SKKN Ứng dụng của hệ thức Vi - Ét trong việc giải một số dạng toán THCS

MỤC LỤC
NỘI DUNG
TRANG
1. Mở đầu.
1
1.1. Lý do chọn đề tài.
1
1.2. Mục đích nghiên cứu 
2
1.3. Đối tượng nghiên cứu
2
1.4. Phương pháp nghiên cứu .
2
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2
2.1. Cơ sở lí luận
2
2.2. Thực trạng vấn dề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
3
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
3
2.3.1 Một số biện pháp
3
2.3.2. Các dạng toán vận dụng hệ thức Vi-ét và phương pháp giải
4
Dạng toán 1. Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.
4
Dạng toán 2. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.
5
Dạng toán 3. Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm còn lại khi phương trình bậc hai một ẩn cho biết trước một nghiệm
7
Dạng toán 4. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
8
Dạng toán 5. Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm mà không giải phương trình.
9
Dạng toán 6. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
10
Dạng toán 7. Tìm giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn một điều kiện cho trước
11
Dạng toán 8. Bài toán liên quan đến xét dấu các nghiệm
15
Dạng toán 9. Lập phương trình bậc hai biết nghiệm của phương trình liên quan đến nghiệm của một phương trình bậc hai cho trước hoặc nghiệm của phương trình là hai số cho trước.
17
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân đồng nghiệp và nhà trường
17
3. Kết luận, kiến nghị
18
3.1. Kết luận
18
3.2 Kiến nghị
19
1. Mở đầu
1.1 Lý do chọn đề tài 
Với hy vọng góp phần hình thành và phát triển năng lực chủ năng động và sáng tạo, có kiến thức khoa học và có kỹ năng giải toán, có ý chí vươn lên, có năng lực tự học và thói quen học tập suốt đời, có năng lực đi vào thực tiễn xã hội góp phần hiệu quả làm cho dân giàu nước mạnh xã hội công bằng, dân chủ và văn minh.
Toán THCS nói chung và toán về phương trình bậc hai nói riêng có rất nhiều nhiều dạng bài tập nên học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi đứng trước một bài toán mới.
Đối với học sinh THCS nói chung và đối tượng nghiên cứu là học sinh lớp 9 nói riêng, mặc dù các em không phải còn nhỏ nhưng khả năng phân tích, suy luận, để tự mình tìm ra lời giải cho một bài toán còn rất nhiều hạn chế nhất là đối với đối tượng học sinh học yếu và lười học. Hơn nữa, các đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông thì các bài toán về phương trình bậc hai có sử dụng tới hệ thức Vi-ét xuất hiện khá phổ biến. Trong khi nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dạng .
	Ta cũng thấy để giải được các bài toán có liên qua đến hệ thức Vi-ét, học sinh cần tích hợp nhiều kiến thức về đại số. Thông qua đó học sinh có cách nhìn tổng quát hơn về hai nghiệm của phương trình bậc hai với các hệ số.Chính vì vậy nên trong những dạng toán của môn đại số lớp 9 thì “Ứng dung của hệ thức Vi -ét trong việc giải một số dạng toán THCS” đối với các em là dạng toán khó. Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng ,phương pháp để giải toán, ngoài việc nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả năng tư duy, tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng học tập. 
Kiến thức môn toán rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Do vậy, khi học các em không những nắm chắc lý thuyết cơ bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu của mình, từ đó biết vận dụng để giải từng loại toán. 
Thông qua quá trình giảng dạy, qua quá trình kiểm tra đánh giá sự tiếp thu và sự vận dụng kiến thức của học sinh. Tôi nhận thấy học sinh vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải các bài toán phương trình bậc hai còn nhiều hạn chế và thiếu sót. Đặc biệt là các em rất lúng túng khi vận dụng các kiến thức đã học để biện luận phương trình bậc hai đã cho có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn một điều kiện nào đó. Đây là một phần kiến thức rất khó đối với các em học sinh lớp 9. Bởi lẽ từ trước đến nay các em chỉ quen giải những dạng toán về tính giá trị của biểu thức hoặc giải những phương trình cho sẵn, ít gặp phải những bài toán biện luận theo tham số. Mặt khác khả năng tư duy của các em còn hạn chế, các em gặp khó khăn trong việc phân tích, suy luận, tìm mối liên hệ giữa các yếu tố trong bài toán nên không định hướng được cách giải.
