SKKN Định hướng cho học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề với bài toán liên quan đến tiệm cận của đồ thị hàm số

1.MỞ ĐẦU
1.1.Lí do chọn đề tài
 Toán học là một trong những môn học quan trọng để rèn luyện tư duy, rèn luyện kỹ năng vận dụng để giải quyết một số vấn đề xảy ra trong thực tế. Vì vậy việc dạy học môn Toán là dạy cho học sinh có năng lực trí tuệ, năng lực từ đó giúp học sinh học tập và tiếp thu các kiến thức khoa học và biết cách vận dụng nó vào cuộc sống. Dạy học môn Toán người thầy không chỉ dạy cho học sinh kiến thức toán học (những công thức, những định lý, định đề, tiên đề ) mà người thầy còn phải dạy cho học sinh có năng lực, trí tuệ để giải quyết vấn đề được nêu ra trong học tập và sau này. 	
 Trong quá trình dạy học toán, việc lựa chọn công cụ và phương pháp phù hợp để giải các bài toán là việc làm cần thiết và quan trọng. Chọn được công cụ thích hợp sẽ cho ta lời giải hay và ngắn gọn, dễ hiểu. Để có bài giảng thu hút được được học trò, giúp học trò phát triển được tư duy và dẫn dắt học trò tới niềm say mê sáng tạo, tôi cũng như bao giáo viên yêu nghề khác luôn trăn trở với những khó khăn của học trò trong quá trình tiếp cận từng bài toán.
 Bài toán liên quan đến tiệm cận của đồ thị hàm số là bài toán thường xuất hiện trong các đề thi thử THPTQG của bộ gần đây.Vì vậy nó luôn được sự quan tâm đặc biệt đối với học sinh cũng như giáo viên. Bên cạnh đó nó cũng là bài toán khó đối với nhiều đối đối tượng học sinh đặc biệt là các em có năng lực trung bình và yếu. Bởi phần nhiều học sinh rất mông lung, mơ hồ không nắm được bản chất của giới hạn tại vô cực và giới hạn trái, giới hạn phải tại một điểm. Điều này đã gây cho học sinh nhiều khó khăn khi tiếp cận. Băn khoăn trước những khó khăn của học sinh tôi đã quyết định tìm tòi nghiên cứu để làm sao giúp các em lấy điểm trọn vẹn các câu có nội dung liên quan đến tiệm cận của đồ thị hàm số trong kỳ thi THPTQG lần này. Chính vì vậy tôi đã trăn trở suy nghĩ chọn đề tài: “Định hướng cho học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề với bài toán liên quan đến tiệm cận của đồ thị hàm số’’ 
1.2.Mục đích nghiên cứu: 
- Giúp cho bản thân trau dồi kiến thức, nâng cao năng lực chuyên môn phục vụ cho công tác giảng dạy.
- Tạo cho học sinh có năng lực khá, trung bình hoặc yêu phát triển khả năng tư duy phân tích, tổng hợp, qui lạ về quen, đưa ra cách giải quyết vấn đề một cách nhanh và hiệu quả phù hợp vời yêu cầu, luyện kỹ năng cần thiết để làm bài thi trắc nghiệm trong kỳ thi THPTQG.
1.3.Đối tượng nghiên cứu: 
Để học sinh giải quyết tốt các bài toán liên quan đến tiệm cận của đồ thị hàm số trong kỳ thi THPTQG sắp tới nên tôi đã nghiên cứu một lớp các bài toán xoay quanh vấn đề về tiệm cận ở chương trình giải tích lớp 12.
1.4.Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu lý thuyết về công thức tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số trong chương trình SGK giải tích lớp 12.
- Nghiên cứu về phương pháp dạy học đặc biệt là phương pháp dạy học theo định hướng phát huy năng lực của người học.
