SKKN Ứng dụng hình học giải các bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mô đun của số phức

MỤC LỤC 
1.Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài .............................................................................02 
1.2. Mục đích nghiên cứu........02 
1.3. Đối tượng nghiên cứu.......02 
1.4. Phương pháp nghiên cứu.........02 
1.5. Những điểm mới của SKKN...........................................................03 
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm : 
 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm......................................03
 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiêm....03 
2.3. Các nội dung, biện pháp tổ chức thực hiện..................................03
 a) Một số kiến thức về số phức: ....................................................03
 b) Lớp bài toán tìm GTLN – GTNN của một tổng hay hiệu các mô đun:.............................................................................................................04
 Bài toán 1:Tập hợp điểm biễu diễn số phức z là đường thẳng....04
 Bài toán 2:Tập hợp điểm biễu diễn số phức z là đường tròn.......05
 Bài toán 3:Tập hợp điểm biễu diễn số phức z là đường elip........07
 Bài toán 4:Các bài toán dạng khác.................................................13
 2.4. Những kết quả đạt được.................................................................15
3. Kết luận..........................................................................................................15 
 3.1. Kết luận.............................................................................................15
 3.2. Kiến nghị...........................................................................................16 
(*)Tài liệu tham khảo..........................................................................................17
1.Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài : 
 Số phức có vai trò quan trọng trong toán học, với sự xuất hiện của số i, một trong những ký hiệu thông dụng nhất trong toán học, đã dẫn đến việc định nghĩa số phức dạng z= a + bi, trong đó a, b là các số thực.Đối với chương trình toán học phổ thông số phức được đưa vào cuối cấp lớp 12, việc làm quen sử dụng và ứng dụng số phức vào giải toán đối với học sinh là một điều khó, mấy năm gần đây trong các đề thi THPT Quốc gia đã đề cập đến số phức ở những dạng toán đơn giản cho đến khó.Trong đề thi Quốc Gia, số phức tuy chiếm một tỉ trọng rất nhỏ nhưng có câu rất khó, chỉ các em thực sự giỏi mới làm được câu này. Vì vậy Tôi viết chuyên đề này với tham vọng nho nhỏ là nhằm giúp cho các em có một cái nhìn rõ ràng hơn về số phức, cũng như một số phương pháp điển hình để giải một bài toán số phức như : phương pháp Hình Học, phương pháp Bất Đẳng Thức,Đặc biệt, phương pháp Hình Học rất hữu ích trong lớp Bài toán về mô- đun số phức. 
 Để giúp các em hiểu sâu hơn về bản chất hình học của số phức và ứng dụng của số phức, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Ứng dụng hình học giải các bài toán giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất mô đun của số phức”.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Mục đích chính của Tôi khi nghiên cứu cực trị của số phức nhằm để phục vụ công tác giảng dạy tại trường và giúp đỡ học sinh. 
Bản chất cần được làm rõ của sáng kiến kinh nghiệm là nhìn thấy được lời giải hay của bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của số phức theo hướng hình học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng mà tôi hướng đến là học sinh lớp 12 trong trường THPT Mai Anh Tuấn và học sinh luyện thi THPT Quốc gia đặc biệt là học sinh khá giỏi.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp chủ yếu mà tôi sử dụng là thử nghiệm ở học sinh, tìm hiểu những khó khăn của các em trong quá trình học tập, nắm bắt được những điểm yếu của học sinh. Từ đó Tôi có thể điều chỉnh quá trình dạy học và đưa ra những phương pháp giúp các em tiếp cận phương pháp hình học trong giải toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mô đun của số phức .
Kiến thức phải được hệ thống một cách khoa học, tự nhiên; Đồng thời qua chuyên đề này, học sinh có một cái nhìn bản chất của số phức dưới con mắt hình học.
