Sáng kiến kinh nghiệm Dự đoán dấu bằng trong bất đẳng thức cauchy

MỤC LỤC
1. Mở đầuTrang 2
- Lí do chọn đề tài nghiên cứu.Trang 2
- Mục đích nghiên cứu.Trang 2
- Đối tượng nghiên cứuTrang 2
- Phương pháp nghiên cứu...Trang 3
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệmTrang 3 
2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm .Trang 3
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm..Trang 4
2.3.Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.Trang 4
2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường..Trang 19
3. Kết luận,kiến nghịTrang 19
- Kết luậnTrang 19
- Kiến nghị.Trang 19
Tài liệu tham khảoTrang 20
Phụ lục..Trang 23
1. Mở đầu:
 - Lí do chọn đề tài:
 + Bất đẳng thức là nội dung khó với học sinh nhưng lại là một trong những nội dung quan trọng trong các kỳ thi đại học. Trong quá trình học và ứng dụng lí thuyết để làm bài tập học sinh thường gặp nhiều khó khăn, lúng túng không biết xuất phát từ đâu, phương pháp giải như thế nào. Chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của một biểu thức là một dãy các bước biến đổi, đánh giá thông qua các bất đẳng thức mà đảm bảo dấu “=” bất đẳng thức luôn đúng tại mọi thời điểm. Sai lầm học sinh hay gặp là không kiểm tra dấu “=” của bất đẳng thức có xảy ra hay không?. Như thế học sinh dễ mắc sai lầm khi áp dụng các bất đẳng thức mà không xảy ra dấu “=”. Học sinh không biết xuất phát từ đâu?. Làm cách nào để suy luận ra các bất đẳng thức cần dùng trong bài toán. Dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức Cauchy là một kỹ thuật suy ngược nhưng logic, và tôi đã dựa trên “kỹ thuật chọn điểm rơi ” dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức Cauchy để giải bài toán nhằm giúp các em hạn chế và giảm những sai sót này trong quá trình giải toán. Đó là lí do tôi chọn đề tài này.
Mục đích nghiên cứu: 
 Thông thường khi gặp bài toán bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất học sinh liên tưởng ngay đến dạng mẫu đã học và áp dụng ngay các bất đẳng thức đã học nhưng thực tế nhiều bài toán trong các kỳ thi đại học, cao đẳng học sinh gặp những dạng toán phức tạp mà để giải đòi hỏi phải có những nhận xét đặc biệt. Một trong những nhận xét đặc biệt đó là dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức Cauchy để giải toán.
Đối tượng nghiên cứu:
 Là học sinh lớp 10B2 và 10B3 trong quá trình học chương bất đẳng thức. Tôi lựa chọn 2 lớp của trường THPT Lưu Đình Chất có những điều kiện thuận lợi cho việc nghiên cứu ứng dụng.
 +Học sinh:
 Chọn lớp 10B2 là nhóm thực nghiệm và 10B3 là nhóm đối chứng và tiến hành kiểm tra các kiến thức cơ bản để đánh giá và so sánh mức độ của hai lớp trước tác động. Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai lớp không có sự khác nhau, do đó tôi dung phép kiểm chứng T- Test để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm số trung bình của hai lớp trước khi tác động. 
 Kết quả :
Bảng 1. Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương
Đối chứng(ĐC)
Thực nghiệm(TN)
TBC
5,5
5,5
P=
0,43
P=0,43 > 0,05 , từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai nhóm TN và ĐC là không có ý nghĩa, hai nhóm được coi là tương đương.
 Bảng 2. Thiết kế nghiên cứu
Nhóm
Kiểm tra trước TĐ
Tác động (TĐ)
KT sau TĐ
Thực nghiệm
01
Dạy học theo hệ thống bài tập liên quan
03
Đối chứng
02
Dạy học theo hệ thống bài tập có nhiều loại
04
Ở thiết kế này chúng tôi sử dụng phép kiểm chứng T- Test độc lập.
Phương pháp nghiên cứu: 
 + Tham khảo tài liệu, sách giáo khoa, báo Toán học và tuổi trẻ.
 +Thực hành thông qua quá trình giảng dạy.
 +Điều tra kết quả học tập của học sinh từ đó thấy được mức độ và hiệu quả đạt được của học sinh khi thực hiện đề tài. Qua đó rút kinh nghiệm và thực hiện tốt hơn trong quá trình xây dựng đề tài. 
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm:
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm: 
 +) Dựa vào nội dung chương trình sách giáo khoa lớp 10. 
 Cụ thể là :”bài 1: Bất đẳng thức” thuộc chương IV đại số 10.
 Khi giải các bài toán về bất đẳng thức trong chương trình sách giáo khoa 10 sử dụng một số định lí và tính chất như sau:
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 +) Dựa vào một số tài liệu liên quan. 