- Nghiên cứu thực tế giảng dạy
2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN:
2.1.1. Các kiến thức cơ sở 
a.Đường tiệm cân đứng của đồ thị hàm số: y = y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) hoặc .
b. Đường tiệm cân ngang của đồ thị hàm số:
x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn ; , , 
c.Nhận xét: +Tiệm cận ngang là đường thẳng song song hoặc trùng với Ox
+ Tiệm cận đứng là đường thẳng song song hoặc trùng với Oy
2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
2.2.1. Đối với giáo viên :
 Trong quá trình dạy toán ở Trường THPT với đối tượng HS lớp tôi phụ trách phần lớn các em có học lực trung bình, cho nên làm thế nào để trong quá trình giảng dạy học sinh từ hiểu biết đi đến yêu thích bộ môn, nắm vững kiến thức và vận dụng linh hoạt vào việc giải bài tập là điều tôi luôn trăn trở. 
 Với lượng kiến thức giảng dạy chính khóa, giáo viên không có đủ thời gian để đưa ra những bài tập nhằm phát triển khả năng tư duy cho học sinh, hoặc nếu có cũng chỉ là ở những tiết ôn tập chương, tuy nhiên số lượng cũng rất ít và chỉ lướt nhanh qua một hoặc hai ví dụ.
 Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, tôi nhận ra rằng nếu chỉ dạy học sinh đơn thuần kiến thức theo sách giáo khoa thì chưa thể đáp ứng được yêu cầu của đề thi THPTQG. Đặc biệt môn Toán lại là môn thi trắc nghiệm, thời gian làm bài 90 phút mà tới 50 câu trắc nghiệm, do đó để giúp học sinh nắm vững kiến thức, xử lí nhanh và đúng các câu hỏi trong đề thi trong quá trình giảng dạy tôi thường xuyên nghiên cứu kĩ chương trình từng khối lớp: phân loại kiến thức, dạy cho học sinh theo từng chuyên đề và trong mỗi dạng đó, tôi đã cố gắng tìm tòi và cung cấp thêm cho các em những phương pháp giải ngoài sách giáo khoa để có thể giúp học sinh vận dụng giải bài toán một cách nhanh nhất vào những buổi học bồi dưỡng. Trong cùng một mảng kiến thức nhưng tôi có xây dựng nhiều câu hỏi trắc nghiệm liên quan để từ đó học sinh có kỹ năng làm bài tốt hơn. 
2.2.2. Đối với học sinh:
 Là một ngôi trường chuyển từ trường bán công sang công lập nên tập thể giáo viên và học sinh cũng có những thuận lợi và khó khăn nhất định nói chung, đặc biệt là việc dạy và học môn toán nói riêng.
 Do đặc điểm của khu vực và thực tế của địa phương nên chất lượng của học sinh THCS không đồng đều, việc học tập và phấn đấu của các em học sinh chưa thực sự được quan tâm từ các bậc học dưới vì vậy kiến thức cơ sở về môn toán của các em hầu hết tập trung ở mức độ trung bình, nhiều học sinh có tình trạng “mất gốc” về kiến thức, đặc biệt là môn toán. Tỉ lệ học sinh trung bình và yếu, kém chiếm hơn 80%. Hơn nữa điểm đầu vào của trường chúng tôi là tương đối thấp so với mặt bằng chung của tỉnh. Cụ thể là: 2015-2016 là 16 điểm /5 môn và năm học 2016-2017 là 16,5 điểm /5 môn. Điều đó ảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng dạy và học của giáo viên, học sinh trường THPT Đinh Chương Dương.
 Với các bài toán liên quan đến tiệm cận của đồ thị hàm số học sinh hầu như khi tiếp cận với định nghĩa thì thấy rất mông lung khó hình dung vì nó liên quan đến giới hạn hàm số.Chính vì vậy, để giúp học sinh hiểu rõ bản chất, hình thành được kỹ năng xác định các đường tiệm cận cũng như vị trí của các đường tiệm cận trong mặt phẳng tọa độ cho học sinh có năng lực trung bình hoặc yếu nên từ suy nghĩ đó đã thôi thúc tôi mạnh dạn viết ra sáng kiến kinh nghiệm của mình.
