SKKN Một số kỹ thuật giúp học sinh giải quyết nhanh bài toán góc trong không gian

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
	Mỗi một nội dung trong chương trình toán phổ thông đều có vai trò rất quan trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh. Trong quá trình giảng dạy, giáo viên phải đặt ra cái đích là giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo, từ đó tạo được thái độ và động cơ học tập đúng đắn. Thực tế dạy và học cho thấy còn có nhiều vấn đề cần phải giải quyết như học sinh học hình còn yếu, đặc biệt là khi phải vẽ thêm đường phụ, chưa hình thành được kỹ năng, kỹ xảo, trong quá trình giải toán hình học không gian. Đặc biệt từ năm học 2017 – 2018, chương trình Toán 11 được đưa vào kỳ thi THPT Quốc gia, những học sinh sử dụng kết quả môn Toán để xét Đại học – Cao đẳng cần phải làm được câu hỏi ở mức độ vận dụng, đặc biệt là những câu hỏi vận dụng về góc trong hình học không gian. Để làm được câu hỏi dạng này đòi hỏi học sinh ngoài việc học tốt kiến thức về hình học không gian còn phải biết vận dụng linh hoạt các phương pháp để từ đó quy bài toán khó về dễ và phù hợp với kiến thức mình đang có, đặc biệt là kỹ năng phân tích, xác định phương pháp và tính toán nhanh để đạt được yêu cầu kiến thức lẫn thời gian của một câu hỏi trắc nghiệm.
	Từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học nhiều năm, cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, tác giả trăn trở về vấn đề này nên chọn đề tài “Một số kỹ thuật giúp học sinh giải quyết nhanh bài toán góc trong không gian”để giúp các em có hướng làm bài hiệu quả hơn mà rút ngắn được thời gian.
1.2. Mục đích nghiên cứu
	Để giải bài toán về góc, chúng ta thường xác định góc rồi tính giá trị của góc đó. Nhưng để giải quyết bài toán bằng phương pháp này yêu cầu học sinh phải biết cách xác định các đường vẽ phụ, mà điều này không phải lúc nào cũng đơn giản, nên khi gặp bài toán khó học sinh thường gặp khó khăn để định hướng cho việc tìm lời giải. Qua thực tế giảng dạy, tác giả rút ra được kinh nghiệm nhỏ trong việc xác định góc trong hình học không gian. “Một số kỹ thuật giúp học sinh giải quyết nhanh bài toán góc trong không gian”là đề tài giúp các em học sinh không còn e ngại giải các bài tập liên quan đến góc trong hình học không gian, hơn nữa còn giúp các em giải quyết các bài toán trắc nghiệm một cách hiệu quả trong thời gian ngắn nhất.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
	Đề tài nghiên cứu một số vấn đề như sau:	
Nêu hướng giải quyết các bài toán tìm góc nhanh trong không gian về
1.3.1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
1.3.2. Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng.
Ngoài ra một đối tượng nghiên cứu khác chính là các em học sinh của lớp 11A5; 11A7 trường THPT Sầm Sơn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.4.1. Tìm hiểu thực tế giảng dạy, học tập ở một số trường trong tỉnh.
1.4.2. Nghiên cứu tài liệu.
1.4.3. Thực nghiệm.
1.4.4. Nhận xét.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
	Vấn đề tôi nghiên cứu được dựa trên cơ sở nội dung góc trong hình học không gian ở chương trình hình học 11. Khi giải bài tập toán, người học phải được trang bị các kỹ năng suy luận, liên hệ giữa cái cũ và cái mới, giữa bài toán đã làm và bài toán mới. Các bài tập của một chuyên đề phải được thiết kế theo một hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đến khó nhằm phát triển tư duy cho học sinh trong quá trình giảng dạy, phát huy tính tích cực của học sinh. Hệ thống bài tập giúp các em học sinh có thể tiếp cận và nắm bắt những kiến thức cơ bản nhất, và dần dần phát triển khả năng tư duy, khả năng vận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt vào giải toán và trình bày lời giải. Từ đó học sinh có hứng thú và động cơ học tập tốt hơn. Trong quá trình giảng dạy nội dung góc của hình học không gian lớp 11 và ôn thi THPT Quốc gia lớp 12, tôi thấy kỹ năng giải bài toán về góc của học sinh còn yếu, đặc biệt là các bài toán trắc nghiệm đòi hỏi thời gian ngắn đa số các em bỏ qua. Do đó cần phải cho học sinh tiếp cận bài toán một cách dễ dàng, thiết kế trình tự bài giảng hợp lí giảm bớt khó khăn giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo và lĩnh hội kiến thức mới, xây dựng kỹ năng làm các bài toán trắc nghiệm khách quan, từ đó đạt kết quả cao nhất trong các kỳ thi.