1.5. Những điểm mới của SKKN:
Số phức là chủ đề mới đối với học sinh phổ thông, đặc biệt là học sinh trung bình của trường THPT Mai Anh Tuấn vẫn còn là điều mới mẻ. Chính vì thế, Sáng kiến kinh nghiệm của bản thân tôi có thể giúp học sinh tiếp cận dễ dàng với giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất modun của số phức bằng phương pháp hình học. Bên cạnh đó, qua các bài toán có kèm theo những đánh giá, nhận xét, đó là tính mới trong sáng kiến của tôi.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm:
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến: 
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến: 
	Trong quá trình giảng dạy ở trường THPT, Tôi nhận thấy rằng học sinh chưa có kĩ năng giải các bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất mô đun của số phức.Đặc biệt, là kỹ năng hình học hóa các bài toán min, max .Nhằm trang bị cho bản thân những kiến thức cần thiết của một người giáo viên toán, thỏa mãn niềm đam mê toán học, khắc phục những yếu điểm của bản thân sau một thời gian công tác, đồng thời có thể giúp các em học sinh trang bị cho mình những kĩ năng tối thiểu trong việc tìm min, max của số phức, khơi dậy niềm đam mê học toán, phát triển và mở rộng những bài toán đã biết. Tôi mạnh dạn đưa ra những kinh nghiệm của bản thân về “Ứng dụng hình học giải các bài toán giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất mô đun của số phức”.
2.3. Các nội dung, biện pháp tổ chức thực hiện:
a) Một số kiến thức về số phức: 
1) Cho số phức 
 Mô đun số phức : 
 Mỗi số phức z được biễu diễn bởi điểm M(a ;b) hay véc tơ 
 Mỗi số phức z có thể đồng nhất với véc tơ 
 Tổng hiệu hai số phức có thể đồng nhất với tổng hiệu hai véc tơ
 Mô đun số phức z bằng độ dài véc tơ 
2) Cho số phức 
 . Dấu “=” xảy ra khi 
 . Dấu “=” xảy ra khi 
Gọi M, N lần lượt là điểm biễu diễn các số phứcthì 
Nếu M,I lần lượt là điểm biễu diễn các số phứcthì M thuộc đường tròn tâm I bán kính R.
Nếu M, A, B lần lượt là điểm biễu diễn các số phứcthì M thuộc đường trung trực của AB.
Dưới đây là một số Bài toán mà Tác giả sưu tầm cũng như tạo ra một số Bài toán mới. 
 b) Lớp bài toán tìm GTLN – GTNN của một tổng hay hiệu các mô đun:
Bài toán 1:Tập hợp điểm biễu diễn số phức z là đường thẳng
Ví dụ 1: Xét số phức z thỏa mãn là số thực.Tính .
Giải:Gọi .Ta có 
 là số thực .
Cách 1.Ta có 
Cách 2.Gọi là điểm biểu diễn của số phức z thì M di động trên đường thẳng Và là điểm biểu diễn của số phức -2 + 3i. . Ta có 
Nhận xét : Rõ ràng trong 2 cách trên thì cách 2 hay hơn, sinh động, dễ nhìn hơn cách 1.
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa điều kiện và . Tìm GTNN, GTLN của 
Giải: Đặt và M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z. Ta có 
 Vậy M chạy trên hai đường thẳng và và ở về phía bên phải
trục tung. Ta có : .Xét hai điểm 
5
C
O
A
B
y
x
1
 thì
Vậy M chạy trên đoạn gấp khúc AOB. Ta có 
với C(5; 0). Vậy 
Nhận xét:Nếu dùng phương pháp đại số thì rất khó để đánh giá.Tuy nhiên dùng hình học sẽ rất đơn giản.Cũng giả thiết đó nhưng thay đổi biểu thức P cách giải hoàn toàn tương tự.
Bài toán 2:Tập hợp điểm biễu diễn số phức z là đường tròn.
