SKKN Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian

Môc lôc
Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình tọa độ không gian, lớp 12 THPT
*****
TT
 NéI DUNG 
 Trang 
A
MỞ ĐẦU
1
Lý do chọn đề tài
1
2
Mục đích nghiên cứu
1
3
Đối tượng nghiên cứu
1 
4
Phương pháp nghiên cứu
1
B
NỘI DUNG
I
Cơ sở lí luận
1 
II
Thực trạng của vấn đề
2
III
Các sáng kiến kinh nghiệm
1
Kiến thức trang bị
2
2
Các dạng toán cơ bản
2
2.1
Dạng 1.Tìm các điểm thõa mãn điều kiện cho trước .
3
2.2
Dạng 2.Một số bài toán về viết phương trình mặt phẳng.
7
2.3
Dạng 3.Một số bài toán về viết phương trình đường thẳng.
12
IV
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm .......................
17
C
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
18
Tài liệu tham khảo
19
 A.MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài .
 Trong việc dạy học toán ta luôn coi mục đích chủ yếu của môn Toán là hình thành và phát triển tư duy toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và phải biết vận dụng kiến thức vào thực tiễn.Trong quá trình dạy học toán, việc lựa chọn phương pháp phù hợp để giải các bài toán là việc làm cần thiết và quan trọng. Chọn được phương pháp thích hợp sẽ cho ta lời giải hay và ngắn gọn, dễ hiểu, tiết kiệm thời gian. Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán là hết sức cần thiết.
 Trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông, thi học sinh giỏi hay thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng, thường xuất hiện các bài toán về phương pháp tọa độ trong không gian. Có thể nói rằng toán về phương pháp tọa độ trong không gian rất đa dạng phong phú. Cực trị hình học trong phương pháp tọa độ trong không gian là một dạng toán khó đòi hỏi học sinh vừa phải biết tư duy hình học vừa phải biết kết hợp sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian.
 Trong năm học 2015- 2016 được phân công giảng dạy lớp 12 trước khi dạy chương :" Phương pháp tọa độ trong không gian" bản thân tôi luôn trăn trở: làm thế nào để khi học sinh đọc đề thi thấy xuất hiện câu cực trị hình học trong hình toạ độ không gian nhưng học sinh không cảm thấy sợ. Trong quá trình trực tiếp giảng dạy và nghiên cứu tôi thấy đây là dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi. Để giúp học sinh định hướng được cách làm dạng toán này, hiểu sâu hơn, tự tin hơn khi gặp các bài toán cực trị đặc biệt là cực trị trong hình toạ độ không gian, phát triển tư duy, hướng học sinh tới niềm say mê sáng tạo, tôi mạnh dạn cải tiến phương pháp giảng dạy với đề tài: "Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình tọa độ không gian, lớp 12 THPT".
2.Mục đích nghiên cứu. Đưa ra phương pháp cơ bản để giải một số bài toán cực trị trong hình toạ độ không gian đồng thời rèn luyện kỹ năng giải toán cực trị hình học, giúp học sinh có hướng nhìn mới về dạng toán này.
3. Đối tượng nghiên cứu. Các bài toán cực trị trong hình toạ độ không gian cụ thể là: các bài toán liên quan đến tìm các điểm thoã mãn điều kiện cho trước, viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng áp dụng cho học sinh lớp 12 THPT.
4. Phương pháp nghiên cứu. Phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết.
B.NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận.
 Trong chương trình hình học 12 chương :"Phương pháp tọa độ trong không gian" tập trung chủ yếu vào các dạng toán xác định tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước, lập phương trình mặt phẳng, đường thẳng. Tuy nhiên các kiến thức trong sách giáo khoa chỉ ở mức cơ bản song trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi Đại học, Cao đẳng, đề thi thử của một số trường lại vẫn có loại bài tập này.Vì vậy việc cung cấp nội dung phương pháp là hết sức cần thiết.
II .Thực trạng của vấn đề. 
