Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác các bài toán dãy số viết theo quy luật

MỤC LỤC
TT
Nội dung
Trang
1
MỞ ĐẦU
1
1.1
Lí do chọn đề tài
1
1.2
Mục đích nghiên cứu
1
1.3
Đối tượng nghiên cứu
1
1.4
Phương pháp nghiên cứu
1
1.5
Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
2
2
NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2
2.1
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2
2.2
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2
2.3
Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
3
2.4
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
19
3
KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
20
3.1
Kết luận
20
3.2
Kiến nghị
20
1. MỞ ĐẦU
1.1 .Lí do chọn đề tài
 	Định hướng về đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập. Làm cho các em được tìm tòi, khám phá, phát hiện, luyện tập, khai thác và xử lý thông tin, đem lại niềm vui, hứng thú 
Với việc dạy học môn Toán ở bậc THCS, người giáo viên cần hình thành và rèn luyện cho các em khả năng tư duy sáng tạo từ một vấn đề có thể hình thành và phát triển thành các vấn đề khác sáng tạo hơn mở rộng hơn. Để làm được điều đó đòi hỏi vào sự linh hoạt, sáng tạo của giáo viên trong cách dạy, cách khai thác bài toán. 
Ở trường THCS chúng tôi nói riêng và các trường THCS nói chung, hầu hết các giáo viên trong quá trình giảng dạy chưa hình thành được cho học sinh có các thói quen trên một cách thường xuyên. Phần lớn chúng ta chưa khai thác được nhiều ứng dụng từ một bài toán ở sách giáo khoa, sách bài tập để phát triển thành một chuỗi các dạng bài toán có liên quan. Trong giải Toán đang chủ yếu dừng lại ở việc tìm ra kết quả bài toán. Điều đó dẫn đến học sinh khó tìm được sự liên kết và mối quan hệ giữa các kiến thức đã học. Dẫn đến khi học sinh bắt đầu giải một bài toán dạng khác có liên quan thì khả năng phân tích, liên hệ tìm kiếm phương pháp để giải quyết vấn đề là còn nhiều hạn chế.
Để giúp học sinh hình thành được các kỹ năng và vốn kiến thức cần thiết để giải quyết được vấn đề trên, tôi đã suy nghĩ, trăn trở cùng với sự tư vấn giúp đỡ nhiệt tình của các đồng nghiệp. Tôi đã mạnh dạn nghiên cứu và áp dụng đề tài: “Khai thác các bài toán dãy số viết theo quy luật” vào giải toán. .
1.2. Mục đích nghiên cứu
	Mục đích nghiên cứu của đề tài này để mở rộng kiến thức, nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ cho bản thân. 
1.3 Đối tương nghiên cứu
 *Đối tượng nghiên cứu:Toán học là môn đòi hỏi có sự tư duy và sáng tạo, song bài viết này tôi chủ yếu tập trung nghiên cứu các bài toán tính tổng theo quy luật Các bài toán được đưa ra trong đề tài là những bài của SGK, SBT, sách nâng cao, các bài trong các đề thi học sinh giỏi.
 *Phạm vi áp dụng: Học sinh các lớp 6,7,8,9 trường THCS chúng tôi .
 *Thời gian nghiên cứu và hoàn thành đề tài: Từ tháng 10/2017 đến hết tháng 02/2019.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu qua quá trình giảng dạy, ôn thi học sinh giỏi ôn thi vào 10, dựa vào các đề thi của các tỉnh thành
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
	Với đề tài “Khai thác các bài toán dãy số viết theo quy luật” nhiều sáng kiến đã làm nhưng điểm mới của sáng kiến này là phân loại các dạng bài tập đưa ra các bài tập từ dễ đến khó giáo viên và học sinh dễ học.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến khinh nghiệm
Theo quan điểm lí luận chung thì một trong những mục đích cần thiết và cơ bản của phương pháp dạy học tích cực là hình thành thói quen luôn tìm tòi, suy nghĩ khám phá nhằm phát triển tư duy, phát triển khả năng tự học, tự nghiên cứu của người học. Từ lí luận và những kiến thức mang tính chất lí thuyết người học có thể liên hệ và có khả năng vận dụng vào thực tiễn cuộc sống một cách có hiệu quả.