Ví dụ 1:Xét số phức z thỏa mãn . Gọi . Tìm 
Giải: Gọi là điểm biểu diễn số phức . Xét các điểm A(1; -5), B(-3; 2). Từ 
suy ra M nằm trên đường tròn (C ) tâm A, bán kính . Ta có P = MB. Từ đó ta có: và
Ví dụ 2.Cho số phức z thỏa mãn . Gọi . Tìm 
Giải: Gọi là điểm biểu diễn số phức z. Từ 
suy ra M nằm trên đường tròn (C ) tâm I(0;-2), bán kính . Xét điểm A(-3; -1). Ta có P = MA. Từ đó ta có
và
Ví dụ 3: Cho 2 số phức thỏa mãn và . Gọi . Tìm 
Giải: Gọi là điểm biểu diễn số phức . Từ , ta có N di động trên ∆. Gọi là điểm biểu diễn số phức . Từ ,ta có M di
động trên đường tròn (C ) tâm I(2;1), bán kính . . MN ngắn nhất khi 
 . Vậy 
Ví dụ 4: Cho 2 số phức thỏa mãn và . Gọi . Tìm 
Giải: Gọi là điểm biểu diễn số phức . Từ , ta có N di động trên ∆. Gọi là điểm biểu diễn số phức . Từ ,ta có M di
động trên đường tròn (C ) tâm I(3;0), bán kính . . MN ngắn nhất khi 
 . Vậy 
Ví dụ 5: Xét số phức z thỏa mãn là số ảo.Tính , 
Bài toán này có 3 cách giải.Nhưng tôi xin nêu 2 cách. Trước hết ta xem điểm biểu diễn số phức z là gì đã.
Giải:Gọi .Ta có 
 là số ảo .
đến đây ta có 2 cách giải
Cách 1. Đặt và và , với 
Ta có 
Vì 
Cách 2.Gọi là điểm biểu diễn của số phức z thì M di động trên đường tròn 
tâm , bán kính , trừ các điểm . Với là điểm biểu diễn của số phức w = -3-2i. . Ta có và 
Nhận xét: Rõ ràng cách dùng hình học đỡ mất thời gian và hay hơn cách lượng giác ở trên.
Bài toán 3:Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là Elip:
Bài toán 3.1: Phương trình dạng chính tắc 
Bài toán số phức tương ứng: Cho số phức thỏa mãn hoặc
 (Elip đứng). Tìm GTLN, GTNN của .
Giải
Tính 
Lập phương trình chính tắc của Elip với . Hoặc với .
Rút theo dạng: đối với tương tự đối với 
Thay vào ta được với 
Dùng chức năng TABLE của máy tính cầm tay Casio tìm ra GTLN và GTNN của hàm từ đó có .
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1.Cho 2 số phức thỏa mãn . Gọi . Tìm 
Phân tích:Biểu thức giả thiết là tổng khoảng cách từ điểm M đến 2 điểm cố định không đổi. Điều này gợi cho ta đến định nghĩa e líp.
Giải: Gọi lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức. Suy ra I là trung điểm của .Gọi là điểm biểu diễn của các số phức z. Ta có 
Ta có và đặt với 
Như vậy M di động trên Elip có độ dài trục lớn 2a = 8, và I, lần lượt là tâm và hai tiêu điểm của Elip. 
Ta quy về bài toán :”Tìm GTLN, GTNN của độ dài đoạn IM khi M di động trên Elip ’.
Vậy IM lớn nhất bằng a = 4, IM nhỏ nhất bằng . 
Ví dụ 2:Cho 2 số phức thỏa mãn . Gọi . Tìm 
Giải: Gọi lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức . Suy ra I là trung điểm của và .Gọi là điểm biểu diễn của các số phức z. Ta có 
Ta có . Đặt và . Khi đó 
Như vậy M di động trên Elip có độ dài trục lớn 2a = 26, và I, lần lượt là tâm và hai tiêu điểm của Elip.
Ta quy về bài toán :”Tìm GTLN, GTNN của độ dài đoạn IM khi M di động trên Elip ’.
