Kinh nghiệm giải bài toán tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng nối các tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm cho trước đến đường tròn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT LANG CHÁNH
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN TÌM TỌA ĐỘ TRUNG ĐIỂM ĐOẠN THẲNG NỐI CÁC TIẾP ĐIỂM CỦA HAI TIẾP TUYẾN KẺ TỪ MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC ĐẾN ĐƯỜNG TRÒN
Người thực hiện: Nguyễn Công Hiến
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HÓA NĂM 2019
MỤC LỤC
CÁC TỪ VIẾT TẮT
HD	- Hướng dẫn
KL 	- Kết luận
PT	- Phương trình
TH 	- Trường hợp
THCS 	- Trung học cơ sỏ
THPT 	- Trung học phổ thông
VTPT	- Véc tơ pháp tuyến
VTCP	- Véc tơ chỉ phương
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Sự phát triển của xã hội và đổi mới đất nước đang đòi hỏi cấp bách phải nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo. Nền kinh tế nước ta đang chuyển từ cơ chế kế hoạch hoá tập trung sang cơ chế thị trường có sự quản lí của nhà nước. Công cuộc đổi mới này đề ra những những yêu cầu mới đối với hệ thống giáo dục, những yêu cầu đó được phản ánh trong Nghị quyết Hội nghị lần thứ hai Ban Chấp hành Trung ương Đảng (khoá VIII) về định hướng chiến lược phát triển giáo dục - đào tạo trong thời kỳ công nghiệp hoá, hiện đại hoá và nhiệm vụ đến năm 2000 như sau:
Nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là nhằm xây dựng những con người và thế hệ thiết tha gắn bó với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội, có đạo đức trong sáng, có ý chí kiên cường xây dựng và bảo vệ tổ quốc; công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước; giữ gìn và phát huy các giá trị vǎn hoá của dân tộc, có nǎng lực tiếp thu tinh hoa vǎn hoá nhân loại; phát huy tiềm nǎng của dân tộc và con người Việt Nam, có ý thức cộng đồng và phát huy tính tích cực của cá nhân, làm chủ tri thức khoa học và công nghệ hiện đại, có tư duy sáng tạo, có kỹ nǎng thực hành giỏi, có tác phong công nghiệp, có tính tổ chức kỷ luật; có sức khoẻ, là những người thừa kế xây dựng chủ nghĩa xã hội vừa "hồng" vừa "chuyên" như lời dặn của Bác Hồ. [1]
Trong nhà trường, với vị trí đặc biệt của môn Toán, nhiệm vụ của giáo viên dạy bộ môn toán là:
Truyền thụ tri thức, kĩ năng toán học cho học sinh.
Phát triển trí tuệ chung cho học sinh.
Giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và thẩm mĩ cho học sinh, bảo đảm chất lượng phổ cập đồng thời chú trọng phát triển và bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu về toán.
Trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông, đường thẳng và đường tròn chiếm một vị trí quan trọng; kiến thức về đường thẳng và đường tròn xuyên suốt chương trình từ THCS đến THPT. Bài toán “Tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng nối các tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm cho trước đến đường tròn” thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi và đề thi THPT Quốc gia ở mức độ vận dụng hoặc vận dụng cao. Rất nhiều học sinh đã bỏ bài toán này vì lựa chọn phương pháp giải không phù hợp dẫn đến mất thời gian và không đi đến kết quả đúng.
Với lí do trên và những kinh nghiệm học hỏi được từ các đồng nghiệp cùng với điều kiện chủ quan của bản thân đã giúp tôi chọn đề tài: “Kinh nghiệm giải bài toán tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng nối các tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm cho trước đến đường tròn”.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
+ Nêu phương pháp giải quyết bài toán trên một cách nhanh, chính xác nhất.
+ Hỗ trợ giáo viên trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.
+ Định hướng giải quyết bài toán mở rộng trong không gian hỗ trợ giáo viên và học sinh ôn tập thi THPT Quốc gia.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Phương pháp giải bài toán tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng nối các tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm cho trước đến đường tròn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:
+ Phương pháp lý thuyết: nghiên cứu các tài liệu có liên quan xây dựng cơ sở lý thuyết.
+ Phương pháp điều tra khảo sát thực tế: Rút ra từ quá trình giảng dạy trong hai năm học.
+ Phương pháp so sánh.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:
- Các hệ thức lượng trong tam giác vuông.