 +) Học sinh lớp 10 trường THPT Lưu Đình Chất.
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
 Một là: Qua thực tế dạy học tôi thấy trong chương trình lớp 10 phần bất đẳng thức, số bài tập trong sách giáo khoa hạn chế và thời lượng ít.
 Hai là: Trong sách giáo khoa, sách bài tập đại số ban nâng cao và cơ bản đều không có hoặc rất ít bài toán bất đẳng thức yêu cầu nêu dấu “=” xảy ra?. Do đó học sinh không có thói quen thử lại dấu “=” có xảy ra hay không? Đây chính là sai lầm học sinh hay gặp phải.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để sử dụng giải quyết vấn đề như sau
+ Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khả năng tư duy. Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt hoc sinh có được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đặt ngay kiến thức nâng cao).
+ Nội dung :
Bài toán mở đầu :
Bài toán 1. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
+) Sai lầm thường gặp : 
.
+) Nguyên nhân sai lầm:
MinA=2 vô lý vì 
+) Xác định điểm rơi: 
Hàm số: là hàm số đồng biến trên .
Vì :
Nên 
Do bất đẳng thức Cauchy xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau nên ta đưa tham số sao cho tại điểm rơi x=4 thì cặp số phải bằng nhau.
Với x=4 cho cặp số:
+) Lời giải đúng: 
Lời bình: Bài toán 1 áp dụng bất đẳng thức . lời giải 1 tại sao sai?
Lời giải 2 tại sao lại tách?..? Làm sao nhận biết được điều đó?
Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. Và qua chuyên đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các bài toán cực trị.
 A. PHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI 
 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy 
 Bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức quen thuộc và có ứng dụng rất rộng rãi. Đây là bất đẳng thức mà bạn đọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, nó sẽ là công cụ hoàn hảo cho việc chứng minh các bất đẳng thức.
 * Bất đẳng thức Cauchy
Cho số thực không âm ta luôn có: . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
* Một vài hệ quả quan trọng:
Cho số dương (): ta có:
Trong chứng minh bất đẳng thức, đôi khi việc ghép và sử dụng các bất đẳng thức cơ sở không được thuận lợi và dễ dàng. Khi sử dụng liên tiếp nhiều bất đẳng thức ta phải chú ý tới điều kiện để bất đẳng thức xảy ra, để điều kiện này luôn được thỏa mãn suốt quá trình ta sử dụng bất đẳng thức trung gian. Và bất đẳng thức Cauchy là một trong những bất đẳng thức đó. Để thấy được kĩ thuật này như thế nào ta sẽ đi vào một số bài toán sau:
Bài toán 2: Cho .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
+) Xác định điểm rơi: 
Hàm số: đồng biến trên .
Vì :
Nên . Nên ta có :
+)Sơ đồ điểm rơi:
.
Ta phải tách làm sao để khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy thì sẽ khử hết biến và dấu xảy ra.
+) Lời giải:
Bài toán 3: Cho x4.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=2x +
Sơ đồ điểm rơi :	
x=4 	
Lời giải: S=x+=+x 2.+x
	=+ +. 4=41
	Vậy với x=4 thì Min S = 41
Bài toán 4 : Cho . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
+) Xác định điểm rơi: 
Do A là biểu thức đối xứng theo x,y nên dự đoán giá trị nhỏ nhất của A tại
+)Sơ đồ điểm rơi: 
+) Lời giải:
Bài toán 5: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
+) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo nên ta dự đoán đạt tại .
Sơ đồ điểm rơi :
+) Lời giải : 
Bài toán 6:Cho , tìm GTNN của biểu thức .
+) Định hướng cách giải: Do P là biểu thức đối xứng theo , ta dự đoán đạt tại .
Lời giải:
Min P = . 
Bài toán 7: Cho , tìm GTNN của biểu thức .
+) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo nên ta dự đoán đạt tại và ta thấy: vì thế ta muốn xuất hiện , ta áp dụng bất đẳng thức cho 9 số ta có:
 +) Lời giải : 
 Áp dụng bất đẳng thức cho 9 số:
Dấu bằng xảy ra khi . 
Bài toán 8 : Cho . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
+) Xác định điểm rơi: 
Do A là biểu thức đối xứng theo x,y,z nên dự đoán giá trị nhỏ nhất của A tại
+)Sơ đồ điểm rơi: 
+) Lời giải:
Bài toán 9: Cho , tìm GTNN của biểu thức .
+) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo ,c nên ta dự đoán đạt tại .
Sơ đồ điểm rơi :
+) Lời giải : 
. Vậy 
Bài toán 10:
Cho Tìm giá trị nhỏ của biểu thức:
+) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo ,c,d nên ta dự đoán đạt tại .
Sơ đồ điểm rơi :
+) Lời giải : 
Bài toán 11: Cho , tìm GTNN của biểu thức .
+) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo ,c nên ta dự đoán đạt tại .
Sơ đồ điểm rơi :
+) Lời giải :
Bài toán 12 : Cho .
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
+) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo nên ta dự đoán đạt tại .
Sơ đồ điểm rơi :
+) Lời giải : 
Bài toán 13 : Cho .
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
+Dự đoán giá trị nhỏ nhất của đạt được khi tại 
+ Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm ta có:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được :
Bài toán 14 : Cho . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
+) Định hướng cách giải: Do A là biểu thức đối xứng theo x,y,z nên dự đoán giá trị nhỏ nhất của A tại.
Để A có thể xử dụng gỉa thuyết thì : phải được tách thành tổng các số hạng .Từ một số hạng ban đầu tách thành nhiều số hạng nghĩ ngay đến hệ quả (2):
Do đó: 
Bài toán 15 : Cho .
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
+) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo nên ta dự đoán đạt tại .
Sơ đồ điểm rơi :
+) Lời giải : 
Bài toán 16 : Cho .
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
+) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo nên ta dự đoán đạt tại .
Sơ đồ điểm rơi :
+) Lời giải : 
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Cho. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Bài 2: Cho. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Bài 3: Cho. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Bài 4: Cho . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Bài 5: Cho . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Bài 6: Cho . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Bài 7: Cho . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Bài 8: Cho . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Bài toán 9 : Cho .
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Bài toán 10 : Cho . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bài toán 11 : Cho .
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Bài12: Cho , tìm GTNN của các biểu thức sau:
Chú ý:
Cần chú ý bất đẳng thức Côsi, có điều kiện các số dương thì khả năng nghĩ tới Côsi. Cách giải phải đi ngược qui trình thông thường. Đầu tiên phải dự đoán được điểm rơi xảy ra tại đâu, sau đó lồng ghép các số trong bất đẳng thức sao cho khi xảy ra dấu bằng tại đúng điểm rơi đã dự đoán
 2.4. Hiệu quả sau khi sử dụng
+ Học sinh:
Sau khi học sinh học xong chuyên đề này học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học và tự nghiên cứu. 
+ Bản thân : Sau khi áp dụng đề tài này tôi thấy trong quá trình giảng dạy học sinh học tốt hơn và đa số không mắc sai lầm khi giải bài toán bất đẳng thức.
Kết luận, kiến nghị:
Kết luận:
	Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải song việc tìm ra một lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc không dễ. Do đó đây chỉ là một chuyên đề trong rất nhiều chuyên đề, một phương pháp trong hàng vạn phương pháp để giúp phát triển tư duy, sự sáng tạo của học sinh. Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho học sinh cách nhận dạng bài toán, thể hiện bài toán từ đó học sinh có thể vân dụng linh hoạt các kiến thưc cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải, bắt đầu từ đâu và bắt đầu như thế nào là rất quan trọng để học sinh không sợ khi đứng trước một bài toán khó mà dần dần tạo sự tự tin, gây hứng thú say mê môn toán, từ đó tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu. 
	Tuy nội dung của chuyên đề khá rộng, song trong khuôn khổ thời gian có hạn người viết cũng chỉ ra được các ví dụ, bài toán điển hình.
 Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để chuyên đề này được đầy đủ hoàn thiện hơn.
 - Kiến nghị:
Qua thực tế khảo sát học sinh đa số các em chưa học tốt nội dung bất đẳng thức nên rất ngại học nội dung này, nhiệm vụ giáo viên chúng ta là cần hệ thống bài tập và lựa chọn sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh để giúp các em nắm vững kiến thức cơ bản cũng như kỹ năng giải toán, có như vậy các em mới yêu thích môn toán và đạt kết quả cao hơn. Trong quá trình hoàn thành đề tài tôi biết ơn các đồng nghiệp đã nhiệt tình giúp đỡ, tôi mong muốn nhận được ý kiến đóng góp để sáng kiến nhỏ mang lại nhiều lợi ích cho các em học sinh.
 Tài liệu tham khảo:
1.Đại số lớp 10, bài tập đại số lớp 10- nhà XBGD năm 2016
2.Tạp chí Toán học và tuổi trẻ năm 2016.
3.Các dạng Toán LT ĐH của Phan Huy Khải- NXB Hà Nội năm 2002
4. 263 bài bất đẳng thức của Nguyễn Vũ Thanh- NXB Giáo Dục
5. Bất đẳng thức của Trần Văn Hạo- NXB Giáo Dục năm 2009
6. Sáng tạo bất đẳng thức của Phạm Kim Hùng 
SVK9- Trường ĐHKHTN- ĐHQGHN (NXB Tri Thức). 
