SKKN Vận dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình học không gian

PHẦN I. MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Một trong các môn học cung cấp cho học sinh nhiều kĩ năng, đức tính, phẩm chất của con người lao động mới là môn học hình học không gian.
 Trong môn toán ở trường phổ thông phần hình học không gian giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng. Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải toán hình học không gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh. 
 Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh lớp 11 rất e ngại học môn hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó trừu tượng, thiếu tính thực tế. Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập hình học không gian. Qua một số năm giảng dạy môn học này và quá trình ôn thi TNTHPT tôi đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên. Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy nói chung và môn hình học không gian nói riêng.
Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ thống, không áp đặt hoặc lập khuôn máy móc do đó học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải quyết các bài toán lạ, các bài toán khó.
Từ lý do trên tôi đã khai thác, hệ thống hóa các kiến thức, tổng hợp các phương pháp thành một chuyên đề: “Vận dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình học không gian ” 
 II. Mục đích nghiên cứu
 - Giúp học sinh biết cách vận dụng kiến thức về tọa độ trong không gian để giải quyết các bài tập hình học.
 - Rèn luyện kỹ năng mở rộng bài toán theo nhiều hướng.
III. Đối tượng nghiên cứu
 Là học sinh khá, giỏi lớp 12 trường TTGDNN-GDTX Thiệu Hóa
IV. Phương pháp nghiên cứu
 - Đọc các tài liệu liên quan để viết cơ sở lý thuyết.
 - Phương pháp thực nghiệm.
 - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu.
PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI
I. Cơ sở lí luận
 Phương pháp toạ độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học, giúp con người đạt đến đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hoá và trừu tương hoá toán học trong nhiều lĩnh vực.
Bắt nguồn cảm hứng từ hai bài toán trong sách giáo khoa hình học 12, tác giả yêu cầu học sinh giải bằng phương pháp tọa độ đó là:
Bài tập 10 trang 81(sgk hình 12): Cho hình lập phương cạnh bằng 1.
Chứng minh rằng hai mặt phẳng () và () song song với nhau.
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.
Bài tập 10 trang 91(sgk hình 12): Cho hình lập phương cạnh bằng 1.Tính khoảng cách từ điểm A đến các mặt phẳng () và ().
Tôi nhận thấy cách giải này có nhiều ưu điểm giúp học sinh tiếp thu bài một cách tốt hơn so với giải bằng phương pháp hình học lớp 11.
II. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
 Khi khảo sát với hai bài tập ở trên đa số học sinh còn đang trên đường đi tìm lời giải, chỉ một số ít là có thể giải quyết chọn vẹn bài toán cụ thể:
Kết quả:
 Bài
 Số HS làm bài
 Số HS đạt yêu cầu
 Đạt tỷ lệ %
 1
82
18
21.9
 2
82
22
26.8
Lí do cơ bản ở đây là học sinh mới được làm quen với cách giải này, chưa có thời gian thực hành, ôn luyện nhiều, một số học sinh khác thì chưa nắm vững các kiến thức cơ bản về hình tọa độ, các công thức áp dụng liên quan đến bài toán, đặc biệt là cách chọn hệ trục tọa độ hợp lí.
III. Các giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề
 Để giải một bài toán bằng phương pháp toạ độ ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1: Thực hiện việc chọn hệ trục toạ độ thích hợp, chú ý đến vị trí của gốc O, chuyển bài toán đã cho về bài toán hình học giải tích
Bước 2 : Giải bài toán hình học giải tích nói trên. 
Bước 3 : Áp dụng công thức. Học sinh cần nắm được một số công thức sau: [1]
*) Diện tích và thể tích:
Diện tích tam giác ABC:
Thể tích tứ diện ABCD: 
Thể tích hình hộp :
[1] Tham khảo qua sgk hình học 12 ; tạp chí và tư liệu toán học
* Góc giữa hai mặt phẳng: mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến và mp(Q) có véc tơ pháp tuyến thì 
* Góc giữa hai đường thẳng: (d) có VTCP là và (d’) có VTCP là thì 
* Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: (d) có VTCP là và mp(P) có VTPT là thì 
* Khoảng cách từ đến mặt phẳng:
+là ; là ; là 
+) (P): l à: 
+) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :
Cho và (d) qua A có VTCP thì 
+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau : Đường thẳng qua điểm và có VTCP  ; Đường thẳng qua diểm và có VTCP  thì :
 Tuy nhiên qua thực tế, việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vào giải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một qúa trình trừu tượng hoá và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học. Do vậy, thông qua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần với việc giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ.
