Kinh nghiệm sử dụng đạo hàm của hàm số hợp để giải các bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số theo định hướng thi trung học phổ thông quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 1
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 KINH NGHIỆM SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ THEO ĐỊNH HƯỚNG THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA
Người thực hiện: Lê Đăng Hà
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HÓA NĂM 2019
MỤC LỤC
	 Trang
1. MỞ ĐẦU 	
 	1.1. Lý do chọn đề tài .2
	1.2. Mục đích nghiên cứu	2
	1.3. Đối tượng nghiên cứu.......2
	1.4. Phương pháp nghiên cứu..............................2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
	2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm3
	2.2. Thực trạng của vấn đề..........3
	2.3. Giải pháp tổ chức thực hiện.3
 	2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động 
giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường ...15
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
	3.1. Kết luận..16
	3.2. Kiến nghị	... 17
TÀI LIỆU THAM KHẢO.18
1. MỞ ĐẦU 
1.1. Lý do chọn đề tài
Bài toán về tính đơn điệu và cực trị của hàm số trong đề thi của các kỳ thi Trung học phổ thông Quốc gia và đặc biệt đề tham khảo môn Toán trong kỳ thi Trung học phổ thông Quốc gia năm 2019 của Bộ giáo dục và Đào tạo đã được đề cập, khai thác ở các mức độ khác nhau, các dạng tiếp cận khác nhau gây không ít khó khăn cho học sinh trong quá trình giải quyết bài toán này.
Trong đề thi chính thức và các đề thi thử của các kỳ thi Trung học phổ thông Quốc gia bài toán này dần tiếp cận theo hướng sử dụng đạo hàm của hàm số hợp kết hợp với sự hỗ trợ của máy tính bỏ túi giúp học sinh giải toán phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm và đòi hỏi sự nhanh nhạy, chính xác trong giải toán. Đặc biệt trong đề tham khảo môn toán của Bộ Giáo dục và Đào tạo bài toán sử dụng đạo hàm hợp đã xuất hiện những câu ở mức độ vận dung cao đòi hỏi khả năng tư duy sáng tạo của học sinh.
Trong những năm học vừa qua bản thân tôi được phân công các lớp mũi nhọn và nghiên cứu xu hướng mới trong đề thi THPTQG tôi mạnh dạn chọn đề tài: “KINH NGHIỆM SỬ DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ THEO ĐỊNH HƯỚNG THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA” 
1.2. Mục đích nghiên cứu
	Trong khuôn khổ của đề tài này tôi không hi vọng giải quyết được tất cả các bài toán về đơn điệu và cực trị của hàm số mà chỉ tập trung hướng dẫn và giải quyết bài toán có sử dụng đạo hàm của hàm số hợp đặc biệt bài toán mức độ vận dụng và vận dung cao trong kỳ thi Trung học phổ thông Quốc gia (THPTQG).
1.3. Đối tượng nghiên cứu
	Như đã nói ở trên 	trong các đề thi THPTQG, đề tham khảo và các đề thi thử THPTQG của các trường trên toàn quốc đã bắt bầu khai thác ở mức độ vận dụng và vận dụng cao có sử dụng đạo hàm của hàm số hợp để giải quyết bài toán. Vì vậy trong đề tài này tôi chỉ tập trung cung cấp phương pháp và các ví dụ áp dụng có sử dụng bảng xét dấu đạo hàm của hàm số hợp.
Trong đề tài này tôi cố gắng bằng kinh nghiệm của bản thân trong quá trình dạy học và ôn thi THPTQG, giới thiệu đến độc giả và đồng nghiệp một số kinh nghiệm định hướng nhằm hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán dạng này.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
	Hoàn thiện hệ thống cơ sở lý luận, kiến thức cơ bản, hướng dẫn tiếp cận bài toán, phân tích, đánh giá và kết luận liên quan đến dạng toán này.