Đối với quá trình dạy học bộ môn toán thì các vấn đề trên lại càng được thể hiện rõ nét. Để phát huy tính tích cực suy nghĩ, tìm tòi, sáng tạo, đòi hỏi người học phải nhìn nhận vấn đề theo nhiều góc độ, nhiều khía cạnh khác nhau. Từ phân tích tổng hợp đến tư duy khái quát các vấn đề để từ đó tìm tòi cái riêng trong cái chung và ngược lại. Do đó trong quá trình giảng dạy bộ môn Toán người giáo viên phải cố gắng phát huy tối đa khả năng vận dụng, khả năng sáng tạo của học sinh. Một trong những phương pháp tốt để phát huy được các vấn đề đó trong quá trình dạy học bộ môn Toán đó là rèn cho học sinh khai thác các bài tập điển hình ở sách giáo khoa, sách bài tập sách nâng cao để từ đó vận dụng giải các bài toán khó hơn, phức tạp hơn ở nhiều dạng Toán khác nhau.
Các bài toán dãy số viết theo quy luật được trình bày dưới dạng như một công thức toán học có rất nhiều ứng dụng trong các bài toán liên quan đến tính dãy số theo quy luật. Mặt khác các bài toán dãy số viết theo quy luậtcũng mở ra hướng giải quyết khác cho các bài toán chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình. Chính vì thế các bài toán dãy số viết theo quy luật đã làm giàu các dạng bài tập, làm phong phú thêm các cách giải cho một bài toán, gây được hứng thú cho học sinh trong việc giải toán, hình thành cho học sinh những ý tưởng hay, trau dồi tư duy và đầu óc sáng tạo cho học sinh. Các bài toán dãy số viết theo quy luật tạo cơ hội cho giáo viên dạy toán một phong cách nghiên cứu khoa học có hiệu quả, góp phần đổi mới phương pháp dạy học trong thời kỳ mới.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm. 	
	Trong nhiều năm dạy học và dạy toán, dạy thêm, ôn thi vào 10, ôn thi học sinh giỏi các lớp, bản thân tôi cũng thấy lúng túng khi găp các bài tập dãy số tính theo quy luật không phân rõ được các dạng bài tập và phương pháp giải do đó nên trong quá trình giảng dạy không gây được hứng thú học tập cho học sinh.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoạc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
A. KHAI THÁC BÀI TOÁN TỐNG CÁC LŨY THỪA CỦA 
CÁC SỐ TỰ NHIÊN
I. LÝ THUYẾT 
Bài tập dạng tổng quát
Chứng minh
 1 + a + a2 + a3 + ... + an = với 
Giải: Nhân 2 vế của S với a ta có aS = a + a2 + a3 + a4 + ... + an + an+1 .
Rồi trừ S ta được :
 aS – S =(a + a2 + a3 + a4 + ... + an + an+1) –( 1 + a + a2 + a3 + ... + an )
 ( a – 1)S = an+1 – 1 .
 VËy : 1 + a + a2 + a3 + ... + an =.(1)
II. BÀI TẬP ỨNG DỤNG
Dạng 1: Bài tập tính tổng các lũy thừa tăng dần
Bài 1 : TÝnh c¸c tæng sau 
A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210
B = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + ... + 3100
Gi¶i :
Ta có 2A = 2 + 22 + 23 + ... + 210 + 211 . 
 Khi ®ã : 2A – A = (2 + 22 + 23 + ... + 210 + 211 ) – (1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 
 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 )
 Suy ra A = 211 – 1 
3B = 3 + 32 + 33 + ... + 3100 + 3101. 
 Khi ®ã : 
 3B – B =(3 + 32 + 33 + ... + 3100 + 3101 ) – ( 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + ... + 3100)
 2B = 3101 – 1 .
 VËy B = 
Bài 2: TÝnh tæng. S = (-3)0 + (-3)1+ (-3)2 + .....+ (-3)2004.
Giải :
 S = (-3)0+(-3)1 + (-3)2+(-3)3+...+ (-3)2004.
 -3S = (-3).[(-3)0+(-3)1+(-3)2 + ....+(-3)2004]
 = (-3)1+ (-3)2+ ....+(-3)2005]
 -3S-S=[(-3)1 + (-3)2+...+(-3)2005]-(3)0-(-3)1-...-(-3)2005.
 -4S = (-3)2005 -1. 
 S = =
	Qua bài tập 1 và bài tập 2 ở trên ta áp dụng công thức của bài tập tổng quát để tính tổng thì ta chỉ nhân tổng đó với đúng cơ số của nó rồi thực hiện phép trừ 
 hai tổng để triệt tiêu
Bài tập áp dụng
Bài 3: Tính các tổng sau
Giải: Giải tương tự như hai bài tập trên.
