Hướng dẫn học sinh khai thác và tìm cách giải một số bài toán quan hệ vuông góc của ba điểm và đường thẳng trong hình học phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
 TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN 2
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI
HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC VÀ TÌM CÁCH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA BA ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
Người thực hiện: Phan Anh Thắng
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2019
MỤC LỤC
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO	14
1. MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài 
 Nhân loại đang bước vào thế kỷ XXI, thế kỷ tri thức, kỹ năng của con ngừời được xem là yếu tố quyết định sự phát triển của xã hội. Trong xã hội tương lai, nền giáo dục phải đào tạo ra những con người có trí tuệ phát triển thông minh và sáng tạo. Muốn có được điều này, ngay từ bây giờ các trường phổ thông phải trang bị đầy đủ cho HS hệ thống kiến thức cơ bản, hiện đại, phù hợp với thực tiễn Việt Nam và phát triển năng lực tư duy sáng tạo
Trong quá trình giảng dạy với việc ứng dụng nhiều phương pháp vào dạy học tôi nhận thấy phương pháp “phát hiện và giải quyết vấn đề” có nhiều ưu điểm và rất phù hợp với công tác giảng dạy môn Toán ở THPT.Tuy nhiên để thành công trong phương pháp “phát hiện và giải quyết vấn đề”ngoài năng lực chuyên môn,nghiệp vụ sư phạm còn đòi hỏi người Thầy phải đầu tư nhiều thời gian và thực sự tâm huyết với nghề. Để có một bài giảng hay,thu hút học sinh giúp học trò phát triển tư duy và niềm say mê Toán học, tôi cũng như bao giáo viên yêu nghề và yêu Toán khác luôn trăn trở với những khó khăn của học trò khi tiếp cận bài toán.
Trong chương trình Toán THPT, bài toán hình học giải tích phẳng luôn gây ra nhiều khó khăn cho các đối tượng học sinh đặc biệt là học sinh có năng lực trung bình. Trong số các bài toán hình học giải tích có một lớp các bài toán thường có tính chất “hình học phẳng thuần túy” gây nhiều khó khăn cho học sinh khi tiếp cận. Vì vậy tôi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh khai thác và tìm cách giải một số bài toán quan hệ vuông góc của ba điểm và đường thẳng trong hình học phẳng”
1.2 Mục đích nghiên cứu 
Trong quá trình giảng dạy nếu phát huy hợp lý phương pháp “phát hiện và giải quyết vấn đề” sẽ đem lại hiệu quả rất tích cực trong giải quyết một lớp các bài giải tích phẳng.
Tìm hiểu những khó khăn mà học sinh gặp phải khi tiếp cận bài toán hình học phẳng.
Phát triển tư duy khái quát hóa,tương tự hóa,trừu tượng hóa phát triển kỹ năng giải toán và tư duy sáng tạo cho học sinh.
1.3 Đối tượng nghiên cứu 
Do điều kiện và thời gian có hạn nên trong phạm vi đề tài này tôi chỉ đi vào nghiên cứu một số bài toán quan hệ vuông góc của ba điểm và đường thẳng trong hình học phẳng.
1.4 Phương pháp nghiên cứu 
a. Nghiên cứu lý thuyết.
Để hoàn thành đề tài này tôi đã đọc và nghiên cứu các tài liệu có liên quan sau:
- Các tài liệu về việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, lấy học sinh làm trung tâm . 
 	-Tìm kiếm tài liệu tham khảo liên quan hình học giải tích phẳng,phương pháp dạy học môn Toán.
b. Nghiên cứu thực tế.	
- Tìm hiểu thực trạng về tổ chức hoạt động dạy học của giáo viên ở các trường THPT bằng cách dự giờ thăm lớp, trao đổi với giáo viên cùng tổ chuyên môn trong trường và các trường trong cụm.
- Tổ chức trò chuyện với học sinh để nắm được nhu cầu, sở thích của các em.
c. Thực nghiệm sư phạm.	
Tôi đã tiến hành dạy thực nghiệm một số lớp 11A1, 11A3 trong chương trình Hình học 11.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến 
Trong quá trình dạy học bản thân tôi nhận thấy, khi chưa áp dụng các nghiên cứu trong đề tài vào giảng dạy thì đa phần các em học sinh rất lúng túng, không có hứng thú trong quá trình tiếp cận và giải quyết bài toán hình học mang tính chất “hình học thuần túy” phần lớn các em đều chờ các gợi ý, kiến thức mà giáo viên cung cấp.
