SKKN Giải bài toán Cực trị số phức bằng phương phương pháp hình học giải tích

Mục lục: 
 Trang 
I. Mở đầu ................................................................................................... 2
1.1. Lí do chọn đề tài............................................................................. 2
1.2. Mục đích nghiên cứu...................................................................... 2
1.3. Đối tượng nghiên cứu..................................................................... 3
1.4. Phương pháp nghiên cứu................................................................ 3
II. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm......................................................... 3
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm........................................ 3
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm......... 4
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc 
 các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề............................... 4
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, 
 với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường....................................... 4
III. Kết luận, kiến nghị............................................................................. 24
3.1. Kết luận.......................................................................................... 24
3.2. Kiến nghị........................................................................................ 24
Tài liệu tham khảo:................................................................................... 25
Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng Cấp phòng GD&ĐT, Cấp Sở GD&ĐT và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C 
trở lên:........................................................................................................ 25
I. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
Trong chương trình Toán THPT phần Giải tích lớp 12,học sinh được hoàn thiện hiểu biết của mình về tập hợp số thông qua việc cung cấp một tập hợp số,gọi là Số phức.Trong chương này, học sinh đã bước đầu làm quen với các phép toán cộng,trừ,nhân, chia,khai căn,lũy thừa;lấy mô đun,... các số phức.Bằng cách đặt tương ứng mỗi số phức (là những số thực,) với mỗi điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta thấy giữa Đại số và Hình học có mối liên hệ với nhau khá gần gủi.Hơn nữa nhiều bài toán về Số phức,khi chuyển sang hình học,từ những con số khá trừu tượng,bài toán đã được minh họa một cách rất trực quan,sinh động và cũng giải được bằng Hình học với phương pháp rất đẹp.Đặc biệt,trong các kỳ thi Đại học,Cao đẳng và THPT Quốc gia những năm gần đây,việc sử dụng phương pháp Hình học để giải quyết các bài toán về Số phức là một trong những phương pháp khá hay và hiệu quả ,đặc biệt là các bài toán về Cực trị trong số phức.Hơn nữa,với những bài toán Hình học theo phương pháp trắc nghiệm,nếu khi biểu diễn được trên giấy thì qua hình ảnh minh họa,ta có thể lựa chọn đáp án một cách dễ dàng.
Tuy nhiên,trong thực tế giảng dạy,việc chuyển từ bài toán Đại số nói chung và Số phức nói riêng sang bài toán Hình học ở nhiều học sinh nói chung còn khá nhiều lúng túng,vì vậy việc giải các bài toán về Số phức gây ra khá nhiều khó khăn cho học sinh.
Bài toán Cực trị số phức thông thường thì có khá nhiều cách lựa chọn để giải như dùng Bất đẳng thức,dùng khảo sát hàm số,...Qua đề tài này,tôi muốn gợi ý cho học sinh một lối tư duy vận dụng linh hoạt các phương pháp chuyển đổi từ bài toán Đại số sang Hình học cho học sinh,giúp các em có cái nhìn cụ thể hơn về việc chuyển đổi đó và vận dụng tư duy này cho những bài toán khác.Với mục tiêu đó,trong SKKN này,tôi chỉ tập trung giải quyết bài toán theo hướng Hình học.Không đặt nặng việc so sánh phương nào nhanh hơn,tối ưu hơn phương pháp nào.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Trong số các bài các bài toán cơ bản là tính toán trên tập hợp số phức,tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước,tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức,thì học sinh trung bình có thể làm được,còn bài toán Cực trị số phức cần có tính tư duy,vận dụng thì học sinh thường thụ động trong việc tiếp cận bài toán,không chú trọng đến bản chất của bài toán,một phần vì học sinh ngại bài toán khó,một phần vì giáo viên khi dạy cũng chưa chú trọng khai thác hướng dẫn cho học sinh.Nhằm giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp,kỹ năng để giải quyết các bài toán Cực trị số phức một cách hiệu quả và kết quả tốt thì sau nhiều năm giảng dạy dạng toán này,với kinh nghiệm đã tích lũy và học hỏi được,tôi mạnh dạn chọn đề tài Giải bài toán Cực trị số phức bằng phương phương pháp hình học giải tích để giúp học sinh và giáo viên tham khảo nhằm đạt kết quả cao hơn trong học tập và giảng dạy
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài này sẽ nghiên cứu cách giải bài toán Cực trị số phức bằng phương phương pháp hình học giải tích trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
+) Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết,chuyển đổi nội dung bài toán Đại số sang bài toán Hình học giải tích trong mặt phẳng tọa độ Oxy để giải quyết.