	Bài 4: Tính nhanh:
A = 
( Bài tập 443 trang 21 sách Nâng cao và phát triển toán 6)
Giải:
2A = 1+ 
2A –A = 1+ -( ) =1- = 1-= 
A = 
Dạng 2: Bài tập tính tổng các lũy thừa với số mũ cách đều
	Khi dãy số tính tổng mà lũy thừa với số mũ cách đều ta có cách tính sau
Bài 5: Tính các tổng sau:
A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100
B = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + ... + 799
Giải:
 1) A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100 . 
Vấn đề đặt ra là nhân hai vế của A với các số nào để khi trừ A thì một loạt 
các lũy thừa bị triệt tiêu?.Ta thấy các số mũ liền nhau cách nhau hai đơn vị nên ta nhân A với 32, rồi trừ cho A ta được:
 32A = 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100 + 3102 
 A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100
 32A – A = 3102 – 1 . 
 A( 32 – 1) = 3102 – 1 . 
Vậy A = ( 3102 – 1): 8
 2 ) T­¬ng tù nh­ trªn ta nh©n hai vÕ cña B víi 72 råi trõ cho B , ta ®­îc :
	 72B = 73 + 75 + 77 + 79 + ... + 799 + 7101
 B = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + ... + 799
 72B – B = 7101 – 7 , 
 B( 72 – 1) = 7101 – 7 . 
 VËy B = ( 7101 – 7) : 48
Bài 5: Tính tổng 
	B= 1 – 23 + 26 – 29 + ....+ 296 - 299 
	Tổng B ta thấy quy luật là cộng rồi trừ các số ,các số mũ cũng cách nhau 3 đơn vị để triệt tiêu ta nhân B với 23 rồi cộng cho B 
	Từ bài tập 5 ta rút ra tổng quát như sau
	P = 1 - ad + a2d – a3d ... + a2nd với 
Ta nhân cả hai vế của P với ad. Rồi cộng vế với vế ta được P = (2)
	Công thức (2) cũng được vận dụng cách tính như công thức (1) là nhân một số thích hợp rồi cộng hai tổng để triệt tiêu 
Dựa vào công thức (1) ta có thể làm được nhiều dạng bài tập có các nội sau
Bài 6 : Cho S = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + ... + 29
Hãy so sánh S với 5 .22
	Muốn só sách được S với 5 .22. Ta cần tính tổng S áp dụng vào công thức (1) sau đó dùng phép so sánh của lũy thừa để đánh giá
Giải: Ta có 2A = 2 + 22 + 23 + ... + 210 . 
 Khi ®ã : 2A – A = (2 + 22 + 23 + ... + 210 ) – (1 + 2 + 22 +....+ 29 )
 Suy ra A = 210 – 1 
 Mà 210 – 1 < 210 = 22 . 28 = 4 . 28 < 5.28
Bài 7: Cho A = 3 + 32 + 33 + 34 + ... + 399. Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A +3 = 3n
	Đê tính được số tự nhiên n trước hết ta đi tính tổng A theo công thức (1) 
rồi dựa vào lũy thừa cùng cơ số để tính
Giải: Ta có 3A = 32 + 33 + 34 + ... + 399 + 3100
 3A –A= (32 + 33 + 34 + ... + 399 + 3100)- (3 + 32 + 33 + 34 + ... + 399)
 Suy ra 2A = 3100 – 3
 Mà 2A +3 = 3n
 Hay 3100 – 3 + 3 = 3n
 3100 = 3n
 n = 100
Với công thức (1) và mở rộng sang công thức (2) ta có thể khai thác được rất 
nhiều tính tổng các lũy thừa
B. KHAI THÁC BÀI TOÁN TỐNG CÁC PHÂN SỐ TÍNH THEO
QUY LUẬT
I. LÝ THUYẾT 
Bài tập dạng tổng quát
Cho hai phân số: 
Chứng tỏ rằng tích của hai phân số này bằng hiệu của chúng
Giải:Ta cần chứng tỏ
 (1)
Biến đổi vế phải của đẳng thức ta có: 
Vậy 
Cách phát biểu khác của bài toán:
Chứng minh rằng: 
Phương pháp giải các bài tập dạng này là khử liên tiếp 
II. BÀI TẬP ỨNG DỤNG
Dạng	1. Tính tổng
	Bài 1. Tính tổng sau bằng phương pháp hợp lý nhất
	 B = (Đề thi giữa kì II toán 6 )
Trong tổng A: Mỗi tích là 2 phân số có tử là 1 và mẫu của chúng là 2 số tự nhiên liên tiếp có dạng: n và n + 1. Như vậy mỗi tích cũng có dạng . Trong tổng B: Mỗi phân số cũng có tử giống nhau (bằng 1) và mẫu của các phân số khác nhau, mỗi mẫu có thể viết được dưới dạng n.(n+1). Như vậy mỗi phân số cũng có dạng . 
