Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng phương pháp tọa độ để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 5
--------***-------
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 
ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
 CỦA HÀM SỐ.
Giáo viên:	 Đỗ Đức Thông
Tổ: 	Toán
Đơn vị: 	THPT Triệu Sơn 5
Thanh Hóa, năm 2019
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
 I. Lí do chọn đề tài.
Trong giảng dạy môn toán, ngoài việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản thì việc phát huy tính tích cực của học sinh, biết ứng dụng các phương pháp đã học vào giải các bài toán là điều rất cần thiết. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức là các dạng bài toán phổ biến và quan trọng trong chương trình toán phổ thông, thường gặp trong các đề thi tuyển sinh vào đại học- cao đẳng và còn là một chuyên đề hay gặp trong các đề thi học sinh giỏi ở phổ thông.
Các bài giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức rất đa dạng và phong phú. Cả lý luận và thực tiễn dạy học đều chứng tỏ chúng rất có hiệu quả trong việc phát triển tư duy cho học sinh.
Có nhiều phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức, việc vận dụng nhìn chung phụ thuộc rất nhiều vào đặc thù bài toán. Đứng trước bài toán này, học sinh phổ thông thường lúng túng về phương pháp giải, nên sử dụng phương pháp hàm số, bất đẳng thức Côsi hay sử dụng Bunhiacopski...
Các tài liệu, sách tham khảo đã trình bày khá đầy đủ về vấn đề này, trong bài viết này tôi tập trung vào vấn đề:
“ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 
ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ”
Nói đến phương pháp toạ độ, học sinh thường hay nghĩ đến các bài toán về khảo sát hàm số, vẽ đồ thị cũng như các bài toán của hình học giải tích mà ít khi học sinh nghĩ đến rằng còn có thể ứng dụng phương pháp tọa độ để làm bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức.
II. Mục đích nghiên cứu
	Xây dựng một hệ thống bài tập theo độ khó tăng dần nhằm cung cấp cho học sinh cách ứng dụng phương pháp tọa độ để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức.
 III. Phương pháp nghiên cứu
	- Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, các tài liệu liên quan khác,
	- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường THPT Triệu Sơn 5.
	- Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức một số tiết dạy thực nghiệm, cho kiểm tra thử với lớp đối chứng.
	IV. Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm
Mục lục.
Mở đầu.
Nội dung.
Thực nghiệm sư phạm.
Tài liệu tham khảo.
PHẦN 2: NỘI DUNG
I. Cơ sở lí thuyết
	Sử dụng phương pháp tọa độ để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cần phải khai thác tốt một số bất đẳng thức thường dùng như bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski và một số bất đẳng thức vectơ, bất đẳng thức hình học sơ cấp. Một số bài toán thường dùng:
Bất đẳng thức Côsi:
Cho n số không âm , ta luôn có:
Dấu “=” xảy ra 
Bất đẳng thức Bunhiacopski.
Cho n số và n số tùy ý, ta có:
Dấu “=” xảy ra 
Bất đẳng thức vectơ:
	i) 
	- Dấu “=” bên trái xảy ra khi ngược hướng với hoặc hoặc 	- Dấu “=” bên phải xảy ra khi cùng hướng với hoặc hoặc 
	Tổng quát: 
	ii) . 
	- Dấu “=” bên trái xảy ra khi ngược hướng với hoặc hoặc 
	- Dấu “=” bên phải xảy ra khi cùng hướng với hoặc hoặc 
	Bất đẳng thức tam giác: 
Với 3 điểm A, B, C bất kì ta luôn có . Dấu bằng xảy ra khi A, B, C theo thứ tự đó thẳng hàng.
	Tổng quát: Trong tất cả các đường gấp khúc nối 2 điểm A, B cho trước thì đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất.
	Cho điểm nằm ngoài đường thẳng (hoặc mặt phẳng (P)). Khi đó đường thẳng vuông góc kẻ từ M xuống đường thẳng (hoặc mặt phẳng (P)) ngắn hơn mọi đường xiên kẻ từ xuống đường thẳng (hoặc mặt phẳng (P)) ấy.