	Áp dụng kinh nghiệm này cho các em học sinh thông qua các bài kiểm tra, khảo sát chất lượng định hướng thi THPTQG nhà trường. Báo cáo đề tài trước tổ chuyên môn, được tổ chuyên môn góp ý, nhận xét bổ sung và đánh giá cao. Bản thân tôi có tham khảo một số ý kiến của các đồng nghiệp có nhiều kinh nghiệm trong lĩnh vực ôn thi THPTQG đặc biệt là đam mê giải bài toán mức độ vận dụng và vận dụng cao đang được phát triển qua các kỳ thi THPTQG.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Trên cơ sở lý thuyết học sinh đã được học trong sách giáo khoa lớp 12 phần Cực trị của hàm số, công thức đạo hàm của hàm số hợp. Học sinh đã nắm vững các định lý, tính chất cơ bản, biết vận dụng một số giải một số bài toán về cực trị đơn giản. Đề tài này giúp học sinh có cái nhìn và phương pháp dễ hiểu, dễ vận dụng vào thực tế giải toán, giúp các em có sự tự tin khi gặp dạng toán này đồng thời giúp học sinh phát triển tư duy cũng như đam mê học toán.
2.2. Thực trạng của vấn đề
Bài toán tìm cực trị của hàm số đã được phát triển đến những bài toán có tính phân loại cao trong đề thi THPTQG. Nhiều học sinh có tâm lý ngại, hoang mang khi gặp bài toán về hàm số hợp và đạo hàm của chúng; các thầy cô nhiều khi cũng chỉ giới thiệu sơ qua về khái niệm hàm số hợp cũng như công thức đạo hàm nên học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc định hướng và tìm cách giải quyết dạng toán này.
Trong các kỳ thi THPT Quốc gia thì bài toán liên quan đến tính đơn điệu của hàm số có sử dụng đạo hàm của hàm số hợp lại được giải quyết theo hướng tìm đáp số của phương pháp trắc nghiệm theo một số dạng nên việc trang bị cho học sinh kiến thức và phương pháp giải chung và cơ bản có phần bị xem nhẹ. Trong kỳ thi THPTQG thì đa số học sinh được ôn luyện theo kiểu học tủ nếu trúng đề, trúng dạng thì làm còn không thì chọn bừa đáp án mang tính may rủi.
Ngay cả giả thiết của bài toán cũng được biến đổi cho khác đi, như cho giả thiết ở dạng hàm số biết công thức chuyển sang cho hàm số ở dạng đồ thị, cho ở dạng biết bảng xét dấu hoặc đạo hàm gây không ít khó khăn cho học sinh. Trong đề tài này tôi hi vọng sẽ giúp học sinh giải quyết phần nào những khó khăn trên.
2.3. Giải pháp tổ chức thực hiện
2.3.1 Một số kiến thức cơ bản.
	10) Khái niệm về hàm số hợp
Cho hai hàm số và. Thay thế biến trong biểu thức bởi biểu thức , ta được biểu thức với biến . Khi đó hàm số với được gọi là hàm số hợp của hai hàm số và ; hàm số được gọi là hàm số trung gian.
Trong định nghĩa trên, tập xác định của hàm số hợp là tập các giá trị của sao cho biểu thức có nghĩa. (SGK Đại số và Giải tích lớp 11 trang 201)
	20) Công thức đạo hàm của hàm số hợp
Định lý (SGK Đại số và Giải tích lớp 11 trang 201)
a) Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm và hàm số có tại điểm thì hàm số hợp có đạo hàm tại điểm và 
b) Nếu giả thiết trong phần a) được thỏa mãn với mọi điểm thuộc (Trong đó là tập con của tập số thực gồm một khoảng hay hợp của nhiều khoảng) thì hàm số hợp có đạo hàm trên và 
.
Ta cũng sẽ sử dụng công thức sau 
và ghi nhớ cho học sinh phải phân biệt được hai biểu thức liên quan đến đạo hàm của hàm số hợp, đó là và . Đây là điểm mà học sinh hay nhầm lẫn trong quá trình giải toán.
	30) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng
	Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng .
a) Nếu mọi thì hàm số đồng biến trên khoảng .
b) Nếu mọi thì hàm số nghịch biến trên khoảng .
c) Nếu mọi thì hàm số không đổi trên khoảng .
Nhận xét. Điều kiện trên có thể mở rộng như sau: Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng . Nếu mọi (hoặc mọi ) và chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng .
40) Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
	Giả sử hàm số liên tục trên khoảng chứa điểm và có đạo hàm trên các khoảng và . Khi đó
a) Nếu với mọi và với mọi thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm .
b) Nếu với mọi và với mọi thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm .
Nhận xét. 
Với giả thiết như trên, nếu hàm số có đạo hàm đổi dấu qua điểm thì hàm số f đạt cực trị tại điểm .