Khảo sát cho thấy ở các lớp giảng dạy, đa phần học sinh không làm được,không có hứng thú với bài toán.Thậm chí với học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi của nhà trường cũng lúng túng khi tiếp cận những bài toán được xây dựng dựa trên các bài toán có tính chất “hình phẳng thuần túy” vì kiến thức hình học phẳng nắm không vững ở THCS.
Việc “Hướng dẫn học sinh khai thác và tìm cách giải một số bài toán quan hệ vuông góc của ba điểm và đường thẳng trong hình học phẳng” giúp học sinh tiếp cận bài toán quan hệ vuông góc một cách tự nhiên, chủ động để giải quyết vấn đề và thông qua đó chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kỹ năng giúp nâng cao chất lượng học tập.
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 
a.Thuận lợi
* Về phía giáo viên : 
- Có sức khỏe, có kiến thức và tâm huyết với nghề.
- Được giảng dạy đúng chuyên môn đã học nên phát huy được hết những kiến thức, phương pháp được đào tạo. 
- Trực tiếp giảng dạy môn Toán một số lớp khối 11 trường THPT Đông Sơn 2 nên thực hiện được việc khảo sát và thống kê được ưu điểm của việc áp dụng đề tài trong kết quả học tập của các em.
- Được tham gia dạy học và dự giờ tại trường nên có thể học hỏi và trao đổi kinh nghiệm dạy học với đồng nghiệp cùng môn từ đó phát huy được ưu điểm và khắc phục được nhược điểm của bản thân. 
- Nhà trường chỉ học một buổi nên có thể ôn tập, phụ đạo thêm cho học sinh vào các buổi chiều nhằm phát huy vai trò trung tâm của học sinh trong quá trình dạy học. 
*Về phía học sinh: 
- Được trang bị đủ sách giáo khoa. 
- Đa số các em đều ngoan, có ý thức thực hiện tốt nội quy trường lớp. 
- Một số gia đình thực sự quan tâm đến việc học tập của các em nên tạo mọi điều kiện để các em được học tập và nâng cao kiến thức. 
b. Khó khăn
* Về phía giáo viên:
-Thư viện nhà trường chưa có nhiều tài liệu tham khảo đầy đủ dẫn đến việc sưu tầm tài liệu để phục vụ cho việc giảng dạy còn hạn chế. 
*Về phía học sinh:
 - Đa số học sinh còn ham chơi, chưa tự giác trong học tập, một số ít còn nghỉ học vô lí do, không làm bài tập ở nhà và không đọc bài mới trước khi đến lớp.
2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 
Bài toán cơ bản được sử dụng trong đề tài: M
A
B
d
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng ( d ): ax+by+c=0 và hai điểm A( xA;yA);B(xB;yB) không nằm trên (d).Tìm điểm M trên (d) để AM vuông góc với AB.
 Cách giải:
-Lập đường thẳng (d’) qua A vuông góc với (d)
-Khi đó M là giao điểm của (d) và (d’)
Giải pháp thực hiện:
Hiện nay các bài toán hình giải tích phẳng thường chia thành hai mảng là mảng “đại số “ được xây dựng trên cơ sở tham số hóa và mảng” hình học” được xây dựng trên cơ sở dựa vào các bài toán hình học thuần túy.Trong đề tài này,tôi sẽ trình bày ý tưởng giải quyết một dạng toán hình học giải tích phẳng trong mảng “ hình học ” thông qua một số bài toán.
Xuất phát từ mối quan hệ vuông góc của “ ba điểm” để gỡ “nút thắt đầu tiên ” và “ mấu chốt ” để tìm ra các yếu tố còn lại của bài toán.Từ đó giúp học sinh hình thành kỹ năng giải toán ,phát triển tư duy,tạo hứng thú cho học sinh khi giải các bài toán hình học giải tích phẳng.Đồng thời,tôi cũng đề xuất các giải pháp xử lý các mối quan hệ đó cũng như xây dựng bài toán tổng quát ,nêu ra các cách nhìn nhận khác nhau xung quanh mối quan hệ vuông góc đó.