	GTLN của một hàm liên tục sẽ đạt được trên biên của nó.
	Trong các tam giác nội tiếp một đường tròn bán kính R, tam giác đều có chu vi lớn nhất (có giá trị bằng ) và có diện tích lớn nhất 
	Cho có ba góc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt phẳngthì tổng nhỏ nhất khi M nhìn 3 cạnh AB, BC, CA dưới một góc 1200.
II. Bài tập
Phương pháp:
	+ Biến đổi hàm số (hoặc biểu thức) cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất về dạng tọa độ để xác định các vectơ, các điểm, các đường có tọa độ từ điều kiện và biểu thức cần tìm. 	
+ Chuyển bài toán từ dạng đại số về dạng hình học tọa độ, giải bài toán bằng phương pháp hình học từ đó suy ra kết quả dạng đại số.
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
 với .
Giải:
Viết lại hàm số dưới dạng:
Hàm xác định trên . Xét trên hệ trục tọa độ Oxy 
Cách 1: Chọn , 
Khi đó .
Đẳng thức xảy ra khi các vectơ cùng hướng hay: 
Vậy khi 
Cách 2: Gọi . Khi đó: 
 và 
Nên ta có: .
Theo bất đẳng thức tam giác ta có: 
. Nên : .
Vậy khi C là giao điểm của AB và trục Ox, từ đó 
Bình luận: 
- Nếu như áp dụng phương pháp hàm số thì việc xét sự biến thiên sẽ gặp khó khăn vì để tìm nghiệm của phương trình dẫn tới việc giải phương trình bậc 4.
- Về cách chọn điểm hoặc chọn vectơ trong bài 1:
+ Cách 1: Việc chọn vectơ cần phải khéo léo để sao cho là một hằng số đồng thời dấu “=” phải xảy ra.
+ Cách 2: Câu hỏi đặt ra là tại sao lại chọn cặp điểm mà không phải cặp điểm khác, mặc dù các biểu thức tính khoảng cách AC, BC không đổi. Ta có thể chọn; thì vẫn có . Lúc này A và B nằm cùng phía so với trục Ox. Khi này để tìm giá trị nhỏ nhất của bài toán sẽ dài hơn bằng cách lấy điểm B’ đối xứng với B qua Ox, tức là và khi đó M là giao điểm của và trục Ox. Nên ta chọn điểm .
- Mở rộng bài toán: 
	+ Thứ nhất: liệu các hệ số của các biểu thức có phải là bất kì không? Nếu thay bởi biểu thức hay thì sao?
Trả lời: Do áp dụng công thức khoảng cách hoặc độ dài của một vectơ nên biểu thức dưới dấu căn phải dương.
	+ Thứ hai: Hệ số của trong hai biểu thức của hàm số có nhất thiết phải bằng nhau không? Nếu không bằng thì sao? Ví dụ: 
	Trả lời: Do khi áp dụng: “Trong tất cả các đường gấp khúc nối 2 điểm A, B cho trước thì đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất” cần khoảng cách giữa điểm đầu và cuối là không đổi, nên cặp điểm A, B phải có dạng hoặc hoặc hoặc ... (trong đó m, n, p, q là các giá trị không đổi). Và khi với một điểm C bất kì thay đổi thì khi áp dụng công thức khoảng cách để tính ta luôn được hệ số của là bằng nhau.
	+ Thứ ba: Khi thay bằng hàm số thì nó có thể đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất hay không?
	Trả lời: Do cách chọn điểm mà hàm số sẽ đạt được giá trị lớn nhất
Nếu như muốn tìm tìm giá trị lớn nhất của hàm số này ta sẽ chọn ; sao cho cùng phía so với trục Ox thì ta có . Từ đó ta tìm được giá trị lớn nhất của hàm số 
	+ Thứ tư: Ta có thể tìm thêm giá trị lớn nhất của hàm số không?
	Trả lời: Nếu như giới hạn giá trị của biến x lại trong một tập D thì ta có thể tìm được giá trị lớn nhất của hàm số đó.
	Các vấn đề sẽ lần lượt được áp dụng và trình bày qua các bài toán dưới đây.