2.3.2 Cách lập bảng xét dấu đạo hàm từ đồ thị hàm số và đồ thị đạo hàm.
a) Cách lập bảng xét dấu đạo hàm từ đồ thị hàm số 
Ví dụ 1. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Biết rằng hàm số có đạo hàm trên . Hàm số có bảng xét dấu là bảng nào sau đây?
A. 
B. 
C. 
D.
Phân tích và hướng dẫn cách giải:
	- Vì mục đích nhằm giúp cho học sinh chuyển từ giả thiết từ đồ thị hàm số sang bảng xét dấu của đạo hàm. Đây là một trong hướng đi giúp giải quyết tốt bài toán tìm cực trị của hàm số.
	- Với giả thiết hàm số có đạo hàm trên (hoặc trên TXĐ ) Bảng xét dấu đạo hàm được lập từ đồ thị hàm số có thể dựa theo nguyên tắc: Trên khoảng nào đồ thị có hướng “đi lên” thì trên khoảng đó đạo hàm nhận giá trị dương và trên khoảng nào đồ thị có hướng “đi xuống” thì trên khoảng đó đạo hàm nhận giá trị âm. Tại “điểm nối” giữa hai khoảng đó đạo hàm nhận giá trị bằng không.
Giải.	
Hàm số có đạo hàm trên nên
- Trên các khoảng và đồ thị có hướng đi xuống (hàm số nghịch biến) nên đạo hàm có dấu âm .
- Trên các khoảng và đồ thị có hướng “đi lên” ( hàm số đồng biến) nên đạo hàm có dấu dương .
- Tại các điểm và thì .
- Khi đó ta có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
- Chọn đáp án B.
b) Cách lập bảng xét dấu đạo hàm từ đồ thị đạo hàm 
Ví dụ 2. Cho hàm số xác định và có đạo hàm trên . Biết đồ thị của hàm số như hình vẽ dưới.
Hàm số có bảng xét dấu là bảng nào sau đây?
A.
B. 
C.
D.
Phân tích và hướng dẫn cách giải:
	- Vì mục đích nhằm giúp cho học sinh chuyển từ giả thiết từ đồ thị của đạo hàm hàm số sang bảng xét dấu của đạo hàm. Tiếp tục hướng đi giải quyết bài toán cực trị của hàm số bằng bảng xét dấu đạo hàm của nó.
	- Với giả thiết hàm số có đạo hàm trên (hoặc trên TXĐ ) Bảng xét dấu đạo hàm được lập từ đồ thị đạo hàm hàm số có thể dựa theo nguyên tắc: Trên khoảng nào đồ thị của đạo hàm nằm phía trên trục thì trên khoảng đó đạo hàm nhận giá trị dương và trên khoảng nào đồ thị của đạo hàm nằm phía dưới trục thì trên khoảng đó đạo hàm nhận giá trị âm. Tại “điểm nối” giữa hai khoảng đó đạo hàm nhận giá trị bằng không.
 Giải.
Hàm số có đạo hàm trên nên
- Trên các khoảng và đồ thị nằm phía dưới trục nên đạo hàm có dấu âm.
- Trên khoảng đồ thị nằm phía trên trục nên đạo hàm có dấu dương .
- Tại các điểm và thì .
- Khi đó ta có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
- Chọn đáp án B.
Nhận xét:
	 Ta nhận thấy rằng bước đầu ví dụ 1 và 2 và một số bài tập vận dụng giúp cho học sinh cách lập bảng xét dấu của đạo hàm hàm số khi biết đồ thị của hàm số hoặc đồ thị của đạo hàm hàm số đó.
	Sau đây là những bài toán đơn giản đầu tiên về cực trị của hàm số. Có sử dụng đồ thị và bảng xét dấu đạo hàm
2.3.3 Bài toán về cực trị và đơn điệu của hàm số có sử dụng đồ thị.
Ví dụ 3. (Đề thi THPTQG năm 2018-Mã đề 101) Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên.
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. .	B. .	C. .	D. .
Phân tích và hướng dẫn lựa chọn đáp án:
	- Bài toán này nằm trong đề thi THPTQG năm 2018. Đây là bài toán ở mức độ nhận biết.
