SKKN Ứng dụng kiến thức hàm số mũ và lôgarit để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh trường THPT Tĩnh Gia 3

MỤC LỤC
NỘI DUNG
TRANG
I. Mở đầu
1
1.1.Lý do chọn đề tài
1
1.2.Mục đích nghiên cứu
1
1.3.Đối tượng nghiên cứu
2
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2
II. Nội dung nghiên cứu
2
 2.1.Cơ sở lý luận
3
 2.1.1.Kiến thức cơ bản về lũy thừa và hàm số mũ
3
 2.1.2.Kiến thức cơ bản về hàm số lôgarit
4
 2.1.3.Sự tăng trưởng (hay suy giảm) mũ
5
 2.2.Thực trạng của đề tài
6
 2.3.Các biện pháp giải quyết vấn đề
6
 2.3.1.Bài toán lãi suất ngân hàng
6
 2.3.1.1.Bài toán1 : Tính lãi đơn 
6
 2.3.1.2.Bài toán 2 : Tính lãi kép
7
 2.3.1.3.Bài toán 3:Vay trả góp 
10
 2.3.2.Các bài tập liên quan đến môn vật lý,sinh học và địa lý
12
 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
15
III. Kết luận, kiến nghị
16
 3.1. Kết luận
16
 3.2. Kiến nghị
16
Tài liệu tham khảo
18
I.MỞ ĐẦU.
1.1.Lý do chọn đề tài
 	 Như chúng ta đã biết năm 2017 kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, môn toán sẽ thi theo hình thức trắc nghiệm.Trong số 50 câu trắc nghiệm sẽ có các bài toán áp dụng kiến thức toán học để giải các bài toán thực tế hoặc các bài toán liên quan đến các môn học khác.Một thực tế đáng buồn là nhiều học sinh vẫn còn rất lúng túng thậm chí không biết cách giải khi gặp các câu hỏi liên quan đến các bài toán vận dụng toán học vào thực tế và vào giải các bài toán liên quan đến môn học khác.
Để đáp ứng với sự phát triển của kinh tế tri thức và sự phát triển của khoa học thì ngay từ bây giờ khi ngồi trên ghế nhà trường phải dạy cho học sinh tri thức để tạo ra những con người lao động, tự chủ, năng động sáng tạo và có năng lực để đáp ứng được những yêu cầu phát triển của đất nước và cũng là nguồn lực thúc đẩy cho mục tiêu kinh tế - xã hội, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc. Chính vì thế dạy học toán ở trường trung học phổ thông phải luôn gắn bó mật thiết với thực tiễn đời sống.
Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học ở trường trung học phổ thông nhìn chung mới chỉ tập chung rèn luyện cho học sinh vận dụng trí thức học toán ở kỹ năng vận dụng tư duy tri thức trong nội bộ môn toán là chủ yếu còn kĩ năng vận dụng tri thức trong toán học vào nhiều môn khác vào đời sống thực tiễn chưa được chú ý đúng mức và thường xuyên. 
Những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản xuất còn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình toán phổ thông nói chung cũng như trong chương trình toán 12 nói riêng.
Như vậy, trong giảng dạy toán nếu muốn tăng cường rèn luyện khả năng và ý thức ứng dụng, toán học cho học sinh nhất thiết phải chú ý mở rộng phạm vi ứng dụng, trong đó ứng dụng vào thực tiễn cần được đặc biệt chú ý thường xuyên, qua đó góp phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn làm cho toán học không trừu tượng khô khan và nhàm chán. Học sinh biết vận dụng kiến thức đã học để giải quyết trực tiếp một số vấn đề trong cuộc sống và ngược lại. Qua đó càng làm thêm sự nổi bật nguyên lý: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”. Chính vì vậy tôi xin được trao đổi với quý đồng nghiệp đề tài: “Ứng dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh ở trường THPT Tĩnh Gia 3’’.Với mục đích giúp học sinh lớp 12 nắm vững cách vận dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải các bài toán thực tế, các bài toán liên môn. Đặc biệt có thể giúp học sinh lớp 12 chuẩn bị ôn luyện tốt kiến thức cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia . 
