SKKN Dự đoán dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức cauchy để tìm lời giải bài toán về bất đẳng thức và cực trị nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường THCS

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
PHÒNG GD&ĐT NHƯ THANH
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
DỰ ĐOÁN DẤU BẰNG XẢY RA Ở BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY ĐỂ TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG THCS.
Người thực hiện: Vũ Chí Cường
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Thị trấn Bến Sung
SKKN thuộc môn: Toán
THANH HÓA NĂM 2016
MỤC LỤC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trang
1
Lý do chọn đề tài.
2
2
Mục đích nghiên cứu
2
3
Đối tượng nghiên cứu
2
4
Phương pháp nghiên cứu
2
B. NỘI DUNG
1
Cơ sở lý luận
3
2
Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
3
3
Giải pháp và tổ chức thực hiện
4
4
Kiểm nghiệm
12
C. KẾT LUẬN
12
MỞ ĐẦU
I- Lí do chọn đề tài
Không phải ngẫu nhiên mà bài toán về bất đẳng thức, bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất lại thu hút được nhiều sự quan tâm của đông đảo giáo viên và học sinh trong các kì thi học sinh giỏi, kì thi tuyển sinh vào lớp 10, tuyển sinh Đại học Có lẽ bởi đó là bài toán khó nhất trong để thi, quyết định đến điểm số cao của bài thi. Nhưng với phần đông người đam mê môn Toán còn thấy trong nó một vẻ đẹp, vẻ đẹp Toán học. 
Đối với học sinh THCS chỉ mới được tiếp cận với bất đẳng thức một cách sơ lược như định nghĩa, một số phép biến đổi tương đương và một số kỹ thuật chứng minh đơn giản. Hơn nữa, các tài liệu viết về bất đẳng thức dành cho học sinh THCS đang còn rất ít và rất khó để học sinh có thể tự học từ các tài liệu này.
Và như đã nói ở trên thì các bài toán bất đẳng thức, bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong các kỳ thi thường rất khó vì đây là bài toán dùng để phân loại học sinh. Để giải các bài toán này phải sử dụng rất nhiều kiến thức, kỹ năng và thường phải có tư duy trừu tượng cao
Các bài toán bất đẳng thức không những rèn luyện tư duy sáng tạo, trí thông minh mà còn đem lại say mê và yêu thích môn Toán của người học.
Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức: phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp phản chứng, sử dụng các bất đẳng thức cổ điểnMột điều quan trọng mà nhiều học sinh không để ý đó là điều kiện dấu bằng xảy ra. Vì vậy, mà dẫn đến những sai lầm trong khi giải những bài toán đó.
Để giúp học sinh có cách nhìn khác hơn và đặc biệt là giúp các em không lúng túng trong cách tiếp cận bài toán thì bản thân đã mạnh dạn viết sáng kiến này với tên gọi “ Dự đoán dấu bằng xảy ra ở bất đẳng thức Cauchy để tìm lời giải bài toán về bất đẳng thức và cực trị nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường THCS”
II- Mục đích nghiên cứu:
- Rèn luyện tư duy sáng tạo, năng lực tự học- tự nghiên cứu trong dạy- học toán.
- Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức và giải tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
III- Đối tượng nghiên cứu:
Xây dựng phương pháp tìm tòi lời giải bài toán về bất đẳng thức, cực trị liên quan đến bất đẳng thức Cauchy từ việc dự đoán dấu bằng xảy ra.
IV- Phương pháp nghiên cứu:
 	Nghiên cứu tài liệu 
NỘI DUNG
I- Cơ sở lý luận
 1. Cơ sở về quan điểm, chủ trương.
 	Nghị quyết số 29-NQ/TW về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đã chỉ rõ: “ Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực”. 
 Trong nhà trường phổ thông, môn Toán giữ một vị trí hết sức quan trọng vì:
 + Môn Toán là môn học công cụ.
 + Môn Toán góp phần phát triển nhân cách.
 Như vậy, phát triển tư duy Toán học nói chung và tư duy BĐT nói riêng là góp phần quan trọng vào hình thành phẩm chất, năng lực con người Việt Nam trong thời đại mới.