Sau đây là một số bài toán được phân tích, suy luận, giải quyết từ mối quan hệ vuông góc của ba điểm và đường thẳng được trình bày thông qua các bài toán sau:
Bài toán 1( Trích từ đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2014-2015)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm H(1;2) là hình chiếu vuông góc của A lên BD. Điểm là trung điểm của cạnh BC, phương trình đường trung tuyến kẻ từ A của ADH là : . Viết phương trình đường thẳng BC.
Bước 1:Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề
 -Gọi K là trung điểm của DH.Khi đó bài toán xoay quanh ba điểm A,H,K.Bằng trực quan ta giả sử AH DK 
 -Để kiểm tra giả thuyết trên ta có thể kiểm tra với hình chữ nhật có A(0;0) ,B(2;0),C(2;1) và D(0;1) 
-Khi ta sẽ tìm được K và các yếu tố còn lại 
Bước 2.Tìm giải pháp 
Cách 1:Chứng minh theo hình học thuần túy
Gọi P là trung điểm của AH. 
Tứ giác BMKP là hình bình hành vì PK // BM và
PK=BM . Vì PK AB và AH KB nên P là trực 
tâm của tam giác ABK nên BP AK suy ra
 MK AK.
Cách 2.Chứng minh theo phương pháp tọa độ
Chọn hệ tọa độ Oxy với D O 
 Khi đó D(0;0),A(0;a),C(c;0),B(c;a)
Phương trình đường thẳng BD là
ax-cy=0;đường thẳng AH có phương trình là
cx+ay-a2=0.Tọa độ H là nghiệm của hệ phương 
trình 
Suy ra H( ) 
Ta có K() nên =()
M (c;) nên =().Suy ra .=0 hay MK AK.
Bước 3:Trình bày giải pháp
-Ta chứng minh MK AK (sử dụng một trong hai cách trên)
-Đường thẳng KM đi qua và vuông góc với AK: nên MK có phương trình: .
Do Toạ độ K là nghiệm của hệ 
 nên .
Do K là trung điểm của HD mà H(1; 2) nên D(0; 2) phương trình của BD: y – 2 = 0.AH đi qua H(1; 2) và vuông góc với BD nên AH có PT: 
 x - 1 = 0 và A(1; 0). 
Đường thẳng BC qua và song song với AD nên BC có PT là:
 2x + y – 12 = 0.
Bước 4:Nghiên cứu sâu giải pháp
 - Ta nhận thấy bài toán trên thực chất là xoay quanh bài toán hình phẳng sau “Cho hình chữ nhật ABCD .H là hình chiếu vuông góc của A trên BD.Các điểm M,K lần lượt là trung điểm của BC,DH.Chứng minh MKAK” 
 -Nếu cho ABCD là hình vuông thì ta sẽ được bài toán hình phẳng sau ”Cho hình vuông ABCD.Gọi M là trung điểm BC,trên đoạn BD lấy điểm N 	sao cho .Chứng minh AN MN”
-Đây là một trường hợp riêng của bài toán trên : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD .Gọi M là trung điểm BC, trên đoạn BD lấy điểm N sao cho . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết M(3;1),N() và điểm D nằm trên đường thẳng :x-y+1=0.
Bài toán 2 (Trích từ đề thi HSG tỉnh thanh hóa năm 2013-2014)
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD với M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AB và BC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ B xuống CM. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết và điểm D nằm trên đường thẳng.
Bước 1:Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề
 -Bài toán xoay quanh 3 điểm D,H,N. Dựa vào
 hình vẽ ta đưa ra nhận định HDHN
 -Ta có thể kiểm tra nhận định trên với hình vuông
 ABCD có A(0;2),D(0;0) ,C(2;0) và B(2;2)
Bước 2.Tìm giải pháp
Cách 1.Theo phương pháp hình học thuần túy 
 Trong tam giác vuông BCH ta có : HN=NC (1)
 Mặt khác: BH MC (*) mà 
NDC+MCD = MCD + MCD = 900 
nên DIC =900 DN MC (**)
Từ (*) và (**) suy ra BH // DN ( 2)
Từ (1) và (2) suy ra H và C đối xứng qua DN
DHN=DCN=900 DH HN
Cách 2:Theo phương pháp tọa độ
Gắn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ với OD
Khi đó D(0;0),C(a;0),B(a;a),A(0;a),
M(;a),N(a;).Đường thẳng CM có phương
 trình 2x+y-2a=0.Đường thẳng BH CM và BH
 qua B nên có phương trình x-2y +a=0 .