Làm thế nào để giúp các em có được một kiến thức tổng thể và có được đầy đủ các dạng toán về phương trình bậc hai, biết cách giải và biện luận các dạng toán về phương trình bậc hai theo tham số. Chính vì vậy tôi chọn đề tài “Ứng dụng của hệ thức Vi -ét trong việc giải một số dạng toán THCS ” với mục đích khi các em gặp dạng toán đó không còn sợ sệt và ham muốn giải khi gặp dạng toán đó nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy.
1.2. Mục đích nghiên cứu 
- Trang bị cho học sinh lớp 9 một cách có hệ thống các dạng toán vận dụng hệ thức vi ét, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt dạng toán này 
- Học sinh có khả năng làm thành thạo các dạng toán vận dụng hệ thức vi ét 
- Phát huy khả năng suy luận, phán đoán va tính linh hoạt của học sinh.
- Thấy được vai trò của việc vận dụng hệ thức vi ét trong giải toán, từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu 
- Học sinh lớp 9 trường THCS Quảng Thịnh, thành phố Thanh Hóa
1.4. Phương pháp nghiên cứu 
- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Đọc, xử lý các văn bản, tài liệu làm cơ sở lý luận cho đề tài
- Phương pháp thử nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thử, dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài
- Phương pháp điều tra thực tiễn: Quan sát, điều tra, trắc nghiệm
- Phương pháp chuyên gia: Xin ý kiến của các đồng nghiệp có kinh nghiệm trong quá trình xây dựng, hoàn thiện đề tài. 
- Tiếp xúc trò chuyện với học sinh để nắm rõ thông tin phản hồi.
- Phương pháp kiểm tra: Kiểm tra chất lượng hoạt động, lập bảng thống kê so sánh, đối chiếu kết quả hoạt động khi chưa áp dụng và đang áp dụng đề tài. Từ đó kiểm nghiệm lại mức độ thành công của đề tài. 
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
- Sử dụng các phương pháp thống kê toán học để xử lý các số liệu thu thập được.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Dạy học Toán thực chất là dạy hoạt động toán học .Học sinh- chủ thể của hoạt động học cần phải được cuốn hút vào những hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó học sinh tự khám phá những điều mình chưa biết chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã sắp đặt sẵn. Theo tinh thần này trong tiết lên lớp , giáo viên là người tổ chức và chỉ đạo học sinh tiến hành các hoạt động học tập, củng cố kiến thức cũ,tìm tòi phát hiện kiến thức mới. Giáo viên không cung cấp, không áp đặt những kiến thức có sẵn đến với học sinh mà hướng cho học sinh thông qua các hoạt động để phát hiện và chiếm lĩnh tri thức.
Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên giúp học sinh chuyển từ thói quen học tập thụ động sang tự mình tìm tòi và phát hiện kiến thức giúp rèn luyện khả năng tư duy, nhớ kỹ các kiến thức đã học.
Loại toán có vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải là một bài toán khó và có nhiều dạng toán. Để làm tốt dạng toán này đòi hỏi mỗi người dạy và học Toán phải nắm vững được các dạng toán và cách giải cho từng dạng. Việc giới thiệu các dạng toán vận dụng hệ thức vi-ét cho học sinh để các em có thể giải được các bài toán có liên quan đến việc vận dụng hệ thức vi-ét là một việc quan trọng và cần thiết.Vì không những giúp học sinh có thể giải được các bài toán phức tạp mà sử dụng các phương pháp trong sách giáo khoa là không giải được; mà còn làm cho học sinh hứng thú học tập môn học hơn, có phương pháp suy luận, ngoài ra còn phát triển trí tuệ và giáo dục, rèn luyện con người học sinh về mọi mặt.
Về mặt lí luận mà nói thì theo khung phân phối chương trình và sách giáo khoa hiện hành thì toàn bộ kiến thức về “ Hệ thức vi-ét và ứng dụng” chỉ gói gọn trong 2 tiết với những đơn vị kiến thức như: Hệ thức vi ét, nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, tìm hai số biết tổng và tích. Chính vì thế mà học sinh còn rất thiếu kĩ năng cũng như phương pháp giải khi gặp những bài toán khó.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 
Năm học 2017 - 2018 tôi được nhà trường phân công giảng dạy bộ môn toán lớp 9 .Qua thực tế dạy học kết hợp với dự giờ kiến tập các giáo viên trong trường, thông qua các kỳ thi khảo sát chất lượng và kỳ thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, kỳ thi vào lớp 10 THPT bản thân tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹ năng thành thạo khi làm các dạng bài tập vận dụng hệ thức vi-ét. Vì lý do đó để giải được các loại bài tập này cần phải có kỹ năng phân dạng và có cách giải cụ thể cho từng dạng. 