	- Nhờ dấu hiệu điểm cực trị của đồ thị học sinh có thể tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số và trả lời câu hỏi. Đó là: Điểm cực đại của đồ thị là “điểm nối” giữa nhánh đồ thị có hướng “đi lên” và nhánh đồ thị có hướng “đi xuống” theo chiều từ trái qua phải. Điểm cực tiểu của đồ thị là “điểm nối” giữa nhánh đồ thị có hướng “đi xuống” và nhánh đồ thị có hướng “đi lên” theo chiều từ trái qua phải (chiều dương của trục ).
	- Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.
- Chọn đáp án A.
 Nhận xét:
	- Ví dụ đầu tiên là bài toán đơn giản, học sinh chọn đáp án qua nhận dạng đồ thị hoặc dấu hiệu điểm cực trị trên đồ thị. 
	- Ví dụ tiếp theo có mục đích giúp học sinh biết cách chuyển từ đồ thị của hàm số sang bảng xét dấu của đạo hàm . Đây là kỹ năng quan trọng đầu tiên trong phần hàm số nói chung và phần tìm điểm cực trị nói riêng. Bởi suy cho cùng thì khi chúng ta lập được bảng xét dấu của đạo hàm thì bài toán cơ bản đã được giải quyết. Cũng là để tạo tiền đề giải quyết bài toán tìm cực trị của hàm số hợp bằng cách lập bảng xét dấu đạo hàm.
Ví dụ 4. (Đề minh THPTQG năm 2019) Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. 
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. .	B. .	C. .	D. .
Giải.
- Sử dụng bảng xét dấu của ví dụ 1 ở trên
- Từ đó chọn đáp án D.
Nhận xét.
- Ở đây học sinh có thể nhận ngay khoảng đồng biến nghịch biến từ đồ thị hàm số. Tuy nhiên nhằm giúp học sinh rèn luyện cách lập bảng xét dấu đạo hàm thành thạo ta hướng cho các em cách giải trên và tiếp tục mở rộng ở các ví dụ sau để thấy tầm quan trọng của việc sử dụng thành thạo bảng xét dấu đạo hàm kể cả đạo hàm của hàm hợp.
Ví dụ 5. (Đề thi thử THPTQG trường THPT Phan Đình Phùng – Hà Tĩnh) Cho hàm số liên tục trên . Biết đồ thị của hàm số như hình vẽ
	Số điểm cực trị của hàm số là
A. .	B. .	C. .	D. .
Giải.
Sử dụng quy tắc lập bảng xét dấu của đạo hàm dựa trên đồ thị đã nêu ở trên. 
Bảng xét dấu 
Vậy hàm số đã cho không có cực trị.
Chọn đáp án B.
Ví dụ 6. (Đề thi thử THPTQG liên trường tỉnh Nghệ An) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị của hàm số được cho bởi hình vẽ bên dưới.
Chọn khẳng định đúng:
A. Hàm số đồng biến trên khoảng .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng và khoảng (3;4).
Giải
Sử dụng quy tắc lập bảng xét dấu của đạo hàm dựa trên đồ thị đã nêu ở trên. 
Bảng xét dấu 
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 
Chọn đáp án C.
2.3.4 Bài toán về cực trị và đơn điệu của hàm số có sử dụng đạo hàm của hàm số hợp.
	a) Xét hàm hợp trong đó là hàm bậc nhất.
Ví dụ 7. (Đề thi thử THPTQG năm 2018-Trường THPT Triệu Sơn 1 – Thanh Hóa) Cho hàm số xác định và có đạo hàm trên . Biết đồ thị của hàm số như hình vẽ dưới.
Số điểm cực trị của hàm số là
A. .	B. .	C. .	D. .
Phân tíchvà lựa chọn đáp án: 
	- Ở các ví dụ trên ta đã đưa ra quy tắc và lập bảng xét dấu của đạo hàm . Phần tiếp theo ta suy ra bảng xét dấu của đạo hàm số kí hiệu là . (Phân biệt với )
	- Đối với phép suy luận tìm bảng xét dấu của ta có thể thực hiện như sau:
Sử dụng công thức: .
Xét tại các điểm đặc biệt: () 
Xét dấu trên các khoảng.
Ví dụ trên khoảng cho ta có: 
	- Từ đó ta có bảng xét dấu của như sau
3/2
	- Vậy hàm số có 1 điểm cực trị (cực đại) tại 
	- Chọn đáp án A.
Ví dụ 8. Cho hàm số xác định và có đạo hàm trên . Biết đồ thị của hàm số như hình vẽ dưới.