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
 (p, q là hai số cho trước)
Giải:
1. Xét :
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy xét các điểm và). Khi đó: 
Rõ ràng có: OA + OB ³ AB.
Mà AB = không đổi với mọi vị trí của A và B.
Vậy ta luôn có 	(1)
Dấu “=” xảy ra A, O, B theo thứ tự thẳng hàng. 
Ta có: 
Khi đó A, O, B theo thứ tự thẳng hàng .
Do độ dài đoạn AB không đổi với mọi vị trí của A, B nên ta có:
 	(2)
2. Xét (Û p = q = 0)
Lúc này 	(3)
Tóm lại, với mọi trường hợp ta đều có: .
Bài 3: Cho a, b , c, h là bốn số dương cho trước và x, y, z là ba số thực thay đổi sao cho: ax + by + cz = k (1) ( k là số cho trước). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
với (x, y, z) thoả mãn điều kiện (1).
Giải:
Trên hệ trục Ouv, lấy các điểm:
Ta có:	 
; 
; 
VậyVà do OA + AB + BC là độ dài đường gấp khúc OABC nối hai điểm cố định và 
Từ (2) suy ra: 	(3)
Dấu “=” trong (3) xảy ra Û theo thứ tự thẳng hàng 
Như vậy: 	(4)
Từ (3) và (4) ta có: 
 khi 
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: 
 trên miền .
Phân tích: 
Nếu làm như bài 1 thì ta chỉ tìm được giá trị nhỏ nhất mà không tìm được giá trị lớn nhất. Với bài này ta sử dụng tính chất: giá trị lớn nhất của một hàm liên tục sẽ đạt được trên biên của nó.
Giải:
Viết lại hàm số dưới dạng: 
.
Xét hệ trục tọa độ , trên đó xét điểm cố định và điểm chuyển động . 
Khi ta được khi đó M giới hạn trên đoạn thẳng với và .
Do:	; 
Suy ra 
Nên . 
Vậy đạt Giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi O, M, N theo thứ tự thẳng hàng hay M là giao điểm của ON và . Dễ dàng tìm được hay.
Và 	 
 . 
Vậy 	 khi 
	 khi 
Bình luận: 	- Bài này có thể sử dụng phương pháp hàm số nhờ việc giải phương trình không khó như bài 1.
	- Sử dụng phương pháp này có thể dạy cho học sinh lớp 10.
Bài 5: Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
(Trích đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2006)
Phân tích: 
Hai căn thức đầu tiên làm ta nghĩ tới tọa độ các điểm và sử dụng bất đẳng thức tam giác để đánh giá hai căn thức đầu tiên. Tuy nhiên cần khéo kéo chọn để có dấu bằng xảy ra.
Giải:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xét .
Ta được 
Do nên . 
Đẳng thức xảy ra khi M, O, N theo thứ tự thẳng hàng. Từ đó ta được .
Do đó .
Ta tìm giá trị nhỏ nhất của trong hai trường hợp:
+ Nếu ta được 
, .
Bảng biến thiên: 
y
 2
f’(y)
 - 0 +
f(y)
Từ đó suy ra: . Dấu bằng xảy ra khi 
+ Nếu ta được 
Vậy khi 
Binh luận: Nếu như chọn cặp điểm thì tuy sẽ nhỏ hơn nhưng sẽ không có dấu “=” xảy ra.
Bài 6: Với , tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
.
Giải:
Trong mặt phẳng tọa độ, ta xét các điểm 
Khi đó: . 
Nên nhỏ nhất khi M nhìn 3 cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC dưới một góc 1200
Dễ thấy tam giác ABC đều, tâm O nên đề nhỏ nhất thì hay 
Và khi đó ta được 
Bất đẳng thức đã cho được chứng minh.
Chứng minh bài toán phụ: 
Cho có ba góc nhọn và điểm M tùy ý nằm trong mặt phẳng thì tổng nhỏ nhất khi M nhìn 3 cạnh AB, BC, CA dưới một góc 1200.