Như vậy: Hai tổng A và B là hai cách viết khác nhau Þ cách tính là như nhau.
Giải 
Bây giờ ta xét bài toán tương tự sau:
	Bài 2. Tính 
 a, 
 b, 
 c, 
 d, 
Nhận xét: Phương pháp giải bài 2 là dùng công thức: 
	Để viết mỗi phân số thành hiệu của hai phân số. Số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau rồi khử liên tiếp, Còn lại số bị trừ đầu tiên và số trừ cuối cùng, lúc đó phép tính được thực hiện dễ dàng
Giải: a. 
Câu b, c, d thực hiện tương tự câu a.	.
	* Khi tử của các phân số trong tổng vẫn không thay đổi nhưng không bằng hiệu hai thừa số trong mẫu, các hiệu hai thừa số ở mẫu bằng nhau, thừa số cuối mẫu trước bằng thừa số đầu ở mẫu tiếp theo, chẳng hạnta có bài toán sau
Bài 3. Tính tổng
 a. A = 
 b. C = 
 c. D = 
Hướng dẫn: Dùng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và đưa về dạng bài 1, bài 2 
 a. A = = 5(
 b. B = = 3(
 c. C = = 
Bài 4. Tính tổng
	Nhận thấy các số hạng trong tổng đều có tử bằng 1 nhưng mẫu không phải là tích hai thừa số có hiệu bằng 1 ( 10 = 2.5; 15 = 3.5; 21 = 3.7;...) Vì vậy ta phải áp dụng tính chất cơ bản của phân số, nhân cả tử và mẫu của phân số với 2 ta được các mẫu mới là 20; 30; 42; ...;240. Ta thấy 20 = 4.5; 30 = 5.6; 42 = 6.7; ... Theo đúng quy luật của bài toán 2 và 3 ở trên
Các bài tập tương tự: 
Bài 5. Tính tổng
 a/ A = ( Tập đề thi HSG lớp 6 ).
 b/ B = 
 c/ C = 
Với bài toán này thoạt nhìn thì không thấy quy luật như bài tập 1, bài tập 2 . Với tư duy của bài tập 2 tử của phân số là 4 chính là hiệu 2 thừa số ở mẫu, vậy thừa số ở mẫu phải là 35 và 31. Tương tự với các phân số còn lại thừa số ở mẫu lần lượt là 35và 41, 41 và 50, 50 và 57.
Khi đó ta nhân cả tử và mẫu với 5 ta được mẫu mới lần lượt là: 35. 31; 35. 41, 41 .50, 50. 57
Giải A = = 5()
 = 5(= 5(= .
Câu b, c tương tự câu a.
* Với cách suy nghĩ theo quy luật của dạng bài toán như ở trên, bây giờ ta xét bài toán khó hơn
Bài 6. Tính tổng
 với nN, n > 1
Hướng dẫn: Giải tương tự các bài toán trên, viết các hạng tử dưới dạng hiệu
Nhận xét: 
 với nN, n > 1
(Mẫu số của mỗi phân số là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp, thì tử số phải là 2 lần khoảng cách của các số ở mẫu)
Do đó ta có:
 với nN*
* Với cách làm như trên ta có bài toán:
Bài 7. Tính tổng
 với n N, n
Nhận xét:
 với n N, n
(Mẫu số của mỗi phân số là tích của 3 số tự nhiên lẻ liên tiếp, thì tử số phải là 2 lần khoảng cách của các số ở mẫu)
Do đó ta có
 với n N, n
 = 
* Tương tự ta có bài toán:
Bài 8. Tính tổng
Do mẫu số là tích của các số tự nhiên cách nhau 3 đơn vị nên tử của mỗi phân số phải là: 2.3 = 6
Ta có:
* Đến đây ta đặt câu hỏi. Nếu mẫu số là tích của 4 số viết theo quy luật thì sao?
Bài 9. Tính tổng
* Cũng với cách suy luận như trên, ta thấy mẫu số của mỗi phân số là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thì tử số của mỗi phân số phải là 3 lần khoảng cách các số ở mẫu.
