SKKN Ứng dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán về số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 3
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC NHẰM TẠO HỨNG THÚ HỌC TOÁN CHO HỌC SINH 
 Người thực hiện: Vi Thanh Hoàng
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc môn: Toán
THANH HÓA, NĂM 2018
MỤC LỤC
NỘI DUNG
TRANG
1. Mở đầu
2
1.1.Lý do chọn đề tài
2
1.2.Mục đích nghiên cứu
2
1.3.Đối tượng nghiên cứu
3
1.4. Phương pháp nghiên cứu
3
2. Nội dung nghiên cứu
3
 2.1.Cơ sở lý luận
3
 2.1.1. Kiến thức cơ bản về số phức
4
 2.1.2. Tập hợp các điêm biểu diễn số phức thường gặp
6
 2.2. Thực trạng của đề tài
6
 2.3. Các biện pháp giải quyết vấn đề
7
 2.3.1. Bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức 
7
 2.3.2. Bài toán tìm số phức có mô đun lớn nhất nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện cho trước
8
 2.3.2.1. Dạng 1: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng 
8
 2.3.2.2. Dạng 2: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn 
11
 2.3.2.3. Dạng 3: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường E líp 
16
 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
17
3. Kết luận, kiến nghị
18
 3.1. Kết luận
18
 3.2. Kiến nghị
18
Tài liệu tham khảo
19
1. MỞ ĐẦU.
1.1.Lý do chọn đề tài
 Khi học về Số phức ta biết rằng mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Như vậy chúng ta có thể dùng hình học, cụ thể ở đây là Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy để giải các bài toán về số phức. Ta sẽ “nhìn’’ một số bài toán về số phức với quan điểm tọa độ. Từ đó ta sẽ thấy giữa Đại số và Hình học có mỗi quan hệ mật thiết với nhau, hòa quyện nhau.
 Khi chuyển bài toán về Số phức từ ngôn ngữ Đại số sang Hình học thì những con số dường như khô khan ấy lại trở nên trực quan sinh động và mang một vẻ đẹp riêng, làm học sinh dễ hiểu, dễ học. Từ đó làm người học hứng thú, đam mê khám phá tìm tòi và sáng tạo. Đặc biệt trong các kì thi Đại học, Cao đẳng và THPT quốc gia gần đây có rất nhiều các bài toán về số phức làm học sinh lúng túng. Với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay, ngoài kiến thức nắm vững học sinh còn phải giải quyết nhanh bài toán. Để làm nhanh thì người học phải hiểu cặn kẽ từng dạng toán. Đối với dạng toán tìm số phức thỏa mãn một điều kiện nào đó, hay các bài toán về Cực trị trong số phức nếu học sinh vẽ được hình minh họa, sau đó dùng phương pháp tọa độ sẽ giải quyết nhanh chóng và dễ hiểu, dễ nhớ . Đi từ “trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng” [1], đó chính là con đường của nhận thức, khám phá cái mới .
 Ngoài phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy thì một số bài toán về số phức có thể giải bằng nhiều phương pháp như dùng Bất đẳng thức, Dùng lượng giác, dùng Khảo sát hàm số...Nhưng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy vẫn có vẻ đẹp riêng và có sức hấp dẫn riêng đối với người học toán.
 Tuy nhiên, trong thực tế giảng dạy, việc chuyển từ bài toán Đại số nói chung và Số phức nói riêng sang bài toán Hình học tọa độ trong mặt phẳng Oxy ở nhiều học sinh nói chung còn khá lúng túng, bỡ ngỡ. Để giúp học sinh giải một số bài toán về Số phức đặc biệt là bài toán Cực trị Số phức tôi xin trao đổi với quí đồng nghiệp đề tài: “ Ứng dụng Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán về Số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh”. Với mục đích giúp học sinh lớp 12 nắm vững cách vận dụng kiến thức về Phương pháp tọa độ đã học ở lớp 10 để giải một số bài toán về số phức. Từ đó học sinh sẽ linh hoạt hơn trong tư duy và hiểu rõ hơn các kiến thức về cả Số phức cũng như kiến thức về Hình học. Đặc biệt có thể giúp học sinh lớp 12 chuẩn bị ôn luyện tốt kiến thức cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia . 
