SKKN Định hướng tư duy, tính nhanh khoảng cách góc trong không gian thi học sinh giỏi và thi Trung học phổ thông Quốc gia

 MỤC LỤC
 Trang
 Tiêu mục
 1
 Mục lục
 1. Lời giới thiệu 3
 2. Tên sáng kiến 3
 3. Tác giả sáng kiến 3
 4. Chủ đầu tư sáng kiến 3
 5. Lính vực áp dụng sáng kiến 3
 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử 4
 7. Mô tả bản chất sáng kiến 4
7.1.Nội dung sáng kiến 4
7.1.1. Khoảng cách 4
7.1.1.1 Các loại khoảng cách trong không gian 4
7.1.1.2. Phân dạng và phương pháp giải 5
7.1.1.2.1. Dạng 1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 5
 7.1.1.2.1.1. Phương pháp 5
 7.1.1.2.1.2. Chú ý 6
 7.1.1.2.1.3. Bài toán gốc 7
 7.1.1.2.1.4. Ví dụ minh họa 8
 7.1.1.2.1.5. Bài tập tự giải 23
 7.1.1.2.2. Dạng 2 Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau 25
 7.1.1.2.2.1. Phương pháp 25
 7.1.1.2.2.2. Ví dụ minh họa 25
 7.1.1.2.2.3. Bài tập tự giải 32
 7.1.2. Góc 34
 7.1.2.1. Các loại góc trong không gian 34
 1 BÁO CÁO KẾT QUẢ
 NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN:
 ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY - TÍNH NHANH 
 KHOẢNG CÁCH – GÓC TRONG KHÔNG GIAN 
 THI HỌC SINH GIỎI VÀ THI THPT QUỐC GIA
1. Lời giới thiệu: 
 Bài toán tính khoảng cách, góc giữa các đối tượng trong không gian là bài 
toán rất quan trọng và điển hình trong chương quan hệ vuông góc của hình học 
11 và là phần hay ra trong các đề thi HSG, thi THPT QG các năm.
 Để giải quyết bài toán này không phải là khó nhưng cũng không dễ đối 
với lớp các đối tượng ngại học hình đặc biệt là hình không gian. Đặt ra câu hỏi 
tìm ra cách thức, đường hướng giải quyết bài toán nằm ở mức độ 6-7 điểm trong 
đề thi, để các em có được phương thức giải dạng toán này.
 Vì vậy, từ kinh nghiệm của bản thân trong các năm luyện thi đại học và 
bồi dưỡng học sinh giỏi cũng như tìm tòi, tham khảo và tổng hợp ở các tài liệu 
Toán tôi hệ thống lại và đưa ra hướng giải quyết thông qua chuyên đề: “Định 
hướng tư duy - tính nhanh khoảng cách – góc trong không gian thi học sinh 
giỏi và thi trung học phổ thông quốc gia” với mong muốn giúp đỡ các em học 
sinh nắm bắt được cách giải dạng toán này nhằm góp phần nâng cao chất lượng 
dạy và học của trường THPT Đồng Đậu.
 Chuyên đề là một tài liệu dùng trong việc ôn thi và làm tài liệu tham khảo 
cho học sinh lớp 11, lớp 12, giáo viên của trường.
2. Tên sáng kiến: ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY - TÍNH NHANH KHOẢNG 
CÁCH – GÓC TRONG KHÔNG GIAN THI HỌC SINH GIỎI VÀ THI 
THPT QUỐC GIA
3. Tác giả sáng kiến:
 - Họ và tên: Nguyễn Thị Thu
 - Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Đồng Đậu
 - Số điện thoại: 0983973826. E_mail: Nguyenthugvtoan@gmail.com
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến : Nguyễn Thị Thu 
 3 7.1.1.1.4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng 
 song song: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng 
 P
 song song: dP,Q  dM,P,MQ
 Q
 7.1.1.1.5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng 
 chéo nhau: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và a
 b khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo P
 nhau a và b kí hiệu là:
 b
 da,b  MN,Ma,Nb,MN  a,MN  b Q N
  da,P,P  b,a / /P
  dP,Q,P  a,b  Q :P / /Q
▪Nhận xét: 
 ✓ Như vậy các bài toán khoảng cách trong không gian đều có thể quy về 
 bài toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. 
 1
 ✓ Bài toán tính thể tích của khối chóp và khối lăng trụ V  B.h; V  B.h , 
 3
 đều phải tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai 
 mặt phẳng tức chúng đều quy về bài toán khoảng cách từ điểm đến mặt 
 phẳng.
7.1.1.2. PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
7.1.1.2.1. DẠNG 1 KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT 
PHẲNG
7.1.1.2.1.1. PHƯƠNG PHÁP:
7.1.1.2.1.1.1. Tính trực tiếp: Tìm hình chiếu H của A trên mặt phẳng (P). 
Khi đó dA,P  AH 
 Để tìm hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P) có 2 
 phương pháp thường dùng:
 5 tiên nhưng mang yếu tố tiên quyết này cần chú ý vận dụng linh hoạt các tính 
 chất sau:
 • Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
 • Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
 • Chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng 
 cắt nhau trong mặt phẳng 
 • Chứng minh đường thẳng đó là giao tuyến của hai mặt phẳng 
 cùng vuông góc với mặt phẳng cần chứng minh
 • Chứng minh đường thẳng đó nằm trong mặt phẳng vuông góc 
 với mặt cần chứng minh đồng thời vuông góc với giao tuyến 
 của hai mặt. 
7.1.1.2.1.3. BÀI TOÁN GỐC:
Phương pháp xác định khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến một mặt 
bên:
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), tình khoảng 
cách từ A đến mặt (SBC).
 Bước 1: Xác định giao tuyến 
 d của mặt bên và mặt đáy
 Bước 2: Tìm hình chiếu vuông 
 góc K của A trên d. (AK  d )
 Bước 3: Gọi H là hình chiếu 
 vuông góc của
 A trên SK ( AH  SK ), suy 
 ra AH  (SBC) 
 Do d  SAK  d  AH , mà 
 AH  SK suy ra AH  (SBC) .
 Vậy dA,SBC  AH 
 7 1 1 1 1 1 4
      
 AH2 SA2 AK2 9a 2 3a 2 9a 2
 3a
Suy ra dA,SBC  AH 
 2
Cách 2: Tính gián tiếp qua thể tích
 1 1 1
Dễ có V  SA.S  SA. AB.BC.sin A· BC  a3 3 
 S.ABC 3 ABC 3 2
 1 1 3VS.ABC
Lại có VS.ABC  SA.SABC  dA,SBC.SSBC  dA,SBC 
 3 3 SSBC
Để tìm SSBC thì cần tìm đường cao SK hay tìm góc giữa mặt (SBC) và mặt đáy.
Tương tự cách chứng minh và tìm K như trên ta có 
 1
 AK  a 3  SK  SA2  AK2  2a 3 . Suy ra S  SK.BC  2a 2 3
 SBC 2
 3.a3 3 3a
Vậy dA,SBC  
 2a 2 3 2
Ví dụ 2: ĐHKD-2003 Cho hai mặt phẳng P,Q vuông góc với nhau, cắt 
nhau theo giao tuyến  . Lấy A, B thuộc  và đặt AB  a . Lấy C, D lần lượt 
thuộc P,Q sao cho AC,BD vuông góc với  và AC  BD  a . Tính 
khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD.
Phân tích: 
Nhận thấy P  ABC,Q  ABD, từ giả thiết suy ra CA  ABD, nên A 
chính là hình chiếu vuông góc của C lên mặt phẳng (ABD). Bài toán chính là 
tìm khoảng cách từ hình chiếu vuông góc của đỉnh đến mặt bên (BCD).
Hướng dẫn giải:
 9 Theo giả thiết A'AC vuông cân tại A, có 
 A'C
 A'C  2a  AC  AA'   a 2 .
 2
Lại có ABC vuông cân tại A, có 
 AC
 AC  a 2  AB  BC   a .
 2
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên A’B. 
Ta có BC  ABB'A' , suy ra AH  BC , lại có 
 AH  A'B . Suy ra AH  BCD' .
Xét tam giác vuông ABA’ có AH là đường cao, nên ta có: 
 1 1 1 1 1 3 a 6
       dB,BCD'  AH  .
 AH2 AB2 AA'2 a 2 2a 2 2a 2 3
Cách 2: Tính gián tiếp theo thể tích:
 1 1 a 2 a3 2
Dễ có V  AA'.S  a 2.  
 A '.ABC 3 ABC 3 2 6
 1 3VA '.ABC
Lại có VA '.ABC  dA,A'BC.SA 'BC  dA,A'BC  dA,BCD' 
 3 SA 'BC
 1 1 a 2 3
Mà S  A'B.BC  a 3.a  ,
 A 'BC 2 2 2
 a 2 2
 3.
 3V a 6
 suy ra d B, BCD'  A 'ABC  6 
    2
 SA 'BC a 3 3
 2
Ví dụ 4: ĐHKA-2014 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông 
 3a
cạnh a, SD  , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung 
 2
điểm của cạnh AB. Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBD theo a. 
 11 dH,SBD AB
Lại có AH  SBD  B , ta có:   2.
 dH,SBD HB
 2a
 dA,SBD  2dH,SBD  .
 3
Cách 2: Tính gián tiếp theo thể tích.
 1
Gọi H là trung điểm của AB, dễ có SH  ABCD , suy ra V  SH.S .
 S.ABD 3 ABD
 a 2 a 5
Ta có HAD vuông tại A : HD  AH2  AD2   a 2  .
 4 2
 9a 2 5a 2
 SHD vuông tại H có: SH  SD2  HD2    a ,
 4 4
 1 1 a 2 a3
suy ra V  SH.S  a.  .
 S.ABD 3 ABD 3 2 6
 1 3VS.ABD
Lại có VS.ABD  dA,SBD.SSBD  dA,SBD  .
 3 SSBD
 3a a 5
Xét tam giác SBD có SD  ,BD  a 2,SB  SH2  HB2  .
 2 2
 3
Áp dụng công thức Hê rông ta có S  pp  SDp  SBp  BD  a 2 . 
 SBD 4
Với p là nửa chu vi của tam giác SBD. 
 a3
 3
 3V 2
Suy ra dA,SBD  S.ABD  6  a .
 S 3 2 3
 SBD a
 4
Ví dụ 5: ĐHKB-2014 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều 
cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của 
 13