+) Phương pháp thu thập thông tin,tìm kiếm các bài toán trong đề tài này trong các đề minh họa ,đề thi THPT quốc gia năm 2017,đề thi thử của các trường trong toàn quốc trên mạng internet.
+) Phương pháp thống kê,xử lý số liệu: tự giải các bài này bằng phương pháp hình học giải tích,hoặc tìm kiếm lời giải bài toán này bằng phương pháp hình học giải tích trên các sách,báo,mạng internet.
II. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
• Các định nghĩa và kí hiệu
a) Số i: Ta thừa nhận có một số mà bình phương của nó bằng -1.Kí hiệu là i.
Như vậy, i2 = -1.
b) Số phức: Cho x, y là những số thực,biểu thức z = x+yi gọi là một (dạng đại số) số phức.
x gọi là phần thực, y gọi là phần ảo.
c) Với mỗi số phức z = x+yi, giá trị của biểu thức gọi là mô đun của z. Kí hiệu là .Như vậy .
d) Với mỗi số phức z = x+yi, Số phức z’ = x - yi, gọi là số phức liên hợp của z.Kí hiệu ,
Như vậy, nếu thì .
e) Với mỗi số phức z = x+yi, Xác định điểm M(x;y) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.Điểm M gọi là biểu diễn hình học của số phức z.
 Để cho tiện,trong SKKN này,tôi kí hiệu M(x;y) = M(z) hay đơn giản M(z) để chỉ M là điểm biểu diễn cho số phức .
• Các phép toán trên tập hợp số phức
Cho hai số phức ,
Phép cộng: 
Phép trừ: 
Phép nhân: 
Phép chia: với 
• Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ Oxy quen thuộc.
Với M(z) thì 
Với thì 
Với ,trong đó là hai số phức khác nhau cho trước thì tập hợp các điểm thỏa mãn hệ thức là đường trung trực của đoạn AB.
Với ,tập hợp các điểm thỏa mãn hệ thức R là đường tròn tâm M0, bán kính R.
Với tập hợp các điểm thỏa mãn , , ( a >0) là đường Elip có hai tiêu điểm tiêu cự , độ dài trục lớn 2a, độ dài trục bé 2b , ().
 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Bài toán Cực trị nói chung và bài toán Cực trị số phức số phức nói riêng là dạng toán tương đối khó,do vậy học sinh thấy khó khăn,ngại học,không chủ động,hứng thú làm bài, một mặt thì kiến thức hình học giải tích trong mặt phẳng tọa độ Oxy các em học đã lâu (lớp 10),một mặt thì thời gian học trên lớp hạn chế,tập hợp số phức lại là loại tập hợp mới mà các em vừa được tiếp cận.
Từ thực tế trên tôi thấy cần phải đưa ra phương pháp giải cho từng dạng Cực trị số phức nhằm tháo gỡ những khó khăn mà đa phần học sinh không nắm vững.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Bài toán Cực trị số phức có các cách giải khác, đánh giá theo Bất đẳng thức,Khảo sát hàm số,đặc biệt là bài thi trắc nghiệm có thể dùng máy tính cầm tay để khảo sát giá trị,từ đó tìm ra đáp án đúng,...
Trong SKKN này,tôi chia bài toán cực trị số phức thành tám dạng,có phân tích,nhận xét về vai trò,tác dụng,hiệu quả của từng dạng,từ đó các em có cách nhận biết để tiến hành lời giải hoặc tìm ra kết quả đúng.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
 SKKN giải bài toán Cực trị số phức bằng phương pháp hình học giúp học sinh cũng cố kiến thức về Hình học giải tích trong mặt phẳng tọa độ Oxy, có tư duy linh hoạt,nhìn nhận bài toán Đại số dưới con mắt Hình học để thấy được ý nghĩa hình học của bài toán.