 Trong quá trình giảng dạy học sinh khá giỏi, ôn thi học sinh giỏi, ôn luyện thi Đại học, Cao đẳng, tôi nhận thấy phần bài tập liên quan đến các bài toán cực trị hình học trong hình tọa độ không gian là một phần bài tập khó, học sinh tương đối gặp khó khăn trong cách tư duy, định hướng cách giải bởi vì sách giáo khoa hầu như bỏ qua dạng bài tập này, các tài liệu tham khảo cũng có nhắc tới song không có tính hệ thống.Vì vậy, học sinh lúng túng khi gặp phải tình huống này. Khi chưa cải tiến phương pháp mỗi lớp chỉ được vài em tập trung làm bài tập dạng này, tuy nhiên cũng không có tính hệ thống mà làm thiên về phương pháp đại số. Nếu trang bị cho các em những kỹ năng, tình huống cơ bản, từ đó giúp mỗi học sinh tự đúc kết kinh nghiệm riêng cho bản thân mình thì khi gặp một bài toán dạng như thế này thì các em sẽ định hướng, tư duy được cách giải theo hướng hình học một cách tự tin, nhanh chóng và chính xác.
III. Các sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
1.Kiến thức trang bị.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ta có các kết quả sau:
1.1. Nếu cùng phương với .Chọn 
1.2. Mặt phẳng (P) đi qua điểm M nhận véc tơ làm véc tơ pháp tuyến có phương trình : ( )
1.3. Đường thẳng (d) đi qua điểm M nhận véc tơ làm véc tơ chỉ phương có phương trình tham số : ( ).
Nếu a,b,c đều khác 0 thì ta có phương trình chính tắc :.
1.4.Cho 2 điểm ,điểm chia AB theo tỷ số k : được xác định bởi công thức sau 
2.Các dạng toán cơ bản.
 Để giúp học sinh khá giỏi giải tốt các bài toán cực trị trong hình học không gian thường gặp trong các kỳ thi đại học, cao đẳng và thi học sinh giỏi, tôi đã đúc kết thành những dạng toán cơ bản như sau:
Dạng 1.Tìm các điểm thõa mãn điều kiện cho trước .
Bài toán 1.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) .Tìm điểm M trên (P) sao cho :
a) nhỏ nhất. b) lớn nhất.
Phương pháp . Hướng dẫn học sinh hình thành các bước giải bài toán. 
a) MA+MB nhỏ nhất.
Bước 1 : Xét vị trí tương đối của A, B so với mặt phẳng (P).
Bước 2 :+) Nếu A, B khác phía đối với (P)(AB không song song với (P)).
 (MA + MB)min khi M, A, B thẳng hàng 
 +) Nếu A, B cùng phía đối với (P).
Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua (P).Khi đó MA + MB = MA1 + MB
Do A1 và B khác phía đối với (P) nên (MA + MB) min
(MA1 + MB) min M, A1, B thẳng hàng .Tìm toạ độ M.
b) lớn nhất.
Bước 1 : Xét vị trí tương đối của A,B so với mặt phẳng (P).
Bước 2 :+) Nếu A, B cùng phía đối với (P).
 max khi M, A, B thẳng hàng .
 +) Nếu A, B khác phía đối với (P).
Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua (P) Khi đó = 
Do A1 và B cùng phía đối với (P) nên maxmax 
M, A1, B thẳng hàng.
Ví dụ .Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x+y+z-4=0.
Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho :
a) MA+MB nhỏ nhất, biết A(1;0;0) , B(1;2;0).
b) lớn nhất, biết A(1;2;- 1), B(0;1;2).
Định hướng: Để giải bài toán này ta cần xác định các bước làm :
Bước 1: Xét vị trí tương đối của hai điểm A, B so với mặt phẳng (P).
Bước 2: Lập luận để tìm ra vị trí của điểm M thuộc mp(P) dựa vào phần lý thuyết.
Sau đó tiến hành tìm toạ độ điểm M.
Giải .
Đặt 
a. nên hai điểm A và B nằm cùng phía đối với (P).
Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua (P).Khi đó MA + MB = MA1 + MB.
Do A1 và B khác phía đối với (P) nên (MA + MB) min
(MA1 + MB) min M, A1, B thẳng hàng .
Đường thẳng vuông góc với (P) đi qua A(1;0;0) nhận véc tơ pháp tuyến của (P) làm vec tơ chỉ phương có phương trình là: 
Gọi I là giao của đường thẳng với (P) thì tọa độ điểm I là nghiệm của hệ :
 I(2;1;1)
Do I là trung điểm của A A1 nên A(3;2;2).
Ta có (-2;0;-2).
Đường thẳng đi qua A(3;2;2) nhận véc tơ (-2;0;-2) làm vec tơ chỉ phương có phương trình là : 
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ .Vậy.
b) nên hai điểm A và B nằm cùng phía đối với (P).
 Khi đó , max khi M, A, B thẳng hàng 
Ta có (-1;-1;3)
Đường thẳng đi qua A (1;2;-1) nhận véc tơ (-1;-1;3) làm vec tơ chỉ phương có phương trình là 
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ .
Bài toán 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm .Xét .Trong đó là các số thực cho trước thoã mãn 
.Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho có độ dài nhỏ nhất.
Phương pháp.Cần hướng dẫn học sinh hình thành quy trình bài toán theo các bước
Bước 1. Xác định điểm cố định.
Gọi G là điểm thoã mãn : với .
Khi đó =.
Bước 2. Lập luận tìm vị trí của điểm M.
Do nên có độ dài nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất, mà M thuộc (P) nên MG nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của G lên (P).
Ví dụ. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+y+z-4=0.Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho: nhỏ nhất, biết A(1;2;-1), B(0;1;2),C(0;0;3).
Định hướng. Xác định các bước làm bài toán này.
Bước 1. Xác định điểm cố định theo hướng dẫn ở phần phương pháp.
Bước 2. Lập luận để tìm vị trí của điểm M.
Giải
Ta có : 
Ta cần tìm điểm I sao cho =.
Vậy I() và I cố định.
= nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của I lên (P).
Phương trình đường thẳng đi qua I vuông góc với (P) nhận vec tơ pháp tuyến của (P) làm vec tơ chỉ phương có phương trình là: 
Tọa độ của M là nghiệm hệ phương trình : M(1;)
Vậy M(1;)
Bài toán 3.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm.Xét biểu thức T=, trong đó là các số thực cho trước.Tìm M thuộc (P) sao cho :
a) T có giá trị nhỏ nhất biết .
b) T có giá trị lớn nhất biết .
Phương pháp.
Bước 1.Xác định điểm cố định.
Gọi G là điểm thoã mãn .Ta có:.
T==+MG.
Bước 2.a) Nếu . Do không đổi nên T có giá trị nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất.
b) Nếu , T có giá trị lớn nhất khi MG nhỏ nhất.
MG nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của G lên (P).
Ví dụ1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+y+z-4=0. Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho: nhỏ nhất, biết A(1;2;-1),B(-1;0;3)
Định hướng. 
Bước 1 : Xác định điểm cố định .Trước hết cần phân tích các vec tơ thành tổng của 2 vec tơ .
Bước 2: lập luận để lớn nhất. Tìm vị trí của điểm M.
Giải 
 Xét điểm I tùy ý ta có :
Giả sử =.Gọi I(x;y;z) ta có :
 I(-2;-1;5).
Do I cố định nên có độ dài không đổi.Vậy lớn nhất khi nhỏ nhất nhỏ nhất là hình chiếu của I lên (P).
Phương trình đường thẳng đi qua I vuông góc với (P) nhận vec tơ pháp tuyến của (P) làm vec tơ chỉ phương có phương trình là : .
Tọa độ của M là nghiệm hệ phương trình M(; )
Vậy M(; ).
Ví dụ 2( Trích đề thi HSG Tỉnh Thanh Hóa năm học 2015-2016).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm và mặt phẳng (P) có phương trình: .Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: S = .
Định hướng.Hướng dẫn HS thực hiện theo các bước đã phân tích .
Bước 1. Tìm điểm cố định.Trước hết cần phân tích các vec tơ , thành tổng của 2 vec tơ .
Bước 2. Sau đó lập luận để S nhỏ nhất.
Giải
 Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC suy ra
Ta có: 
Do không đổi nên S đạt giá trị nhỏ nhất khi MG đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó M là hình chiếu của G lên (P). 
Phương trình đường thẳng đi qua G vuông góc với (P) nhận vec tơ pháp tuyến của (P) làm vec tơ chỉ phương có phương trình là : 
Toạ độ điểm M là nghiệm hệ : .Ta tìm được
Nhận xét :Với cách định hướng phân tích bài toán như trên học sinh sẽ thấy vấn đề của bài toán trở nên đơn giản, dễ giải quyết.
Dạng 2.Một số bài toán về viết phương trình mặt phẳng.
Bài toán 1. Cho 2 điểm phân biệt A, B.Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất.
Phương pháp.
 Bước 1.Gọi H là hình chiếu của B lên (P).Tam giác ABH vuông tại H
Bước2.Lập luận tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
Ta có =AB
Bước 3.(P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc Avới AB
Ví dụ . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2; -1; 1) và cách gốc toạ độ một khoảng lớn nhất.
Định hướng.Để viết phương trình mặt phẳng thì ta cần xác định điểm đi qua và vec tơ pháp tuyến. Như vậy, ở bài toán đã cho (P) chứa A.Vậy cần xác định véc tơ pháp tuyến ở bài toán như thế nào? Hướng dẫn học sinh là theo 3 bước trên.
Giải.
Gọi H là hình chiếu của O trên mp(P).
 Khi đó = OA 
Vậy mp(P) đi qua A(2;-1;1) và nhận làm véc tơ pháp tuyến.Vậy (P) : .
Nhận xét : Như vậy, khi định hướng rõ ràng phương pháp thì học sinh có tư duy trực quan hơn, làm bài nhanh hơn, cảm thấy tự tin hơn với bài làm của mình.
Bài toán 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A không thuộc đường thẳng d. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất .
Phương pháp:Bước 1.Gọi H là hình chiếu của A trên (P), K là hình chiếu của A lên đường thẳng d.
Bước 2. Ta có d(A;(P)) =AH AK.
Vậy d(A;(P)) lớn nhất khi và chỉ khi AH =AK. Hay HK.
Bước 3.Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và nhận làm vectơ pháp tuyến.
Ví dụ (Trích đề thi tuyển sinh Đại học, khối A năm 2008).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d:. Lập phương trình mặt phẳng () chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất .
Định hướng: Bài toán này có thể giải theo 2 cách, nếu không có sự định hướng về phương pháp thì hầu như các em làm theo cách 2 là cách thiên vể đại số và giải tích nhiều hơn, ngay cả đáp án cũng thiên về phương pháp này. Nhưng khi có sự định hướng rõ ràng về mặt phương pháp thì học sinh sẽ làm theo cách thứ nhất thiên về hình học, ít phải tính toán. Xét cả 2 cách làm sau đây sau đó học sinh sẽ tự rút ra được nhận xét về 2 cách làm này.
Giải 
Cách 1. Gọi H là hình chiếu của A trên (), K là hình chiếu của A lên đường thẳng d.Ta có d(A;(P)) =AH AK .
Vậy d(A;()) lớn nhất khi và chỉ khi AH =AK. Hay HK. 
Vậy () chứa đường thẳng d và nhận làm vec tơ pháp tuyến.
Ta có K d nên K(1+2t;t;2+2t) và .
Đường thẳng d có vtcp (2;1;2) đi qua (1;0;2)Theo giả thiết ta có:
Véc tơ pháp tuyến của () là .
Phương trình mặt phẳng () : 1(x-1)-4y +1(z-2)=0 
Vậy mặt phẳng (): x-4y+z-3=0
Cách 2. Đường thẳng d đi qua 2 điểm là M(1;0;2) và N(-1;-1;0). Do () chứa đường thẳng d nên M, N thuộc (). Gọi là vec tơ pháp tuyến ().
PT mặt phẳng () chứa điểm M nên có phương trình :
 A(x-1)+By+C(z-2)=0()
Vì () đi qua N nên ta có: B =-2A-2C.
d(A;())=
+) Nếu C=0 thì A nên d(A;())=
+) Nếu Cthì đặt .Ta có : d(A;())= với 
 ; ;Sử dụng bảng biến thiên ta có
Max= d(A;())= t=1 hay A=C. Chọn A=C=1 .Vậy B=-4
Phương trình mặt phẳng (): 1(x-1)-4y +1(z-2)=0.Hay mặt phẳng (): x-4y+z-3=0
Nhận xét:Cách 1dễ làm, ít phải tính toán, thiên về hình học, cách 2 nặng về đại số.
Bài toán 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P), đường thẳng d.Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d sao cho góc giữa (Q) và (P) nhỏ nhất (d và (P) không vuông góc với nhau).
Phương pháp. Hướng dẫn học sinh thực hiện theo các bước sau đây:
Bước 1. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d. Dựng đường thẳng qua M vuông góc với mặt phẳng (P). Lấy điểm A cố định trên đường thẳng đó. Hạ ,.
Bước 2. Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) là .Ta có sin=. Mà không đổi nên nhỏ nhất khi sinnhỏ nhất, hay H.
Bước 3. Mặt phẳng (Q) cần tìm là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (AMK). Mặt phẳng (AMK) có vec tơ pháp tuyến .
Tacónên chọn véc tơ pháp tuyến của (Q) là
Ví dụ (Trích đề thi HSG Tỉnh Thanh Hóa năm học 2014-2015).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho cho hai điểm và mặt phẳng (P) có phương trình: . Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và tạo với mặt phẳng một góc nhỏ nhất.
Định hướng: Bài toán này thực chất là bài toán trên nhưng ở đây không cho đường thẳng d song ta phải hiểu đó chính là đường thẳng AB.Cũng có 2 cách làm bài toán này.Cách 1 làm theo 3 bước đã hình thành và chứng minh ở phần phương pháp. Cách 2 làm theo phương pháp thiên về đại số và giải tích, xét hàm số và ngay cả đáp án cũng thiên về phương pháp này. 
Giải
Cách 1. Gọi d đường thẳng đi qua A,B. Dựng đường thẳng qua B vuông góc với mặt phẳng (P). Lấy diểm C cố định trên đường thẳng đó. Hạ ,.
Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) là .Ta có sin=. Mà không đổi nên nhỏ nhất khi sinnhỏ nhất, hay H.
Mặt phẳng (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (CBK).
Gọi ,là véc tơ pháp tuyến của (P), (Q) thì: nên (Q) có 1 vectơ pháp tuyến là =(-6;-6;6) với ;(2;-1;-2).
Chọn (1;1;-1) là một vectơ pháp tuyến của (Q) thì phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A là: 1.(x-1)+1(y-2)-1(z+1)=0 hay 
Cách 2. Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ,
Mặt phẳng đi qua điểm nên có phương trình dạng 
Mà điểm cũng thuộc nên .
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
Gọi là góc tạo bởi hai mặt phẳng.Ta có:
Thế vào ta được :
+) Nếu .
Nếu 
Vậy góc nhỏ nhất khi coslớn nhất .
Chọn a=1 thì b=1;c=-1. Do đó phương trình mặt phẳng là : .
Nhận xét: Rõ ràng là cách 1cho ta kết quả nhanh, dễ nhớ hơn, tiết kiệm được thời gian, ít phải tính toán do vậy kết quả chính xác hơn.
Bài toán 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d và d. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho góc giữa (P) và đường thẳng d lớn nhất (d và dchéo nhau).
Phương pháp.
Bước 1. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d. Dựng đường thẳng qua M và song song với đường thẳng d. Lấy điểm A cố định trên đường thẳng đó . Hạ ,.
Bước 2. Góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d là .Ta có cos=.
Mà không đổi nên lớn nhất khi cos nhỏ nhất, hay .
Bước 3. Mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (AMK).Mặt phẳng (AMK) có vec tơ pháp tuyến .
Ta cónên chọn véc tơ pháp tuyến của (P) là 
Ví dụ. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng d: và đường thẳng d:. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho góc giữa (P) và đường thẳng d lớn nhất.
Định hướng. Hướng dẫn học sinh thực hiện theo 2 cách từ đó rút ra nhận xét .
Cách 1 : làm theo ba bước như ở phần phương pháp.
Cách 2 : sử dụng phương pháp xét hàm số, thiên về đại số và gải tích. 
Giải
Cách 1. Vận dụng kiến thức đã học ở lý thuyết và áp dụng lập luận tương tự ta có mặt phẳng (P) cần tìm đi qua M(1;-2;0) thuộc d và có véc tơ pháp tuyến với ; lần lượt là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng d và d.
Ta có : =(-14;2;-10)
Chọn (7;-1;5) là một vectơ pháp tuyến của (P) khi đó (P) qua M là : 7x-y+5z -9=0
Cách 2. Đường thẳng d qua M(1;-2;0) có vectơ chỉ phương .
 Phương trình mặt phẳng (P) là : A(x-1)+B(y+2)+Cz=0,.
Ta có nên C=A+2B.
Góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d là góc thoã mãn :
sin
+) Nếu B=0 thì A nên .
+) Nếu B thì đặt t = ta có : 
Vì ;. Lập bảng biến thiên .
Ta tìm được max . Do góc lớn nhất thì sin lớn nhất.
Vậy sin lớn nhất khi t=-hay .
Chọn B=-1 thì A=7 và C=5 khi đó (P) là : 7x-y+5z -9=0.
Nhận xét: Trong 2 cách làm ta thấy cách thứ nhất tiện lợi hơn rất nhiều và ít phải tính toán dẫn đến ít mắc sai lầm trong bài làm hơn.Cách 2 nặng về đại số, giải tích
Dạng 3.Một số bài toán về viết phương trình đường thẳng.
Bài toán 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P), điểm điểm . Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) thoã mãn điều kiện đường thẳng d đi qua A và cách B một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất.
Phương pháp.
Bước1.Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B trên (P) và đường thẳng d.
Bước 2.Ta có nên khoảng cách đó lớn nhất khi và chỉ khi K,tức là đường thẳng d nằm trong (P), d đi qua A và vuông góc với AB.
Đường thẳng d nhận một vectơ chỉ phương là 
Mặt khác nên khoảng cách đó nhỏ nhất khi và chỉ khi K H tức là đường thẳng d nằm trong (P), d đi qua A và hình chiếu vuông góc H của điểm B lên (P), nói cách khác đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) trong đó (Q) chứa AB và vuông góc với (P), (Q) có vec tơ pháp tuyến. Đường thẳng d nhận một véc tơ chỉ phương là .
Bước 3. Viết phương trình đường thẳng d.
Ví dụ.Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+2y-z-1=0, điểm điểm . Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) thoã mãn điều kiện: 
a) Đường thẳng d đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất.
b) Đường thẳng d đi qua A và cách B một khoảng nhỏ nhất.
Định hướng.Hướng dẫn học sinh thực hiện theo 2 cách từ đó rút ra nhận xét .
Cách 1 : làm theo ba bước như ở phần phương pháp.
Cách 2 : sử dụng phương pháp xét hàm số, thiên về đại số và gải tích. 
Giải
Cách 1.Lập luận tương tự như phần phương pháp.
a)Theo cách lập luận phần lý thuyết ta có đường thẳng d đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất là đường thẳng có véc tơ chỉ phương với :
; (-1;2;-3) =(-4;4;4) chọn vectơ chỉ phương (-1;1;1)
Vậy đường thẳng d đi qua A có vec tơ chỉ phương (-1;1;1) có phương trình là :
b) Theo cách lập luận phần lý thuyết ta có đường thẳng d đi qua A và cách B một khoảng nhỏ nhất là đường thẳng có véc tơ chỉ phương với 
; (-1;2;-3) ; =(-4;4;4); =(12;0;12)
Vậy đường thẳng d đi qua A có vec tơ chỉ phương có phương trình là :
Cách 2. Gọi véc tơ chỉ phương của đường t