Tọa độ H là nghiệm của hệ phương
 trình H(
=(;=( .=0 hay DH HN
Bước 3:Trình bày giải pháp
 -Ta chứng minh DH HN (Bằng một trong hai cách trên)
Đường thẳng DH có phương trình là y=0 .Mà D=DHd nên D(4;0)
Vì H và C đối xứng qua DN tìm được.Từ đó tìm được : .
Bước 4 :Nghiên cứu sâu giải pháp
Thực chất bài toán trên xuất phát từ bài toán hình phẳng sau “ Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD với M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AB và BC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ B xuống CM . Chứng minh HD HN”
Từ bài toán 2 ,ta cắt bỏ đi tam giác MBC thì được hình thang AMCD vuông tại A và D , CD = 2AB. Kết hợp với bài toán 1 ta được bài toán sau:
Bài toán 3: 
 Cho hình thang ABCD vuông tại A và D ,CD = 2AB .Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC , M là trung điểm của HC. Cho B( 3;8) , M() và điểm D nằm trên đường thẳng (d) : 3x-y-1 = 0.
Bước 1:Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề
-Bài toán xoay quanh 3 điểm B,M,D. Bằng trực
quan ta đưa ra nhận định MD MB.
 -Nếu nhận định trên là đúng thì từ đó ta sẽ tìm
được điểm D và tìm được hai điểm còn lại của 
hình thang.
Bước 2.Tìm giải pháp
Cách 1.Theo phương pháp hình học thuần túy 
Gọi N là trung điểm DH ,khi đó ABMN là hình
 bình hành.Trong ADM có DHAC , MN AD 
nên N là trực tâm của ADM suy ra ANDM mà AN// BM nên BM DM.
Cách 2:Theo phương pháp tọa độ
Gắn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ với DO
Khi đó D(0;0) , C(2c;0) , A(0;a) , B(c;a)
Đường thẳng AC có phương trình: ax +2cy -2ac=0.
 Đường thẳng DH AC và DH qua D nên có
 phương trình: 2cx-ay=0.
Tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình:
Suy ra H ( )
M là trung điểm HC nên M ()
() , ( )
Khi đó . = 0 hay BM DM.
Bước 3:Trình bày giải pháp
 -Ta chứng minh BM DM (Bằng một trong hai cách trên)
Khi đó đường thẳng MD có phương trình 3x-11y + 19 =0.Tọa độ D là 
nghiệm của hệ: 
nên D (1;2).Gọi I là giao điểm của BD và AC,
ta có IAB IDC 
nên ta có 
Gọi I (m;n) thì suy ra I ().
Đường thẳng AC qua I , M nên có 
phương trình 3x + 2y - 19 = 0. 
Mà A nằm trên đường tròn đường 
kính BD có phương trình (x-2)2 + (y-5)2 =10.Tọa độ 
A là nghiệm của hệ A(1;8)
Vì nên C ( 5;2). Vậy A(1;8),C(5;2),D(1;2).
Bước 4 :Nghiên cứu sâu giải pháp
Bài toán trên được xây dựng dựa trên bài toán hình phẳng sau :” Cho hình thang ABCD vuông tại A và D ,CD = 2AB .Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC , M là trung điểm của HC.Chứng minh BM DM”
Dựa vào công cụ vectơ và bài toán hình phẳng trên khi thay đổi các dữ kiện một cách hợp lý , ta có thể đưa ra nhiều bài toán khác cho hình thanh vuông.
Từ lời giải ở bài toán 3 , ta thấy có một điểm rất đặc biệt là “ID = 2IB ”
Như vậy nếu ta tiếp tục cắt bớt tam giác ABD trong hình thanh ABCD ,ta được bài toán sau: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho tam giác ABC cân tại A (4;4),trên cạnh AB lấy điểm I sao cho IB = 2IA.Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên IC ,M là trung điểm của HC.Tìm tọa độ B,C của tam giác ABC biết B thuộc đường thăng (d) :2x-y-2=0 và B có hoành độ không nhỏ hơn 2 .Bài toán này học sinh hoàn toàn tự giải được khi đã được tiếp thu tri thức từ bài toán 3.