	1.2.Mục đích nghiên cứu 
 Mục đích nghiên cứu của đề tài là làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn tăng cường vận dụng kiến thức về Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải toán về Số phức.
 -Phân tích và xây dựng phương án dạy học có nhiều nội dung toán học thể hiện về mối liên hệ giữa Số phức với Hình học. Qua đó thấy được sự giao thoa giưa Đại số nói chung và số phức nói riêng với Hình học.
 - Góp phần nâng cao tư duy sáng tạo, chất lượng dạy học môn toán ở trường THPT.
 - Giúp học sinh ôn luyện tốt kiến thức chuẩn bị cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia.
	1.3. Đối tượng nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, đối tượng nghiên cứu của đề tài là:
- Nghiên cứu về tính ứng dụng của Hình học đặc biệt là ứng dụng của Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Hình học liên hệ với Đại số nói chung và số phức nói riêng thể hiện như thế nào trong một số bài toán về số phức đặc biệt bài toán Cực trị số phức.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
 Sử dụng các phương pháp nghiên cứu chuyên ngành lí luận và phương pháp giảng dạy môn toán đã học được tập trung vào các phương pháp sau:
 - Phương pháp nghiên cứu lý luận.
 - Phương pháp điều tra quan sát thực tiễn,thu thập thông tin. 
 - Thực nghiệm sư phạm.
2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
2.1.Cơ sở lý luận
 Theo nghị quyết số 29-NQ/TW, ngày 4 tháng 11 năm 2013- nghị quyết hội nghị trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo nêu rõ: nhiệm vụ trung tâm trong trường học là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Trong các văn kiện trình Đại hội XII, Đảng ta nhấn mạnh sự quan tâm đặc biệt và làm rõ hơn lập trường, quan điểm, tính nhất quán về sự cần thiết phải đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục, đào tạo, phát triển nguồn nhân lực [2].
 Hiện nay giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới. 
 Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người. Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này. 
- Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, vận dụng kiến thức Hình học để giải quyết các bài toán về Đại số và ngược lại, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp cách giải.
- Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy để giải một số bài toán về số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh. Giúp học sinh chuẩn bị tốt kiến thức cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia .
 Để vận dụng tốt Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng vào giải một số bài toán về số phức ta cần nắm vững kiến thức như sau:
 2.1.1.Kiến thức cơ bản về số phức .
Định nghĩa: Một số phức là một biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thoả mãn i2 = -1. Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi .
	i được gọi là đơn vị ảo	
a được gọi là phần thực. Ký hiệu Re(z) = a 
b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b
	Tập hợp các số phức ký hiệu là C.
*) Một số lưu ý: 
	- Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0.
	- Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
	- Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
Hai số phức bằng nhau.
	Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i.
	z = z’ Û 
Biểu diễn hình học của số phức.
	Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
	Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z = a + bi .
Phép cộng và phép trừ các số phức.
	Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
Phép nhân số phức.
	Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
Số phức liên hợp. 
	Cho số phức z = a + bi. Số phức = a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên.
	Vậy = = a - bi 
Chú ý: 10) = z Þ z và gọi là hai số phức liên hợp với nhau.
	 20) z. = a2 + b2
*) Tính chất của số phức liên hợp:
	(1): 
(2): 
(3): 
(4): z.= (z = a + bi ) 
Môđun của số phức.
	Cho số phức z = a + bi . Ta ký hiệu là môđun của số phư z, đó là số thực không âm được xác định như sau:
	- Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, thì = =
	- Nếu z = a + bi, thì = =
Phép chia số phức khác 0.
	Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0 )
Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 của số phức z ≠ 0 là số
	z-1= 
Thương của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau:
 Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường [3].
 2.1.2. Tập hợp các điêm biểu diễn số phức thường gặp.
+ Phương trình đường thẳng: ax + by + c = 0 
+ Phương trình đường tròn tâm I( a; b) bán kính R > 0 là:
+ Phương trình chính tắc E líp : (a> b >0)
2.2.Thực trạng của đề tài
- Trong sách giáo khoa Toán 12 hiện nay các bài tập về vận dụng kiến thức về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng có số lượng rất hạn chế. Hầu hết học sinh đều gặp khó khăn khi giải các bài toán dạng này.