Cụ thể kết quả kiểm tra về dạng toán vận dụng hệ thức vi ét vào giải toán ở hai lớp 9A, 9B vào trung tuần tháng 2 năm học 2017-2018 được thống kê như sau như sau: 
Lớp
Sĩ số
Giỏi
Khá
T Bình
Yếu(Kém)
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
9A
39
2
5,1
8
20,5
15
38,5
14
35,9
9B
41
2
4,9
10
24,4
17
41,5
12
29,2
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 
 Thông qua kết quả khảo sát tôi đã suy nghĩ cần phải có biện pháp thích hợp để giảng dạy, truyền đạt cho học sinh nắm vững những yêu cầu trong quá trình giải những bài toán về vận dụng hệ thức vi-ét. Tôi mạnh dạn nêu ra một số dạng toán vận dụng hệ thức vi-ét và biện pháp giải các dạng toán đó như sau :
2.3.1. Một số biện pháp
- Giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình các đơn vị kiến thức cơ bản như 
* Định lí Vi-ét: (thuận)
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 () thì
Áp dụng: Nhờ định lí Vi-ét, nếu biết trước một nghiệm của phương trình bậc hai thì có thể suy ra nghiệm kia.
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 () có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = . 
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 () có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = - . 
* Định lí Vi-ét: (đảo)
	Nếu hai số u, v thỏa mãn thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0. (Điều kiện để có hai số u, v là S2 - 4P 0)
Các quy tắc, các phép tính , các phép biến đổi , quy tắc dấu và quy tắc dấu ngoặc, thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, thuộc và vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức đáng nhớ theo hai chiều ,xác định đúng các hệ số a; b (hoặc b’); c.tính đúng D (hoặc D'), biến đổi biểu thức có liên quan đến hai nghiệm về dạng tổng và tích của hai nghiệm.
- Thực hiện đổi mới ngay trong việc giảng dạy 
- Dạy học theo phuơng pháp phát hiện và giải quyết vấn đề 
- Hợp tác nhóm 
- Đổi mới qua việc dạy tự chọn (Bám sát, nâng cao)
- Đổi mới qua việc dạy bồi dưỡng học sinh
- Đúc rút kinh nghiệm khi giải toán vận dụng hệ Thức Vi-ét theo từng dạng , dạng nào sử dụng phương pháp nào. 
 + Quan sát đặc điểm của bài toán : Nhận xét xem mối quan hệ giữa các hệ số trong phương trình bậc hai một ẩn, đặc biệt là phần tham số trong các hệ số. 
 + Nhận dạng bài toán : Xét xem bài toán thuộc dạng nào. Lựa chọn phương pháp giải thích hợp: Từ những cơ sở trên mà ta chọn lựa phương pháp giải phù hợp với bài toán. 
- Sắp xếp bài toán theo mức độ tiếp thu của từng học sinh, những dạng toán cơ bản .
- Xây dựng các phương pháp giải các dạng toán vận dụng Hệ thức Vi-ét 
2.3.2. Các dạng toán vận dụng hệ thức Vi-ét và phương pháp giải
Dạng toán 1: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.
* Phương pháp: Trước khi áp dụng định lí Vi-ét, ta cần kiểm tra điều kiện xem phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm hay không (tức là kiểm tra có thỏa mãn không).
* Ví dụ 1: Tính tổng và tích hai nghiệm của các phương trình:
a) 2x2 - 17x + 1 = 0 	 b) 25x2 + 10x + 1 = 0
Giải
a) 2x2 - 17x + 1 = 0 (a = 2 0, b = -17, c = 1)
Ta có: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Theo hệ thức Vi-ét, ta có: .
b) 25x2 + 10x + 1 = 0 (a = 25 0, b = 2b’ = 10, c = 1)
Ta có: Phương trình có hai nghiệm x1, x2. 
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: .
 * Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m: x2 + 2x + m2 = 0
Giải
 x2 + 2x + m2 = 0 (a = 1 0, b = 2b’ =, c = ).
Ta có: .
Để phương trình có nghiệm . 
Vậy với , phương trình có hai nghiệm x1, x2. 
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: .