2.1.1 Góc giữa hai đường thẳng
2.1.1.1. [1] Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng và là góc giữa hai đường thẳng và cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với và .
2.1.1.2. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng
	Cho hai đường thẳng và bất kì trong không gian. Từ điểm nào đó, ta vẽ hai đường thẳng và lần lượt song song (hoặc trùng) với và . Khi đó góc giữa hai đường thẳng và chính là góc giữa hai đường thẳng và .
2.1.1.3. Chú ý
	Góc giữa hai đường thẳng có giá trị trong đoạn .
2.1.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
2.1.2.1. [1] Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
	Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng .
	Nếu đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa và hình chiếu của nó trên gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
2.1.2.2. Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
	Khi không vuông góc với mặt phẳng và cắt tại điểm , ta lấy một điểm tùy ý trên khác điểm . Gọi là hình chiếu của lên và là góc giữa và thì .
2.1.2.3. Chú ý
	Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có giá trị trong đoạn 
2.1.3. Góc giữa hai mặt phẳng
2.1.3.1. [1] Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng
	Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. 
2.1.3.2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng
	Giả sử hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến là . Từ một điểm bất kì nằm trên ta dựng một đường thẳng nằm trong mặt phẳng vuông góc với và dựng một đường thẳng nằm trong mặt phẳng vuông góc với . Góc giữa hai mặt phẳng và là góc giữa hai đường thẳng và .
2.1.3.3. Chú ý
	Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng có giá trị trong đoạn 
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
	Nội dung góc trong hình học không gian lớp 11 là một phần kiến thức tương đối khó với học sinh. Học sinh rất nhanh quên và không vận dụng được những kiến thức đã học vào giải toán. Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2018, 2019 nội dung này được đưa ra dưới hình thức trắc nghiệm. Với thực thế ấy để giúp học sinh có định hướng tốt hơn trong quá trình giải bài toán góc, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen tiếp cận bài toán, khai thác các yếu tố đặc trưng của bài toán để tìm lời giải. Trong đó việc hình thành cho học sinh kỹ năng quy lạ về quen, quy cái chưa biết về cái đã có. Chính vì vậy đề tài này đưa ra giúp giáo viên hướng dẫn bài toán góc cho học sinh với cách tiếp cận dễ hơn, giúp học sinh có điều kiện hoàn thiện các phương pháp và rèn luyện tư duy sáng tạo của bản thân, chuẩn bị tốt cho kì thi THPT Quốc gia. Vì vậy, tôi mong muốn các đồng nghiệp và học sinh ngày càng vận dụng tốt các kiến thức về góc trong hình học không gian để đưa ra giải pháp nhằm giải quyết bài toán về góc một cách nhanh chóng, chính xác và hiệu quả nhất.
2.3. Các giải pháp thực hiện
2.3.1. Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
	Cho đường thẳng không song song với mặt phẳng , gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng , đặt . Thì ta có
	Nếu thì ta có.
Chú ý: Cho tứ diện gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thì ta có .
Ví dụ 1. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy và . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là , khi đó nhận giá trị nào trong các giá trị sau
A. .	 B. .	 C. .	 D. .
Phân tích
	 Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1).
Lời giải
Ta có nên 
Vậy . Chọn A.
Ví dụ 2. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy và . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là , khi đó hệ thức nào sau đây đúng
A. .	B. .	C. .	D. .
Phân tích
	Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1).
Lời giải
Ta có nên 
Do nên 
Vậy . Chọn B.
Ví dụ 3. Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng đáy , đáy là hình chữ nhật có . Góc giữa hai mặt phẳng và bằng .Gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . Hệ thức nào sau đây đúng
A. .	B. .	C. .	D. .
Phân tích
	Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1).
Lời giải
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và .
Ta có nên .
Mặt khác nên 
Vậy . Chọn D.
Ví dụ 4. Cho lăng trụ đứng , đáy là tam giác vuông tại , và . Gọi là trọng tâm tam giác và là trung điểm cạnh . Gọi là góc giữa đường thẳng mặt phẳng . Tính 
A. .	B. .	C. .	D. .
Phân tích
	Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1).
Lời giải
Gọi là trung điểm .
Ta có nên 
Mà . Vậy . Chọn A.
Ví dụ 5.[4] (Đề thi THPTQG năm 2018)
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , vuông góc với mặt phẳng đáy và . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đáy bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Phân tích
	Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1).
Lời giải
Ta có nên .
Vậy . Chọn A.
Ví dụ 6.[5] (Đề thi thử THPTQG Trường Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - lần 2 năm 2019)
Cho hình chóp có đáy là nửa lục giác đều và . Hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng , góc giữa và bằng . Tính sin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 
A. .	B. .	C. .	D. .
Phân tích
	Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1).