Hướng dẫn:
Xét phép quay tâm A góc quay 600: 
	- Biến điểm M thành điểm N 
	- Biến điểm C thành điểm P
	Khi đó, theo tính chất của phép quay và do góc quay bằng ta được: AM = MN; CM = NP.
Vậy tổng MA + MB + MC nhỏ nhất 
 tổng (BM + MN + NP) nhỏ nhấtB, M, N, P thẳng hàng.
Nói riêng, B, M, N thẳng hàng mà nên . Tương tự ta cũng được . Từ đó ta được điều phải chứng minh.
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Trong đó x, y là các số thực.
(Trích đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 1998)
Phân tích: Trong hàm số xuất hiện căn bậc hai, gợi chúng ta nghĩ đến công thức khoảng cách giữa hai điểm.
Giải:
 	Xét các điểm và điểm trong hệ trục tọa độ vuông góc . Ta có:
Suy ra 
	Nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi tổng đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M nhìn 3 cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC dưới một góc 1200. Với chú ý cân tại C nên .
Ta tính :
Xét tam giác vuông OMA có nên .
Khi đó . Tức là .
Suy ra .
Vậy .
Bài 8: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
Giải:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chọn và .
Khi đó ta được ; .
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 
do đó ta được: 
Từ đó suy ra:
Dấu “=” xảy ra 
Kết hợp với điều kiện ban đầu ta được 
Vậy khi 
Bài 9: Cho x, y, z là ba số dương và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Giải:
Gọi , , . 
Khi đó 
Ta có: , , 
Khi đó 
Và 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, kết hợp ta được:
Áp dụng bất đẳng thức ta được 
Dấu “=” xảy ra khi các vectơ cùng hướng và hay:
Vậy đạt được khi 
Bình luận: Đây là dạng của đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A, năm 2003
Bài 10: Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải:
Ta có 	
Trong hệ trục tọa độ Oxy, xét ba vectơ 
Khi đó ta có 
Vì 
Áp dụng bất đẳng thức ta được: 
Vì ba vectơ ta xét đều khác vectơ nên dấu “=” xảy ra khi 3 vectơ cùng hướng và . 
hay	 
Vậy khi 
Bình luận: Đây là dạng của đề thi đại học Quốc Gia Hà Nội, năm 2000
Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
.
Giải:
Ta có: 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét các vectơ: 
Ta có: 
Khi đó:
Dấu bằng xảy ra khi , cùng hướng và , cùng hướng, tức là:
Vậy .
Bài 12: Cho xi, yj (i = 1,2, ... , n) là 2n số thực thoả mãn: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Giải:
Xét trong mặt phẳng tọa độ Oxy: 
Gọi Mk là điểm có toạ độ , k= 1, 2, ..., n
x + y = 1
Nói riêng điểm do thỏa mãn nên sẽ nằm trên đường thẳng 
Dễ thấy: 
 (k= 1, 2,... , n)
H
Mn
Từ đó ta được: 
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng, thì 
Khi đó ta luôn có:
hay 	
Dấu “=” xảy ra theo thứ tự thẳng hàng và 
Vậy khi .
Bài 13: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
Trên miền .
Giải:
 Miền là miền trong tính cả biên. 
Với .
Gọi thì M sẽ nằm trong(cả biên). 
Ta có . Suy ra: 
trong đó H là chân đường cao hạ từ O xuống AC.
.
 khi hay .
Vậy:	 khi .
 khi 
Bài 14: Cho bốn số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Giải:
	Nếu gọi thì từ điều kiện ta thấy là các điểm nằm trên đường tròn tâm O bán kính .
	Và vế trái bất đẳng thức có thể viết dưới dạng:
	Vế trái là giá trị của chu vi tam giác MNP. Sử dụng tính chất: “Trong các tam giác nội tiếp một đường tròn, tam giác đều có chu vi và diện tích lớn nhất”
	Nên vế trái đạt giá trị lớn nhất khi tam giác MNP đều và nội tiếp trong đường tròn bán kính . Khi đó ta được chu vi tam giác MNP bằng 
Vậy: 
Dấu “=” xảy ra khi 
Tức là: 
Vậy khi 
Bài 15: Cho là bốn số thực thỏa mãn các điều kiện sau: 
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức 
Giải:
Từ điều kiện ta có 
	Trong mặt phẳng tọa độ , ta xét các điểm , thì từ điều kiện ta thấy là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn tâm bán kính 1 và đường tròn tâm bán kính 5.