 ; ; ; ; ; ;
 ; . [2]
- Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm và có VTPT là: . [2]
- Phương trình đường tròn dạng: (với điều kiện ) có tâm bán kính . [2] 
- Phương trình đường tròn tâm , bán kính : . [2]
- Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tâm , bán kính . [3]
- Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tâm , bán kính tại điểm thì và . [3]
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
* Bài toán tổng quát: Cho đường tròn có tâm , bán kính và điểm nằm phía ngoài đường tròn . Từ điểm kẻ các tiếp tuyến đến đường tròn ; gọi là các tiếp điểm. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng .
Khi gặp bài toán này, hầu hết học sinh đều nghĩ ngay đến việc đi tìm tọa độ các tiếp điểm sau đó suy ra tọa độ trung điểm của đoạn thẳng .
Để tìm được tọa độ các tiếp điểm học sinh phải xác định được phương trình các tiếp tuyến hoặc phải viết được phương trình đường tròn tâm và có bán kính sau đó giải hệ phương trình mới có được tọa độ .
Kết quả khảo sát thực trạng tư duy nhóm học sinh khi gặp bài toán cụ thể như sau:
Bài toán cụ thể: “Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho đường tròn có phương trình . Từ điểm kẻ các tiếp tuyến đến đường tròn ; gọi là các tiếp điểm. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng ”.
Năm học
Tổng số HS tham gia khảo sát
Tư duy giải quyết bài toán
Tìm các tiếp điểm 
Hướng giải quyết khác (Viết PT đường thẳng )
2016-2017
12 HS
11 HS
1 HS
2017-2018
8 HS
8 HS
0 HS
Với cách giải quyết này rất mất thời gian và dễ nhầm lẫn trong quá trình giải. Trong khi đó thời gian làm bài thi có hạn nên học sinh khi gặp bế tắc hoặc gặp phải con số “không đẹp” thì thường sẽ bỏ qua bài toán này.
2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
* Bài toán tổng quát: Cho đường tròn có tâm , bán kính và điểm nằm phía ngoài đường tròn . Từ điểm kẻ các tiếp tuyến đến đường tròn ; gọi là các tiếp điểm. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng .
Trước hết, bài toán chỉ yêu cầu tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng ; không yêu cầu tìm tọa độ các tiếp điểm . Vì vậy chúng ta sẽ vận dụng tính chất của véc tơ để tìm tọa độ điểm như sau:
- Dễ nhận thấy chính là giao điểm của với và tại .
- Xét vuông tại và có là hình chiếu vuông góc của trên cạnh 	(1).
- Do thuộc đường thẳng 	(2).
- Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình; giải hệ ta được tọa độ điểm .
* Bài toán cụ thể: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho đường tròn có phương trình . Từ điểm kẻ các tiếp tuyến đến đường tròn ; gọi là các tiếp điểm. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng .
Lời giải: 
- Đường tròn có phương trình 
 có tâm và bán kính .
- Ta có: đường thẳng có VTPT là phương trình là:
	(1).
- Do nên tọa độ điểm thỏa mãn phương trình:
	 	(2).
- Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình.
Kết luận: .
* Một số bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho đường tròn có phương trình . Từ điểm kẻ các tiếp tuyến đến đường tròn ; gọi là các tiếp điểm. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng .
Bài 2: Cho đường tròn có phương trình . Từ điểm kẻ các tiếp tuyến đến đường tròn ; gọi là các tiếp điểm. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng .
Bài 3: Cho đường tròn có phương trình . Từ điểm kẻ các tiếp tuyến đến đường tròn ; gọi là các tiếp điểm. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng .
Bài 4: Cho tam giác ngoại tiếp đường tròn . Gọi thứ tự là tiếp điểm của đường tròn với các cạnh và . Tìm tọa độ đỉnh biết trung điểm của là 
Hướng dẫn: 	
Từ 
Từ 
Bài 5: Cho tam giác có . Đường tròn nội tiếp tam giác có tâm và tiếp xúc với các cạnh thứ tự tại . Tìm tọa độ đỉnh biết đường thẳng có phương trình .
Hướng dẫn: 	
Từ 	
Từ 
	Từ 	
	Từ 
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
+ Với phương pháp trên, bài toán đã trở nên đơn giản và “nhẹ nhàng” hơn rất nhiều.
+ Bản thân các đồng nghiệp cũng không còn “ngại” khi gặp các bài toán tương tự.