 Từ bài toán Hình học trực quan này giúp học sinh dễ dàng tìm ra lời giải,đặc biệt có thể vẽ hình biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ Oxy để suy ra đáp án đúng trong bài thi trắc nghiệm khách quan, học sinh thấy hứng thú,tự tin hơn khi giải bài toán loại này.
 Từ kinh nghiệm này giúp học sinh học tốt bộ môn Toán trong chương trình THPT,từ đó nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường.
CÁC BÀI TOÁN
BÀI TOÁN 1: Cho số phức và tập hợp các số phức z thỏa mãn hệ thức: .
 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của .
 b) Tìm z để nhỏ nhất.
Nhận xét:
Gọi thì 
A(z1)
B(z2)
M
Mo
H
Δ
Từ đẳng thức ,Suy ra, M thuộc đường trung trực của đoạn AB.
Bài toán chuyển thành:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của với 
b) Tìm sao cho nhỏ nhất.
Ta thấy,với mọi điểm thì ,
trong đó H là hình chiếu của lên 
Do đó, min khi M là hình chiếu của lên 
Lời giải
Từ hệ thức , suy ra phương trình đường thẳng 
Với câu a),ta tính khoảng cách , và kết luận 
Với câu b)
Viết phương trình đường thẳng d đi qua ,vuông góc với 
Giải hệ gồm hai phương trình: và d suy ra nghiệm 
Kết luận,số phức cần tìm là .
Đặc biệt: tức là tìm số phức z sao cho mô đun của z là nhỏ nhất.
Ví dụ 1.1 Trong tất cả các số thức z thỏa mãn .Tìm giá trị nhỏ nhất của mô đun của z.
A. B. C. D. 
Lời giải
 Đặt và 
Ta có 
hay 
Khoảng cách từ O đến là 
x
y
Δ
M
I(-1;1)
(-3;4)
(1;-2)
O
Vậy, . Chọn đáp án A
Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô,rồi đoán đáp án đúng.
Ví dụ 1.2 Trong tất cả các số thức z thỏa mãn .Tìm giá trị nhỏ nhất của 
A. B. C. D. 
Lời giải
Đặt và 
Ta có 
hay 
y
x
M
d
Mo(-2;-1)
(3;5)
(1;-3)
Δ
O
,ở đây 
Chọn đáp án C.
Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô,rồi đoán đáp án đúng.
Ví dụ 1.3 Trong tất cả các số thức thỏa mãn .Biết rằng nhỏ nhất.Tính 
A. B. C. D. 
Lời giải
 Đặt M=M(z) .Từ hệ thức ,ta được 
y
B(0;1)
Mo(-1;1)
x
Δ
O
d
H
I(1;-2)
A(2;-5)
Đặt thì .
Gọi d là đường thẳng đi qua và vuông góc với thì hay 
Xét hệ phương trình: 
Suy ra hình chiếu của lên là 
Vậy nhỏ nhất khi . Chọn đáp án A
Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô,rồi đoán đáp án đúng.
BÀI TOÁN 2: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức .Trong đó cho trước.
a) Tìm giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của ,trong đó là số phức cho trước.
b) Tìm số phức z để đạt giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất)
Nhận xét:
Đặt M=M(z) , thì 
Từ đẳng thức ,suy ra M thuộc đường tròn (C) tâm I,bán kính R
Bài toán chuyển thành:
a) Tìm giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của AM với 
M
A(z1)
M1
I(z0)
R
M2
b) Tìm sao cho AM lớn nhất (hay nhỏ nhất)
Gọi là giao điểm của đường thẳng AI và (C) thì với mọi điểm ta luôn có 
 Do đó: ; 
Lời giải
a) ; 
b) Tìm z
Từ hệ thức suy ra phương trình đường tròn (C)
Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm 
Giải hệ gồm phương trình của (C) và d, suy ra các nghiệm 
Thử lại để chọn bộ thích hợp từ hai bộ trên.