 - “ Ứng dụng Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán về Số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh” cho ta phương pháp giải các bài toán liên quan đến số phức một cách dễ hiểu hơn đối với các đối tượng học sinh có học lực trung bình trở lên.
- “ Ứng dụng Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán về Số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh” kích thích sự sáng tạo tính ham học hỏi, ham khám phá của học sinh.
- “ Ứng dụng Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán về Số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh” giúp học sinh yêu thích học tập môn toán hơn, thấy được sự “ gần gũi ’’ giữa Hình học và Đại số.
- “ Ứng dụng Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán về Số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh” có thể giúp học sinh phát huy tối đa sự tự học,tự bồi dưỡng tri thức – một con đường tiết kiệm , kinh tế nhất để học tập tốt.
2.3.Các biện pháp giải quyết vấn đề.
 2.3.1.Bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức .
Bài toán cơ bản: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện K cho trước.
Phương pháp chung:
+ Bước 1: Gọi M(x ; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi, (x,y).
+ Bước 2: Biến đổi điều kiện K để tìm mối liên hệ giữa x, y và kết luận.
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: 
Giải
Gọi M(x ; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi, (x,y).
Ta có:
Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường thẳng (d): .
Bài tập tương tự: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện sau: là số thực.
Học sinh giải tương tự . Đáp số:Tập hợp điểm M là đường thẳng 
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: 
Giải
Gọi M(x ; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi, (x,y).
Ta có:
Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường tròn (C) tâm ,bán kính R = 3 có phương trình:.
Bài tập tương tự: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện sau: .
Học sinh giải tương tự. Đáp số: Tập hợp điểm M là đường tròn .
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: .
Giải
Gọi M(x ; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi, (x,y), số có điểm biểu diễn là , số có điểm biểu diễn là . Số phức thỏa mãn: , suy ra M thuộc đường elip có ,tiêu điểm , do đó Elip có phương tình trình chính tắc:
. 
Bài tập tương tự: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện sau: .
Học sinh giải tương tự . Đáp số: Tập hợp điểm M là đường Elip .
 2.3.2.Bài toán tìm số phức có mô đun lớn nhất nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện cho trước.
Bài toán cơ bản: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (*) cho trước. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của .
Phương pháp chung:
+ Bước 1: Tìm tập hợp (H) các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện (*).
+ Bước 2: Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M sao cho khoảng cách OM lớn nhất, nhỏ nhất.
2.3.2.1.Dạng 1 : Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng .
Ví dụ 1.1 . Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện , tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất.
Giải
Gọi là số phức có điểm biểu diễn hình học là , số phức có điểm biểu diễn hình học là A(2 ; 4), số phức có điểm biểu diễn hình học là B(0 ; 2). Khi đó ta có:
Suy ra điểm M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên đường thẳng có phương trình:
Ta có : . 
Điểm M thuộc nên Véc tơ chỉ phương của 
là:.Do đó .Số phức cần tìm là :.
Bài tập tương tự: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện , tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất.
Học sinh giải tương tự . Đáp số : .
Ví dụ 1.2. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện , tìm giá trị nhỏ nhất của 
Giải.
Gọi là số phức có điểm biểu diễn hình học là , số phức có điểm biểu diễn hình học là A(9 ; 10), số phức có điểm biểu diễn hình học là B(-1 ; 4). Khi đó ta có:
Suy ra điểm M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên đường thẳng có phương trình: 
Gọi C(2 ; -1) là điểm biểu diễn hình học của số phức , khi đó ta có . Số có mô đun nhỏ nhất khi MC ngắn nhất, tức là điểm M là hình chiếu vuông góc của điểm C trên đường thẳng . Điểm M thuộc nên tọa độ điểm , véc tơ , Véc tơ chỉ phương của là: .Giải điều kiện: 
Suy ra min
Cách tính khác: Ta có min. Phương trình tổng quát của là:
, khoảng cách: [4].
 Bài tập tương tự: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện , tìm giá trị nhỏ nhất của 
Học sinh giải tương tự . Đáp số : .
Ví dụ 1.3. Cho số phức z thỏa mãn Tìm số phức z để nhỏ nhất .
Giải
Gọi là số phức có điểm biểu diễn hình học là , số phức có điểm biểu diễn là A(5 ; -6), số phức có điểm biểu diễn là B(15;0). Khi đó ta có:
 Suy ra điểm M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên đường thẳng có phương trình: .
số phức có điểm biểu diễn là C(2;-1), số phức có điểm biểu diễn là D(-6;1). 
Biểu thức P nhỏ nhất khi nhỏ nhất
Đặt , ta có các giá trị , . Suy ra C, D thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng. Do đó nhỏ nhất khi , với C’ là điểm đối xứng của điểm C qua đường thẳng .
Đường thẳng qua C và vuông góc với có phương trình: thay vào phương trình của ta có : (Với ) . Phương trình của đường thẳng DC’: , thay vào phương trình của ta được . Tọa độ điểm 
 Số phức cần tìm là 
[4]
Nhận xét : Ở ví dụ1.3 ta thấy bài toán quy về việc tìm M nằm trên đường thẳng cho trước sao cho tổng khoảng cách MC + MD nhỏ nhất với 2 điểm C, D cố định cho trước.
Bài toán này là bài toán cơ bản, ta có cách giả như sau:
+ Nếu C, D nằm về hai phía đối với 
 thì với mọi điểm 
Vậy MC + MD nhỏ nhất là 
MC + MD = CD
 thẳng hàng hay .
 + Nếu C, D nằm về cùng một phía đối với thì 
gọi C’ là điểm đối xứng với C qua . Khi đó,
với mọi điểm 
Vậy MC + MD nhỏ nhất bằng C’D khi và chỉ khi 
 thẳng hàng hay .
Bài tập tương tự: 
Cho số phức z thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Học sinh giải tương tự . Đáp số : .
2.3.2.2.Dạng 2 : Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn .
Bài toán công cụ 1. Cho đường tròn cố định có tâm I bán kính R và điểm A cố định. Điểm M di động trên đường tròn . Hãy xác định vị trí điểm M sao cho AM lớn nhất, nhỏ nhất.
Giải:
TH1: A thuộc đường tròn (T) 
Ta có: AM đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng với A
 AM đạt giá trị lớn nhất bằng 2R khi M là điểm đối xứng với A qua I
TH2: A không thuộc đường tròn (T)
Gọi B, C là giao điểm của đường thẳng qua A,
I và đường tròn (T); 
Giả sử AB < AC.
+) Nếu A nằm ngoài đường tròn (T) 
thì với điểm M bất kì trên (T), ta có:
.
 Đẳng thức xảy ra khi 
. 
Đẳng thức xảy ra khi 
+) Nếu A nằm trong đường tròn (T) thì với điểm
 M bất kì trên (T), ta có:
. 
Đẳng thức xảy ra khi 
.
Đẳng thức xảy ra khi . Vậy khi M trùng với B thì AM đạt gía trị nhỏ nhất.
Vậy khi M trùng với C thì AM đạt gía trị lớn nhất.
Bài toán công cụ 2. 
Cho hai đường tròn có tâm I, bán kính R1; đường tròn có tâm J, bán kính R2. Tìm vị trí của điểm M trên , điểm N trên sao cho MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Giải:
Gọi d là đường thẳng đi qua I, J; d cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A, B (giả sử JA > JB) ; d cắt tại hai điểm phân biệt C, D ( giả sử ID > IC).
Với điểm M bất khì trên và điểm N bất kì trên .Ta có: 
 .
Đẳng thức xảy ra khi M trùng với A và N trùng với D . 
Đẳng thức xảy ra khi M trùng với B và N trùng với C.
 Vậy khi M trùng với A và N trùng với D thì MN đạt giá trị lớn nhất.
 khi M trùng với B và N trùng với C thì MN đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài toán công cụ 3. Cho hai đường tròn có tâm I, bán kính R; đường thẳng không có điểm chung với . Tìm vị trí của điểm M trên , điểm N trên sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d
Đoạn IH cắt đường tròn tại J
Với M thuộc đường tròn thẳng ,
. 