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét ,hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình:(Bài 36 trang 43-Sbt toán 9 tập 2)
Bài 2. Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu là hai nghiệm (nếu có) không giải phương trình hãy điền vào những chỗ trống (.)(Bài 25 trang 52-SGK toán 9 tập 2)
Dạng toán 2: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.
*Phương pháp: Để thực hiện việc nhẩm nghiệm (nếu có thể) cho phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 (), ta áp dụng nhận xét sau:
Trường hợp 1 (Trường hợp đặc biệt):
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 () có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = . 
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 () có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = - . 
Chú ý : Nếu a+c=-b ta dùng tổng a+b+c=0 để nhẩm nghiệm của phương trình.
Nếu a+c=b ta dùng tổng a-b+c=0 để nhẩm nghiệm của phương trình
Trường hợp 2: Cho phương trình x2 + bx + c = 0.
 Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Vận dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập hệ phương trình cho các nghiệm x1 và x2 là 
Bước 2: Thực hiện phân tích c thành tích của hai thừa số (c = m.n), từ đó ta tính ngay được m + n. Khi đó:
 - Nếu m + n = - b thì ta chuyển sang bước 3 (kết luận).
 - Nếu m + n - b, thì ta dừng lại và kết luận bài toán không nhẩm được nghiệm
Bước 3: Kết luận: Phương trình x2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 = m và x2 = n.
F Chú ý: Thuật toán trên có tính dừng và được hiểu như sau:
 - Nếu tìm được một cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b thì dừng lại và đưa ra lời kết luận nghiệm.
 - Nếu không tìm được một cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b thì dừng lại và trong trường hợp này không nhẩm được nghiệm.
 * Ví dụ: Tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:
a) 35x2 - 37x + 2 = 0 	 b) x2 - 49x - 50 = 0 c) x2 + 6x + 8 = 0
Giải
a.Nhận thấy phương trình có a + b + c = 35 + (-37) + 2 = 0. Do đó phương trình hai nghiệm là x1 = 1, x2 = . 
b) x2 - 49x - 50 = 0
Nhận thấy phương trình có a - b + c = 1 - (-49) + (-50) = 0. Do đó phương trình có một nghiệm là x1 = - 1, x2 = -. 
c) x2 + 6x + 8 = 0
Ta thấy . Do đó phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = - 2 và x2 = - 4. 
Bài tập áp dụng:
Bài 1.Tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau(Bài 37-trang 4 SBT Toán 9 Tập 2) 
Bài 2: Tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau(Bài 26-trang 53 SGK Toán 9-Tập2)
Dạng toán 3: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm còn lại khi phương trình bậc hai một ẩn cho biết trước một nghiệm.
* Phương pháp: Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 () cho biết một nghiệm x1 = m. Tìm nghiệm còn lại x2 ?
Ta làm như sau: 
TH1. Nếu không chứa tham số ta dùng hệ thức Vi-ét = . Thay x1 = m vào hệ thức, ta có 
TH2. Nếu không chứa tham số ta dùng hệ thức . Thay x1 = m 
vào hệ thức, ta có . 
 TH3. Nếu cả đều không chứa tham số ta dùng tổng hay tích của hệ thức vi-ét và để tìm đều được.
* Ví dụ: 
a) Chứng tỏ rằng phương trình 3x2 + 2x - 21 = 0 có một nghiệm là -3. Hãy tìm nghiệm kia.	
b) Biết phương trình: 3x2 – 2(m – 3)x + 5 = 0 có nghiệm x1 = tìm nghiệm x2, giá trị của m tương ứng.
	Giải
a) x1 = - 3 là một nghiệm của phương trình 3x2 + 2x - 21 = 0. 
 Vì 3(-3)2 + 2.(-3) - 21 = 27 – 6 – 21 = 0. 
 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
 = = .
b) 3x2 – 2(m – 3)x + 5 = 0.
 Vì phương trình đã cho có nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét, ta có: . Mà x1 = nên suy ra:
 .
 Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
 = = 
 Vậy x2 = 5, m = 11.
Bài tập áp dụng:
Bài 1.a. 	Chứng tỏ rằng phương trình có một nghiệm là 2. Tìm nghiệm kia.
b. Chứng tỏ rằng phương trình có một nghiệm là 5 . Tìm nghiệm kia.