	1.2.Mục đích nghiên cứu 
 Mục đích nghiên cứu của đề tài là làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn tăng cường vận dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải các bài toán có nội dung thực tiễn .
 - Phân tích và xây dựng phương án dạy học có nhiều nội dung toán học thể hiện về mối liên hệ giữa toán học với các môn học khác và thực tiễn, các bài toán thực tiễn đã được đưa vào giảng dạy ở trung học phổ thông. Qua đó thấy được ý nghĩa: “Học đi đôi với hành”. 
 - Biết vận dụng toán vào giải các bài tập thực tế và các bài tập môn học khác. 
 - Góp phần nâng cao tính thực tế, chất lượng dạy học môn toán ở trường THPT.
 - Giúp học sinh ôn luyện tốt kiến thức chuẩn bị cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia.
	1.3. Đối tượng nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, đối tượng nghiên cứu của đề tài là:
- Nghiên cứu về tính thực tiễn, tính ứng dụng của hàm số mũ và lôgarit.
- Toán học liên hệ với thực tiễn đựơc thể hiện như thế nào trong một số nội dung của chương trình toán lớp 12.
- Tìm hiểu thực tiễn dạy học môn toán 12 và vấn đề tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn hoặc các bài tập môn học khác vào giảng dạy.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
 Sử dụng các phương pháp nghiên cứu chuyên ngành lí luận và phương pháp giảng dạy môn toán đã học được tập trung vào các phương pháp sau:
 - Phương pháp nghiên cứu lý luận.
 - Phương pháp điều tra quan sát thực tiễn,thu thập thông tin. 
 - Thực nghiệm sư phạm.
II.NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
2.1.Cơ sở lý luận
 Theo nghị quyết số 29-NQ/TW , ngày 4 tháng 11 năm 2013-nghị quyết hội nghị trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản,toàn diện giáo dục và đào tạo nêu rõ: nhiệm vụ trung tâm trong trường học là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Trong các văn kiện trình Đại hội XII,Đảng ta nhấn mạnh sự quan tâm đặc biệt và làm rõ hơn lập trường,quan điểm,tính nhất quán về sự cần thiết phải đổi mới căn bản,toàn diện giáo dục,đào tạo,phát triển nguồn nhân lực.
 Hiện nay giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới. Ta đã biết Unesco đã đề ra 4 trụ cột của giáo dục trong thế kỉ 21 là: “ học để biết, học để làm, học để cùng chung sống, học để khẳng định mình” (Learning to know, Learning to do, Learning to live together and learning to be Theo: 
). Chính vì thế vai trò của các bài toán có nội dung liên quan đến môn học khác hoặc nội dung thực tế trong dạy học toán là không thể không đề cập đến. 
 Vai trò của toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thể hiện ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội, đặc biệt là với máy tính điện tử, toán học thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá trong sản xuất, mở rộng nhanh phạm vi ứng dụng và trở thành công cụ thiết yếu của mọi khoa học. Toán học có vai trò quan trọng như vậy không phải là do ngẫu nhiên mà chính là sự liên hệ mật thiết với môn học khác và liên hệ thường xuyên với thực tiễn, lấy thực tiễn làm động lực phát triển và là mục tiêu phục vụ cuối cùng. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn lao động sản xuất của con người và ngược lại toán học là công cụ đắc lực giúp con người chinh phục và khám phá thế giới tự nhiên, một số ngành khoa học luôn cần toán học phát triển trước và toán học là công cụ để lĩnh vực đó phát triển .
 Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh lớp 12 vận dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh.Giúp học sinh chuẩn bị tốt kiến thức cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia.