2.3. CÁC GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN :
2.3.1. Một số tính chất của tiệm cận.
- Đối với hàm phân thức muốn tìm tiệm cận ngang của hàm số ta chia cả tử và mẫu cho x với số mũ cao nhất.Nếu sử dụng máy tính Casio :Ta nhập cả hàm số vào máy, sau đó ấn CALC nhập x bằng (đối với ) hoặc nhập x bằng (đối với ) kết quả thu được đó là đường TCN
- Nếu là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì 
2.3.2. Phát hiện và giải quyết vấn đề với bài toán liên quan đến tiệm cận.
Đối với hàm số bậc nhất trên bậc nhất (hàm nhất biến) 
+TXĐ: D= R\
+TCĐ: +TCN:
 Từ đặc điểm trên của hàm số mở ra cho chúng ta một số ví dụ liên quan
Ví dụ 1:Cho hàm số .Khẳng định nào sau đây đúng?
A.Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là 
B.Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là 
C.Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x= 1
D.Đồ thị hàm số không có tiệm cận
Định hướng bài toán:
- Đối với học sinh khá giỏi =các hiểu rõ được bản chất và sẽ giải quyết bài toán như sau: . 
Còn muốn tìm TCĐ : .Đáp án đúng là đáp án A.
- Đối với học sinh trung bình hoặc yếu giáo viên cho hs quan sát từ cách làm của các bạn khá, giỏi trên để rút ra qui tắc riêng cho mình đó là : TCN luôn có phương trình là và với hàm phân thức khi bậc của tử mà bằng bậc của mẫu thì đường TCN là kết quả của tỉ số của hệ số chứa x mũ cao nhất của tử với hệ số chứa x mũ cao nhất của mẫu số.
Còn hàm phân thức mà bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu từ đường TCN luôn có phương trình .
- Để tìm TCĐ của 1 hàm số ta cho mẫu số bằng 0 tìm x, giả sử được .Ta thay ngược lại vào tử và làm cho tử số khác 0 thì đường là TCĐ của đồthị hàm số. Từ đó HS sẽ nhận ra ngay được đáp án A là đúng.
Ví dụ 2:Đồ thị hs có đường tiệm cận ngang đi qua điểm khi: A. B. 	C. D. 
Phát hiện vấn đề: Khi các em đã nắm được qui tắc ở ví dụ 1 thì ở ví dụ này việc phát hiện tiệm cận ngang là khá đơn giản đối với các em vì các em nhận thấy rằng phân thức có bậc của tử bằng bậc của mẫu nên đường 
Giải quyết vấn đề: nên đáp án B là đáp án đúng.
Ví dụ 3: Tìm m.n để đồ thị hàm số nhận đường thẳng y =2 làm TCN và đường thẳng x =2 làm tiệm cận đứng.
Phát hiện vấn đề: Học sinh nhận thấy rằng phân thức có bậc của tử bằng bậc của mẫu nên đường 
Từ ví dụ 1 học sinh sẽ suy ra TCĐ : 
Giải quyết vấn đề: 
Ví dụ 4: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số:là: 
A. 3 B.2 C. 1 D. 4 
Phát hiện vấn đề: Nhìn vào hàm số có bậc của tử bé hơn bậc của mẫu nên học sinh sẽ cho ngay được kết quả 
Còn để tìm TCĐ :
Từ đó học sinh đưa ra được đáp án là A. 
Ví dụ 5: Số đường tiệm cân của đồ thị hàm số là:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Phát hiện vấn đề: Nhìn vào hàm số có bậc của tử bằng bậc của mẫu nên học sinh sẽ cho ngay được kết quả 
Để tìm TCĐ: nên đồ thị hàm số không có TCĐ.
Giải quyết vấn đề: Đồ thị hàm số chỉ có 1 tiệm cận.
Ví dụ 6: Đồ thị của hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 1	B. 2	C. 3	D. 4
Phát hiện vấn đề: Nhìn vào hàm số có bậc của tử bằng bậc của mẫu nên học sinh sẽ cho ngay được kết quả 
Để tìm TCĐ học sinh cho mẫu số bằng 0 rồi giải phương trình tìm nghiệm thay vào tử số. 
Giải quyết vấn đề: : 
Do đó .Vậy đáp án đúng là đáp án B.
Ví dụ 7: Đồ thị của hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
A. 1	B. 2	C. 3	D. 4
Phát hiện vấn đề: Cũng giống như ví dụ 6 để tìm TCĐ học sinh cho mẫu số bằng 0 rồi giải phương trình tìm nghiệm thay vào tử số. 