+ Đối với việc bồi dưỡng, ôn luyện học sinh khá giỏi, học sinh cũng không còn “sợ” khi gặp dạng toán tương tự, tư duy tự tin hơn và giải toán tốt hơn.
	Sau khi áp dụng phương pháp đã nêu trên, khảo sát lại nhóm học sinh về nội dung này, tôi có bảng so sánh và kết quả như sau:
Năm học
Tổng số HS tham gia khảo sát
Tư duy giải quyết bài toán khi chưa áp dụng đề tài
Kết quả sau khi áp dụng đề tài
Tìm các tiếp điểm 
Hướng giải quyết khác (Viết PT đường thẳng )
Phương pháp tìm thông qua biểu thức 
Tỷ lệ giải quyết bài toán thành công 
2016-2017
12 HS
11 HS
1 HS
12/12 HS
100%
2017-2018
8 HS
8 HS
0 HS
8/8 HS
100%
+ Việc mở rộng bài toán trong không gian, chúng ta cũng có phương pháp giải tương tự, hỗ trợ tốt cho đối tượng học sinh ôn thi THPT Quốc gia.
Bài toán cụ thể: Trong không gian , cho mặt cầu và đường thẳng . Hai mặt phẳng chứa , tiếp xúc với tại và . Tọa độ trung điểm của là:
A. 	B. 	C. 	D. [4]
Phương pháp giải:
+ Gọi là mặt phẳng ; tại .
Vậy là hình chiếu vuông góc của trên tọa độ .
+ Do tọa độ .
+ Đáp án: A. .
* Một số bài tập áp dụng (Cho dạng mở rộng trong không gian):
Bài 1: Trong không gian , cho mặt cầu và đường thẳng . Hai mặt phẳng chứa , tiếp xúc với tại và . Tìm tọa độ trung điểm của .
Bài 2: Trong không gian , cho hai mặt phẳng và . Mặt cầu tâm , tiếp xúc với và thứ tự tại và . Tìm tọa độ tâm của mặt cầu biết tọa độ trung điểm của là .
Hướng dẫn:
	Từ 
	Từ 
	Để ý rằng cùng với tọa độ 
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Mặc dù bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn nhưng phương pháp giải không đi sâu vào khai thác tiếp tuyến mà chủ yếu dựa vào tính chất hình học, tọa độ véc tơ để giải quyết.
Nên tìm phương pháp giải quyết bài toán đơn giản, dễ hiểu, dễ thực hiện bằng cách sử dụng kiến thức liên quan.
Việc mở rộng bài toán trong không gian cũng phải được áp dụng để có phương pháp giải tối ưu, nhanh nhất đáp ứng ôn tập dành cho học sinh ôn thi THPT Quốc gia.
3.2. Kiến nghị
Đối với giáo viên, không nên cho rằng đây là bài toán khó và bỏ qua; khi dạy học sinh dạng bài toán này, nên tạo tư tưởng thoải mái cho học sinh và cố gắng trình bày bài toán sao cho đơn giản, nhẹ nhàng. Nên sử dụng hình ảnh trực quan để học sinh học sinh dễ hiểu.
Đối với học sinh, không nên bỏ qua bài toán này; khi gặp bài toán dạng này hãy bình tĩnh để tìm phương án giải phù hợp.
Do thời gian nghiên cứu có hạn, quá trình thực nghiệm áp dụng chưa rộng rãi với các đối tượng học sinh. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của các bạn bè đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn.
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
(Đã ký)
Nguyễn Đình Bảy
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
NGƯỜI VIẾT SKKN
(Đã ký)
Nguyễn Công Hiến
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Trích Nghị quyết Hội nghị lần thứ hai Ban Chấp hành Trung ương Đảng (khoá VIII) về định hướng chiến lược phát triển giáo dục - đào tạo trong thời kỳ công nghiệp hoá, hiện đại hoá và nhiệm vụ đến năm 2020.
2. Hình Học 10, Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên, Bộ Giáo dục và Đào tạo, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2016.
3. Phân dạng và Phương pháp giải toán Hình Học 10, Trần Thị Vân Anh, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2016.
4. Hướng dẫn ôn tập kỳ thi THPT Quốc gia năm học 2018-2019, Đoàn Quỳnh, Phạm Khắc Ban, Doãn Minh Cường, Phạm Đức, Nguyễn Khắc Minh, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2019.