 Để vận dụng tốt phương trình tham số của đường thẳng ta cần nắm vững kiến thức trình bày ở chương II trong sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản nhà xuất bản giáo dục Việt Nam năm 2009 như sau:
 2.1.1.Kiến thức cơ bản về lũy thừa và hàm số mũ
+Các định nghĩa:
 ; 
 ; 
 ; 
 ; ( )
+Các tính chất: Cho a,b là các số thực dương,m,n là các số thực thùy ý:
 ; ; 
 ; 
Hàm số mũ: Dạng: ; ( a > 0 , a1 )
Tập xác định: 
Tập giá trị : ( vì ở đây )
Tính đơn điệu:
 	* a > 1 : đồng biến trên 
	* 0 < a < 1 : nghịch biến trên 
Đồ thị hàm số mũ:
 0<a<1
 y=ax
0
 a>1
 y=ax
0
 2.1.2.Kiến thức cơ bản về hàm số lôgarit
Định nghĩa Với a > 0 , a 1 và N > 0 : Điều kiện có nghĩa: có nghĩa khi và chỉ khi và N >0 
Các tính chất:
+ ; ; 
 + 
+ ; 
+ Đặc biệt: 
. Công thức đổi cơ số
 Hệ quả
 và 
 Hàm số lôgarít Dạng ( a > 0 , a 1 )
Tập xác định: (với )
Tập giá trị 
Tính đơn điệu:
* a > 1 : đồng biến trên 
* 0 < a < 1 : nghịch biến trên 
Đồ thị của hàm số lôgarit:
0<a<1
 y=logax
 a>1
 y=logax
+ ; 
 + 	; 
 + ; 
 + ; , (Trong đó u = u(x) có đạo hàm theo x)
	 2.1.3.Sự tăng trưởng (hay suy giảm) mũ
- Sự tăng trưởng(hay suy giảm) mũ được đặc trưng bởi một hàm số mà đạo hàm của nó tại mỗi điểm đều tỉ lệ với giá trị của hàm số tại điểm đó với hệ số tỉ lệ không đổi,tức là hàm số y = f(x) thỏa mãn điều kiện: (1)
(xét trên một khoảng nào đó) trong đó k là một hằng số khác 0 nào đó.Số k gọi là tỉ lệ tăng trưởng khi k > 0 và được gọi là tỉ lệ suy giảm khi k <0.
Người ta đã chứng minh được rằng: Hàm số y = f(x) thỏa mãn điều kiện (1) khi và chỉ khi nó có dạng (với C là hằng số tùy ý) (2)
Ví dụ trong thực tế,nhiều hiện tượng tự nhiên, xã hội có tính chất tăng trưởng( hay suy giảm) mũ như : vấn đề lãi kép liên tục,vấn đề tăng trưởng dân số,vấn đề sinh sôi của vi trùng,vấn đề phân hủy của phóng xạ...
	2.2.Thực trạng của đề tài
- Trong sách giáo khoa Toán 12 hiện nay các bài tập về vận dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải các bài toán thực tế,các bài toán liên quan đến vật lý,sinh học,địa lý,hóa học có số lượng rất hạn chế. Hầu hết học sinh đều gặp khó khăn khi giải các bài toán dạng này.
 - “Ứng dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh ở trường THPT Tĩnh Gia 3’’cho ta phương pháp giải các bài toán liên quan đến thực tế một cách dễ hiểu hơn đối với các đối tượng học sinh có học lực trung bình trở lên.
- “Ứng dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh ở trường THPT Tĩnh Gia 3’’kích thích sự sáng tạo tính ham học hỏi,ham khám phá của học sinh.
- “Ứng dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh ở trường THPT Tĩnh Gia 3’’ giúp học sinh yêu thích học tập môn toán hơn, thấy được “vẻ đẹp’’ và tính thực tiễn của toán học.
- “Ứng dụng kiến thức về hàm số mũ và lôgarit để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh ở trường THPT Tĩnh Gia 3’’
có thể giúp học sinh phát huy tối đa sự tự học,tự bồi dưỡng tri thức – một con đường tiết kiệm , kinh tế nhất để học tập tốt.
2.3.Các biện pháp giải quyết vấn đề.
 2.3.1.Bài toán lãi suất ngân hàng.
2.3.1.1.Bài toán1 : Tính lãi đơn .
 Một người gửi số tiền M vào ngân hàng theo thể thức lãi đơn với lãi suất r% trên một kỳ hạn,gọi Tn là tổng số tiền cả vốn lẫn lãi người đó có được sau n kỳ hạn.Hãy tính Tn.