Hàm số đạt cực đại tại điểm bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Giải. 
	- Sử dụng công thức: .
- Xét tại các điểm đặc biệt: () . Ta có: 
	- Xét dấu trên các khoảng.
	Ví dụ trên khoảng cho ta có: 
 Suy ra
	- Vậy hàm số có 1 điểm cực đại tại 
	- Chọn đáp án A.
Ghi chú.
Đối với trường hợp là hàm bậc nhất thì ta thấy dạo hàm là hằng số nên việc xét dấu hàm hợp là khá đơn giản, ít nhầm lẫn. Trong đó chỉ cần chú ý hai bước là tìm điểm đặc biệt và tính dấu của đạo hàm hợp tại một điểm tùy chọn.
Tiếp theo ta xét đến trường hợp phức tạp hơn. Với là hàm bậc hai
b) Xét hàm hợp trong đó là hàm bậc hai.
Ví dụ 9. Cho hàm số có đạo hàm trên , biết rằng hàm số có đồ thị như hình vẽ bên.
Số điểm cực đại của hàm số là?
	A. 3	B. 2	C. 1	D. 0
Phân tíchvà lựa chọn đáp án: 
	- Mục tiêu ta lập bảng xét dấu của đạo hàm số . Cách xử lý tương tự như dạng a. Cụ thể như sau:	
Sử dụng công thức: .
Xét tại các điểm đặc biệt: () 
Xét dấu trên các khoảng.
Ví dụ trên khoảng cho ta có: 
	- Từ đó ta có bảng xét dấu của như sau
	- Số điểm cực đại của hàm số là .
	- Chọn đáp án B.
Ví dụ 10. Cho hàm số Hàm số có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số nghịch biến trên khoảng
A. 	B. 	C. 	D. 
Phân tíchvà lựa chọn đáp án: 
	- Tương tự như ví dụ 9, ta lập bảng xét dấu của đạo hàm số . Cụ thể như sau:	
Sử dụng công thức: .
Xét tại các điểm đặc biệt: () 
Xét dấu trên các khoảng.
Ví dụ trên khoảng cho ta có: 
	- Từ đó ta có bảng xét dấu của như sau
	- Vậy nghịch biến trên khoảng .
	- Chọn đáp án B.
	c) Xét hàm hợp trong đó là một số dạng hàm số khác.
	Qua hai dạng toán trên tôi mạnh dạn đưa ra một số trường hợp hàm khác. Với cách giải quyết tương tự như hai trường hợp trên.
Ví dụ 11. Cho hàm số , hàm số có đồ thị như hình vẽ
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
	A. .	B. .	
	C. .	D. .
Giải. 
- Tương tự như hai phần a) và b) ở trên, ta lập bảng xét dấu của đạo hàm số . Cụ thể như sau:	
Sử dụng công thức: .
Xét tại các điểm đặc biệt: () 
Xét dấu trên các khoảng.
Ví dụ trên khoảng cho ta có: 
	- Từ đó ta có bảng xét dấu của như sau
	- Vậy nghịch biến trên khoảng .
	- Chọn đáp án B.
Ví dụ 12. Cho hàm số có đạo hàm và đồ thị như hình vẽ
Hàm số có số điểm cực đại là
	A. .	B. .	
	C. .	D. .
Giải. 
- Trong trường hợp này ta chọn . Bài toán xử lý như sau
Sử dụng công thức: .
Xét tại các điểm đặc biệt: () 
Xét dấu trên các khoảng.
Ví dụ trên khoảng cho 
Kết hợp với đồ thị nhận thấy 
Ta có: 
	- Từ đó ta có bảng xét dấu của như sau
0
	- Vậy hàm số có 2 điểm cực đại ( tại và ).
	 - Chọn đáp án C.
Kết luận: Qua các dạng bài tập trên, cơ bản ta lập được bảng xét dấu của hàm hợp khi biết đồ thị hay bảng xét dấu của hàm số , đồ thị của đạo hàm .
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
	- Qua thực tế giảng dạy đối với học sinh lớp 12 tại trường THPT Triệu Sơn 1 trong năm học 2018-2019, tôi đã áp dụng đề tài này giúp các em cảm thấy tự tin và say mê hơn trong việc học toán và có thêm công cụ giải dạng toán liên quan đến tính đơn điệu và cực trị của hàm số có sử dụng đạo hàm của hàm số hợp.