Và ta cũng có: .
Nối với cắt đường tròn bé tại G, E và cắt đường tròn lớn tại F, H. Khi đó tính được tọa độ các điểm: 
Ta có 
(do )	(1)
Và 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra nên ta cũng có 
Lại có ; 
Từ đó ta được: 
Dấu “=” vế trái xảy ra khi hay 
Dấu “=” vế phải xảy ra khi hay 
III. Bài tập áp dụng.
	Xin đưa ra một số bài tập áp dụng phương pháp tọa độ để quý thầy cô tham khảo, đó là các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hoặc một số bài toán bất đẳng thức.
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: 
 khi .
Bài 2: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: 
 trên .
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: 
trên miền .
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: 
trên miền .
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: 
 trên miền .
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: 
 trên miền .
Bài 8: Cho hàm số 
a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên.
b) Chứng minh rằng 
Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 
PHẦN 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
1. Mục đích thực nghiệm
 Mục đích thực nghiệm là để kiểm chứng khả năng ứng dụng phương pháp tọa độ vào giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức hoặc bài toán chứng minh bất đẳng thức.
2. Tổ chức thực nghiệm 
	2.1. Hình thức thực nghiệm
	Tổ chức dạy học theo chuyên đề biên soạn theo phần nội dung đã đề cập ở phần nội dung (phần II). Sau đó cho học sinh làm thực nghiệm, đối chiếu kết quả thực nghiệm.
	2.2. Đối tượng thực nghiệm
	Chọn lớp thử nghiệm: Chọn 20 em học sinh lớp 10C2 (gọi là nhóm 1) và 20 em học sinh lớp 10C7 (gọi là nhóm 2) năm học 2018- 2019 của trường THPT Triệu Sơn 5 – Thanh Hóa.
	Trong đó nhóm 1 là nhóm thực nghiệm và nhóm 2 là nhóm đối chứng. Chọn học sinh ở hai nhóm này có lực học toán khá và tương đương nhau.
3. Nội dung thực nghiệm
	Dạy thực nghiệm bao gồm các nội dung:
 	+ Ứng dụng phương pháp tọa độ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
 	+ Ứng dụng phương pháp tọa độ chứng minh bất đẳng thức.
4. Đánh giá kết quả thực nghiệm
	4.1. Đề kiểm tra 
	Phát phiếu kiểm tra khả năng giải bài tập của học sinh, thời gian làm bài 30’:
	A. Phiếu 1
 	Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: 
trên miền .
	Bài 2: Cho R, chứng minh rẳng:
	B. Phiếu 2
 	Bài 1: Cho là một số thực bất kì, chứng minh rằng:
	Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: 
 trên 
 - Nhận xét: Trong mỗi phiếu bài tập thì mỗi bài đều có thể làm được theo một số cách khác nhau. Phiếu số 2 tăng độ khó và yêu cầu cao hơn phiếu số 1.
5. Kết quả kiểm tra
a) Kết quả kiểm tra theo phiếu học tập số 1:
 Điểm 
 Lớp 
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Số bài
Nhóm 1
Nhóm thực nghiệm
0
0
0
6
3
4
2
3
2
20
Nhóm 2
Nhóm đối chứng
2
1
5
4
4
3
1
0
0
20
	- Điểm trung bình: 
Trong đó: 	: điểm kiểm tra.
	: tần số của các giá trị 
	n: số học sinh tham gia 
Kết quả thu được:	
b) Kết quả kiểm tra theo phiếu học tập số 2:
 Điểm 
 Lớp 
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Số bài
Nhóm 1
Nhóm thực nghiệm
0
1
5
4
2
4
2
2
0
20
Nhóm 2
Nhóm đối chứng
3
4
6
3
2
2
0
0
0
20
	- Điểm trung bình: 
6. Kết kuận
	Dựa trên kết quả thực nghiệm thấy rằng kết quả của nhóm thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng. Số học sinh đạt điểm cao ở nhóm thực nghiệm cũng vượt trội so với nhóm đối chứng.