 Giải quyết vấn đề: : nên đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng 
Ví dụ 8: Biết đồ thị có đường tiệm cận đứng là và đường tiệm cận ngang là . Tính 
	A. 6	B. 7	C. 8	D. 10
Phát hiện vấn đề: Nhìn vào hàm số có bậc của tử bằng bậc của mẫu nên học sinh sẽ cho ngay được kết quả 
Nếu là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì 
Giải quyết vấn đề :Ta thấy: 
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng: pt có nghiệm và không có nghiệm . 
.Vậy đáp án đúng là đáp án C
Ví dụ 9: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Ta có kết quả:
A.	 B. C.	 D. 
Phát hiện vấn đề: GVcó thể cho học sinh đưa ra cách giải quyết bài toán thông qua một số câu hỏi.
Điều kiện cần và đủ để hàm số nhận đường thẳng làm tiệm cận đứng ?
HS: .
Từ đó suy ra là nghiệm của phương trình .
Từ đó học sinh sẽ đưa ra được điều kiện để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Phương trình vô nghiệm.
Giải quyết vấn đề: Phương trình vô nghiệm .Vậy đáp án D là đáp án đúng.
Ví dụ 10: Cho hàm số .Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.
A. B. C. D. 
Phát hiện vấn đề: Học sinh quan sát hàm số thấy hàm số này luôn có một tiệm cận ngang và có tối đa 2 tiệm cận đứng. Từ suy luận đó giáo viên yêu cầu học sinh đưa ra điều kiện để đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận .
Giải quyết vấn đề: Hàm số luôn có 1 TCN, do đó để đồ thị hàm số có 3 tiệm thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 1
 . Từ đó ta chọn được đáp án đúng là A.
Ví dụ 11: Cho đồ thị của một hàm số như hình vẽ.Hãy xác định tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Phát hiện vấn đề: Trong mặt phẳng tọa độ 0xy, đường TCĐ của đồ thị hàm số luôn song song hoặc trùng với trục tung, còn đường TCN luôn song song hoặc trùng với trục hoành.
 Giải quyết vấn đề: Khi học sinh quan sát và phát hiện ra nhận định trên thì việc đưa ra đáp án không khó khăn gì.
Ví dụ 12:Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
0
1
0
	A. 1.	B. 3.	C. 2.	D. 4.
Phát hiện vấn đề: TCĐ là giá trị làm cho hàm số tại đó không xác định và giới hạn tại điểm đó phải tiến tới vô cực.
 Còn khi x tiến tới vô cực mà giới hạn của hàm số là 1 hằng số thì hằng số đó là kết quả của đường TCN
Giải quyết vấn đề: 
 .Từ đó suy ra đáp án đúng là đáp án B
Ví dụ 13: Cho hàm số liên tục trên nửa khoảng , có bảng biến thiên như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận
x
-3	-1	1	 2
 + 0	- 0 +
 3 
 0
	-2 -5
Phát hiện vấn đề: Từ nhận định ở ví dụ 12 học sinh sẽ nhận ra được hàm số không có TCĐ.
Ví dụ 14: Cho hàm sốcó vàMệnh đề nào sau đây là đúng?
	A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang
	B. Đồ thị hàm sốnằm phía trên trục hoành
	C. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là trục hoành.
	D. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng y = 0.
Phát hiện vấn đề: Từ nhận định ở ví dụ 12 học sinh sẽ nhận ra được hàm số có tiệm cận ngang.
Giải quyết vấn đề: nên mệnh đề C là đúng.
Ví dụ 15:Tìm tất cả các gt thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số có đúng 1 đường tiệm cận ngang.
A. Không có giá trị nào của m thỏa mãn B. C.	D. 
Phát hiện vấn đề: Từ định nghĩa về đường TCN :y = y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) hoặc .
Từ đó giáo viên yêu cầu học sinh đưa ra điều kiện để hàm số có đúng 1 đường tiệm cận ngang.
Giải quyết vấn đề: Để hàm số có đúng 1 đường tiệm cận ngang.
