Kinh nghiệm phát triển tư duy sáng tạo Hình Học cho học sinh lớp 8 - 9 ở trường THCS Chu Văn An - Nga Sơn

MỤC LỤC
STT
Tên danh mục
Trang
1
1. MỞ ĐẦU
2
2
1.1. Lí do chọn đề tài
2
3
1.2. Mục đích nghiên cứu
2
4
1.3. Đối tượng nghiên cứu
2
5
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2
6
1.5. Những điểm mới của SKKN
3
7
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
3
8
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
3
9
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
4
10
2.3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề
4
11
2.3.1. Tìm tòi cách giải
4
12
2.3.2. Đi tìm những bài toán có nhiều ứng dụng
12
13
2.3.3. Học sinh sưu tầm các bài toán có nhiều ứng dụng
14
14
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 
17
15
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
18
16
3.1. Kết luận
18
17
3.2. Kiến nghị
18
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Trong quá trình dạy học Toán đặc biệt là môn Hình Học mỗi người giáo viên cần thường xuyên rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao đối với việc học tập, rèn luyện và tu dưỡng trong cuộc sống của học sinh. Việc rèn luyện cho các em tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo, tính phê phán của trí tuệ là những điều kiện cần thiết vô cùng quan trọng trong việc học toán. Chính vì vậy khi dạy Hình học giáo viên không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số vốn kiến thức thông qua việc làm bài tập càng nhiều càng tốt, càng khó càng hay mà phải cần thiết rèn luyện, phát triển tư duy sáng tạo toán cho học sinh.
Quá trình tìm kiếm lời giải hoặc có khi là tìm thêm lời giải khác, lời giải hay của một bài toán hình học, việc vẽ thêm các yếu tố phụ giúp cho việc kết nối từ giả thiết đến kết luận của một bài toán được dễ dàng hơn, thuận lợi hơn. Tuy nhiên vẽ thêm hình phụ như thế nào để có được lời giải đẹp là vấn đề khiến chúng ta phải đầu tư suy nghĩ. Thực tế cho thấy không có phương pháp chung cho việc vẽ thêm hình phụ khi giải các bài toán hình học. Tùy từng bài toán cụ thể mà chúng ta có những cách vẽ thêm hình phụ hợp lý để có thể đến với lời giải của bài toán. Vẽ thêm hình phụ là một sự sáng tạo nghệ thuật tùy theo yêu cầu của một bài toán cụ thể. Vì vậy giáo viên phải là người khởi nguồn đầu tiên cho sự sáng tạo ấy. Cho nên tôi tâm huyết chọn sáng kiến kinh nghiệm với tên là “Kinh nghiệm phát triển tư duy sáng tạo Hình Học cho học sinh lớp 8-9 ở trường THCS Chu Văn An - Nga Sơn”.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Qua sáng kiến này mong muốn thay đổi phương pháp dạy học từ trước tới nay của một bộ phận giáo viên là cho học sinh làm càng nhiều bài tập càng tốt, càng khó càng hay. Xây dựng một phương pháp mới đó là rèn luyện, phát triển tư duy sáng tạo Hình học cho học sinh, sao cho mọi lúc mọi nơi các em có thể tự phát huy năng lực độc lập tư duy sáng tạo của mình.
1.3. Đối tượng nghiên cứu: 
Đối tượng nghiên cứu trong SKKN của tôi là đối tượng học sinh lớp 8-9 trường THCS Chu Văn An Huyện Nga Sơn về việc phát triển tư duy sáng tạo Hình Học. Cụ thể: 
Năm học 2017 - 2018 tôi đã áp dụng SKKN với 59 HS lớp 9B và 9D trường THCS Chu Văn An. 
Năm học 2018 - 2019 tôi áp dụng SKKN với 69 HS lớp 9A và 9B trường THCS Chu Văn An. 
1.4. Phương pháp nghiên cứu: 
Đề tài này được hoàn thành bằng phương pháp nghiên cứu lí luận, phương pháp tổng kết kinh nghiệm, phương pháp thực nghiệm sư phạm trên đối tượng học sinh THCS trong khi học loại toán chứng minh hình học.