Cách giải: Số tiền người đó thu được cả vốn lẫn lãi sau 1 kỳ hạn là: M+M.r
Số tiền người đó thu được cả vốn lẫn lãi sau 2 kỳ hạn là: M+Mr +Mr =M(1+2r)
Cứ như thế ta tính được số tiền thu được cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn là: 
 Tn=M(1+n.r) ( I)
Ví dụ 1. Ông A gửi 100.000.000 đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi đơn với lãi suất 0,6% trên một tháng.Tính cả vốn lẫn lãi ông A có được sau 7 tháng,biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A gửi tiền.
Giải
Ta có số tiền ông A thu được cả vốn lẫn lãi sau 7 tháng là:
100000000(1+7.0,006) = 104200000 đồng
 2.3.1.2.Bài toán 2 : Tính lãi kép.
 Ta đã biết lãi kép là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền vốn mà còn tính trên số tiền lãi do tiền vốn đó sinh ra thay đổi theo định kỳ.
Dạng 1: Lãi kép, gửi một lần: Một người gửi số tiền M vào ngân hàng theo thể thức lãi kép với lãi suất r% trên một kỳ hạn,gọi Tn là tổng số tiền cả vốn lẫn lãi người đó có được sau n kỳ hạn.Hãy tính Tn.
Cách giải: Số tiền người đó thu được cả vốn lẫn lãi sau 1 kỳ hạn là: M(1+r)
Số tiền người đó thu được cả vốn lẫn lãi sau 2 kỳ hạn là:M(1+r)(1+r) = M(1+r)2
Cứ như thế ta tính được số tiền thu được cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn là: 
Tn =M(1+r)n-1 + M(1+r)n-1.r = M(1+r)n
Vậy : Tn =M(1+r)n (II)
Trong đó: M là tiền vốn ban đầu,r là lãi suất(%) trên một kỳ hạn, n là số kỳ hạn, Tn là tiền vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn.
Từ công thức (II):Tn =M(1+r)n ta tính được các đại lượng khác như sau:
 (IIa) và (IIb) ; (IIc) 
Ví dụ 2. Ông B gửi 100000000 đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép với lãi suất 0,6% trên một tháng.Tính cả vốn lẫn lãi ông B có được sau 7 tháng,biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông B gửi tiền
Giải
Ta có số tiền ông B thu được cả vốn lẫn lãi sau 7 tháng là:
100000000(1+.0,006)7 = 104276360,6 đồng
Nhận xét .So với thể thức lãi đơn cho ở Ví dụ 1 thì thể thức gửi tiết kiệm lãi kép ở Ví dụ 2 người gửi có lợi hơn. 
Ví dụ 3. Ông C gửi 100000000 đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép với lãi suất 0,63% trên một tháng.Hỏi để được 120000000đ thì ông C phải gửi tiết kiệm trong bao lâu,biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông C gửi tiền
Giải
Áp dụng công thức (IIa) ta có số tháng phải gửi là:(tháng)
 Vậy ông C cần phải gửi 29 tháng
Ví dụ 4. Ông D gửi 100000000 đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép trong thời gian 8 tháng thì nhận được cả vốn lẫn lãi là 105739137 đồng.Hãy tìm lãi suất hàng tháng,biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông D gửi tiền.
Giải
Áp dụng công thức (IIb) ta có lãi suất hàng tháng là: 
Dạng 2: Lãi kép, gửi định kỳ:
 Trường hợp 1: Tiền được gửi vào cuối mỗi tháng. Ta có bài toán: Một người cứ vào cuối mỗi tháng lại gửi số tiền là M vào ngân hàng theo thể thức lãi kép với lãi suất r % trên một tháng.Tính tổng số tiền Tn cả vốn lẫn lãi mà người đó có được ở thời điểm cuối tháng thứ n.