Ví dụ 2.1 Trong tất cả các số phức z thỏa mãn hệ thức .Tìm 
A. 1 B. 3 C. D. 
Lời giải
Đặt và .
x
A(1;1)
O
M(1;0)
y
I(1;-3)
.
Từ hệ thức ,suy ra M thuộc đường tròn tâm I,bán kính R=3.
Vậy, 
Chọn đáp án A.
Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô,rồi đoán đáp án đúng.
Ví dụ 2.2 Trong tất cả các số phức z thỏa mãn hệ thức .Tìm giá trị lớn nhất của .
A. 2 B. 1 C. D. 
Lời giải
Ta có 
 với z thỏa mãn hệ thức ,suy ra M thuộc đường tròn tâm I,bán kính R=1.Vậy, . Chọn đáp án A.
y
M1
M
O
I
x
Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô,rồi đoán đáp án đúng.
Ví dụ 2.3 Trong tất cả các số phức thỏa mãn hệ thức .Biết rằng đạt giá trị nhỏ nhất.Tính 
A. B. C. D. 
Lời giải
Ta có 
y
I(1;-2)
M
A(-3;1)
x
Đường thẳng 
O
Xét hệ 
Với thì 
Với thì 
Vậy . Chọn đáp án A.
Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô,rồi đoán đáp án đúng.
Ví dụ 2.4 Cho số phức thỏa mãn hệ thức .Biết rằng đạt giá trị lớn nhất.Tìm phấn ảo của z.
A. 3 B. -1 C. 1 D. -3
Lời giải
Đặt .Từ hệ thức 
Đường thẳng d qua và tâm của (C) có phương trình x = 0
Giao của d và (C) là nghiệm của hệ 
y
x
(C)
I(0;1)
O
M’(-1;0)
M(0;3)
Với thì 
Với thì 
Vậy, lớn nhất khi . Chọn đáp án A.
Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô,rồi đoán đáp án đúng.
BÀI TOÁN 3: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức ,với là các số phức.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của , với là các số phức cho trước.
b) Tìm số phức z để nhỏ nhất.
Nhận xét:
	- Đặt thì .
	- Từ hệ thức . Suy ra, M thuộc đường thẳng .
∆
A’
M
M0
z1
z2
B
A
A
M
M0
z1
z2
B
∆
Dẫn đến bài toán: Tìm sao cho nhỏ nhất
	A, B khác phía so với 	A, B cùng phía so với 
Ta thấy rằng,
	+ Nếu A, B nằm về hai phía so với thì với mọi điểm Vậy nhỏ nhất là khi và chỉ khi thẳng hàng hay .
	Nếu A, B nằm về cùng một phía so với ∆ thì gọi A’ là điểm đối xứng với A qua ∆. Khi đó, với mọi điểm . Vậy, nhỏ nhất là khi và chỉ khi A’, M, B thẳng hàng hay .
Lời giải
- Từ hệ thức . Suy ra phương trình đường thẳng .
- Thay tọa độ các điểm vào phương trình để kiểm tra xem A, B nằm cùng phía hay khác phía so với .
- Nếu A, B khác phía với thì 
	+ min
	+ Để tìm z thì ta viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A, B. Giải hệ gồm phương trình và phương trình d. Nghiệm (x;y) suy ra số phức cần tìm.
	+ Nếu A, B khác phía so với thì viết phương trình đường thẳng a qua A và vuông góc với . Giải hệ phương trình gồm phương trình của và phương trình của a suy ra nghiệm là tọa độ điểm I là trung điểm của AA’. Từ tọa độ của A, I và công thức tính tọa độ trung điểm suy ra tọa độ A’.
	+ min với A’ = A’(z3’).
	+ Để tìm z thì ta viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A’, B. Giải hệ gồm phương trình ∆ và phương trình d. Nghiệm (x;y) suy ra số phức cần tìm.
Ví dụ 3.1 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
	Đặt .
	Từ hệ thức , suy ra, 
1
B
M0
A’
A
y
-2
-1
x
∆
2
3
O
Đặt .
	Thay A vào phương trình , ta được: . 
 Thay B vào phương trình , ta được: .
 Vậy A, B nằm cùng phía so với .
	Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với thì hay .
	Gọi thì tọa độ của I là nghiệm x,y của hệ: .
	Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua thì I là trung điểm của AA’ nên 
	Suy ra, min.
	Chọn đáp án B.
Nhận xét: Nếu ta biểu diễn bài toán trên giấy có ô thì ta cũng có thể chọn đáp án phù hợp với 1 trong 4 đáp án đưa ra.
Đáp án A: ; B: ; C: ; D: 
Dựa vào hình minh họa: nên chọn đáp án B.
Ví dụ 3.2 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức . Tìm phần thực của số phức z biết đạt giá trị nhỏ nhất.
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
M
1
y
x
(0;2)
(0;-4)
M(0,75;0,50)
A(1;2)
Đặt . 
Từ hệ thức , ta được: .
Đặt , thì A, B khác phía so với . 
∆
Đường thẳng .
Tọa độ giao điểm của AB và là nghiệm của hệ 
. 
Vậy, phần thực của số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là 
Chọn đáp án D.
Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô, rồi đoán đáp án đúng.
Ví dụ 3.3 ( Câu 46 – Đề minh họa THPT Quốc gia năm 2018)
Xét các số phức Thỏa mãn . Tính khi đạt giá trị lớn nhất.
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
1
A(-1;3)
I(1;0)
O
B(1;-1)
M
H(2;2)
I(4;3)
K(6;4)
Đặt . Từ hệ thức , ta được . 
Đặt , I là trung điểm của AB thì .
Theo phần lý thuyết ở trên, ta thấy MA+MB lớn nhất, khi MI lớn nhất, khi . (Hình minh họa).
	Đường thẳng qua I, vuông góc với AB có phương trình: 
	Xét hệ phương trình, . Ta được, . Tức là 
. Chọn K (như đã nói trên). Vậy . Chọn đáp án A.
Bình luận: Nếu ta có thể hiện bài toán trên giấy thì cũng dễ dàng lựa chọn đáp án là A.
BÀI TOÁN 4: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức . Tìm
a) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
b) Tìm số phức z để đạt giá trị nhỏ nhất. Ở đây, là các số phức cho trước.
Nhận xét:
	- Đặt thì .
	- Từ hệ thức . Suy ra M thuộc đường thẳng .
Dẫn đến bài toán, tìm M sao cho nhỏ nhất
z2
z1
I
B
 A
M
M0
∆
	- Gọi I là trung điểm AB. Khi đó, với mọi điểm M, ta có 
	Suy ra, .
	Do A, B, cố định nên AB không đổi, do đó nhỏ nhất MI nhỏ nhất , trong đó là hình chiếu của I trên đường thẳng ,và giá trị nhỏ nhất của làm 
Lời giải
- Từ . Suy ra được phương trình đường thẳng .
- Tìm trung điểm I của đoạn thẳng AB.
	+ Với câu a): Tính khoảng cách từ I đến , và độ dài đoạn thẳng AB. Kết luận: min.
	+ Với câu b): Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với . Nghiệm x,y của hệ hai phương trình , d là phần thực và phần ảo của z
Ví dụ 4.1 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
A. 	B. 	C. 	D. 8
Lời giải
	Đặt . Từ . Ta được, .
	Đặt và gọi I là trung điểm AB thì I(1;0). Khoảng cách từ I đến ∆ là d(I,∆) .
min.
	Chọn đáp án A.
y
I(1;0)
M
M: (-0,53;0,38)
(-3;-1)
(1;-2)
B(2;1)
A(0;-1)
O
x
Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô, rồi đoán đáp án đúng.
Ví dụ 4.2 Trong tất cả các số phức z thỏa mãn hệ thức . Tìm số phức z sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Đặt . Từ hệ thức . Ta được, .
x
H(2;0)
y
∆
(1;3)
B(3;1)
I(1;1)
A(-1;1)
O
(5;-1)
	Đặt . Gọi I là trung điểm AB thì I(1;1).
	Đường thẳng I, vuông góc với có phương trình: hay .
	Xét hệ phương trình: . Vậy, số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là .
	Chọn đáp án B.
Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô, rồi đoán đáp án đúng.
Ví dụ 4.3 Cho số phức z thỏa mãn . Biết rằng, số phức thỏa mãn đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức là
A. -16	B. -4	C. -1	D. 0
Lời giải
O
x
A(2;8)
B(6;6)
(-7;5)
M(0;4)
(1;11)
I(4;7)
y
∆
	Đặt . 
Từ hệ thức . Ta được .
Đặt I là trung điểm AB thì I(4;7).
Đường thẳng d qua I và vuông góc với ∆ có phương trình: .
Xét hệ phương trình: . Vậy, .
Chọn đáp án A.
BÀI TOÁN 5: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức .
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
b) Tìm số phức z để đạt giá trị lớn nhất.
Nhận xét:
- Đặt thì .
- Từ . Suy ra, M thuộc đường thẳng .
Dẫn đến bài toán: Tìm trên đường thẳng cho trước điểm M sao cho lớn nhất. Tính giá trị đó.
B
M
A
z1
z2
M0
∆
B
z1
M
A’
M0
A
z2
∆
H
 A, B cùng phía so với 	 A, B khác phía so với 
- Với A, B cố định
+ Nếu A,B cùng phía so với thì với mọi điểm M, ta luôn có . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M, A, B thẳng hàng hay .
+ Với: A, B khác phía so với , gọi A’ là điểm đối xứng với A qua thì với mọi điểm M, ta luôn có . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M, A’, B thẳng hàng hay .
Lời giải:
- Từ hệ thức . Suy ra phương trình đường thẳng .
- Thay lần lượt tọa độ điểm A, B vào phương trình để kiểm tra xem A, B cùng phía hay khác phía so với .
+ Nếu A, B cùng phía với .
	Với câu a): thì giá trị lớn nhất của là AB.
	Với câu b): viết phương trình đường thẳng AB. Giải hệ gồm phương trình đường thẳng và AB ta được nghiệm x,y là phần thực và phần ảo của z.
+ Nếu A, B khác phía với 
- Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với . Giải hệ phương trình gồm phương trình của và d, ta được nghiệm (x;y) là tọa độ điểm H.
- Lấy điểm A’ sao cho H là trung điểm cua AA’.
	Với câu a): thì giá trị lơn nhất của là A’B.
	Với câu b): viết phương trình đường thẳng A’B. Giải hệ gồm phương trình đường thẳng và A’B ta được nghiệm x;y là phần thực và ảo của z.
Ví dụ 5.1 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
A. 	B. 	C. 	C. 
Lời giải
Đặt .
Từ hệ thức , ta được: .
Thế tọa độ điểm A vào phương trình , ta được: .
Thế tọa độ điểm B vào phương trình , ta được: .
Vậy A, B cùng phía với .
x
y
(-1;7)
(-5;1)
∆
B(2;4)
A(4;1)
M(7;-2)
Theo phần lý thuyết ở trên, ta được: Giá trị lớn nhất của P là .
	Chọn đáp án A.
Bình luận: Hãy thể hiện bài toán trên giấy kẻ ô, rồi đoán đáp án đúng.
Ví dụ 5.2 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức . Biết rằng, số phức thỏa mãn đạt giá trị lớn nhất. Giá trị biểu thức bằng:
A. 0	B. 4	C. 8 	D. -2
Lời giải
	Đặt 
d
y
x
∆
B(2;6)
A’(1;3)
A(3;1)
(1;0)
(0;1)
Từ hệ thức , ta được: .
Thế tọa độ điểm A vào phương trình , ta được: .
Thế tọa độ điểm B vào phương trình , ta được: .
Vậy A, B khác phía so với .
	Theo phần lý thuyết ở trên. Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng thì ta được . Đường thẳng hay .
	Giao điểm của và A’B là nghiệm của hệ 
Vậy, số phức z thỏa mãn lớn nhất là nên .