Hoặc giáo viên có thể cho HS sử dụng máy tính thay m ở đáp án vào thử bằng cách nhập cả hàm số vào máy, rồi dùng chức năng CALC kiểm tra.
Ví dụ 16: Cho hàm số , tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ điểm M đến 2 đường tiệm cận bằng nhau.
Giải quyết vấn đề: Đối với hàm số dạng này thì quan sát hàm số và đưa ra được ngay các đường tiệm cận 
GV: Yêu cầu học sinh nhắc lại công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng.Từ đó, học sinh giải quyết bài toán được dễ dàng hơn.
Gọi 
Ta có : 
2.3.3. Một vài kinh nghiệm rút ra
 Đứng trước bài toán liên quan đền tiệm cận của đồ thị hàm số, ta cần quan sát kỹ đặc điểm của hàm số, nghiên cứu kỹ dữ kiện mà bài toán đã cho, tìm thấy được mối liên hệ giữa các dữ kiện đó. Để tìm được mối liên hệ giữa các dữ kiện thì câu hỏi thường trực của chúng ta là: “giữa chúng có quan hệ nào chăng? Bài toán cho dữ kiện này nhằm mục đích gì?”. Từ đó đặt ra giả thuyết tức là phát hiện ra “vấn đề” cần giải quyết. 
 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm của tôi chủ yếu phục vụ cho học sinh có năng lực khá trung bình hoặc yếu, mặt khác hiện nay môn toán lại là môn thi trắc nghiệm thì ngoài việc dạy cho học sinh kiến thức thì sau mỗi bài toán giáo viên nên hình thành cho học sinh quy tắc riêng để giải quyết bài toán nhanh nhất. Do đó ở mảng kiến thức về tiệm cận của đồ thị hàm số tối đã hình thành cho học sinh một số cách phát hiện chính xác về các đường tiệm cận mà tôi đã thể hiện ở các ví dụ trên, ngoài ra khi dạy tôi cho học kết hợp với việc bấm máy tính để tìm ra các đường tiệm cận, đặc biệt là các đường tiệm cận ngang. Từ đó kích thích tính sáng tạo, lòng say mê bộ môn và phát triển tư duy toán học cho học sinh.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bàn thân, đồng nghiệp và nhà trường.
 Sau khi thực hiện đề tài này cho HS lớp 12C3, 12C5 trường THPT Đinh Chương Dương. Tôi kiểm tra 15 phút với đề bài : 
 Câu 1: Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
 A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 2: Cho hàm số. Số tiệm cận của đồ thị hàm số bằng
A.1 B.2 C.3 D.4
Câu 3: Cho hàm số.Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm 
A.(1;2) B.(2;1) C.(1;-1) D.(-1;1)
Câu 4: Cho hàm số.Số tiệm cận của đồ thị hàm số bằng
A.0 B.1 C.2 D.3
Câu 5: Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số : 
	A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng B. 	
	C. 	D. 
Câu 6:Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có TCĐ A. 	B. 	C. 	 D. 
Câu 7: Biết đồ thị hàm sốnhận trục hoành và trục tung làm 2 tiệm cận thì: m + n = 
A. 6 B.-6 C.8 D. 2
Câu 8: Cho hàm số Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang.
	A. m = 1.	B. 	C. 	D. m > 0.
Câu 9: Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị là: A. 2 	B. 3	 C. 4	 D. 1
Câu 10. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. Ta có kết quả:
A.	B. 	C.hoặc 	D.
Sau khi chấm bài tôi thu được kết quả như sau: 
Tổng số
Kết quả
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
90
20
22.2
45
50
15
16.7
10
11.1
0
0
 Qua kết quả áp dụng đề tài này đối với học sinh lớp 12, trong ôn tập bồi dưỡng học sinh khá giỏi, dạy học đại trà tôi nhận thấy:
 - Học sinh có tâm lý vững vàng, tự tin, có kỹ năng vận dụng tốt hơn, đặc biệt học sinh dễ dàng giải được những lớp bài tập đã được nêu trong sáng kiến trên.