 Nhận xét:
 với n N, n
Ta có:
Tổng quát: với n N, n
 Đến đây chúng ta có thể mở rộng cho học sinh các bài toán mà mẫu số của mỗi phân số là tích của nhiều số tự nhiên viết theo quy luật
 Một số bài toán tổng quát mà cách làm tương tự như trên:
 a. 
 với n N, n
 với n N
c. 
 = với n N, n
 Bằng cách phân tích theo chiều hướng đó, thì học sinh sẽ nắm được cách làm tổng quát các dạng bài tập có quy luật, mà mẫu số của mỗi phân số là tích của 2;3;  hay nhiều số tự nhiên hơn nữa viết theo một quy luật nào đó, mà xuất phát là phân tích khai thác từ bài toán tổng quát trên
Dạng 2: Rút gọn biểu thức
Trở lại với công thức (1)
Nếu thay n bởi x thì ta có ( với x . Điều này sẽ giúp học sinh giải quyết một số bài toán nhằm rèn luyện phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 10. Rút gọn biểu thức: (với giả thiết các phân thức đều có nghĩa)
 A
Ta nhận thấy mẫu thức các tích của hai đa thức hơn nhau một đơn vị nên ta áp dụng bài toán tổng quát ta có lời giải sau
Giải
A
A=
A=
Bài 11. Rút gọn biểu thức (với giả thiết phân thức có nghĩa)
A = 
Để làm bài toán này giáo viên cần hướng cho học sinh phân tích các đa thức của các mẫu thành nhân tử rồi tìm quy luật tách, áp dụng như các bài tập tính tổng trên
Giải: A = 
 = 
*Từ công thức tương tự ta có thể xây dựng công thức với mẫu là các bình phương 
Ta có 
Chứng minh công thức như sau: 
Áp dung công này ta có thể làm được bài tập sau
 Bài 12. Rút gọn( Sách nâng cao phát triển toán 8)
 B = (n
Hướng dẫn 
 B= 
 B= 
 B=1-
*Từ công thức tương tự ta có thể xây dựng công thức với mẫu là các căn bậc hai 
Ta có: 
Chứng minh công thức 
Từ đó ta có thể giải quyết bài toán sau:
Bài 13: Rút gọn(Bài tập sách 23 chuyên đề toán sơ cấp)
 A= 
Hướng dẫn:
 A= 
 A=
 A=
Ngoài các bài toán tính tổng và rút gọn áp dụng công thức ta giải các bài toán có nội dung khác nhưng khó hơn như chứng minh đẳng thức
Dạng . Chứng minh đẳng thức 
Bài 14. Chứng minh rằng với mọi n N ta luôn có:
a, 
b, 
Hướng dẫn: Vế trái của các đẳng thức trên ta cũng làm giống như bài tính tổng, sau khi tính được tổng sẽ bằng vế phải
Giải
Câu b giải tương tự
Bài 15: Chứng minh rằng
Hướng dẫn: Với bài này cần biến đổi cả hai vế đều dựa vào công thức 
Giải: 
 Vậy VT = VP ( đpcm)
Từ công thức ta có công thức tổng quát hơn:
 Việc áp dụng công thức trên trong giải toán được sử dụng rất nhiều. Chẳng hạn bài toán sau:
Bài 16. Cho biết a,b,c là các số nguyên đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
Nhận xét: a - b = (c - b) - (c - a) 
 b - c = (a - c) - (a - b)
 c - a = (b - a) - (b - c)
Dạng 4. Chứng minh bất đẳng thức
Ta giải bài tập ở khía cạch khác
Bài 17: Chứng minh:
A = + + +..+ < 
B = + + +.+ < 3
• Trước hết ta nhận xét: Hai biểu thức trên chính là một trường hợp cụ thể của các bài toán tính tổng. Như vậy từ cách giải bài toán tính tổng ta có thể tính được nhanh chóng giá trị của biểu thứcA. Đối với tổng B, tử của mỗi phân số đều bằng 36, mà 36 = 9.4, vậy là cách tính tổng B đã cho cũng không khác gì cách tính tổng bài tập 9 . Từ nhận xét trên, ta có:
 A = ( - + - + - 
+ + - ) = ( - ) = . = 
Do < = suy ra A < 
B = 9( + + + + )
= 9( - + - + - + + - )
= 9( - ) = 9 . = 
Do < = 3. Từ đó suy ra B < 3
Bài 18. Chứng minh rằng:
 a.
 b. 
 c. 