1.5. Những điểm mới của SKKN:
Rèn luyện, phát triển tư duy sáng tạo Hình học cho học sinh, trước mỗi bài tập tôi đã cho học sinh tìm hiểu nhiều cách giải, đồng thời người thầy giáo, cô giáo cũng phải gợi ý và cung cấp cho học sinh nhiều cách giải. Trên cơ sở để học sinh tự tìm ra cách giải hợp lý nhất. Phát hiện ra được cách giải tương tự và khái quát phương pháp đường lối chung. 
Trên cơ sở để mỗi bài toán cụ thể các em có thể khái quát hoá thành bài toán tổng quát và xây dựng các bài toán tương tự. Để làm được điều này bản thân đã đưa ra hai cách tổ chức thực hiện:
1- Đưa ra một bài toán Học sinh giải Khái quát hoá bài toán Bài toán gốc Phân tích, khai thác đi tìm nhiều cách giải khác nhau Chốt lại.
2- Đưa ra một số bài toán giải quyết bài toán Vận dụng bài toán đó đi giải quyết các bài toán liên quan Chốt lại.
Qua cách làm này bản thân tin tưởng tiết học sẽ phát huy được khả năng tư duy cho học sinh, tạo hứng thú học tập cho các các em và hiệu quả học tập chắc chắn sẽ cao hơn.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
 Trong chương trình toán THCS các kiến thức mang tính lôgic, hệ thống: Tri thức trước chuẩn bị cho tri thức sau, kiến thức được sắp xếp như một chuỗi mắt xích liên kết với nhau chặt chẽ. Bởi thế học sinh muốn lĩnh hội được các kiến thức toán học thì phải có trình độ phát triển tư duy phù hợp với yêu cầu của chương trình. Cụ thể là phải nhận thức được mối liên hệ giữa các mệnh đề toán học, biết suy luận để tìm ra những tính chất mới từ những tính chất đã biết, vận dụng các kiến thức đó để giải các bài tập đa dạng. Các phương pháp suy luận, chứng minh, các quy tắc kết luận lôgic thông thường chỉ được hình thành một cách "ngấm ngầm " thông qua hàng loạt những hoạt động cụ thể chứa đựng chúng trong quá trình học tập bộ môn.
 Khả năng tư duy lôgic không chỉ là cái đích cần đạt mà còn là phương tiện giúp học sinh học tốt môn toán. Tuy nhiên, như đã trình bày, vì kiến thức về lôgic toán học chỉ "chạy ngầm " trong sách giáo khoa nên mặc dù cả thầy và trò đều sử dụng đến một cách thường xuyên nhưng vì không nhấn mạnh, không làm "nổi " lên do đó chưa đọng lại trong trí óc các em và cũng chưa hình thành được thói quen sử dụng và rèn luyện nó.
Nhận thức rõ vai trò to lớn, tầm quan trọng hàng đầu của tư duy lôgic đối với hiệu quả học tập môn toán của học sinh phổ thông nói chung, học sinh THCS nói riêng nên trong quá trình dạy học môn Toán đặc biệt là loại toán chứng minh hình học, tôi luôn để ý đến khả năng tư duy lôgic của các em và so sánh các cách làm khác nhau của giáo viên tác động như thế nào đến khả năng ấy. 
Tôi đã phát hiện ra rằng khi học loại toán chứng minh hình học đòi hỏi các em phải có kỹ năng tư duy lôgic chặt chẽ và đó cũng là môi trường thuận lợi để rèn luyện tốt kỹ năng này cho các em. Do đó bản thân người thầy, người cô phải là người Phân tích, khai thác đi tìm nhiều cách giải khác nhau tìm ra nhiều cách giải nhất từ đó phát triển tư sáng tạo Hình học cho các em.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Từ khi ra trường năm 2003 đến nay, trải qua 16 năm công tác trong ngành bản thân nhận thấy việc học môn Hình học của đa số đối tượng học sinh là rất ngại học. Bởi vì một lẽ môn Hình học đòi hỏi tính sáng tạo, tính tư duy, tính tưởng tượng, tính cần cù chịu khó và để giải quyết một bài toán hình học cần sử dụng rất nhiều đơn vị kiến thức. Nhiều khi chúng ta phải thừa nhận vấn đề đó rồi mới đi chứng minh. 
Qua trắc nghiệm hứng thú học toán của học sinh tôi thấy chỉ 20% các em thực sự có hứng thú học toán (có tư duy sáng tạo), 40% học sinh thích học toán (chưa có tính độc lập, tư duy sáng tạo) và 40% còn lại thì không. 