 N thuộc đường thẳng , ta có: 
Đẳng thức xảy ra khi 
Vậy khi M trùng với J; N trùng với H thì MN đạt giá trị nhỏ nhất [5].
Ví dụ 2.1: Trong các số phức thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của .
Giải:
Cách 1 
Gọi biểu diễn cho số phức trong hệ toạ độ Oxy
Vậy điểm M biểu diễn cho số phức z thuộc đường tròn (T) có tâm , bán kính R = 4.
; nên O nằm ngoài đường tròn (T)
 lớn nhất khi OM lớn nhất, nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất.
(Bài toán qui về Bài toán công cụ 1- Trường hợp 2)
Đường thẳng OI cắt đường tròn (T) tại hai điểm phân biệt 
Với M di động trên (T), ta có: 
 OM nhỏ nhất khi M trùng với A; OM lớn nhất khi M trùng với B
Vậy nhỏ nhất bằng 1 khi ; lớn nhất bằng 9 khi 
 Cách 2
Gọi 
 biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy
 biểu diễn cho số phức 
; 
Theo giả thiết .
Ta có: ; khi ; khi 
Vậy nhỏ nhất bằng 1 khi ; lớn nhất bằng 9 khi 
Nhận xét: Ngoài ra bài toán trên có thể giải bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia-Cốpxki hoặc phương pháp lượng giác hoá.
Ví dụ 2.2. Trong các số phức z1, z2 thoả mãn: , tìm số phức z1, z2 sao cho đạt giá trị lớn nhất.
Giải:
Gọi là những số thực); được biểu diễn bởi điểm M(a; b); được biểu diễn bởi điểm N(c; d) trong mặt phẳng toạ độ Oxy
 suy ra M thuộc đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R = 1.
 suy ra M thuộc đường tròn tâm J(6; 6), bán kính R' = 6.
.
(Bài toán được qui về Bài toán công cụ 2)
Đường thẳng IJ có phương trình y = x. Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm I tại hai điểm
Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm J tại hai điểm .
 khi 
Vậy thì đạt giá trị lớn nhất.
 Ví dụ 2.3 Cho các số phức thoả mãn: là một số thực. Tìm số phức sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Gọi 
 lần lượt biểu diễn cho trong hệ toạ độ Oxy
 M thuộc đường tròn có tâm O, bán kính R = 1 
 là số thực 
 N thuộc đường thẳng 
Ta có nên và không có điểm chung
 (vì )
(Bài toán được qui về Bài toán công cụ 3)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên 
Đoạn OH cắt đường tròn tại 
Với N thuộc đường thẳng , M thuộc đường tròn , ta có: 
. 
Đẳng thức xảy ra khi 
. 
Đẳng thức xảy ra khi 
 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi .[5]
 Bài tập
1. Nếu các số phức z thỏa mãn thì có giá trị lớn nhất bằng:
A. 3. B. 5 . C. . D. . 
 Học sinh tự giải. Đáp số: max Chọn đáp án A.
2. “Trong tất cả các số phức z thỏa mãn , tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất” [4] .
 Học sinh tự giải. Đáp số: 
2.3.2.3.Dạng 3 : Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường E líp .
Ví dụ : Trong các số phức thoả mãn điều kiện. Tìm số phức z có môđun lớn nhất .
Giải:
Gọi 
 biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy
; 
(với ) có tâm O, trục lớn bằng 10; tiêu cự bằng 6
lớn nhất ,,
Vậy lớn nhất bằng 5 khi [6].
Bài tập tương tự:
Trong các số phức thoả mãn điều kiện. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn nhất.
Học sinh giải tương tự. Đáp số: 
 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 
Sáng kiến này tôi thực hiện từ năm học 2015-2016 và tiếp tục hoàn thiện vào năm học 2017-2018. Kết quả thu được là rất khả quan. Sau đây là kết quả kiểm nghiệm:
Năm học 2015-2016 (Kiểm nghiệm ở lớp 12A3):
Kết quả
Tổng số học sinh