Một số dạng toán thường gặp :
Độ dài đoạn thẳng
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng
Thể tích khối đa diện
Diện tích thiết diện
Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc.
Sau đây là cách chọn hệ trục tọa độ cụ thể cho các dạng bài tập và một số ví dụ minh họa
1. Chọn hệ trục tọa độ trong không gian [2]
Ta có: vuông góc từng đôi một. Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh vuông góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ. Cụ thể :
Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật 
Với hình lập phương . 
Chọn hệ trục tọa độ sao cho : 
 Với hình hộp chữ nhật. 
Chọn hệ trục tọa độ sao cho : 
C
B
A
z
x
y
D
C’
D’
B’
A’
 Với hình hộp đáy là hình thoi 
Chọn hệ trục tọa độ sao cho : 
- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi ABCD
- Trục đi qua 2 tâm của 2 đáy
A
B
C
D
D’
C’
A’
B’
O
O’
 Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ 
Giả sử cạnh hình vuông bằng a và đường cao 
Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông
Khi đó : 
B
D
C
A
O
S
 [2] Tham khảo qua trang giáo án điện tử
 Với hình chóp tam giác đều S.ABC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ 
Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và đường cao bằng . Gọi I là trung điểm của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho I(0;0;0) 
Khi đó : 
B
H
C
A
I
S
Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA (ABCD)
ABCD là hình chữ nhật 
B
D
C
A
O
S
chiều cao bằng 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) 
Khi đó : 
 Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi và SA (ABCD)
ABCD là hình thoi cạnh 
chiều cao bằng 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho O(0;0;0) 
D
O
x
y
z
S
B
B
A
 Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại A
Tam giác ABC vuông tại A có đường cao bằng . 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) 
 Khi đó : 
B
C
A
S
A
B
C
S
x
z
y
 Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại B
Tam giác ABC vuông tại B có đường cao bằng . 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho B(0;0;0) 
Khi đó : 
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S và ABC vuông tại C
 ABC vuông tại C 
chiều cao bằng 
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho C(0;0;0) 
Khi đó : 
S
H
C
B
A
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S và ABC vuông tại A
 ABC vuông tại A 
chiều cao bằng 
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) 
Khi đó : 
B
C
A
H
S
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC),SAB cân tại S và ABC vuông cân tại C.
Tam giác ABC vuông cân tại C có 
 đường cao bằng . 
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho H(0;0;0) 
Khi đó : 
x
C
H
B
A
S
z
y
2. Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho hình lập phương có cạnh bằng a.
a.Chứng minh rằng đường chéo vuông góc với mặt phẳng 
b.Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo và mặt phẳng là trọng tâm của tam giác .
c.Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng và 
d.Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng và [3]
 [3] SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình : 
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau : ; 
 ; 
 ; 
 ; 
y
z
x
G
C’
B
C
A
D
B’
A’
D’
a. Chứng minh : Nếu 
Ta có : 
Vì Nên 
b. Chứng minh : G là trọng tâm của tam giác Phương trình tham số của đường thẳng 
Phương trình tổng quát của mặt phẳng 
Trong đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
Gọi Toạ độ giao điểm G của đường thẳng và mặt phẳng là nghiệm của hệ : (1) 
 Mặt khác : (2) 
So sánh (1) và (2), kết luận 
Vậy giao điểm G của đường chéo và mặt phẳng là trọng tâm của tam giác 
c. Tính 
 Phương trình tổng quát của mặt phẳng Trong đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
Ta có : 
 // 
d. Tính 
Vec tơ pháp tuyến của là 
Vectơ pháp tuyến của : 
Vec tơ pháp tuyến củalà Vectơ pháp tuyến của : 
Bài 2. Cho hình lập phương có cạnh bằng a.
Chứng minh hai đường chéo và của hai mặt bên là hai đường thẳng chéo nhau. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và 
Hướng dẫn
A
B
C
D
D’
A’
B’
C’
Bài giải
Dựng hình : 
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau : 
 ; ; ; 
 ; 
 ; 
Ta chứng minh song song với mp v à
Ta có : có phương trình :
Tính 
Bài 3. Trong không gian với hệ toạ độ cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết ; ; . Gọi M là trung điểm của SC . Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM. [4] 
Hướng dẫn
Bài giải
C
D
S
N
M
O
Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau : ; ; ; 
Ta có : 
; ; ; 
1a.Tính góc giữa SA và BM 
 Gọi là góc giữa SA và BM Sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng.