	- Đặc biệt trong năm học 2018 – 2019 được tham gia dạy lớp thành tích cao của nhà trường, tôi đã giúp các em giải quyết được các bài toán về tính đơn điệu và cực trị của hàm số ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Kết quả trong các kỳ thi thử THPT QG mà các em tham gia thi, các em đều giải quyết được nhanh gọn và chính xác đáp ứng nhu cầu thi trắc nghiệm của kỳ thi THPTQG. Tôi thấy các em đã tự tin và có hứng thú hơn trong học tập, có tinh thần tìm tòi học hỏi đối với các dạng toán khó. 
	- Đề tài được báo cáo dạng chuyên đề trong sinh hoạt chuyên môn của tổ Toán trường THPT Triệu Sơn 1 và được các thầy cô góp ý cũng như đánh giá cao được dùng làm tài liệu chuyên môn của tổ và áp dụng vào giảng dạy ôn thi THPT Quốc Gia ( phần phán đoán dấu bằng xảy ra và sử dụng MTBT hỗ trợ để tìm kết quả) cũng như giảng dạy cho các em học sinh lớp chọn cuối lớp 12 lớp ôn chất lượng cao của nhà trường.
	- So sánh kết quả làm bài tập trước và sau khi các em được cung cấp phương pháp giải toán. Kết quả có thay đổi rõ rệt.
1. Thống kê trong đề thi thử những bài tập về tính đơn điệu và cực trị của hàm số cho học sinh lớp 12 của nhà trường trong năm học 2018-2019 trước và sau khi được cung cấp phương pháp (Đề kiểm tra gồm 15 câu trắc nghiệm trích trong tạp đề thi thử của các Sở GD&ĐT – Nguồn tổng hợp nhóm STRONG TEAM TOÁN VD-VDC)
Kết quả
Tổng số hs
Làm 12-15 bài
Làm 8-11 bài
Làm 4-7 bài
Làm 0-3 bài
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
Trước 
30
0
0
3
10.00
10
33.33
20
56.67
Sau
30
5
16.67
15
50.00
7
23.33
3
10.00
2. Kết quả làm bài toán liên quan đến tính đơn điệu và cực trị của hàm số trong đề thi thử THPTQG của trường THPT Triệu Sơn 1 năm học 2018-2019 (thống kê trong số 42 học sinh lớp 12B8 được học phương pháp của đề tài này, so với 413 em học sinh tham gia trong 3 lần thi thử gồm 12 bài toán về đơn điệu và cực trị)
Kết quả
Tổng số hs
Từ 10-12 bài
Từ 7-9 bài
Từ 4-6 bài
Từ 0-3 bài
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
Thực nghiệm
42
15
35.71
16
38.09
7
16.67
4
9.53
Đối chứng
413
10
9.92
86
20.08
156
37.78
161
38.98
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
	- Qua quá trình áp dụng vào thực tế dạy lớp 12 và lớp thành tích cao của nhà trường, đề tài này đã giúp cho các em thêm tự tin và say mê trong việc giải các bài toán về hàm số đặc biệt là phát hiện xu hứng mới của câu hỏi ở mức độ vận dụng và vận dụng cao về hàm số trong đề thi THPTQG hai năm gần đây đó là năm học 2016-2017 và năm học 2017-2018 cũng như đề minh họa của Bộ năm 2019.
	- Đề tài được tổ chuyên môn đánh giá cao và định hướng áp dụng giải dạy cho học sinh khối 12 và lớp thành tích cao của nhà trường. Các em đã vận dụng tốt trong các kỳ thi thử THPTQG.
	- Trong phạm vi một SKKN về một dạng toán rộng và nhiều hướng phát triển nên tôi chỉ tập trung vào khai thác cách lập bảng biến thiên của hàm số hợp, tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu tài liệu, học hỏi đồng nghiệp để mở rộng dạng toán hoàn thiện hơn nữa đề tài này.
	- Trên đây là kinh nghiệm thực tế qua quá trình giảng dạy nhiều năm tôi rút ra cho bản thân và bước đầu được áp dụng có kết quả khả quan. Do kinh nghiệm chưa nhiều nên đề tài không tránh được những hạn chế, tôi tiếp tục bổ sung và hoàn thiện dần trong những năm học tới, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý vị và các bạn đồng nghiệp để đề tài đi vào thực tiễn được áp dụng nhiều hơn và đạt hiệu quả cao hơn