	Trong thực tế giảng dạy tôi thấy rằng phương pháp có thể này có thể dạy cho học sinh lớp 10, khi đã học xong phần bất đẳng thức (phần đại số) và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở một mức độ nào đó. 
PHẦN 4: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
Thực hiện mục đích của đề tài, tôi đã giải quyết được một số vấn đề sau:
1. Học sinh biết áp dụng những điều đã được giới thiệu để áp dụng vào giải quyết một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức cũng như chứng minh bất đẳng thức: Học sinh trung bình khá trở lên nắm vững được phương pháp và biết vận dụng ở dạng bài tập cơ bản; một số đề thi đại học và thi học sinh giỏi thì học sinh khá giỏi có thể sử dụng phương pháp này để giải bài toán.
2. Ngoài ứng dụng là tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức hoặc chứng minh bất đẳng thức ra, phương pháp tọa độ còn có nhiều áp dụng nữa: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Tôi khuyến khích các em về nhà tìm tòi thêm. 
3. Thực nghiệm cho thấy: kết quả ứng dụng của phương pháp là tương đối khả quan. Học sinh tiếp thu được bài và trình bày chặt chẽ.
Thực tế áp dụng cho thấy, học sinh rất hào hứng tiếp thu và vận dụng được ý tưởng của đề tài, học sinh không còn sợ bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức hay bài toán chứng minh bất đẳng thức. Có thể, có những cách giải chưa thật ngắn gọn, xúc tích nhưng tôi luôn trân trọng những gì mà các em đã làm được. Khuyến khích, động viên các em tìm tòi những cách làm ngắn gọn, hay hơn. 
Không phải bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức nào cũng có thể đưa được về dùng phương pháp tọa độ. Ngoài phương pháp tọa độ nêu trên thì còn rất nhiều các kĩ thuật, các phương pháp để giải đối với các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức nói riêng và các dạng bài toán nói chung. Thông qua sáng kiến kinh nghiệm này, tôi mong muốn được đóng góp một phần nhỏ bé công sức trong việc hướng dẫn học sinh ứng dụng và khai thác phương pháp tọa độ một cách hiệu quả khi làm toán, rèn luyện tính tích cực, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, gây hứng thú cho các em khi học toán. 
Qua nội dung đề tài, tôi mong muốn có sự tìm hiểu sâu hơn nữa về bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức hay bài toán chứng minh bất đẳng thức cũng như muốn nghiên cứu về mối quan hệ giữa “Giải tích” và “Hình học”
Tuy nhiên, do thời gian có hạn, trình độ bản thân còn hạn chế, nên tôi rất mong được sự đóng góp bổ sung của Hội đồng khoa học các cấp và của các bạn đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm của tôi được hoàn chỉnh hơn, đồng thời cũng giúp đỡ tôi tiến bộ hơn trong giảng dạy.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
	TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Tuyển tập 200 bài toán vô địch – Tập 3: Giải tích; PGS. TS. Nguyễn Quý Dy; ThS.Nguyễn Văn Nho; TS Vũ Văn Thỏa. NXB Giáo dục năm 2001.
[2] Căn số và toán vô tỉ; Hoàng Kỳ. NXB Giáo dục năm 2001.
[3] Đại số sơ cấp; Hoàng Kỳ, Nguyễn Văn Bàng, Nguyễn Đức Thuần. NXB Giáo dục năm 1979.
[4] Sai lầm phổ biến khi giải toán; Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang. NXB Giáo dục năm 1997.
[5] Giới thiệu các bài thi chọn học sinh giỏi Toán PTTH toàn quốc; Lê Hải Châu. NXB trẻ năm 2001.
[6] Tuyển chọn theo chuyên đề “Toán học& Tuổi trẻ”- Quyển 1- NXB Giáo Dục Việt Nam năm 2009.
[7] Chuyên đề toán hình học tọa độ phẳng và không gian, PGS.