Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán thực tế của Lớp 12

 SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán thực tế của lớp 12
 BÁO CÁO KẾT QUẢ
 NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
 Dạy học Toán ở trường phổ thông theo định hướng gắn Toán học với thực tiễn, thực 
hiện nguyên tắc liên môn trong dạy học và tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh là 
xu hướng đổi mới dạy học hiện nay.
 Mục đích của dạy học Toán nói chung với lưu ý học sinh biết mô hình hóa Toán học 
các tình huống thực tiễn được xem là yếu tố cơ bản của năng lực hiểu biết Toán- năng lực 
đã và đang được chương trình đánh giá quốc tế PISA khảo sát ở nhiều nước trên thế giới 
nhằm mục đích cải thiện chất lượng đào tạo.
 Trên thực tế với kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm tôi thấy học sinh gặp rất nhiều 
khó khăn khi giải các bài toán thực tế. Vì vậy đề tài nhằm tập hợp, biên soạn và sáng tạo 
ra một số tình huống thực tiễn mang lại cho giáo viên các ví dụ minh họa theo các mức 
độ nhằm giúp giáo viên có nguồn tư liệu và phương pháp để rèn luyện kĩ năng giải các 
bài Toán thực tế cho các em giúp các em vượt qua dào cản tâm lý đó.
 Hiện nay, định hướng đổi mới chương trình giáo dục phổ thông là chuyển từ chương 
trình định hướng nội dung dạy học sang chương trình định hướng năng lực, định hướng 
chuẩn đầu ra về phẩm chất và năng lực của chương trình cấp THPT. Quan điểm đổi mới 
dạy học trong tương lai là : “ định hướng năng lực hay định hướng kết quả đầu ra”. Với 
quan điểm này chương trình dạy học không quy định chi tiết nội dung dạy học mà quy 
định những kết quả đầu ra mong muốn của giáo dục. Tóm lại, quan điểm giáo dục mới 
không chỉ chú trọng vào những nội dung học sinh “được học”mà chủ yếu tập trung vào 
những gì mà học sinh “học được”. Quan điểm này không nhấn mạnh vào những nội dung 
khoa học bộ môn mà chú trọng vào việc học sinh có năng lực giải quyết các vấn đề gì 
trong thực tiễn từ những nội dung đã học.
 Từ đó đề tài này tập trung vào việc xây dựng một số bài toán thực tiễn gắn liền với 
chương: “Ứng dụng đạo hàm ” của Đại số và Giải tích12 theo định hướng tiếp cận các 
năng lực của người học.
* Cơ sở lý luận:
 Mục đích của dạy học Toán là phải mang lại cho học sinh những kiến thức phổ thông, 
những kĩ năng cơ bản của người lao động. Qua đó rèn luyện tư duy logic, phát triển năng 
lực sáng tạo góp phần hình thành thế giới quan cho các em.Quan điểm này đã dẫn đến 
khái niệm hiểu biết Toán theo PISA: “ hiểu biết Toán là năng lực của một cá nhân cho
 1 SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán thực tế của lớp 12
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 
 GIẢI TOÁN THỰC TẾ
 CÁC BÀI 
 LÝ THUYẾT BÀI TẬP 
 TOÁN THỰC 
 VÀ CÁC TNKQ VÀ 
 TẾ VÀ
 VẤN ĐỀ HƯỚNG 
 PP GIẢI
 LIÊN QUAN DẪN GIẢI
 3 SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán thực tế của lớp 12
 Khái niệm tiếp tuyến lúc này được hiểu theo những quan niệm mới như là vị trí 
“tới hạn” của cát tuyến hay đường thẳng trùng với một phần vô cùng nhỏ với đường 
cong tại tiếp điểm. Chính từ quan niệm “vị trí tới hạn” này mà hệ số góc k của tiếp
tuyến với đường cong y  f x được định nghĩa (theo ngôn ngữ ngày nay) bởi biểu thức
 f x  h  f x
 k  lim  f ' x
 h0 h
 ● Đối với bài toán vật lí: tìm vận tốc tức
 thời.
 Thừa nhận rằng có thể xem vận tốc tức thời vtt
 của vật thể có phương trình chuyển động là
 s  S t  là giới hạn của vận tốc trung bình trong
khoảng thời gian t;t  t  khi t  0 , Newton (1643 – 1727) cũng đã đi đến biểu thức
xác định vtt (có cùng bản chất với biểu thức hệ số góc của tiếp tuyến) mà theo ngôn ngữ
ngày nay ta viết là:
 St  t  S t
  