Vậy IM lớn nhất bằng , IM nhỏ nhất bằng . Ta có 
Ví dụ 3: Xét số phức z thỏa mãn .Tìm GTLN –GTNN của Giải: Gọi là điểm biểu diễn của số phức z . Và xét hai điểm là trung điểm của . Hơn nữa ,. Ta xem M nằm trên E-lip có I là tâm và là hai tiêu điểm và có độ dài trục lớn 2a = 10. Gọi là điểm biểu diễn của số phức : 7 – 7i. Ta có : . Như vậy, A nằm trên trục lớn của E – líp. Và 
 nên A nằm ngoài E-líp.
 , 
Bấm TABLE các hàm với được GTLN, GTNN của 
Bài toán 3.2. Elip không chính tắc nhưng là trung điểm của tức là tâm của Elip
Bài toán số phức tương ứng: Cho số phức thỏa mãn với . Tìm GTLN, GTNN của . Với đặc điểm nhận dạng .

Giải
Tính 
Tính 
Vì A là tâm Elip và M di chuyển trên Elip nên:
lớn nhất bằng hay.
nhỏ nhất bằng hay .
Ví dụ minh họa
Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của .
Giải
Ta có . Ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN của.
Ta thấy và . Do đó 
Tính Vậy .
Vậy , Do đó 
Bài toán 3.3. Elip không có dạng chính tắc, không là trung điểm của nhưng nằm trên các trục của Elip
Bài toán 3.3.1: nằm trên trục Elip lớn và ngoài:
Dấu hiệu nhận biết: 
Thì và 
Bài toán 3.3.2: nằm trên trục lớn và ở phía trong Elip:
Dấu hiệu nhận biết: 
Thì . Còn GTNN không xác định nhanh được.
Bài toán 3.3.3. nằm trên trục nhỏ (bất kể trong hay ngoài) Elip:
Dấu hiệu nhận biết: 
Thì . Còn GTLN không xác định nhanh được.
Ví dụ minh họa:
Cho số phứcthỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của .
Giải:
. I là trung điểm của thì .
Có . Vậy thuộc .
Mặt khác . Vậy nằm ngoài Elip.
Vậy ; 
Bấm máy: thấy ngay 
+ Gán vào A; vào B và vào C.
+ Kiểm tra A, B, C thẳng hàng 
+ Kiểm tra A nằm ngoài Elip: 
+ Bấm ; 
ELIP SUY BIẾN
Bài toán: Cho số phứcthỏa mãn: nhưng có . Tìm GTLN, GTNN của 
Giải:
Bài toán tương đương với bài toán hình học . Tìm GTLN, GTNN của .
Giả thiết tương đương với M di chuyển trong đoạn thẳng . Do đó:
Viết phương trình đường thẳng với (ở đây lần lượt là hoành độ của )
Rút theo từ phương trình vào T được với 
Tìm GTLN, GTNN của trên đoạn .
Ví dụ minh họa:
Cho số phức thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của 
Giải
Với các quy ước từ ban đầu, có và . M là điểm biểu diễn . Có do đó thuộc đoạn thẳng .
Có nên phương trình tham số của . Với .
Có với .
Khảo sát hàm trên được GTNN của bằng 18, giá trị lớn nhất bẳng 130.
Vậy và .
Bài toán 4:Các bài toán dạng khác
Ví dụ 1:Cho 2 số phức thỏa mãn . Gọi . Tìm 
Giải: Gọi lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức . Đặt OA = , OB =. Dựng hình bình hành
OACB, với O là gốc tọa độ.Khi đó AB =
B
C
A
O
I
Ta có với véc tơ tương ứng với số phức z.
OC = . Xét tam giác OAB ta có
 Và 
 khi OA = OB với I là trung điểm đoạn AB.
Ví dụ 2:Cho các số phức z thỏa mãn . Tính .
Giải:Đặt 
Ví dụ 3:Cho 2 số phức z, w và có thỏa mãn . Tính .