Qua gần gũi tìm hiểu thì các em cho biết cũng rất muốn học song nhiều khi học một cách thụ động, chưa biết cách tư duy để giải một bài toán một cách sáng tạo, bởi lí do điều kiện khách quan của địa phương và nhà trường, bên cạnh đó vẫn còn nhiều giáo viên vẫn còn làm theo cách làm cũ đó là đưa ra một số bài tập rồi cho học sinh nghiên cứu học sinh giải giáo viên chữa. Không đi sâu phân tích bài toán có những cách giải nào và nó vận dụng vào các bài toán khác như thế nào (có chăng thì cũng qua loa, đại khái) hứng thú học tập của học sinh chưa cao hiệu quả còn thấp.
Từ những thực trạng trên bản thân đã mạnh dạn, tìm tòi, đi sâu nghiên cứu đề tài “Kinh nghiệm phát triển tư duy sáng tạo Hình Học cho học sinh lớp 8-9 ở trường THCS Chu Văn An - Nga Sơn” rất mong độc giả đón nhận và góp ý.
2.3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề:
Xuất phát từ điều mong muốn học sinh rèn luyện khả năng sáng tạo, tìm được nhiều cách giải trong những bài boán chứng minh đặc biệt là toán chứng minh hình học, do đó bản thân người thầy, người cô phải là người tìm ra nhiều cách giải nhất. Vì thế tôi đã tìm tòi, nghiên cứu và đưa ra các giải pháp để giải quyết vấn đề như sau:
2.3.1. Tìm tòi cách giải: 
Chứng minh hình học bằng nhiều cách!
 Chúng ta đều biết, nhiều bài toán có thể giải bằng nhiều cách, nhất là các bài toán chứng minh hình học. Việc tìm nhiều cách giải cho một bài toán sẽ giúp học sinh nói chung và giáo viên nói riêng ghi nhớ và áp dụng triệt để, linh hoạt các kiến thức đã học khi giải toán. Xin nêu một bài toán quen thuộc của lớp 8 làm ví dụ.
Bài tập 1: Cho tứ giác ABCD có AB = CD; M, N tương ứng là trung điểm của BC; DA. Giả sử đường thẳng MN cắt các đường thẳng AB, CD tương ứng tại P; Q. Chứng minh rằng: .
Chứng minh
Xét trường hợp P thuộc tia đối của tia AB và tia đối của tia NM; Q thuộc tia đối của các tia DC và tia đối của tia NM và P nằm giữa N và Q
(các trường hợp khác chứng minh tương tự)
Gọi I trung điểm của AC. Từ gt suy ra
IM; IN tương ứng là đường trung bình của các 
 và 
Do đó: cân tại I 
Mặt khác: (so le trong); 
 (đvị)
Suy ra: đpcm.
* Nhận xét: Gọi E là giao điểm của AB và CD .
 Bây giờ ta đặc biệt hóa bài toán trên bằng cách cho điểm D nằm giữa A và C. Ta có bài toán sau: 
Bài tập 1.1: Cho có AC > AB. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = AB. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của BC; AD. 
Chứng minh rằng: .
	Hướng dẫn chứng minh
Cách 1: Gọi K trung điểm của BD.
Từ t/c đường trung bình của tam giác 
 cân tại K.
Do đó: đpcm.
Lời bình: Từ giả thiết M, N trung điểm của BC; AD nếu từ hình vẽ ban đầu không giải quyết được thì người làm có thể suy nghĩ ngay một điểm phụ và điểm phụ đó là trung điểm K của BD.
Cách 2: Gọi I trung điểm của AC.
Ta có: AB = 2.IM = CD
Mà: CD = CA-DA = 2.IA-2.NA= 2IN
. Suy ra 
Do đó: đpcm.
Lời bình: Từ cách giải trên cho ta thấy tính hiệu quả của việc khai thác trung điểm của cạnh tương ứng xây dựng trung điểm I của cạnh AC.
Cách 3: Gọi H là điểm đối xứng của A qua M.
Ta c/m được cân tại C.
Do đó: đpcm.
Từ gt gợi ý M là trung điểm 2 đường chéo cách giải 3.
Lời bình: Ta có thể tạo điểm M thành 1 điểm đặc biệt của một hình đặc biệt 
 M giao điểm của hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Cách 4: Gọi L là điểm đối xứng của D qua M.
Ta cm được cân tại B.
Do đó: đpcm.