Hướng dẫn: Tổng A và tổng B không theo quy luật do đó ta tìm cách so sách với một dãy số theo quy luật của phân số. Ta nhận thấy như tổng A thì < , <....tương tự so sanh dần dần ta rút ra được dãy số theo quy luật
Tổng B cũng làm tương tự
Giải:
 Bài 19. Chứng minh rằng 
Hướng dẫn : Các tổng trên mẫu là những giai thừa, đưa mẫu về tích của các số tự nhiên rồi cũng so sánh như bài tập 18
 Bài 20. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ta có:
 M= < 2
Hướng dẫn:
 Ta có 
 = 
 Vậy M < 
 M< (Vì n)
 M<2
Dạng 5. Dạng toán giải phương trình.
Bài 21: Tìm số tự nhiên x, biết:
 + + + + + = (*)
 	Bài toán là yêu cầu tìm số tự nhiên x từ một đẳng thức, vế trái của đẳng thức là dãy cộng các phân số có tử là 1 và mẫu là các số tự nhiên khác nhau, phân số cuối cùng của dãy có mẫu là dạng tích của hai số tự nhiên liên tiếp giống như ở tổng B của bài toán 1; vế phải của đẳng thức là một phân số có tử nhỏ hơn mẫu một đơn vị.
Trước hết hãy để ý các mẫu số: 6 = 2.3; 12 = 3.4 ; 20 = 4.5 ;như vậy mẫu của mỗi phân số ở vế trái của đẳng thức đã cho là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Dãy cộng trên chính là tổng B ở bài toán1. Từ đó suy ra cách giải.
Giải: 
Ta có:
 + + + + + 
= + + +  + 
= 1 - + - + - +  + - 
= 1 - 
Vậy (*) 1 - = 
 = 1 - 
 = 
 => x +1= 2005 hay x = 2004 
 Ta đã giải bài toán tìm x trên không mấy khó khăn bằng cách áp dụng công thưc tổng quát. Bây giờ ta hãy thay đổi mẫu của các phân số ở vế trái của đẳng thức (*) theo quy luật khác, chẳng hạn: Thay phân số bằng phân số , phân số bằng phân số , phân số bằng phân số , ..Khi đó ta lại có bài toán sau:
Bài 22: Tìm số tự nhiên x, bi ết:
 	 + + + +  + = (**)
Giống như bài toán 23 , bài toán 24 cũng yêu cầu ta tìm x, nhưng vế trái của (**) khác vế trái của (*) ở chỗ phân số cuối cùng lại có tử bằng 2 còn mẫu số vẫn là dạng tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Vấn đề là làm thế nào để đưa được các phân số ở vế trái của (**) thành các phân số như vế trái của (*)?
Ta giải như sau:
Xét phân số . Ta có : = 2 . = 2( - ). 
Như vậy ta cũng phải biến đổi các phân số ; ; ; ;  thành các phân số cũng có tử bằng 2 và mẫu của mỗi phân số vẫn là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
 Để ý, ta có: = ; = = ; = = ; = = ;.(Áp dụng tính chất cơ bản của phân số). Đến đây ta dễ dàng suy ra cách giải như bài toán 23.
Cách giải: 
Ta có: + + + + .+ 
= + + + +  + 
= + + + +  + 
= 2.( + + + +  + )
= 2.( - + - + - + - + + - )
= 2.( - ). Vậy (**) 2( - ) = 
=> - = : 2 = 
=> = - = 
=> x+1 = 4010 hay x = 4010 – 1 = 4009
Nhận xét: Cách giải bài toán tìm x trên cũng không khác gì lắm so với cách giải các bài toán đã giải trước đó. Nếu tiếp tục sử dụng kết quả các bài toán trước đó các em lại có được các bài toán tương tự khác.Để giải các bài toán có mẫu là những đa thức thì cách biến đổi như bài tập 11 
 Bài 23. Giải các phương trình
 a, (1)
 b, (2)
Hướng dẫn: Phân tích các mẫu thức thành nhân tử
 a, (1)
 Điều kiện: 
(1) 
 ( không thoả mãn điều kiện)
Vậy phương trình (1) vô nghiệm
b, 
Điều kiện : 
(2) 
 x1 = 7 (thoả mãn điều kiện )
 x2=3 (không thoả mãn điều kiện)
 Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 7
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
	Sáng kiến kinh nghiệm này chủ yếu được áp dụng trong quá trình dạy các giờ luyện tập, giờ tự chọn, bồi dưỡng học sinh và chấm chữa bài cho học sinh để kịp rèn luyện kỹ năng l