tập cho HS
5. GV cho bài tập và hướng dẫn học sinh giải, mở rộng bài toán
Bài tâp : Cho hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
 
1. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số .
2. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số .
3. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số . 
4. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số .
5. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số .
6. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số .
7. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số .
8. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số 
9. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số .
10. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số .
 Trên đây chỉ là một số câu minh họa, học sinh có thể sáng tạo thêm các ý khác tương tự, hoặc các bài toán liên quan như cực trị, GTLN-GTNN..
6. GV tổ chức cho HS nêu hướng giải quyết
GV cho HS nêu ý kiến của bản thân về phương hướng giải các bài toán, những thuận lợi và khó khăn, những vấn đề cần sự hướng dẫn của GV.
7. GV hướng dẫn HS giải quyết một số ý của bài toán mà học sinh còn lúng túng
8. GV giao đề tài cho HS và yêu cầu HS tự học, tự nghiên cứu
GV yêu cầu HS:
- Tự giải quyết các bài tấp được giao
- Tự tìm tòi thêm các bài tập có liên quan
- Sáng tạo các bài tập mới liên quan
- HS viết thành một bài báo nhỏ theo mẫu sau:
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU CỦA HS
Họ và tên: .lớp: trường:..
Tên đề tài: NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ MỞ RỘNG
Lời mở đầu
Kiến thức cơ bản ( kiến thức về tính đơn điệu hàm số)
Kết quả nghiên cứu (các dạng bài tập và các ví dụ minh hoạ)
Kết luận
Tài liệu tham khảo
9. GV nghiệm thu bài báo của HS
- GV kiểm tra kết quả tự học, tự nghiên cứu của HS.
- GV tổ chức cho HS trình bày kết quả nghiên cứu, và làm trọng tài cho các cuộc thảo luận.
- GV đưa ra đánh giá cho bài báo của HS theo các tiêu chí:
+ Chính xác, khoa học, sáng tạo, tích cực, khả năng hợp tác cao.
+ Bài tập HS đưa ra đa dạng, phong phú.
+ Thời gian hoàn thành.
2.4. Hiểu quả của sáng kiến kinh nghiệm
- Đối với HS giỏi, HS lớp đội tuyển ở các trường phổ thông tiếp thu rất tốt và có khả năng nghiên cứu sáng tạo, cùng với khả năng tự học vốn có, được sự hướng dẫn của GV kết quả đạt được là rất tốt, HS say mê nghiên cứu, tìm tòi, sáng tạo, từ đó chuẩn bị tốt cho kỳ thi THPT QG.
- Phương pháp dạy học này chỉ dành cho HS khá trở lên, không hiệu quả đối với HS yếu kém, ít hiệu quả đối với HS có học lực trung bình.
3. KẾT LUẬN	
3.1. Kết luận 
Quá trình nghiên cứu đề tài đã thu được một số kết quả sau:
- Trong đề tài đã nghiên cứu một cách khoa học về bài toán tìm khoảng đơn điệu của hàm số, giúp học sinh bước đầu làm quen với dạng toán này, từ đó làm tiền đề cho việc nghiên cứu sâu hơn về dạng toán này.
- Đưa ra cơ sở lý luận về phương pháp dạy học hướng dẫn HS tự học, tự nghiên cứu.
- Đưa ra các biện pháp hướng dẫn HS tự học- tự nghiên cứu.
3.2. Khuyến nghị
Sau khi tổng kết thực nghiệm sư phạm, chúng tôi có một số đề xuất sau:
- GV nên thay đổi PPDH của mình để phù hợp với từng đối tượng, từng nội dung bài học, hướng dẫn HS tự học, tự nghiên cứu, để tạo ra những sản phẩm hữu ích giúp các em có một lượng kiến thức và kỹ năng tốt để chuẩn bị cho các kỳ thi. 
- Nhà trường, các tổ chuyên môn cần khuyến khích hình thức, tự học tự nghiên cứu, hợp tác nhóm của HS theo sự hướng dẫn của GV để từ đó tạo điều kiện cho GV và HS giao lưu cải thiện chất lượng học tập giúp các em có một nền tảng kiến thức thật sự vững chắc. 
Xác nhận, đánh giá, xếp loại của đơn vị
...................................................................
......................................................................................................................................................................................................... ................................................................... ........................................................................................................................................................................................................ .........................................................................................................................................................................................................
Như Thanh, ngày 20 tháng 05 năm 2019
Người viết
Mai Xuân Đông
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRÊN