SKKN Định hướng cho học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề với bài toán tọa độ trong mặt phẳng từ các tính chất của tam giác vuông cân

 MỤC LỤC
 Nội dung
Trang
1- MỞ ĐẦU
 1.1 Lí do chọn đề tài........................................................................
 1.2 Mục đích nghiên cứu.
 1.3 Đối tượng nghiên cứu
 1.4 Phương pháp nghiên cứu ......................................................... 
2- NỘI DUNG 
 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ................................. 
 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
 2.2.1 Đối với giáo viên..
 2.2.2 Đối với học sinh
 2.3 Một số bài toán khai thác từ tính chất của tam giác vuông cân
 2.3.1 Tính chất 
 2.3.2. Phát hiện và giải quyết vấn đề với bài toán tọa độ trong mặt phẳng từ các tính chất của tam giác vuông cân
 2.4 Một vài kinh nghiệm rút ra
 2.5 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
 3.1 Kết luận.
 3.2 Kiến nghị..
 Tài liệu tham khảo..
2
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
15
15
16
16
17
17
1. MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài :
 Toán học là một trong những môn học quan trọng để rèn luyện tư duy, rèn luyện kỹ năng vận dụng để giải quyết một số vấn đề xảy ra trong thực tế. Vì vậy việc dạy học môn Toán là dạy cho học sinh có năng lực trí tuệ, năng lực từ đó giúp học sinh học tập và tiếp thu các kiến thức khoa học và biết cách vận dụng nó vào cuộc sống. Dạy học môn Toán người thầy không chỉ dạy cho học sinh kiến thức toán học (những công thức, những định lý, định đề, tiên đề ) mà người thầy còn phải dạy cho học sinh có năng lực, trí tuệ để giải quyết vấn đề được nêu ra trong học tập và sau này. 	
 Trong quá trình dạy học toán, việc lựa chọn công cụ và phương pháp phù hợp để giải các bài toán là việc làm cần thiết và quan trọng. Chọn được công cụ thích hợp sẽ cho ta lời giải hay và ngắn gọn, dễ hiểu. Để có bài giảng thu hút được được học trò, giúp học trò phát triển được tư duy và dẫn dắt học trò tới niềm say mê sáng tạo, tôi cũng như bao giáo viên yêu nghề khác luôn trăn trở với những khó khăn của học trò trong quá trình tiếp cận từng bài toán.
 Bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng là bài toán thường xuất hiện ở các kỳ thi, vì vậy nó luôn được sự quan tâm đặc biệt đối với học sinh cũng như giáo viên. Bên cạnh đó nó cũng là bài toán khó đối với nhiều đối đối tượng học sinh đặc biệt là các em có năng lực trung bình và yếu. Băn khoăn trước những khó khăn của học sinh tôi đã quyết định tìm tòi nghiên cứu lớp các bài toán tọa độ trong mặt phẳng để giúp các em tiếp cận loại toán này một cách hiệu quả. 
 Trong số những bài toán về tọa độ trong mặt phẳng có một lớp bài toán “thiên về tính chất hình học phẳng thuần túy” đặc biệt là tính chất của tam giác vuông cân mà các em đã học ở THCS, điều này đã gây cho học sinh nhiều khó khăn khi tiếp cận. Để giúp học sinh tháo gỡ những khó khăn vướng mắc trên và có định hướng đúng đắn tôi đã trăn trở suy nghĩ chọn đề tài: “Định hướng cho học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề với bài toán tọa độ trong mặt phẳng từ các tính chất của tam giác vuông cân ’’ 
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Nhìn nhận rõ bản chất của bài toán tọa độ trong mặt phẳng bằng cách sử dụng tính chất của hình học phẳng
- Làm cơ sở lý luận, cơ sở đánh giá cho các đề ôn tập thi học sinh giỏi
- Vận dụng vào thực tế nhà trường trên cơ sở đối tượng học sinh, phương tiện dạy học hiện có.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
* Đề tài nghiên cứu về các bài tập khai thác tính chất của tam giác vuông cân từ các bài toán tọa độ phẳng.
* Nghiên cứu trên cơ sở thực hiện là nội dung, chương trình, kế hoạch giáo dục ở trường THPT, các định hướng và quan điểm về đổi mới phương pháp dạy học, các thầy cô giáo và các em học sinh trường THPT Yên Định II.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết
	Nghiên cứu một số tài liệu về cách ra đề trắc nghiệm, đổi mới PPDH môn toán, tài liệu nghiên cứu cách kiểm tra đánh giá học sinh để xây dựng lý luận cho đề tài.
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin
	Giảng dạy trực tiếp, ra đề kiểm tra từ đó đánh giá nhận xét cách làm, chất lượng đề. Quan sát, hội thảo, đàm thoại, tổng kết kinh nghiệm để rút ra bài học.
- Phương pháp thống kê, xử lý dữ liệu 
Điều tra thống kê, lập bảng biểu so sánh dữ liệu đánh giá trước và sau khi học theo hệ thống bài tập được khai thác.
 2. NỘI DUNG
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
	Không ngừng tìm tòi, phát hiện vấn đề, nhìn nhận vấn đề từ nhiều góc độ, nhiều khía cạnh để từ đó tăng khả năng tư duy nhạy bén là một điều mà môn học nào cũng đều hướng tới. Đặc biệt Toán học vốn đã mang trong nó rất nhiều vẻ đẹp tiềm ẩn, là công cụ sắc bén cho nhiều ứng dụng thực tiễn cũng như trong các môn học khác. Để làm được điều đó, để truyền lại cho học sinh cái nhìn tổng thể, sâu sắc bản chất của vấn đề thì việc rèn luyện kĩ năng khai thác bài toán là vô cùng quan trọng. Lý thuyết phải có thực hành để kiểm chứng và vận dụng.
	Những năm gần đây trong đề thi học sinh giỏi của tỉnh luôn có câu hỏi về bài toán tọa độ trong mặt phẳng, mỗi loại lại là một đề tài vô cùng đa dạng và phong phú mà chủ yếu lại được khai thác từ các tính chất của hình học phẳng thuần túy, và lớp các bài toán khai thác từ các tính chất của tam giác vuông cân vô cùng thú vị. Sau đây là một số kiến thức cơ sở liên quan đến nội dung của sáng kiến :
+ Phương trình tổng quát của đường thẳng : 
 có véctơ pháp tuyến , véctơ chỉ phương 
+ Phương trình tham số của đường thẳng : 
 có véctơ chỉ phương , véctơ pháp tuyến 
+ Khoảng cách từ đến đường thẳng : là:
+ Góc giữa hai đường thẳng : và : được tính theo công thức: (trong đó là các véc tơ pháp tuyến của )
2.2 Thực trạng vấn đề	
 2.1.1. Đối với giáo viên :
 Trong quá trình dạy toán ở Trường THPT với đối tượng HS lớp tôi phụ trách một số các em có học lực khá và ham hiểu biết, cho nên làm thế nào để trong quá trình giảng dạy học sinh từ hiểu biết đi đến yêu thích bộ môn, nắm vững kiến thức và vận dụng linh hoạt vào việc giải bài tập là điêù tôi luôn trăn trở. 
 Với lượng kiến thức giảng dạy chính khóa, giáo viên không có đủ thời gian để đưa ra những bài tập nhằm phát triển khả năng tư duy cho học sinh, hoặc nếu có cũng chỉ là ở những tiết ôn tập chương, tuy nhiên số lượng cũng rất ít và chỉ lướt nhanh qua một hoặc hai ví dụ.
 Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, tôi nhận ra rằng nếu chỉ dạy học sinh đơn thuần kiến thức theo sách giáo khoa thì chỉ đáp ứng được yêu cầu của số HS trung bình, khá và kết quả thu được của HS chưa cao. Đặc biệt là việc tổng hợp, liên hệ các mảng kiến thức ở các bậc học dưới còn rất lúng túng, thậm chí còn không có sự định hướng trước những bài toán. Do vậy trong quá trình giảng dạy tôi thường xuyên nghiên cứu kĩ chương trình từng khối lớp: phân loại kiến thức, dạy cho học sinh theo từng chuyên đề và trong mỗi dạng đó, tôi đã cố gắng tìm tòi và cung cấp thêm cho các em những phương pháp giải ngoài sách giáo khoa để có thể giúp học sinh vận dụng giải bài toán một cách nhanh nhất vào những buổi học bồi dưỡng.
 2.1.2. Đối với học sinh:
 Trường THPT Yên Định 2 đóng trên địa bàn có nhiều xã khó khăn về kinh tế, việc học tập và phấn đấu của các em học sinh chưa thực sự được quan tâm từ các bậc học dưới vì vậy kiến thức cơ sở về môn toán của các em hầu hết tập trung ở mức độ trung bình.
 Với lớp bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng các em thường thụ động trong việc tiếp cận và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp chứ chưa có ý thức tìm tòi, sáng tạo cũng như tìm được niềm vui, sự hưng phấn khi giải các bài toán.
 Bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng thông thường được phân chia thành hai mảng: mảng thứ nhất là lớp những bài toán mang nặng tính “đại số” thường được xây dựng trên cơ sở là phương pháp tham số hóa và thường áp dụng những kiến thức về tọa độ trong mặt phẳng để giải quyết; mảng thứ hai là lớp những bài toán mang nặng tính “hình học” và thường được xây dựng trên những bài toán hình học phẳng thuần túy
 Trước thực trạng đó tôi muốn đưa ra ý tưởng giải quyết bài toán hình học phẳng thuộc mảng thứ hai thông qua việc “phát hiện” ra những tính chất hình học dựa trên mối liên hệ giữa các dữ kiện của bài toán từ đó liên hệ với các kiến thức tọa độ để định hướng và đi đến hoàn chỉnh lời giải bài toán. Do thời gian và khuôn khổ của đề tài nên tôi quyết định chọn lớp bài toán mang nặng tính “hình học” nhưng chỉ trong mảng kiến thức liên quan đến tính chất của tam giác vuông cân.
2.3 Một số bài toán khai thác từ tính chất của tam giác vuông cân
 2.3.1 Tính chất : 
Tính chất 1: Cho vuông cân tại A. Các điểm M,N lần lượt thuộc các cạnh AB và AC sao cho AM = AN ( M, N không trùng với các đỉnh của tam giác ). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BN cắt cạnh BC tại H; đường thẳng đi qua M và vuông góc với BN cắt cạnh BC tại K . Khi đó KH = HC
Tính chất 2: Cho vuông cân tại A. Gọi H là trung điểm của đoạn BC, D là hình chiếu vuông góc của H trên đường thẳng AC và M là trung điểm của đoạn HD. Khi đó 
Tính chất 3: Cho vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của đoạn BC. Lấy E là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C trên đường thẳng AE. Khi đó là tam giác vuông cân tại M
Tính chất 4: Cho vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của đoạn BC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABM và D là điểm thuộc đoạn MC sao cho GA = GD. Khi đó vuông cân tại G
Tính chất 5: Cho vuông cân tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Gọi G là trọng tâm . Đường thẳng qua A vuông góc với BM cắt BC tại E. Khi đó MN là đường trung trực của đoạn GE 
Tính chất 6: Cho vuông cân tại C. Trên đường tròn (ABC) lấy điểm D ( khác A, B, C). Gọi I là giao điểm thứ 2 của đường tròn tâm C bán kính CA với đường thẳng BD. Khi đó CD là đường trung trực của đoạn thẳng AI
Tính chất 7: Cho vuông cân tại C. Lấy P là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của P trên AB và AC. Gọi Q là điểm đối xứng của P qua đường thẳng DE. Khi đó và Q thuộc đường tròn (ABC) 
Tính chất 8: Cho vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm AC. Gọi D là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng BM. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên đường thẳng AC. Khi đó 
 2.3.2 Phát hiện và giải quyết vấn đề với bài toán tọa độ trong mặt phẳng từ các tính chất của tam giác vuông cân 
Tính chất 1: Cho vuông cân tại A. Các điểm M,N lần lượt thuộc các cạnh AB và AC sao cho AM = AN ( M,N không trùng với các đỉnh của tam giác ). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BN cắt cạnh BC tại H; đường thẳng đi qua M và vuông góc với BN cắt cạnh BC tại K . Chứng minh KH = HC
Chứng minh :
Qua C dựng đường thẳng vuông góc với AC,đường thẳng này cắt AH tại P. Ta có 
Mặt khác nên 
 do 
Suy ra (đpcm)
Nhận xét : Học sinh hoàn toàn có thể chứng minh KH = CH theo hướng khác.Chẳng hạn: 
Dựng hình vuông ABDC có MK và AH cắt CD lần lượt tại các điểm E và P. Do AM = EP và AN = CP () nên EP = CP theo tính chất của đường trung bình suy ra KH = HC
Cách này tương đối dễ hiểu nhưng việc dựng thêm nhiều điểm đối với học sinh là một động tác tương đối khó.
Bài 1 : Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho vuông cân tại A. Các điểm M,N lần lượt thuộc các cạnh AB và AC sao cho AM = AN ( M,N không trùng với các đỉnh của tam giác ). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BN cắt cạnh BC tại ; đường thẳng đi qua M và vuông góc với BN cắt cạnh BC tại . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng đỉnh A thuộc đường thẳng và có hoành độ dương.
 (Trích đề thi HSG lớp 11, Tỉnh Thanh Hóa 2017-2018)
Bước 1: Phát hiện vấn đề
Mấu chốt của bài toán là phát hiện được KH=CH
(muốn vậy yêu cầu học sinh phải kết hợp vẽ hình tương đối chính xác)
Sau khi có được tính chất này suy ra được tọa độ điểm C cũng như phương trình đường thẳng BC
Viết được phương trình AC nhờ góc giữa hai đường thẳng
Kết hợp ta có tọa độ điểm A và B
Bước 2 : Giải quyết vấn đề 
Do H là trung điểm CK nên C(2;-2). Véc tơ pháp tuyến của BC là 
Suy ra phương trình 
Gọi là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng AC và là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng BC. Khi đó : 
Với loại
Với thõa mãn
 Phương trình 
Vậy A(1;-6); B(5;-7) và C(2;-2)
 Nhận xét : Từ bài toán này có thể nhấn mạnh cho học sinh thấy rằng lớp các bài toán tọa độ trong mặt phẳng có chứa giả thuyết tam giác vuông cân có sử dụng một kỹ năng vô cùng quan trọng : “ viết phương trình đường thẳng hợp với đường thẳng cho trước một góc ”. Kỹ năng này sẽ được sử dụng thường xuyên trong các tính chất và bài toán tiếp theo
Tính chất 2: Cho vuông cân tại A. Gọi H là trung điểm của đoạn BC, D là hình chiếu vuông góc của H trên đường thẳng AC và M là trung điểm của đoạn HD. Khi đó 
Chứng minh :
Vì nên suy ra 
Mặt khác vuông tại A nên AM là đường cao của hay 
Nhận xét :
Học sinh hoàn toàn có thể chứng minh bằng tích vô hướng của hai véc tơ như sau:
 nên
Do đó . Đây cũng là phương pháp để rèn luyện kỹ năng biến đổi các phép toán véc tơ của hình học lớp 10
Bài 2 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân tại A có H là trung điểm BC, D là hình chiếu vuông góc của H trên AC và M là trung điểm HD. Đường thẳng BD đi qua điểm E(0;4) và đường thẳng AC đi qua điểm F(-1;5). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết đường thẳng AM có phương trình 
Bước 1: Phát hiện vấn đề
Mấu chốt của bài toán là nếu học sinh biết sử dụng tính chất 2 thì có thể phát hiện ra ngay là có thể viết được phương trình đường thẳng BD
Phương trình cạnh AC cũng viết được dựa vào bài toán số 1 ở trên. Như vậy có thể tìm được tọa độ A và D.
Tọa độ điểm C có được là do D là trung điểm AC từ đó suy ra tọa độ điểm B
Bước 2: Giải quyết vấn đề
Đường thẳng BD qua E và 
( chứng minh trên ) nên có phương trình là 
Đường thẳng AC qua F và tạo với AM góc mà 
Gọi là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng AC và là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng AM. Khi đó : 
Với thõa mãn
Với loại
 Vì nên và 
Phương trình HD : 
Vậy A(-2;4), B(1;1), C(1;7)
Tính chất 3: Cho vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của đoạn BC. Lấy E là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C trên đường thẳng AE. Khi đó là tam giác vuông cân tại M
Chứng minh :
Ta có hai tứ giác AKMC và ABHM là các tứ giác nội tiếp nên , suy ra vuông cân tại M
Bài 3 . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho vuông cân tại A, Gọi là trung điểm của đoạn BC. Lấy E là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C trên đường thẳng AE. Tìm tọa độ A, B, C biết H(2;4) và K là trung điểm của HA, K có hoành độ nhỏ hơn 2
Bước 1: Phát hiện vấn đề
Mấu chốt của bài toán là nếu học sinh biết sử dụng tính chất 3 thì có thể phát hiện ra ngay là tam giác MHK vuông cân tại M suy ra được tọa độ điểm K
Do K là trung điểm của AH nên tìm được tọa độ điểm A
Kết hợp tam giác ABC vuông cân cùng với tọa độ A, M suy ra tọa độ 2 điểm B, C
Bước 2: Giải quyết vấn đề
Theo chứng minh trên là tam giác vuông ân tại M nên đường thẳng MK qua M và vuông góc với HM có phương trình 
Gọi . Vì MH=MK nên tìm được K(1;2) hoặc K(4;3) (loại)
Vì K là trung điểm HA nên A(0;0)
Đường thẳng BH qua H và vuông góc với AH nên có phương trình 
Gọi . Phương trình đường trung trực của MH là d: 
Trung điểm của AB thuộc d nên có phương trình 
Do đó B(0;5). Vì M là trung điểm BC nên C(5;0).
Vậy A(0;0); B(0;5); C(5;0)
Tính chất 4: Cho vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của đoạn BC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABM và D là điểm thuộc đoạn MC sao cho GA = GD. Khi đó vuông cân tại G
Chứng minh: 
Ta có GA=GB=GD nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp 
Mặt khác nên suy ra tam giác AGD vuông cân tại G
Bài 4 . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho vuông cân tại A, Gọi M là trung điểm của đoạn BC và G là trọng tâm . Điểm sao cho GA=GD. Tìm tọa độ điểm A và viết phương trình đường thẳng AB biết 
AG : và điểm A có hoành độ nhỏ hơn 4
 ( Trích đề thi thử lần 1, THPT Chuyên Bắc Ninh 2015)
Bước 1: Phát hiện vấn đề
Nhận thấy tam giác ADG vuông cân tại G theo chứng minh trên nên có thể tìm được tọa độ điểm A thông qua tọa độ điểm D và phương trình đường thẳng AG
Với tọa độ 3 điểm A, G, D ta có thể tính được độ dài các đoạn thẳng GA;GD;AD;AN;NG từ đó suy ra được cosin góc giữa AB và AG
Sử dụng bài toán 1 để tìm được phương trình đường thẳng AB
Bước 2: Giải quyết vấn đề 
Gọi Từ 
 hoặc (loại), suy ra A(3;-4)
Gọi là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng AB và là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng AG. Khi đó : 
Với 
Với 
Nhận thấy với ta có 
Trường hợp này không thõa mãn 
Vậy A(3;-4) và AB: x – 3 = 0
Tính chất 5: Cho vuông cân tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Gọi G là trọng tâm . Đường thẳng qua A vuông góc với BM cắt BC tại E. Khi đó MN là đường trung trực của đoạn GE
Chứng minh: 
Ta có G là trực tâm nên mặt khác vuông cân nên vuông cân nên vuông cân,, do đó MN là đường trung trực của GE
Bài 5 . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho vuông cân tại A, Gọi M là trung điểm của đoạn AC. Đường thẳng qua A và vuông góc với BM cắt AC tại E(2;1). Trọng tâm là G(2;2). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C
Bước 1: Phát hiện vấn đề
Ta nhận thấy giả thiết bài toán xoay quanh 2 điểm E và G. Nếu học sinh không phát hiện ra được tính chất quan trọng số 5 thì rất khó để giải quyết bài toán 
Vậy theo chứng minh trên ta có ngay phương trình của đường thẳng MN
Kết hợp thêm giả thiết tam giác NGE vuông cân tại N ta có được tọa độ điểm N.
Từ tọa độ N và G suy ra được tọa độ điểm A nhờ tính chất của đường trung tuyến
Kết hợp phương trình AC và độ dài AC suy ra được tọa độ 2 điểm B, C
Bước 2: Giải quyết vấn đề
Theo chứng minh trên MN là đường trung trực của GE nên phương trình MN: 
Gọi . Ta có nên hoặc 
Do đó ta tìm được hoặc 
Với ta có 
Đường thẳng AC : . Vì AC = 3 nên phương trình đường tròn tâm A bán kính AC có phương trình . Từ đó tìm được B(0;3) và C(3;0)
Với giải tương tự ta tìm được A(1;3); B(4;3) và C(1;0)
Vậy A(3;3); B(0;3) và C(3;0)
 A(1;3); B(4;3) và C(1;0)
Tính chất 6: Cho vuông cân tại C. Trên đường tròn (ABC) lấy điểm D ( khác A, B, C). Gọi I là giao điểm thứ 2 của đường tròn tâm C bán kính CA với đường thẳng BD. Khi đó CD là đường trung trực của đoạn thẳng AI
Chứng minh : 
Do nên hoặc . Do đó vuông cân tại D nên DA=DI mà CA=CI nên CD là đường trung trực của AI
Bài 6 . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho vuông cân tại C(-2;1). Trên đường tròn đường kính AB lấy điểm D(-1;-1). Gọi I là giao điểm thứ 2 của đường tròn (C;CA) với BD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B biết đường thẳng AI đi qua M(-1;4) và điểm A có hoành độ dương
Bước 1: Phát hiện vấn đề
Ta nhận thấy giả thiết bài toán xoay quanh tọa độ C;D và điểm M trên AI. Như vậy theo tính chất 6 ta có thể viết được phương trình AI do . 
Sử dụng khoảng cách từ điểm D đến AI để suy ra độ dài đoạn AD từ đó suy ra tọa độ điểm A
Có A;C tính được tọa độ điểm B
Bước 2: Giải quyết vấn đề
Theo chứng minh trên đường thẳng CD là trung trực của đoạn AI nên phương trình AI: 
Gọi . Vì nên ta có phương trình :
 hoặc 
Suy ra A(1;5) hoặc A(-7;1) loại
Ta có phương trình BD : . Gọi . Khi đó 
Do đó B(2;-2). Vậy A(1;5) và B(2;-2)
 Tính chất 7: Cho vuông cân tại C. Lấy P là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của P trên AB và AC. Gọi Q là điểm đối xứng của P qua đường thẳng DE. Khi đó và Q thuộc đường tròn (ABC)
Chứng minh :
Gọi . Khi đó IA=IP=IQ nên vuông tại Q hay . Tiếp theo vì EP=EQ ( P và Q đối xứng nhau qua ED) mà vuông cân nên EC=EP=EQ
Do đó E là tâm đường tròn (PQC) do đó . Suy ra 
. Suy ra tứ giác ABCQ nội tiếp nên 
Bài 7 . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm . Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của P trên AB và AC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết DE : ; BC = 10 và điểm A có hoành độ nhỏ hơn 2
Bước 1: Phát hiện vấn đề 
Bài toán cho phương trình đường thẳng DE và tọa độ điểm P. Vậy câu hỏi đặt ra là mối liên hệ của điểm P và DE là gì? Có thể khai thác được những điểm nào khác từ điểm P?
Sau khi khai thác được tọa độ điểm Q và biết Q thuộc (ABC) thì việc tạo ra điểm F chính là “ nốt thắt” của bài toán khi kết hợp được giả thiết BC = 10 bằng việc sử dụng tính chất 
Bước 2: Gi