Từ gt điểm A và D bình đẳng gợi ý xác định điểm đối xứng D qua M cách 4. 
Lời bình: Từ cách giải 1,2,3 cho ta một hướng khai thác mới. Điểm A; D bình đẳng ta lấy các điểm đặc biệt đối với A thì cũng có thể lấy các điểm đặc biệt đối với D.
Cách 5: Gọi R là điểm đối xứng của B qua N.
Ta cm được cân tại D.
Do đó: đpcm.
Từ gt điểm A và B bình đẳng gợi ý xác định điểm đối xứng B qua Ncách 5.
Lời bình: Ta thấy điểm M, N có vị trí vai trò như nhau. Từ điểm M ta có thể khai thác được nhiều cách giải đi khai thác điểm N.
Cách 6: Ký hiệu: độ dài các cạnh AB, BC, CA lần lượt là c; a; b.
Dựng AE // MN (). 
Theo đlí Talet ta có: 
. Do đó 
Suy ra AE phân giác 
Vậy đpcm.
E
Sau khi hoàn thành bài toán trên với 6 cách giải không những học sinh mà giáo viên cũng rất là vui và phấn khích trước những cách phân tích tìm tòi lời giải hay, ngắn gọn súc tích và từ đó chắc chắn một điều rằng học sinh rất tin tưởng vào vốn kiến thức của mình, tự tin hơn trong vấn đề tiếp thu và đi khai thác bài toán.
Bài tập 2:	Cho góc xOy có tia phân giác Oz. Trên tia 0x lấy hai điểm A, B và trên tia Oy lấy hai điểm C, D sao cho A thuộc đoạn OB, C thuộc đoạn OD và AB = CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD. 
Chứng minh rằng: MN//Oz.
+ Công việc giáo viên: HD cho học sinh một số cách chứng minh.
Có nhiều dấu hiệu để nhận biết hai đường thẳng song song như: các góc ở vị trí đồng vị, so le trong, so le ngoài bằng nhau; hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba; hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba; phân giác của hai góc bằng nhau có các cạnh tương ứng song song; tính chất của hình bình hành; tính chất của các đoạn thẳng tỷ lệ; Từ những dấu hiệu nhận biết đó, hi vọng sẽ xác định được các phương hướng chứng minh thành công.
Trên thực tế, dựa vào các dấu hiệu nhận biết trên, ta có cách chứng minh sau:
Cách 1: 
Gọi K là trung điểm của BC.
Từ AB=CD và tính chất đường trung binh trong tam giác, ta có MK//AB; NK//CD; MK=NK. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của MN với Ox, Oy. Suy ra tam giác 
MKN cân tại K và 
 (t/c góc đvị) 
 cân tại O 
 (là 2 góc đồng vị) 
Oz//PQ hay Oz//MN.
Nhận xét 1: Ngoài cách xác định điểm K ở bài toán trên y/c học sinh xác định một điểm khác điểm K mà vẫn giải quyết được bài toán trên cách 2
Cách 2: 
Xác định P, Q như cách 1 và dựng hình bình hành ABED
Do đó: DE//AB; DE=AB=DC cân tại D. N là trung điểm của AE và MN là đường trung bình của tam giác ACE. 
suy ra MN//CE hay PQ//CE
(hai góc so le ngoài)
Và (hai góc có cạnh tương ứng song song). Suy ra POQ cân tại O 
=> Oz//MN (như cách 1).
Cách 3:
Với K là trung điểm của BC, theo cách 1 ta có cân tại K và , là hai góc có cạnh tương ứng song song, có tổng bằng 1800. Do đó phân giác Kt của đồng thời vuông góc với MN và Oz (HS tự CM). 
Suy ra MN//Oz.
Cách 4:
Trên tia đối của tia NA, lấy điểm E sao cho NA=NE. Ta dễ dàng thấy MN//CE; AB//DE; CD=AB=DE. 
Như vậy: CDE cân tại D và .
Suy ra 
=> 
Nhận xét 2: Từ cách 1 ta có K trung điểm BC không cần xác định điểm P, Q hãy nhận xét các cạnh của và .
cách 3.
Nhận xét 3: Từ cách 2 ta xác định điểm E sao cho ABED hình bình hành NA=NE
 xác định điểm E có t/c NA=NEđi giải quyết bài toáncách 4.