Lời giải
Vì nên 
Ta có nên 
Mà 
Do đó . Chọn A.
Ví dụ 7.[6] (Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 11- Sở GD & ĐT Quãng Ngãi - 2019)
Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, ; là giao điểm của và , vuông góc với mặt phẳng và . Gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng , tính .
Phân tích
	Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1).
Lời giải
Ta có nên 
Mà ; .
Vậy .
Ví dụ 8.[6] (Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 11- Sở GD & ĐT Hà Tĩnh - 2019)
Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình chữ nhật tâm , cạnh Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Biết rằng và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là . Tính sin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
Phân tích
	Đây là bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (1).
Lời giải
Vì nên 
Ta có nên 
Gọi là hình chiếu của lên .
Suy ra . Gọi là trung điểm của .
 Khi đó là hình bình hành nên song song với .
Do đó 
Mà nên 
; .
Vậy .
2.3.2. Công thức tính góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng
	Cho tứ diện gọi là góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng thì ta có 
Với , tổng quát ta có:
Chú ý: Ta có một công thức đổi khoảng cách như sau
Cho tứ diện ta có ,trong đó .
Công thức này thực ra chính là công thức đổi đỉnh khi sử dụng công thức thể tích để tính khoảng cách, tuy nhiên bằng công thức số (2) ta có thể dễ dàng chứng minh nó mà không cần thông qua khái niệm thể tích của lớp 12.
Ví dụ 9. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy và . Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng là , khi đó nhận giá trị nào trong các giá trị sau
A. .	 B. .	 C. .	 D. .
Phân tích
Đây là bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2).
Lời giải
Ta có nên 
Vậy . Chọn B.
Ví dụ 10. Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , đường thẳng vuông góc với mặt phẳng , . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng . Tính góc giữa hai mặt phẳng và 
A. .	B. .	C. .	D. .
Phân tích
Đây là bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2).
Lời giải
Vì nên 
Do đó .
Mặt khác nên 
Vậy . Chọn C.
Ví dụ 11. Cho hình chóp có đường cao bằng , tam giác vuông ở có . Gọi là hình chiếu của trên . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và . Tính 
A. .	B. .	C. .	D. .
Phân tích
Đây là bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2).
Lời giải
Ta có nên 
Vậy . Chọn B.
Ví dụ 12.[5] (Đề thi thử THPTQG của Sở GD & ĐT Thanh Hóa năm 2019)
Cho hình chóp đều có tất cả các cạnh bằng . Gọi là trung điểm của . Tính góc giữa hai mặt phẳng và 
A. .	B. .	C. .	D. .
Phân tích
Đây là bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2).
Lời giải
Ta có nên 
Vậy . Chọn C.
Ví dụ 13.[5] (Đề thi thử THPTQG của Sở GD & ĐT Bắc Giang năm 2019)
Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, . Cạnh vuông góc với đáy , . Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng và 
A. .	B. .	C. .	D. .
Phân tích
Đây là bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2).
Lời giải
Ta có nên 
Mà 
Suy ra . Chọn B.
Ví dụ 14. [5] (Đề thi thử THPTQG Trường Trần Phú – Hà Tĩnh - lần 2 năm 2019)
Cho tứ diện có đôi một vuông góc và . Tính góc giữa hai mặt phẳng và 
A. .	 B. .	 C. .	 D. .
Phân tích
Đây là bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2).
Lời giải
Ta có nên 
Mà 
Vậy . Chọn A.
Ví dụ 15.[5](Đề thi thử THPTQG Trường Quỳnh Lưu 2 - lần 1 năm 2019)
Cho hình chóp có đáy là hình vuông, cạnh bên vuông góc với đáy. Gọi là trung điểm cạnh . Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng và bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Phân tích
Đây là bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng nên ta sử dụng công thức (2).
Lời giải
Ta có nên 
Mà 
Do đó . Chọn B.
2.4. Hiệu quả nghiên cứu
Tác giả đã thực hiện việc áp dụng cách làm này trong nhiều năm với những mức độ khác nhau giữa các lớp trong cùng một khóa học hoặc giữa các lớp ở các khóa học khác nhau.