Phụ lục 1. Kiểm tra tìm hiểu thực trạng: 
Đề bài. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Biết :
Biểu điểm và đáp án:
Do nên . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
..2 điểm
 tại x = 1..2 điểm
....................................................................1,5 điểm
.............1,5 điểm
.........1 điểm
.........1 điểm
.........1 điểm
Phụ lục 2. Kiểm tra sau tác động.
Bài toán: Cho x,y,z là 3 số dương thõa mãn điều kiện:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
Biểu điểm và đáp án:
4 điểm
Do x,y,z là 3 số dương nên cũng là 3 số dương . 
 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
..1 điểm
Dấu bằng xảy rakhi và chỉ khi ..1 điểm
Tương tự ta cũng có:
...1 điểm
..1 điểm
Mà ...1 điểm
Cộng (1), (2), (3), (4) ta có .
Gía trị nhỏ nhất của P bằng 19 khi . ............1 điểm
Phụ lục 2. 
Bảng điểm lớp thực nghiệm:
Stt
Họ và tên
KT trước tác động
KT sau tác động
1
Lê Tuấn Anh
7
9
2
Nguyễn Thị Mai Chi
6
8
3
Võ Thị Chiến
4
5
4
Lê Thị Dung
7
6
5
Nguyễn Thế Dũng
7
6
6
Ngô Hùng Đức
4
6
7
Tào Minh Đức
5
6
8
Nguyễn Thị Hạnh
6
10
9
Đỗ Ngọc Hoàng
2
5
10
Trần Thị Hồng
4
7
11
Đỗ Thị Huyền
2
5
12
Nguyễn Tác Hùng
4
7
13
Nguyễn Thị Lan Hương
6
6
14
Lê Cung Kỳ
5
7
15
Lê Thị Lan
6
9
16
Nguyễn Thị Lan
5
7
17
Nguyễn Tuấn Lâm
6
8
18
Đỗ Đức Linh
6
7
19
Nguyễn Khánh Linh
4
8
20
Nguyễn Thị Kiều Loan
6
7
21
Đặng Văn Luân
8
8
22
Phan Thị Lưu
6
7
23
Nguyễn Thị Mai
8
9
24
Nguyễn Văn Nam
7
7
25
Nguyễn Thị Nga
6
8
26
Nguyễn Linh Ngọc
2
5
27
Lê Thị Oanh
8
9
28
Tào Minh Phong
7
8
29
Ngô Khánh Phương
4
9
30
Nguyễn Thị Phương
8
9
31
Lê Thị Qúy
4
8
32
Nguyễn Hữu Thông
7
10
33
Lê Văn Thống
3
5
34
Lê Thị Thùy
4
10
35
Lê Thị Thúy
7
9
36
Lê Thị Thủy
4
6
37
Nguyễn Thị Vân Thư
6
7
38
Nguyễn Thị Thương
6
6
39
Nguyễn Thị Trang
6
8
40
Bùi Văn Tuấn
7
8
41
Nguyễn Hoằng Tuấn
5
8
42
Lê Thị Yến
6
8
Bảng điểm lớp đối chứng.
Stt
Họ và tên
KT trước tác động
KT sau tác động
1
Lê Phương Anh
5
7
2
Lê Thị Mai Anh
5
5
3
Phan Hoàng Anh
6
5
4
Trần Việt Anh
5
6
5
Vũ Văn Bình
6
5
6
Nguyễn Đức Chính
4
7
7
Mai Văn Chung
4
6
8
Tào Quốc Cường
7
8
9
Nguyễn Tuấn Duy
5
5
10
Đỗ Văn Dũng
7
5
11
Hoàng Anh Đức
4
6
12
Lê Minh Đức
7
7
13
Lê Trung Đức 
5
6
14
Phạm Văn Đức 
4
7
15
Lê Trung Hải
6
5
16
Nguyễn Văn Hậu
5
6
17
Tào Thị Hiền
6
7
18
Hoàng Văn Hoan
5
6
19
Lê Văn Hòa
6
6
20
Hoàng Thị Hồng
5
6
21
Lê Đăng Linh
6
7
22
Lê Thị Hoài Linh
7
6
23
Lê Xuân Linh
5
5
24
Vũ Thị Ngọc Linh
6
7
25
Nguyễn Thị Lưu Luyến
4
5
26
Lê Đình Nam
4
6
27
Trịnh Thị Nguyệt
6
8
28
Trần Thị Kim Oanh
6
7
29
Lê Thành Sơn
6
5
30
Lưu Hoài Sơn
7
6
31
Nimh Xuân Sơn
5
5
32
Lại Thị Thanh
4
5
33
Nguyễn Viết Thanh
6
6
34
Ngô Văn Thái
5
5
35
Phạm Văn Thắng
7
7
36
Lê Xuân Thu
4
5
37
Lê Ngọc Thuận
8
8
38
Đoàn Thị Thủy
6
7
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày20 tháng 5 năm2016.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Người thực hiện
Hoàng Thị Thúy