Nhận xét 4: Từ cách 3 ta xác định điểm E sao cho ABED hình bình hành ta thấy điểm C,D độc lập NA=NExác định điểm E để ABEC hình bình hànhgiải quyết bài toán ta có cách 5
Cách 5:
Dựng hình bình hành ABEC, ta có BE//AC, BE=AC=2MC, CE//AB và CE=AB=CD.
Do đó: cân tại C phân giác Ct của đi qua trung điểm H của DE; (đồng vị), suy ra hai phân giác Ct // Oz => CH // Oz.
Nhận xét 5: Ta thấy các điểm A,B,C,D bài toán cho rất đặc biệt cách 1 ta xác định điểm K là trung điểm của BC xác định điểm G là trung điểm ADbài toán được giải quyết ta có cách 6
Cách 6: 
Gọi K, G lần lượt là trung điểm của BC, AD.
Ta chứng minh được MK // Ox, MG // Oy và MKNG là hình thoi MN phân giác của .
Mặt: có các cạnh tương ứng song song, suy ra MN // Oz.
Cách 7: Dựng các hình bình hành ABIM và CDJM, ta có 
BI // AC // DJ và BI=AM=CM=DJ 
do đó BIDJ là hình bình hành. 
Mặt khác: N là trung điểm của BD 
suy ra N là trung điểm của IJ. 
Ta có: MI=AB=CD=MJ nên tam giác IMJ cân tại M, suy ra MN là phân giác của .
Vì (góc có cạnh tương ứng song song) nên MN // Oz.
Nhận xét 6: Từ cách giải 3 ta đã tạo được 2 góc có cạnh tương ứng song song hãy xác định hai tia phân giác của 2 góc có cạnh tương ứng song songđi giải quyết bài toán ta có cách 7
Nhận xét 7: Từ t/c hình bình hành hãy tạo 1 hình bình hành trong đó 1 cạnh là đối tượng cần tạocạnh đối còn lại phải là đối tượng cần chứng minh ta có cách 8
Cách 8: Từ M, N dựng các đường thẳng song song với Oy, lần lượt cắt Oz tại M’, N’. Gọi giao điểm của AM’, BN’ với Oy lần lượt tại A’, B’.
Ta có MM’, NN’ lần lượt là các đường trung bình của các AA’C, BB’D 
=> M’, N’ lần lượt là trung điểm của AA’, BB’ và CA’=2MM’, DB’=2NN’.
Mặt khác: M’, N’ thuộc phân giác Oz của suy ra AOA’ và BOB’ là các tam giác cân tại O.
=> OA=OA’; OB=OB’
 => AB=A’B’=CD
=> CA’=DB’ => MM’=NN’.
Lại có MM’ // NN’ (//Oy) 
suy ra: MM’N’N là hình bình hành 
=> MN // M’N’ 
=> MN // Oz.
Cách 9: (Xem hình cách 8)
Trên 0y, lấy hai điểm A’, B’ sao cho OA’=OA, OB’=OB. Gọi giao điểm của AA’, BB’ với 0z lần lượt là M’, N’ ta cũng có chứng minh được MM’N’N là hình bình hành và có đpcm.
Nhận xét 9: Từ đặc điểm của để bài cho góc x0y; điểm M,N. Hãy dự đoán nếu từ 2 điểm M,N tạo các đường thẳng song song với các cạnh của góc x0y tthì bài toán đưa về dạng cơ bản nào? cách 10.
Cách 10: Gọi giao điểm của các đường thẳng đi qua M song song với 0x, qua N song song với 0y lần lượt cắt 0z tại M’, N’ và MM’ cắt NN’ tại F. Gọi giao điểm của CM’ với 0x là C’ và giao điểm của BN’ với 0y là B’.
Tương tự cách 8, ta có các tam giác COC’ và BOB’ tân tại O suy ra BC’=B’C => AC’=DB’ (vì AB=CD) 
=> MM’=NN’.
Mặt khác: (so le trong).
 (đồng vị) và 
 cân tại F
=> FM’=FN’. 
Vậy 
Ghi chú: Sự xuất hiện của hình phụ đã thổi hồn vào lời giải của bài toán mà chắc hẳn cũng đã có lần chúng ta lúng túng, chật vật trước một bài toán hình học và rồi sẽ giật nảy mình khi phát hiện ra rằng chỉ cần vẽ thêm một yếu tố là đã đến được với lời giải bài toán. Cảm giác ấy thật là tuyệt vời mà tôi nghĩ rằng không có một câu văn, vần thơ nào diễn tả được. Giúp cho giáo viên và học sinh tin tưởng vào bản thân và kiến thức của minh hơn. Khi đã tin tưởng vào kiến thức của mình rồi thì học sinh say mê học tập và tìm tòi hơn. 