 vtt lim  S' t 
 t0 t
Từ đây ta đưa ra định nghĩa của đạo hàm:
2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
 Cho hàm số
 y  f x xác định trên khoảng a; b , x o a; b , x o  x a; b .
 f x  x  f x 
Nếu tồn tại, giới hạn (hữu hạn) lim o o được gọi là đạo hàm của f x tại
 x0 x
điểm , kí hiệu
 x o f ' xo  hay y' xo  .
 f xo  x  f xo  f x  f xo 
 f ' xo   lim  lim
 x0 xx
 x o x  xo
3. Các quy tắc tính đạo hàm và bảng công thức đạo hàm thường gặp
* Các quy tắc tính đạo hàm.
Giả sử u  ux , v  v x , w  w x là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng
xác định. Ta có:
● u  v  w'  u' v' w' ● uv'  u' v  v' u
 u  u' v  v' u 
● uvw'  u' vw v' uw w' uv ● '  v  v x  0
  v  v2
 1  v'
●ku'  ku' (với k là hằng số) ● '  v  v x  0
  v  v2
* Bảng công thức các đạo hàm thường gặp
 Đạo hàm của f x với x là biến số Đạo hàm của f u với u là một hàm số
 5 SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán thực tế của lớp 12
 Hàm số y  f x đồng biến (tăng) trên K nếu x ,x K : x  x  f x   f x 
 1 2 1 2 1 2
 Hàm số y  f x nghịch biến(giảm) trên K nếu : x1 ,x2 K : x1  x2  f x1   f x2 .
 Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi là hàm số đơn điệu trên K.
* Các định lí:
 ❖ Định lí 1: Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên a;b .
 • Nếu f x  0,x a;b thì hàm số f x đồng biến trên a;b .
 • Nếu f x  0,x a;b thì hàm số f x nghịch biến trên a;b .
 ❖ Định lí 2: (Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên K)
 Cho hàm số y  f x có đạo hàm trên a;b .
 • Hàm số f x đồng biến trên a;b  f x  0,x a;b và phương trình f x  0
 có hữu hạn nghiệm thuộc a;b .
 • Hàm số f x nghịch biến trên a;b  f x  0,x a;b và phương trình
 f x  0 có hữu hạn nghiệm thuộc a;b .
 ❖ Định lí 3: (Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên K)
 • Nếu hàm f x đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng a; b và f x liên tục
 trên nửa đoạn a; b thì f x sẽ đồng biến(hoặc nghịch biến) trên nửa đoạn
 a;b .
 • Nếu hàm f x đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng a;b và f x liên tục
 trên nửa đoạn a;b thì f x sẽ đồng biến(hoặc nghịch biến) trên nửa đoạn
 a;b .
 • Nếu hàm f x đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng a;b và f x liên tục
 trên đoạn a;b thì f x sẽ đồng biến(hoặc nghịch biến) trên đoạn a;b .
5. Cực trị của hàm số
* Định nghĩa: Giả sử hàm số  .
 y  f x xác định trên tập hợp D,D   và x o D 
 ❖ x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f x nếu tồn tại một khoảng a; b
  
 chứa x 0 sao cho a,b  D và f x  f x0  với x a; b và x x0 .
 Khi đó f x 0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số f x .
 ❖ x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f x nếu tồn tại một khoảng (a;b)
   
 chứa x 0 sao cho (a,b) D và f (x) f (x0 ) với x (a; b)\x0 .
 Khi đó f (x0 ) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f x .
 Điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
* Các định lý:
 7 SKKN: Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán thực tế của lớp 12
Định lý về sự tồn tại GTLN – GTNN: “ Nếu hàm số liên tục trên đoạn a; b thì đạt giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó “.
* Một số lưu ý:
 • Khi nói đến GTLN,GTNN của hàm số f mà không chỉ rõ GTLN,GTNN trên tập
 nào thì ta hiểu là GTLN,GTNN trên tập xác định của f .
 min f x 
 • Nếu hàm số f đồng biến trên xa;b f a
 a; b   
 max f  x  f b
 xa;b
 min f x 
 • Nếu hàm số f nghịch biến trên xa;b f b
 a; b   
 max f  x  f a
 xa;b
* Phương pháp GTLN – GTNN của y  f x bằng đạo hàm trên đoạn D  a; b
 Bước 1: Tính đạo hàm f 'x
Bước 2: Tìm các điểm tới hạn (nếu có) x a; b ,i  1,n sao cho f 'x  0 (hoặc không
 i
có đạo hàm)
  f ' x   ?
  i
Bước 3: Tính f a  ?
    
 
  f b  ?
  
 max f x  max f x1 ; f x2 ;...; f xn ; f a; f b
Bước 4: So sánh và kết luận  D
 min f x  min f x1 ; f x2 ;...; f xn ; f a; f b
  D  
Lưu ý:
 • Trường hợp tập D  a; b (hoặc D  a; b ; D  a; b ) thì ta làm tương tự như
 bước 1 và bước 2. Đến bước 3 thì ta “lập bảng biến thiên” để từ đó đưa ra kết 
 luận.
 • Ngoài cách sử dụng đạo hàm như đã trình bày ở trên, đôi khi để giải quyết 
 nhanh bài toán ta có thể sử dụng thêm các kiến thức về cực trị của hàm số 
 bậc hai hay các bất đẳng thức đã học có thể kể đến như:
► Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân
 a , a ... a  n 
Cho n số không âm: a , a ,...,a . Khi đó ta có: 1 2 n a .a ...a
 1 2 n n 1 2 n
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a  a ... a .
 1 2 n
► Bất đẳng thức Bunyakovsky.
Cho hai bộ n số: a ,a ,...,a ;b ,b ,...,b khi đó ta có bất đẳng thức:
 1 2 n 1 2 n
 9