 - Tôi thấy học sinh lĩnh hội kiến thức một cách thoải mái, rõ ràng, có hệ thống. Học sinh biết phát hiện xâu chuỗi các kiến thức đã học, xoá đi cảm giác khó và phức tạp ban đầu đối với học sinh có học lực khá, trung bình hoặc yếu. Qua kiểm tra việc làm bài tập của HS tôi thấy đa số HS làm được bài, hầu hết các bài tập giao đều được các em ở mọi đối tượng tham gia tích cực.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Là giáo viên toán, bản thân tôi đã cố gắng tìm tòi và cung cấp thêm cho các em những phương pháp giải mà sách giáo khoa không có thời gian đề cập đến để có thể giúp học sinh vận dụng giải bài toán một cách nhanh nhất. Thực tế cho thấy rằng muốn có kết quả cao trong giảng dạy thì phải có sự phấn đấu, sự bền bỉ, kiên trì của thầy và trò. Kết quả đó cũng khích lệ giáo viên trong miệt mài say sưa nghiên cứu cách giải các dạng toán để phát triển, nâng cao cho học sinh.
 Để nâng cao chất lượng dạy học với từng đối tượng học sinh, bản thân tự rút ra một số kinh nghiệm nhỏ như sau:
 - Khi dạy, phải cho học sinh hiểu sâu sắc lý thuyết, nắm được các dạng để rồi nhận được dạng trước 1 bài toán. Cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng làm bài trắc nghiệm nhanh và hiệu quả.
 - Với mỗi bài, giáo viên phải để lại cho học sinh một ấn tượng, bước đi nào đó để gặp bài toán tương tự học sinh có thể liên hệ được.
 - Nắm vững nội dung, yêu cầu của chương trình, phạm vi, mức độ kiến thức. Phải có quá trình tự học, tự nghiên cứu nghiêm túc và sáng tạo. Bám sát việc đổi mới phương pháp dạy học sao cho phù hợp với đặc trưng bộ môn.
 - Việc bồi dưỡng phát triển tư duy học sinh phải thực hiện ngay từ lớp 10, để giúp học sinh rèn luyện tư duy lôgic và kỹ năng tính toán, đồng thời phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh khi gặp bài tập ở dạng phức tạp. 
Trên đây là một số vấn đề về kiến thức và phương pháp mà tôi đã rút ra được khi dạy phần tiệm cận của đồ thị hàm số. Bằng những hiểu biết của bản thân còn hạn chế, kinh nghiệm chưa nhiều. Trong quá trình thực hiện đề tài chắc chắn chưa được hoàn hảo, không thể tránh khỏi những thiếu sót về cấu trúc, về ngôn ngữ và cả về hình thức khoa học. Tôi rất mong được sự góp ý chân tình của các bạn đồng nghiệp, của hội đồng khoa học để đề tài những năm học tới được tốt hơn, đáp ứng với yêu cầu đổi mới giáo dục.
 Vì vậy để đề tài thu được kết quả tốt và triển khai sâu rộng cho các em HS thì Tôi có một vài kiến nghị đề xuất như sau: 
Đối với cán bộ quản lý nhà trường cần đầu tư thêm nhiều tài liệu tham khảo cho giáo viên, có thư viện phong phú để HS tham gia nghiên cứu tài liệu, có kinh phí hỗ trợ khuyến khích động viên giáo viên
Mở rộng hội nghị khoa học để trao đổi kinh nghiệm dạy và học, tìm cách áp dụng đề tài nghiên cứu một cách có hiệu quả.
Tạo điều kiện về thời gian để rèn luyện HS yếu kém, bồi dưỡng HS khá giỏi để đề tài được áp dụng rộng rãi và có kết quả cao hơn.
Cuối cùng để đề tài hoàn thiện hơn tác giả rất mong được sự bổ sung và góp ý chân thành của các đồng nghiệp .
 Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2017
CAM KẾT KHÔNG COPY
Tôi xin cam đoan SKKN này là của bản thân tích lũy được trong quá trình công tác, không sao chép copy của người khác
Tác giả
 Lê Thị Hiền
Tài liệu tham khảo gồm: 
1.Sách giáo khoa lớp 12 – Cơ bản.
2.Các đề thi thử THPTQG.