Bài toán 4 (Trích đề thi đại học khối A năm 2013)
 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho hình chữ nhật ABCD với điểm C thuộc đường thẳng d:2x+y+5=0 và điểm A(-4;8).Gọi M là điểm đối xứng của B qua C , N là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD.Tìm tọa độ các điểm B và C biết N(5,-4).
Bước 1:Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề
Ta thấy giả thuyết của bài toán xoay quanh
 ba điểm A,C,N.Bằng trực quan ta đưa ra
 nhận định ANNC.Từ đó ta sẽ tìm được C,B.
Bước 2.Tìm giải pháp 
Cách 1:Chứng minh theo hình học thuần túy
Vì BCD=BND=900 nên tứ giác BDNC nội
tiếp.Suy ra BDC=BNC mà BDC=BAC
cho nên BNC=BAC hay tứ giác ABCN nội 
tiếp ANC=900 hay ANNC
Cách 2.Chứng minh theo phương pháp tọa độ
Chọn hệ tọa độ Oxy với OD như hình vẽ
Khi đó D(0;0) A(0;a),C(c;0),B(c;a),M(c;-a).
Đường thẳng DM có phương trình
 ax +cy=0 
Đường thẳng BNBM và qua B nên BN có 
phương trình cx-ay-c2+a2=0 nên tọa độ N là
nghiệm của hệ 
N (;) .Khi đó 
(;);
(;) 
 .=0 hay ANNC
Bước 3:Trình bày giải pháp
-Chứng minh ANNC (sử dụng một trong
 hai cách trên)
-Đường thẳng NC qua N và vuông góc với 
AN nên NC có phương trình :3x-4y-31=0
Khi đó tọa độ N là nghiệm của hệ phương 
trình
 C(1;-7)
Vì ACMD là hình bình hành 
AC // DM mà NBMD nên NBAC.
Phương trình đường thẳng NB là x-3y-17=0.
 Đồng thời B nằm trên đường tròn đường kính AC 
 có phương trình là (x+2 + (y-)2 =
(Loại)
Nên tọa độ B là nghiệm của hệ: 
Vậy B (-4;-7) , C(1;-7).
Bước 4 :Nghiên cứu sâu giải pháp
-Bài toán trên được xây dựng trên bài toán hình học trên “Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho hình chữ nhật ABCD .Gọi M là điểm đối xứng của B qua C , N là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD. Chứng minh NANC”
Một số lưu ý cho học sinh
Thông qua các bài toán trên, ta có thể đưa ra một số nhận định sau:
Khi vẽ hình, học sinh phải vẽ hình thật chính xác, từ hình ảnh đó sẽ có thể đưa ra những nhận định mấu chốt để giải toán.
Khi tiếp cận các bài toán hình học giải tích phẳng,đặc biệt các bài toán liên quan chặt chẽ với hình học phẳng,ta cần xem xét mối quan hệ giữa các điểm, kiểm tra xem chúng có mối quan hệ đặc biệt nào hay không như quan hệ vuông góc mà tôi đã đưa ra thông qua các ví dụ trên.
 	Trong “ bước 2: Tìm giải pháp ” tôi đưa ra hai phương pháp chứng minh cơ bản:
Phương pháp hình học thuần túy: Đây là phương pháp khó, đòi hỏi học sinh phải học tốt chương trình hình học phẳng ở THCS nhưng lời giải ngắn ngọn, rõ ràng. Phương pháp phù hợp cho các học sinh có năng lực tốt, kiến thức vững vàng về hình học phẳng.
Phương pháp tọa độ: Phương pháp này dễ làm hơn nhưng biến đổi cồng kềnh,chủ yếu là biến đổi “đại số”. Phương pháp phù hợp cho các học sinh có năng lực trung bình, khá.
Các bài toán mà tôi đưa ra trong đề tài được xây dựng dựa trên các bài toán “hình học phẳng thuần túy”. Vì vậy mà từ các bài toán gốc,giáo viên có thể hướng dẫn để học sinh tự đưa ra các bài toán khác nhau cho từng trường hợp.
 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm: 
Việc nghiên cứu và áp dụng đề tài “Hướng dẫn học sinh khai thác và tìm cách giải một số bài toán quan hệ vuông góc của ba điểm và đường thẳng trong hình học phẳng” có ý nghĩa quan trọng đối với giáo viên và học sinh vì :
a. Đối với giáo viên:	
- Có thể chủ động, sáng tạo trong thiết kế các hoạt động dạy học nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới về phương pháp giáo dục hiện nay. 
- Thông qua áp dụng đề tài học sinh dễ dàng tiếp cận bài toán quan hệ vuông góc một cách tự nhiên, chủ động để giải quyết vấn đề và thông qua đó chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kỹ năng từ đó nâng cao hiệu quả dạy học.
 b. Đối với học sinh: 
- Tạo được tâm lí thoải mái, nhẹ nhàng khi tiếp thu khiến thức và từng bước hình thành thói quen tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo trong quá trình lĩnh hội tri thức giúp các em ghi nhớ lâu hơn, vận dụng tốt hơn và đem lại kết quả dạy học cao nhất. 
- Tạo được hứng thú, tính tích cực, tự giác học tập của học sinh. Các em đam mê, hứng thú hơn với các tiết học Toán và điều quan trọng nhất là kết quả học tập của học sinh ngày càng tiến bộ rõ rệt.
- Hình thành phát triển các năng lực cơ bản của người học: phân tích, tổng hợp, so sánh và năng lực hợp tác để cùng giải quyết các vấn đề trong học tập cũng như trong cuộc sống. 
 c. Đối với nhà trường: 
- Nâng cao được chất lượng giáo dục.
- Thông qua việc áp dụng đề tài trên một số bài toán cụ thể, tôi khảo sát và thấy chất lượng học môn Toán nói chung và môn Toán 11 nói riêng của học sinh THPT Đông Sơn 2 được nâng lên rõ rệt. Cụ thể số liệu khảo sát ở học sinh lớp 11A1, 11A3 THPT Đông Sơn 2 sau khi áp dụng đề tài như sau: 
	+ Lớp thực nghiệm : 11A1
	+ Lớp đối chứng : 11A3
Đây là hai lớp có năng lực học tập tương đương nhau.
 Lớp 
Sĩ số
Điểm <5
Điểm 5-6
Điểm 7-8
Điểm 9-10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
 11A1
39
9
23.1
16
44.4
11
28.2
3
4.3
 11A3
42
18
42.9
20
47.6
3
7.1
1
2.4
Như vậy là dạy học theo phương pháp “phát hiện và giải quyết vấn đề”, kết quả học tập của các em HS đã được nâng lên. Từ 57.1% đạt điểm trung bình ở lớp đối chứng 11A3 nâng lên 76.9% đạt điểm trung bình trở lên ở lớp thực nghiệm 11A1. Ngoài ra số điểm khá giỏi cũng tăng lên đáng kể, nếu học sinh thường xuyên được rèn luyện thì kết quả còn tăng lên.
Mặt khác, tạo được hứng thú, lòng say mê học tập đối với môn Toán 11 nói riêng và môn Toán nói chung, điều này đã được khẳng định trong các kì thi học sinh giỏi môn sinh cấp tỉnh học sinh trừơng THPT Đông Sơn 2 đều tham gia và đã đạt được một số giải nhất định. 
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:
3.1. Kết luận: 
Trong đề tài,tôi đã đưa ra hệ thống bài tập về mối quan hệ vuông góc của ba điểm có liên quan với nhau , từ các bài tập đó học sinh có thể tiếp thu một cách chủ động,tích cực . Dưới sự hướng dẫn của giáo viên,học sinh có thể khái quát hóa giúp cho việc học tập ,tiếp thu tri thức của các em dễ dàng hơn.
Đề tài có thể ứng dụng để giảng dạy cho học sinh 
Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để thấy được tính khả thi và hiệu quả của phương pháp dạy học “ phát hiện và giải quyết vấn đề ” vào tiết dạy
Kết quả thu được thể hiện rõ được ưu điểm của phương pháp vì: đã làm thay đổi thái độ của học sinh đối với môn học. Có thể khẳng định rằng mục đích nghiên cứu đã được thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận được, chất lượng, hiệu quả giờ dạy được nâng cao rõ rệt. 
3.2 Kiến nghị: 
a.Đối với nhà trường:
- Bổ sung đầy đủ các phương tiện dạy học còn thiếu như: tranh ảnh, mô hình và dụng cụ thí nghiệm để