Bài 2.Dùng hệ thức Vi-ét Tìm nghiệm của phương trình rồi tìm giá trị của m trong mỗi trường hợp sau . ( Bài 40-Trang 44-SBT Toán 9 tập 2)
Phương trình , biết nghiệm =7
Phương trình , biết nghiệm =12,5
Phương trình , biết nghiệm =-2
Phương trình , biết nghiệm = 
Dạng toán 4: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
 * Phương pháp:
Nếu hai số u, v thỏa mãn thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0 (1)
F Nhận xét: Nếu (1) có hai nghiệm x1, x2 (điều kiện S2 - 4P 0) thì ta được: hoặc .
 * Ví dụ : Tìm hai số u và v biết: 
u + v = 32, u.v = 231;
Giải
Ta có u + v = 32, u.v = 231. 
Do đó u và v là nghiệm của phương trình: x2 - 32x + 231 = 0.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:.
Vậy u = 21, v = 11 hoặc u = 11, v = 21.
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau.( Bài 41-trang 44 SBT Toán 9 Tập 2) 
a. u+v=14; u.v=40 b. u+v=-7 ;u.v=12 c. u+v=-5 ;u.v=-24
d. u+v=4; u.v=19 e. u- v=10 ;u.v=24 f. ;u.v=18
Bài 2. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau.( Bài 28-trang 53 SGK Toán 9 Tập 2) 
 a. u+v=32; u.v=231 b. u+v=-8 ;u.v=-105 c. u+v=2 ;u.v=9
Bài 3. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau.( Bài 32-trang 54 SGK Toán 9 Tập 2) 
 a. u+v=42; u.v=441 b. u+v=-42 ;u.v=-400 c. u-v=-5 ;u.v=24
Dạng toán 5: Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm mà không giải phương trình
* Phương pháp: Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 của phương trình ax2 + bx + c = 0 () là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị (đổi chỗ) x1 và x2.	Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Xét biệt thức thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (hoặc ).
Bước 2: Tìm tổng x1 + x2 = S và x1x2 = P của phương trình, rồi thay vào biểu thức đã được biến đổi về dạng chứa tích và tổng các nghiêm x1 và x2.
Chú ý: Một số phép biến đổi:
 * Ví dụ . Cho phương trình x2 – 6x + 8 = 0. Không giải phương trình, hãy tính giá trị các biểu thức:
a) A = ; 	 b) B = ; 	 c) C = 
Giải
Phương trình x2 – 6x + 8 = 0 có phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Theo định lí Vi-ét ta có: 
a) A = = = 62 – 2.8 = 36 – 16 = 20.
Vậy A = 20
b) B = . Vậy B = 
c) C = .
Mà ta có: 
Vậy C = 
Bài tập áp dụng: 
Bài 1. gọi là hai nghiệm của phương trình không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau.
a. b. c. 
Bài 2. gọi là hai nghiệm của phương trình không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau.
a. b. c. 
Bài 3. Gọi là hai nghiệm của phương trình không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức . 
Dạng toán 6: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
* Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2 ( hoặc hoặc ).
Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét tính S = x1 + x2, P = x1x2 theo tham số.
Bước 3: Khử m để lập hệ thức giữa S và P, từ đó suy ra hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
 * Ví dụ 1. Cho phương trình x2 – 2mx + 2m - 2 = 0 (x là ẩn)
Tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Giải
Phương trình x2 – 2mx + 2m - 2 = 0 có: với mọi m. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: .
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được S – P = 2 x1 + x2 - x1x2 = 2 (không phụ thuộc vào m).
 * Ví dụ 2. Cho phương trình mx2 – (2m + 3)x + m - 4 = 0 (x là ẩn)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Khi đó tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. 
Giải
Phương trình mx2 – (2m + 3)x + m - 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 
.
Áp dụng hệ thức Vi-ét: 
Cộng vế theo vế, ta được: 4S + 3P = 11 hay 4(x1 + x2) + 3x1x2 = 11 (Không phụ thuộc vào m). 
Nhận xét: Ngoài cách cộng vế theo vế, ta có thể thế m từ hệ thức (1) vào hệ thức (2) để khử m. Trong quá trình làm tránh vội vàng áp dụng ngay hệ thức Vi-ét mà quên mất bước tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2. 
Bài tập áp dụng.
Bài 1. Cho phương trình x2 – (m + 2)x -2 m = 0 (x là ẩn)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Khi đó tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. 
Bài 2.Cho phương trình 2x2 +mx + m - 2 = 0 (x là ẩn)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Khi đó tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. 
Bài 3. Ch