Đề tài này đã được thực hiện giảng dạy ở lớp 11A5 năm học 2018-2019 ở Trường THPT Sầm Sơn. Trong quá trình học đề tài này, học sinh thực sự thấy tự tin, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền cho học sinh tự học, tự nghiên cứu. Kết quả, học sinh tích cực tham gia giải bài tập, nhiều em tiến bộ, nắm vững kiến thức cơ bản, nhiều em vận dụng tốt ở từng bài toán cụ thể. Qua bài kiểm tra về nội dung này, và các bài thi học kỳ, thi thử THPT Quốc gia, tôi nhận thấy nhiều em có sự tiến bộ rõ rệt và đạt kết quả tốt. Cụ thể như sau:
2.4.1. Về mặt định lượng
Đối với lớp 11A7 tôi cho các em sử dụng phương pháp sách giáo khoa để giải, còn lớp 11A5 tôi đã hướng dẫn kỹ thuật tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, tính góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau nên trong bài làm các em sẽ sử dụng phương pháp này để giải quyết.
Kết quả khảo sát:
Lớp 11A7 (43 học sinh)
- 0 học sinh đạt 10 điểm
- 2 học sinh đạt từ 8 điểm đến 9,5 điểm.
- 8 học sinh đạt từ 6,5 điểm đến 7,5 điểm.
- 21 học sinh đạt từ 5 điểm đến 6 điểm.
- 12 học sinh dưới 5 điểm.
Lớp 11A5 (40 học sinh)
- 5 học sinh đạt 10 điểm
- 10 học sinh đạt từ 8 điểm đến 9,5 điểm.
- 18 học sinh đạt từ 6,5 điểm đến 7,5 điểm.
- 6 học sinh đạt từ 5 điểm đến 6 điểm.
- 1 học sinh dưới 5 điểm.
2.4.2. Về mặt định tính
Tác giả thăm dò ý kiến của học sinh và giáo viên dự giờ sau tiết giảng thực nghiệm như sau:
- Các em học sinh được hỏi ý kiến đều cho biết bài giảng vừa dễ hiểu vừa dễ nhớ và tỏ ra rất hứng thú trong học tập. Ngoài ra, còn rèn luyện cho các em kĩ năng tự lập suy nghĩ giải quyết các vấn đề trong học tập.
- Các giáo viên đánh giá cao về hiệu quả của bài giảng. 
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
	Đề tài “Một số kỹ thuật giúp học sinh giải quyết nhanh bài toán góc trong không gian” nhằm mục đích xây dựng mô hình tính góc và đưa ra hệ thống bài tập tương ứng với mô hình đó giúp các em học sinh có những phương pháp làm bài tập hình học không gian hiệu quả trong thời gian ngắn nhất.Đề tài đã được tác giả áp dụng dạy ở lớp 11A5 và thấy kết quả rất khả quan, học sinh rất hứng thú, tiếp thu nhanh và vận dụng có hiệu quả. Đồng thời với cách định hướng của phương pháp giúp cho bản thân dễ dàng hơn khi tiếp xúc cũng như định hướng cho học sinh giải các bài toán về góc. Bài viết cũng đã được sự đồng tình và ủng hộ rất cao của các giáo viên trong tổ chuyên môn khi triển khai trình bày ở tổ.
Trong tương lai, tác giả sẽ tiếp tục nghiên cứu phương pháp này phát triển theo hướng tính góc trong hình học không gian khi chưa có sẵn đường cao của hình chóp, hình lăng trụ. Nếu làm tốt công việc này, sẽ giúp công việc học toán của học sinh trở nên nhẹ nhàng hơn và giúp các em có kết quả tốt trong các kỳ thi: học kỳ, thi THPT Quốc gia hay kỳ thi học sinh giỏi.
3.2. Kiến nghị
Qua quá trình nghiên cứu và áp dụng đề tài vào giảng dạy tôi nhận thấy “Một số kỹ thuật giúp học sinh giải quyết nhanh bài toán góc trong không gian”có thể áp dụng hiệu quả cho tất cả các đối tượng học sinh. Đề tài phù hợp với đối tượng học sinh lớp 11 và học sinh ôn thi THPT Quốc gia. Đồng thời dựa trên định hướng của phương pháp mà giáo viên có thể sáng tạo ra các bài toán từ dễ đến khó.
Mặc dù đã cố gắng, nhưng chắc chắn đề tài sẽ không tránh khỏi những thiếu xót nhất định. Tác giả rất mong nhận được sự quan tâm, góp ý, bổ sung từ các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, để đề tài được hoàn thiện hơn, nhằm nâng cao năng lực dạy toán cho học sinh.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình, không sao chép nội dung của người khác.
Trần Thị Hường
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Văn Như Cương (Chủ biên), sách giáo khoa “hình học 11” (nâng cao), Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam.
[2] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), sách giáo khoa “hình học 11” (cơ bản), Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam.
[3] Nguyễn Thế Thạch (Chủ biên), “Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kỹ năng môn Toán lớp 11”,Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam.
[4] Đề thi THPT Quốc gia năm 2018.
[5] Các đề thi thử THPT Quốc gia của các trường năm 2019.
[6] Các đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 11 năm 2019.