2. Cơ sở Toán học
Tổng quát: Bất đẳng thức Cauchy(AM-GM)
Với là n số thực không âm, ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
- Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm: 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
- Bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm: 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
	* Một số hệ quả và bất đẳng thức đơn giản hay dùng:
- Với ta có: . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
- Với ta có: . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
II- Thực trạng của vấn đề
Bài toán chứng minh BĐT hoặc tìm GTLN, GTNN là một bài toán thường gặp trong kỳ thi Học sinh giỏi lớp 9 và thi vào lớp 10 THPT. Để giải các bài toán này, học sinh phải sử dụng rất nhiều kiến thức, kỹ năng và thường chỉ những học sinh giỏi mới có thể thực hiện được.
Đối với tỉnh Thanh Hóa chúng ta thì câu số 5 của đề thi vào lớp 10 thường là một câu BĐT hoặc tìm GTLN, GTNN và số học sinh giải được câu này thường không nhiều. 
Các tài liệu tham khảo môn Toán hiện nay cũng đề cập rất nhiều đến việc sử dụng hàm số để chứng minh BĐT và tìm GTLN, GTNN nhưng các tài liệu này là dùng cho bậc THPT vì ở đây phải dùng công cụ đạo hàm. Chủ quan mà nói, chưa có tài liệu dành cho THCS đề cập đến phương pháp này.
 	Từ thực trạng trên dẫn đến:
- Học sinh thường ngại học về BĐT và tìm GTLN, GTNN. Các em hay gặp thất bại khi giải các bài toán dạng này nên thường mất niềm tin và bỏ qua bài toán này khi đi thi.
- Vì bài toán chứng minh BĐT hoặc tìm GTLN, GTNN là một bài toán khó (khó dạy, khó học) nên đa số giáo viên không chú trọng dạy cho học sinh, thậm chí khi ôn thi học sinh giỏi, nhiều giáo viên cũng ít chú ý dạy phần này (vì cho rằng có dạy thì khi đi thi học sinh cũng không làm được).
 Trước khi triển khai đề tài, bản thân đã chủ động ra đề khảo sát chất lượng với 30 học sinh lớp 9 với hai bài tập sau:
Bài toán 1. Cho các số dương . Chứng minh rằng: 
Bài toán 2. Cho , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của 
Kết quả được thống kê lại như sau:	
+ Không có học sinh nào làm đúng cả hai bài.
+ Không học sinh nào làm được bài toán 2.
+ 7 học sinh làm đúng bài toán 1
	+ 10 học sinh có hướng làm bài toán 1 nhưng trình bày chưa được.
	+ 13 học sinh không làm được.
Đánh giá thực trạng: Qua kết quả trên cho thấy có đến gần một nửa lớp không làm được. Số lượng làm được bài 1 ít và không có em nào làm được bài 2. Điều này rất đáng báo động, vì các em chuẩn bị thi vào lớp 10.
III- Giải pháp và tổ chức thực hiện 
Xin được bắt bầu nội dung này với bài toán của đề bài khảo sát thực trạng:
Bài toán 1. Cho các số dương . Chứng minh rằng: 
Bài toán 2. Cho , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của 
Với hai bài toán, hầu hết các em nhận ra được biểu thức chứa biến là tổng của nghịch đảo nên đưa ra phương án làm rất nhanh. Cụ thể:
Bài toán 1: Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM), ta có:
. Từ đó suy ra 
 Bài toán 2: Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy (AM-GM), ta có:
	. Suy ra 
Vậy, giá trị nhỏ nhất của A là 2.
* Phân tích kết quả: 
Ta thấy rằng, ở bài toán 1 dấu “=” xảy ra khi . Kiểm tra lại thấy hoàn toàn chính xác. Nhưng ở bài toán 2, dấu “=” xảy ra khi , điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy lời giải trên là sai!
* Nguyên nhân sai lầm: Chính là việc các em có thói quen vận dụng ngay bất đẳng thức quen thuộc mà không để ý đến điều kiện về dấu “=” có xảy ra hay không?
Để khắc phục sai lầm này, chúng ta cùng phân tích và tìm tòi lời giải bài toán trên.
* Phân tích và tìm tòi lời giải:
- Ta dễ dàng nhận thấy rằng: Giá trị càng tăng thì càng giảm, nhưng độ tăng của lớn hơn độ giảm của , nên khi tăng thì cũng tăng. Từ đó, ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ nhất khi .