Giải: Ta có 
Mô đun 2 vế ta được 
Ví dụ 4: Cho hai số phức thỏa mãn và . Tính 
Giải: Ta có: . Đặt 
Khi đó 
Cách 2: Chọn 
Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Giải: (BĐT Cauchy-swart)
Chú ý: với z = x + yi
Cách 2: Đặt z = x + yi ta có: 
Lại có 
Ta có: 
Ví dụ 6: Biết số phức z thỏa mãn phương trình Tính 
Giải: Ta có: 
2.4. Những kết quả đạt được, những kinh nghiệm rút ra, những sản phẩm chính của đề tài:
	- Qua thời gian thực nghiệm, học sinh đã nắm được những kĩ năng cơ bản nhất của việc nhìn,nhận dạng một bài toán số phức dưới con mắt hình học.
	- Kinh nghiệm cho thấy, những kiến thức cơ bản nhất phải được trang bị, bồi dưỡng cho các em ngay từ năm lớp 10. Không để đến gần thi cuối cấp mới dạy, lúc đó các em tiếp cận rất hạn chế.
	- Qua sáng kiến kinh nghiệm này, sản phẩm chính tôi thu được là niềm đam mê học toán của thầy và trò, những kĩ năng được trang bị làm cho tư duy người học ngày một phát triển.
	Sáng kiến kinh nghiệm này có thể triển khai và ứng dụng rộng rãi trong toàn bộ học sinh khối 12. Đặc biệt, có thể dùng để ôn thi học sinh giỏi và luyện thi THPT Quốc gia.
3. Kết luận, kiến nghị
 3.1 Kết luận.
 Qua một thời gian giảng dạy, nghiên cứu về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mô đun của số phức, những vướng mắt của học sinh do thiếu kĩ năng cơ bản về các phép biến đổi, đánh giá, nhìn nhận. Có thể nói sáng kiến kinh nghiệm của tôi thật sự cần thiết và hữu ích cho giáo viên và học sinh. Đặc biệt là giáo viên trẻ mới ra trường, còn non kinh nghiệm. 
Một lần nữa, tôi có thể khẳng định: Sáng kiến kinh nghiệm này là kết quả mà Tôi thu được sau một thời gian học tập, rèn luyện và nghiên cứu về số phức. Đồng thời, tích lũy những kinh nghiệm qua quá trình dạy học với đối tượng học sinh. Đó là sự kết tinh kiến thức đã qua nhiều thế hệ và là sự giúp đỡ, học hỏi từ đồng nghiệp. Một số bài toán có nêu lời giải đầy đủ, còn có một số bài chỉ vạch ra hướng giải.Hầu hết qua các bài tập đều có nhận xét để học sinh hoặc người đọc có thể cảm nhận sâu sắc hơn về bài toán. Do yếu tố thời gian, cũng như kiến thức và cách trình bày còn nhiều hạn chế. Rất mong được sự nhận xét, góp ý của quý đồng nghiệp và các em học sinh, để sáng kiến này được hoàn thiện hơn. Hy vọng rằng, tài liệu này có thể giúp ích cho quý đồng nghiệp và các em học sinh trong quá trình giảng dạy và học tập.
Trong thời gian tới, tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu để hoàn thiện hơn về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức. Nhằm từng bước hoàn thiện kĩ năng cho bản thân và tạo mũi nhọn cho nhà trường.
3.2.Kiến nghị:
Có thể dùng sáng kiến của tôi cho các em học sinh giỏi,các giáo viên có niềm đam mê về toán học một cách rộng rãi.Xin chân thành cảm ơn	
Nga sơn, tháng 5 năm 2018
Người viết đề tài
Trần Văn Thành
(*) DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn Toán – Thầy Trần Phương;
Trọng tâm kiên thức và phương pháp giải toán – Thầy Trần Bá Hà;
Hàm biến phức – Thầy Nguyễn Văn Khuê; Thầy Lê Mậu Hải
Bộ đề thi đại học, cao đẳng của Bộ GD và ĐT từ năm 2002 đến năm 2014;
90 đề thi thử Đại học, cao đẳng của nhà sách Lovebook – GSTT Group;
Một số kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mô đun của số phức trên mạng Internet.
Tạp chí toán học và tuổi trẻ
Website :toanmath.com
 ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG CHẤM SKKN	...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................