Cách giải:
Cuối tháng thứ nhất và cũng là lúc người đó bắt đầu gửi tiền :T1 = M
Cuối tháng thứ hai người đó có số tiền là:
Cuối tháng thứ ba người đó có số tiền là:
Cứ như thế cuối tháng thứ n,người đó có số tiền là: 
Vậy: (III). Trong đó M là tiền vốn ban đầu,r là lãi suất(%) hàng tháng, n là số tháng, Tn là tiền vốn lẫn lãi sau n tháng.
Từ công thức (III) ta cũng tính được các đại lượng khác như sau:
 (IIIa); và (IIIb)
 Trường hợp 2: Tiền được gửi vào đầu mỗi tháng.
Giải như trường hợp 1 với chú ý là cuối tháng thứ nhất người đó có số tiền là 
T có số tiền có được vào tháng thứ n là: (IV) 
Trong đó M là tiền vốn ban đầu,r là lãi suất(%) hàng tháng, n là số tháng, Tn là tiền vốn lẫn lãi sau n tháng.
Từ công thức (IV) suy ra () và ()
Ví dụ 5(Trích đề thi thử THPT quốc gia,trường THPT Yên Hòa – Hà Nội)
Bác Bình cần sửa lại căn nhà với chi phí 1 tỉ đồng.Đặt kế hoạch sau 5 năm phải có đủ số tiền trên thì mỗi năm bác Bình cần gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm như nhau gần nhất bằng giá trị nào sau đây,biết rằng lãi suất của ngân hàng là 7% /năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn.
 A. 162 triệu đồng. B. 162,5 triệu đồng. 
 C. 162,2 triệu đồng. D. 162,3 triệu đồng.
Giải
Áp dụng công thức (IV): suy ra:
 .Thay số ta có:
M=đồng
 Do đó ta chọn đáp án B.
Ví dụ 6(Trích đề thi thử THPT quốc gia,trường THPT Tiên Du 1 – Bắc Ninh).
Một sinh viên X trong thời gian học 4 năm đại học đã vay ngân hàng mỗi năm 10 triệu đồng với lãi suất bằng 3%/năm(thủ tục vay một lần vào thời điểm đầu năm học).Khi ra trường X thất nghiệp chưa trả được tiền cho ngân hàng nhưng phải chịu lãi suất 8%/ năm. Sau 1 năm thất nghiệp sinh viên X cũng tìm được việc làm và bắt đầu trả nợ dần.Tính tổng số tiền sinh viên X nợ ngân hàng trong 4 năm đại học và 1 năm thất nghiệp?
 A.46.538.667 đồng B. 43.091.538 đồng
 C. 48.621.980 đồng D. 45.188.656 đồng
Giải
Nhận xét: Bài toán này khi tính tiền nợ 4 năm mà sinh viên X nợ ngân hàng cũng tương tự như bài toán lãi kép gửi định kỳ nhưng ở đây ta hiểu là sinh viên nợ ngân hàng trái với gửi tiết kiệm định kỳ.Ta có các bước giải như sau:
Bước 1: Tính số tiền sinh viên X nợ ngân hàng trong 4 năm đại học.
Áp dụng công thức (IV) , ở đây thay n =4 , M=10000000 đồng, r = 3% =0,03, ta có đồng
Bước 2: Tính tổng số tiền nợ của sinh viên X.
 Vì sau khi ra trường lãi suất ngân hàng là 8% nên tổng số tiền nợ của sinh viên X là : đồng
Do đó chọn đáp án A
 2.3.1.3.Bài toán 3:Vay trả góp.
 Một người cần vay số tiền là M,lãi suất r(%) hàng tháng,n là số tháng phải trả,A là số tiền phải trả vào hàng tháng để sau n tháng là hết nợ. Hãy tính A.
Cách giải:
Số tiền gốc cuối tháng 1: M+ M.r – A = M(r+1) – A
Số tiền gốc cuối tháng 2:
[ M(r+1) – A]+ [ M(r+1) – A]r – A = M(r+1)2 – A[(r+1)+1]
Số tiền gốc cuối tháng 3:
[M(r+1)2 – A[(r+1)+1]](1+r) –A = M(r+1)3 – A[(r+1)2+(r+1)+1]
.......