- Từ dự đoán trên, ta thấy không thể dùng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy cho hai số và được, vì giá trị tại dấu “=” xảy ra của hai số đó là khác nhau . Đến đây ta sẽ đề xuất phương án dùng bất đẳng thức Cauchy cho và để được kết quả “không nhỏ hơn”. Ta xác định m sao cho , với hay . Khi đó, ta có lời giải đúng như sau:
Ta có: 
Vì theo bất đẳng thức Cauchy thì và với thì nên: 
Qua bài toán trên, ta thấy rằng việc dự đoán dấu “=” xảy ra là một ý tứ hay trong việc giải các bài toán về bất đẳng thức và bài toán giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất. Nó giúp cho các em học sinh dễ tiếp cận và tìm tòi được hướng giải quyết bài toán.
Sau đây, chúng ta cùng nghiên cứu thêm một số ví dụ sau:
Ví dụ 1. Cho là các số dương. Chứng minh rằng:
* Phân tích và tìm tòi lời giải:
 Nhận thấy, trong bất đẳng thức trên vai trò của các số là như nhau. Ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi . Thử lại, ta thấy thỏa mãn.
Kết hợp với đặc điểm của bài toán, ta đề xuất phương án sử dụng bất đẳng thức Cauchy với và . Với dự kiến dấu “=” xảy ra là và để đảm bảo, ta dễ dàng xác định được .
	Ta có: .
Tương tự thì ; . 
Từ đó suy ra: 
	Vậy, , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi và , ta có:
* Phân tích và tìm tòi lời giải:
	Ta cũng nhận thấy, vai trò và là như nhau, dự đoán dấu “=” xảy ra khi . Thử lại thấy thỏa mãn.
	Mặt khác, trong bất đẳng thức có và ở mẫu của phân thức, kết hợp với điểu kiện có . Điều này gợi ý cho ta sử dụng “kĩ thuật cộng mẫu” để đảm bảo dấu “=” xảy ra thì ta chọn và . 
Và phương án sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho và , với ta xác định được . 
Khi đó phần còn lại của vế trái là , ta vận dụng bất đẳng thức Cauchy để được: . Kiểm tra lại hệ thống điều kiện dấu “=”, ta thấy thỏa mãn.
	* Sơ lược lời giải: 
Ta có: 
Áp dụng bất đẳng thức , ta được:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được:
Suy ra: 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Ví dụ 3. Cho là các số dương. Chứng minh rằng:
* Phân tích và tìm tòi lời giải:
 Trong bất đẳng thức trên vai trò của các số là như nhau. Ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi . Thử lại, ta thấy thỏa mãn.
Để ý, , nếu sử dụng bất đẳng thức Cauchy thì ta dễ dàng có được vế phải và vẫn đảm bảo dấu “=” xảy ra.
	* Sơ lược lời giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: 
Tương tự: 
Suy ra: 
Hay: . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
Ví dụ 4. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
	* Phân tích và tìm tòi lời giải:
	Khi tiếp cận bài toán này, học sinh rất dễ nhầm lẫn linh hoạt tách số hạng 2x và vận dụng bất đẳng thức Cauchy, như sau: 
	. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3.
Nhưng khi ta kiểm tra điều kiện về dấu “=” thì , không thỏa mãn.
	Thế ở bài toán này, ta nhận thấy khi càng tăng mà thì P càng nhỏ. Từ đó mà ta dự đoán là thì P nhận giá trị nhỏ nhất.
	* Sơ lược lời giải:
	Ta có 
Vậy, P đạt giá trị nhỏ nhất la 5 tại 
Ví dụ 5. Cho là các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
	* Phân tích và tìm tòi lời giải:
	Sai lầm mà học sinh dễ mắc phải ở bài này, đó là việc các em phát hiện ra các số hạng nghịch đảo và áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 6 số, tức là 
	Vậy, giá trị nhỏ nhất của M là 6.
	Nhưng cũng như bài ở trên, chính ra việc không đảm bảo điều kiện dấu “=” . Vì thì không thỏa mãn .
Cùng nhìn lại biểu thức thì ta thấy trong M vai trò của là như nhau nên ta dự đoán M đạt giá trị nhỏ nhất tại . Từ đó, để đảm bảo điều này, ta đề xuất phương án như sau:
	* Sơ lược lời giải:
	Ta có 
	. 
	Vậy, M đạt giá trị nhỏ nhất là tại .
Ví dụ 6. Cho là các số không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của 
	* Phân tích và tìm tòi lời giải:
Sai lầm mà học sinh dễ mắc phải ở bài này, đó là:
; 
Suy ra giá trị lớn nhất của M là . 