2.3.2. Đi tìm những bài toán có nhiều ứng dụng:
Đi tìm bài toán có nhiều ứng dụng.
 Việc phát hiện ra một bài toán cơ bản có nhiều ứng dụng yêu cầu học sinh nói chung và chúng ta nói riêng phải chủ động đi tìm những bài toán có nhiều ứng dụng đó chắc chắn sẽ là phương pháp học mang lại hiệu quả rất cao. Sau đây là một bài toán như vậy.
Bài toán ó: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC sao cho AD = AE. Chứng minh rằng 
Hướng dẫn.
 Tam giác ADE cân tại A suy ra:
Các bài toán ứng dụng.
Bài toán 1: Từ một điểm A ở ngoài một đường tròn tâm O, kẻ các tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên tia đối của tia BC lấy điểm D. Gọi E là giao điểm của DO và AC. Qua E vẽ tiếp tuyến (khác EC) với (O), cắt AB tại K. Chứng minh rằng bốn điểm D, B, O, K cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn.
Áp dụng bài toán ó và tính chất góc ngoài của tam giác ta có:
 đpcm.
Bài toán 2: Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với các cạnh AB, BC lần lượt tại E, F; AO cắt EF tại K. Chứng minh rằng .
Hướng dẫn.
Xét một trường hợp: AB >AC (K thuộc đoạn EF), theo bài toán * ta có: 
=> C, O, K, F cùng thuộc một đường tròn.
HD: Để chứng minh Tứ giác OKFC nội tiếp b.toán 1
Bài toán 3: Cho tam giác ABC (AB AC). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác; M, N lần lượt là tiếp điểm của (I) với AB, BC. Dựng CK vuông góc với AI (K thuộc đường thẳng AI). Chứng minh rằng ba điểm M, N, K thẳng hàng.
Hướng dẫn.
Xét một trường hợp: AB < AC (K thuộc tia đối của tia NM).
Ta nhận thấy I, N, K, C cùng thuộc một đường tròn suy ra .
Áp dụng bài toán ó và tính chất góc ngoài của tam giác ta có: 
suy ra => M, N, K thẳng hàng.
M, N, K thẳng hàng 
 áp dụng bài toán ó
Bài toán 4: Cho đường tṛn (O) nội tiếp tam giác ABC (AB AC và AB BC). Các điểm D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của (O) với các cạnh BC, CA, AB. Dựng BB1 vuông góc với OA tại B1; AA1 vuông góc với OB tại A1. Chứng minh rằng bốn điểm D, B1, A1, E thẳng hàng.
Hướng dẫn.
Áp dụng bài toán 3 ta có D, A1, E thẳng hàng và D, B1, E thẳng hàng => đpcm
Bài toán 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có hai đỉnh A, B cố định còn đỉnh C thay đổi trên nửa đường thẳng At vuông góc với AB. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC và P, Q lần lượt là các tiếp điểm của (I) với các cạnh AC, CB. Chứng minh rằng khi C thay đổi trên At thì đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định.
Hướng dẫn.
Gọi giao điểm của hai đường thẳng PQ và AI là D, ta có B, I, D, Q cùng nằm trên một đường tròn.
Suy ra 
DAB vuông cân tại D D cố định đpcm.
2.3.3. Học sinh sưu tầm các bài toán có nhiều ứng dụng:
Bài toán cơ bản 1: Cho ABC, đường phân giác của góc A cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại D. Điểm I nằm trong ABC và thuộc đoạn AD. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp của ABC DB = DC = DI.
Lời giải
Vì AD là phân giác của góc A nên ta có:
và DB = DC;
Vì I nằm trong ABC và thuộc AD nên ta có:
 và 
 I thuộc đường phân giác của góc B.
 I là tâm đường trong ngoại tiếp ABC.
Bài toán cơ bản 2: Cho I là tâm đường tròn nội tiếp của ABC. 
Chứng minh rằng (bạn đọc tự chứng minh).
Vận dụng hai bài toán cơ bản trên chúng ta sẽ giải quyết được các bài toán sau đây.
Bài