Ta có : 
1b. Tính khoảng cách giữa SA và BM
 Chứng minh SA và BM chéo nhau Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
 ; 
[4] Trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2004 
Bài 4: Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng(ABC); ; ; . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) 
Hướng dẫn
A
B
C
D
H
I
Bài giải
Dựng hình : 
 có : nên vuông tại A Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau ; ; ; 
Tính : 
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD)
 Phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD) 
Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 
Bài 5 . Cho hai nửa đường thẳng và vuông góc với nhau và nhận là đoạn vuông góc chung. Lấy điểm M trên và điểm N trên sao cho . Xác định tâm I và tính theo bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BI
B
N
M
I
A
Hướng dẫn
	Bài giải
Dựng hình : 
Dựng 
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau : ; ; 
Toạ độ trung điểm I của MN 
1a. Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN 
Chú ý : 
z
 Hai tam giác AMN và BMN là hai tam giác vuông nhận MN là cạnh huyền nên trung điểm của MN là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN 
 1b.Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN
Ta có : 
 Bán kính mặt cầu : 
 2. Tính 
Chứng minh AM và BI chéo nhau 
Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Ta có : ; ; 
Bài 6 . Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh . Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo ) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. [5]
Hướng dẫn
Bài giải
S
C
B
A
D
P
N
M
E
O
Dựng hình :
 Gọi O là tâm của hình vuông ABCD 
 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau :
; S ; 
A ; C D ; B
[5] Trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 
Toạ độ trung điểm P của SA P; E
M N
 Vì : 
Tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. 
Chứng minh MN và AC chéo nhau 
 Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 
Ta có : 
 Vì : 
 MN và AC chéo nhau 
Bài 7. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S độ dài các cạnh đáy bằng . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Tính theo diện tích tam giác AMN. Biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
C
H
A
B
I
S
M
N
Hướng dẫn
Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ 
 Gọi I là trung điểm của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho I(0;0;0) 
Khi đó : 
+ Pháp vectơ của mp (AMN) :
+ Pháp vectơ của mp (SBC) : 
Diện tích tam giác AMN :
 đvdt
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh ; ; và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC . Tính theo thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.
Hướng dẫn
Bài giải
S
A
B
C
D
N
M
H
K
Dựng hình :
 Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên AB SH (ABCD) 
Ta có : 
vuông tại S 
Do đó : đều
 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau :; S ; A ; B ; D ; M ; N
+ Thể tích khối chóp S.BMDN
 ; 
+ Công thức tính góc giữa SM, DN 
+ Tính cosin của góc giữa SM, DN 
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang , ;, , SA vuông góc với đáy và . Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) 
Hướng dẫn
x
D
y
C
B
S
A
z
I
H
Bài giải
Dựng hình :
 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau: ; B ; C; D ; S 
+ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên SB
Phương trình tham số của SB :
SB : ()
+ Viết phương trình mặt phẳng (SCD)
(SCD) đi qua điểm S và nhận vectơ làm pháp vectơ
(SCD) : 
+ Chứng minh tam giác SCD vuông
 ; 
Tam giác SCD vuông tại C
+ Tính ( theo ) khoảng cách từ H đến (SCD)
Tọa độ điểm H :
+ Khoảng cách từ H đến (SCD)
Phương trình mặt phẳng (SCD)
(SCD) : 
Bài 10. Cho hình lập phương có tâm O. Gọi I là tâm hình vuông và M là điểm thuộc OI sao cho MO=MI. Khi đó cosin góc tạo bởi 2 mặt phẳng () và (MAB) bằng bao nhiêu? [4] 
 [4] Trích đề thi TN THPT năm 2017-2018 
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình :
 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau :
Gọi A’(2;0;0); C’(0;2;0); D’(2;2;0A(2;0;2); B(0;0;2)
M
I
O
D’
C’
B’
A’
D
C
B
A
z
y
x
Do:
=
Và: 
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng 
 và
3. Bài tập tự luyện :
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, các mặt bên (SAB), (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), góc giữa đường thẳng SB và mặt đáy bằng 600. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AD và CD, . Tính thể tích khối chóp S.BMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng BM. SN theo a. [5] 
 [5] Trích kỳ thi HSG cấp tỉnh khối Bổ túc THPT năm 2014-2015 tỉnh Thanh Hóa 
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, SC tạo với đáy một góc bằng 45 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCD .
Bài 3: Cho tứ diện ABCD: AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau; AB = 3; AC = AD= 4. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD).
Bài 6: Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Chứng minh rằng mp vuông góc với mp
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)
Bài 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, AD = a 2, SA = a. SA vuông góc (ABCD). Gọi M là trung điểm AD và N là trung điểm SC. I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh hai mặt phẳng (SAC) và (SMB) vuông góc . Tính thể tích khối tứ diện ANIB.
Bài 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S. BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. 
Bài 7: Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB=a, OC= a, (a>0) và đường cao OA= a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM.
Bài 8: Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, AB = 3, AC=AD=4. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD)
IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 
Sau một thời gian áp dụng đề tài vào công tác ôn luyện cho học sinh khối 12 tôi nhận thấy việc tiếp thu bài của học sinh đã thay đổi rõ. Đặc biệt các em thấy hứng thú với các bài toán hình áp dụng giải được bằng phương pháp tọa độ, cụ thể kết quả thông qua khảo sát hai bài tập:
Bài 1: Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BB’. Chứng minh : 
Bài 2: Cho hình lập phương có cạnh bằng a.
a. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng và 
b. Tính góc của hai mặt phẳng (A’BC) và (A’CD). 
Kết quả:
 Bài
 Số HS làm bài
 Số HS đạt yêu cầu
 Đạt tỷ lệ %
 1
80
65
81,2
 2
81
63
77,7
 Tuy kết qủa chưa thật như mong đợi, nhưng với trách nhiệm của một người thầy, trong một chừng mực nào đó tôi có thể bớt băn khoăn khi học trò đã thấy hưng phấn hơn khi gặp một bài toán hình và từng bước đã biết vận dụng phương pháp toạ độ để giải bài toán.
PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
 I. Kết luận: Song song với việc tiếp thu những kiến thức về toạ độ điểm, tọa độ vectơ, phương trình đường và mặt, qua việc sử dụng công cụ là dùng phương pháp tọa độ trong trong không gian các em đã chủ động hơn, tự tin hơn khi tiếp xúc với bài toán hình học không gian .
 Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:
1. Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự hình thành kĩ năng học và giải bài tập toán cho học sinh
2. Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện. Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
3. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh chứng tính khả thi và hiệu quả của những biện pháp sư phạm được đề xuất.
 II. Kiến nghị
Nhà trường cần đầu tư cho phòng thư viện thêm các loại sách tham khảo để học sinh tự học, tự làm bài tập ở nhà. Đoàn trường thường xuyên kiểm tra sách, vở và việc soạn bài của học sinh trước khi đến trường. Cần lắp đặt tại phòng học hệ thống máy chiếu để học sinh tiếp thu bài tốt hơn và có hứng thú trong tiết học.
 Đề tài này đã được trình bày, trao đổi và góp ý với tổ và hội đồng chấm sáng kiến kinh nghiệm trường. Các thành viên đã đóng góp ý kiến quý báu cho đề tài.
 Mặc dù đã cố gắng nhưng đề tài không tránh khỏi thiếu sót. Mong được sự góp ý của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn.
 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm trên là của bản thân, nếu sao chép tôi
hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Xác nhận của thủ trưởng cơ quan Thiệu Hóa, ngày 15/04/2019
 Người thực hiện
 Trịnh Đình Chung Đinh Văn Ba
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Hình học 11 ( sách giáo khoa ) - Văn Như Cương (chủ biên), Trần Đức Huyên -Nguyễn Mộng Hy - NXB Giáo dục, 2000.
2. Hình học 12 ( sách giáo khoa ) - Văn Như Cương (chủ biên), Tạ Mân - NXB Giáo dục, 2000.
Hình học 12 ( sách giáo khoa ) - Trần Văn Hạo và Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Khu Quốc Anh - Trần Đức Huyên - NXB Giáo dục.
Các bài toán về phương pháp vectơ và phương pháp toạ độ - Nguyễn Mộng Hy - NXB Giáo dục, 1998.
Làm thế nào để học tốt môn Toán - Đào Văn Trung - NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2001.
Phương pháp toạ độ trong không gian - TS Nguyễn Thái Sơn ( tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên THPT chu kỳ 1997 - 2000 ) - Lưu hành nội bộ, 2000.
 7. Phương pháp tọa độ hóa hình học không gian: Tạp chí và tư liệu toán học.
 8. Các bài giảng luyện thi môn toán: Phan Đức Chính- Vũ Dương Thụy- ĐàoTam- Lê Thống Nhất
 9.Giới thiệu đề thi môn toán: Doãn Minh Cường- NXB ĐHQGHN
 10. Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ: Trần Đình Cư
MỤC LỤC
PHẦN I. MỞ ĐẦU Trang 1 
I. Lý do chọn đề tài 	 1
II. Mục đích nghiên cứu................................................................................... 1
III. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu	 1
IV. Phương pháp n