 Nhưng cũng như bài ở trên, chính ra việc không đảm bảo điều kiện dấu “=”. 
Vì thì không thỏa mãn .
Trong biểu thức M vai trò của là như nhau nên ta dự đoán M đạt giá trị lớn nhất tại . Từ đó, để đảm bảo điều này, ta đề xuất phương án như sau:
	* Sơ lược lời giải:
Suy ra 	
Vậy, M đạt giá trị lớn nhất là tại .
Ví dụ 7. Cho là các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
	* Phân tích và tìm tòi lời giải:
Trong biểu thức P vai trò của là như nhau nên ta dự đoán P đạt giá trị lớn nhất tại điều kiện
 . 
Từ đó, để đảm bảo điều này, ta đề xuất phương án như sau:
	* Sơ lược lời giải:
Tương tự ta có:
Suy ra Vậy, P đạt giá trị lớn nhất là tại .
Hệ thống bài tập tương tự:
Bài 1. Cho là các số dương. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
	a) 
	 b) 
Bài 2. Cho là các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Bài 3. Cho là các số dương, tìm giá trị nhỏ nhất của 
Bài 4. Cho là các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Bài 5. Cho là các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của .
IV- Kiểm nghiệm
Qua quá trình ôn tập cho HS lớp 9 và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi đã mạnh dạn đưa đề tài này áp dụng vào việc giảng dạy. Tôi thấy học sinh rất say mê giải bài tập với các dạng trên. 
Các em đã tự tin hơn trong việc tiếp cận và xây dựng hướng làm bài. Với mức độ bài toán vừa phải các em đã hoàn thành tương đối tốt. Thậm chí có một vài em có năng lực đã tìm hiểu và giải quyết được những bài khó hơn từ phương pháp này.
Sau khi triển khai chuyên đề, bản thân cùng với một số đồng nghiệp khảo sát lại cũng bằng hai bài toán vể bất đẳng thức và giá trị nhỏ nhất thì thu được kết quả hết sức khả quan có 13 học sinh làm được cả bài 1, có 10 học sinh làm được cả hai bài và số còn lại đều đã định hướng được cách làm.
Tuy nhiên, đối với dạng bài tập này, chỉ có hiệu quả với HS khá, giỏi, ít hiệu quả với HS yếu kém và trung bình.
KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
I- Kết luận
Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải, song việc tìm ra cách giải hợp lí, ngắn gọn, sáng tạo và độc đáo là điều bất giáo viên nào cũng mong học sinh của mình có được.
Đây là một chuyên đề khá vừa sức với các em học sinh có năng lực về môn Toán và việc các em lĩnh hội cũng không gặp nhiều khó khăn. Điều khó khăn khi triển khai chuyên đề này chính là thời lượng của nội dung bất đẳng thức trong chương trình Toán THCS là không nhiều và khó. Thường thì nội dung này chỉ ở tài liệu nâng cao và chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi.
II- Kiến nghị
Sau khi tổng kết thực nghiệm sư phạm, chúng tôi có một số đề xuất sau:
- Mỗi GV cần xây dựng cho mình một hệ thống câu hỏi, bài tập riêng, cùng với đó là việc rèn luyện về kỹ năng sáng tạo bài toán mới.
- Mỗi GV nên tích cực tổ chức dạy học dưới dạng chuyên đề, chủ đề, để HS có cái nhìn tổng quát hơn về kiến thức, kỹ năng và phương pháp giải toán 
Qua thực tế cho thấy học sinh ở nhà trường gặp rất nhiều khó khăn ở nội dung này. Vì vậy, giáo viên cần hệ thống bài tập và lựa chọn phù hợp với từng đối tượng học sinh, giúp các em nắm vững kiến thức cơ bản cũng như kĩ năng giải toán. Có như vậy dần dần các em mới tự tin và yêu thích môn Toán nói chung và về Bất đẳng thức nói riêng. Từ đó sẽ tạo cho học sinh phương pháp tự học, tự nghiên cứu.
Tuy nhiên, nội dung của chuyên đề này khá rộng, song trong khuôn khổ thời gian có hạn, bản thân cũng chỉ đưa ra được một số ví dụ, bài tập điển hình.
Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn và đồng nghiệp để chuyên đề này được hoàn thiện hơn.	
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG
Như Thanh, ngày 25 tháng 3 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Vũ Chí Cường