Số tiền gốc cuối tháng n: M(r+1)n – A[(r+1)n-1+(r+1)n-2+....+(r+1)+1]
Trả hết nợ sau n tháng,số tiền sẽ bằng 0 do đó:
M(r+1)n – A[(r+1)n-1+(r+1)n-2+....+(r+1)+1] = 0
Đặt x = r + 1. Ta có: Mxn =A(xn-1+xn-2 +....+ x + 1)
Vậy A = (V)
Trong đó M là số tiền cần vay ,r(%) là lãi suất hàng tháng,n là số tháng phải trả,A là số tiền phải trả vào hàng tháng để sau n tháng là hết nợ.
Từ công thức (V): A = suy ra ()
Và ()
Ví dụ 7(Trích đề thi minh họa của Bộ Giáo dục & Đào tạo)
Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách : Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số tiền m mà ông A sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu ? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.
 A. (triệu đồng). B. (triệu đồng) .
 C. (triệu đồng). D. (triệu đồng).
Giải
Ta áp dụng kết quả của bài toán 3:
Ta có lãi suất 12% / 1 năm tương ứng 1%/ tháng 
Gọi M là số tiền gốc mà ông A vay, M = 100 triệu,lãi suất r = 1%/tháng,số tiền trả mỗi lần là m. Số tháng trả n = 3. Thay A= m, M= 100 triệu, r= 0,01 và n = 3 vào công thức (V): A = ta có :
m (triệu đồng) => chọn đáp án B 
Ví dụ 8(Trích đề khảo sát lớp 12,sở Giáo dục & Đào tạo Thanh Hóa năm 2017)
Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất là 0,7%/tháng theo thỏa thuận cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 5 triệu đồng và cứ trả hàng tháng như thế cho đến khi hết nợ (tháng cuối cùng có thể trả dưới 5 triệu).Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả hết nợ ngân hàng.
A. 21 B. 23 C. 22 D. 24
Giải
Áp dụng kết quả bài toán 3 ta thấy ở đây cho số tiền vay M = 100000000đồng, lãi suất hàng tháng r=0,7% = 0,007 và số tiền hàng tháng A = 5000000 đồng,cần tính số tháng n, ta chỉ cần thay vào công thức ():
 => 
Do đó số tháng để trả hết nợ là 22 tháng. Ta chọn đáp án C
2.3.2.Các bài tập liên quan đến môn vật lý,hóa học,sinh học và địa lý:
Bài 1 (Trích đề khảo sát lớp 12,sở Giáo dục & Đào tạo Thanh Hóa, tháng 4 năm 2017). Cho biết chu kì bán rã của chất phóng xạ radi là 1062 năm ( tức là một lượng sau 1062 năm phân hủy thì chỉ còn một nửa).Sự phân hủy được tính theo công thức ,trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu,r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r < 0), t là thời gian phân hủy,S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t.Hỏi 5 gam sau 4000 năm phân hủy còn lại bao nhiêu gam(làm tròn đến 3 chữ số thập phân)?
A. 0.886 (gam) B. 1,023 (gam) C. 0,795 (gam) D.0,923 (gam)
Giải
Gọi là chu kì bán rã, suy ra : .
Do đó: (gam) 
 Ta chọn đáp án A.
Bài 2 (Bài tập 46 sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao trang 97,NXB Giáo dục Việt Nam năm 2012).Chu kỳ bán hủy của chất phóng xạ plutôni là 24360 năm( tức là một lượng plutôni sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa).Sự phân hủy được tính theo công thức,trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu,r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r < 0), t là thời gian phân hủy,S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi 10 gam sau bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn một gam?.
Giải
Bước 1: Tính tỉ lệ phân hủy hàng năm của .
Áp dụng công thức : ta có 
Bước 2: Tính thời gian để 10 gam sẽ phân hủy còn một gam.
Thay S =1(gam),A =10(gam) ,r= vào công thức ta có: (năm)
Vậy sau khoảng 82235 năm thì 10 gam sẽ phân hủy còn một gam.
Bài 3. ( Tạp chí toán học và tuổi trẻ số 475,tháng 1 năm 2017).
 Các loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượ