SKKN Tách bỏ hình thức, phát hiện bản chất của bài toán xác suất, có nội dung thực tế trong đề thi thpt quốc gia hiện nay

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG
------º&"------
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI
TÁCH BỎ HÌNH THỨC, PHÁT HIỆN BẢN CHẤT 
CỦA BÀI TOÁN XÁC SUẤT, CÓ NỘI DUNG THỰC TẾ 
TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA HIỆN NAY
 Người thực hiện: Nguyễn Văn Bảo
 Chức vụ: Giáo viên
 Đơn vị công tác:Trường THPT Lương Đắc Bằng
 SKKN thuộc môn: Toán
THANH HÓA NĂM 2016 
MỤC LỤC
 Trang
MỤC LỤC ...............................................................................................................1
1. MỞ ĐẦU.............................................................................................................2
 LÝ DO VIẾT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.....................................................2
 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU................................................................................2 
 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU..............................................................................2
 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU........................................................................2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM............................................3
 2.1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.............................3
 2.2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ.............4
 2.3. CÁC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT 
 VẤN ĐỀ....................................................4
 2.3.1. Các chú ý quan trọng liên quan đến xác suất. ...........................................4
 2.3.2. Chú ý cách vận dụng, sử dụng hai quy tắc đếm.........................................5
 2.3.3. Phân dạng và phương pháp giải cụ thể giúp học sinh thực hành 
 tách lọc hình thức, phát hiện bản chất vấn đề..............................................8
 2.3.4. Chú ý quy trình kinh ngiệm tách bỏ hình thức khỏi nội dung phát hiện 
 bản chất bài toán, áp dụng quy tắc đếm sử dụng công thức tính 
 xác suất... ..................................................................................................14
 2.4. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM .....................................15
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ....................................... .....................................16
 TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................17 
 1. MỞ ĐẦU
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong những năm gần đây do nhu cầu cần thiết trong đề thi Đại học, đề thi THPT quốc gia ra theo hướng mở, vận dụng kiến thức, kỹ năng thực tế trong bài thi ở tất cả các môn thi.
Những ứng dụng của Toán vào thực tiễn trong chương trình và sách giáo khoa, cũng như trong thực tế dạy học Toán chưa được quan tâm một cách đúng mức và thường xuyên.
Bài toán xác suất có nội dung liên quan thực tế có một câu ở trong đề thi THPT quốc gia hằng năm. Đây là câu ở mức độ vận dụng, học sinh thường bị khó khăn bởi hình thức, kiến thức thực tế của đề bài.
Nguyện vọng mong muốn của bản thân là làm rõ được các dạng Toán và phương pháp cụ thể, tách bỏ hình thức trong từng trường hợp, cung cấp kiến thức, kỹ năng thực tế giúp học sinh giải quyết tốt câu này trong đề thi THPT quốc gia.
 	Vì những lí do trên đây tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: 
 “ Tách bỏ hình thức, phát hiện bản chất của bài toán xác suất có nội dung thực tế trong đề thi THPT quốc gia”
MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn của bài toán xác suất. Đề xuất các giải pháp, cách xử lý cho các dạng toán xác suất có nội dung liên quan thực tế.
	ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 
 Học sinh lớp 11, lớp 12.
	PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
 + Nghiên cứu lí luận
 + Điều tra thực tế
 + Thực nghiệm sư phạm.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
 	Vai trò của việc rèn luyện cho học sinh năng lực vân dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn là phù hợp với xu hướng phát triển chung của thế giới và thực tiễn Việt Nam. Rèn luyện cho học sinh năng lực vân dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn. Thế giới đã bước vào kỷ nguyên kinh tế trí thức và toàn cầu hóa. Với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ, người lao động buộc phải chủ động dám nghĩ, dám làm, linh hoạt trong lao động, hòa nhập với cộng đồng xã hội; đặc biệt phải luôn học tập, học phải có hành và qua hành phát hiện những điều cần học tập tiếp. Chính vì thế, trong giáo dục cần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực thích ứng, năng lực hành động, năng lực cùng sống và làm việc tập thể, cộng đồng cũng như năng lực tự học.
Rèn luyện cho học sinh năng lực vân dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn đáp ứng yêu cầu mục tiêu bộ môn Toán và có tác dụng tích cực trong việc dạy học Toán. Trong thời kỳ mới, thực tế đời sống xã hội và Chương trình bộ môn Toán đã có những thay đổi. Vấn đề rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn có vai trò quan trọng và góp phần phát triển cho học sinh những năng lực trí tuệ, phẩm chất tính cách, thái độ,  đáp ứng yêu cầu mới của xã hội lao động hiện đại.
Tăng cường rèn luyện cho học sinh năng lực vân dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn là một mục tiêu, một nhiệm vụ quan trọng của việc dạy học Toán ở trường phổ thông. Chất lượng đào tạo những người lao động mới qua môn Toán là chất lượng tổng hợp bao gồm khối lượng kiến thức và phương pháp toán học theo quan điểm hiện đại, kỹ năng và lòng hăng say vận dụng những hiều biết vào thực tiễn.
Rèn luyện cho học sinh năng lực vân dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn góp phần tích cực hóa trong việc lĩnh hội kiến thức. Trong dạy học Toán, để học sinh tiếp thu tốt, rất cần đến sự liên hệ gần gũi bằng những tình huống, vấn đề thực tế. Những hoạt động thực tiễn đó vừa có tác dụng rèn luyện năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn vừa giúp học sinh tích cực hóa trong học tập để lĩnh hội kiến thức.
Rèn luyện cho học sinh năng lực vân dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn, giúp học sinh có kỹ năng thực hành các kỹ năng Toán học và làm quen dần các tình huống thực tiễn.
Trong thực tế dạy học ở trường phổ thông, một vấn đề nổi lên là giáo viên chỉ quan tâm, chú trọng việc hoàn thành những kiến thức lí thuyết quy định trong Chương trình và sách giáo khoa; mà quên, sao nhãng việc thực hành, không chú tâm dạy bài tập toán cho các em, đăc biệt những bài toán có nội dung thực tiễn, bài toán xác suất dẫn đến tình trạng học sinh thường lúng túng, thậm chí không làm hoàn chỉnh được những bài toán thực ra rất cơ bản và ở mức độ trung bình. Học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc vận dụng kiến thức Toán học và cuộc sống. Theo Trần Kiều, việc dạy học Toán hiện nay “đang rơi vào tình trạng coi nhẹ thực hành và ứng dụng Toán học vào cuộc sống ”
Vấn đề bài toán có nội dung thực tế trong chương trình và sách giáo khoa phổ thông. Chương trình, sách giáo khoa Toán phải quán triệt tinh thần giáo dục kĩ thuật tổng hợp, chuẩn bị cho học sinh có ý thức và kỹ năng liên hệ học với hành, có tiềm lực để trở thành người công nhân lành nghề, người quản lý kinh tế tốt.
 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Những ứng dụng của Toán vào thực tiễn trong chương trình và sách giáo khoa, cũng như trong thực tế dạy học Toán chưa được quan tâm một cách đúng mức và thường xuyên.
Trong chương trình sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 có trình bày về bài toán xác suất ở mức độ chung và khái quát, chưa làm rõ về hình thức của bài toán có nội dung liên quan thực tế và chưa được phân dạng toán theo phương pháp giải một cách cụ thể.
Bài toán xác suất có đề cập ở Báo toán học tuổi trẻ theo hình thức chung và thể hiện qua ví dụ phân loại theo dạng tổng quát học sinh vẫn khó thực hành.
Bài toán xác suất, đặc biệt là bài toán xác suất có nội dung thực tế học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn trong việc tách bỏ hình thức và phát hiện bản chất vấn đề khi làm toán.
Bài toán xác suất có nội dung liên quan thực tế có một câu ở trong đề thi THPT quốc gia hằng năm. Đây là câu ở mức độ vận dụng, học sinh thường bị khó khăn bởi hình thức, kiến thức thực tế của đề bài.
Trước thực trạng như vậy, cá nhân muốn làm rõ quy trình tách học hình thức, phát hiện bản chất thể hiện cụ thể qua các dạng toán, phương pháp giải, thực hành thông qua các ví dụ cụ thể giúp học sinh tiếp thu tốt hơn về nội dung này.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Các chú ý quan trọng liên quan đến xác suất
Để học sinh làm tốt bài toán xác suất, công việc đầu tiên là học sinh phải hiểu đầy đủ các chú ý quan trọng sau đây:
- Chọn ngẫu nhiên hay còn gọi là chọn khách quan không phụ thuộc hay theo quy luật nào cả, không biết trước được kết quả; 
- Không gian mẫu: Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử
 Ký hiệu là ;
- Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T;
- Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được ký hiệu là ;
- Công thức tính xác suất của biến cố A: ;
- Hai biến cố xung khắc : A, B thì P(AB) = P(A) + P(B);
- Hai biến cố đối nhau: thì ;
- Hai biến cố độc lập A, B thì P(AB) = P(A).P(B);
- P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) ;
- , ;
2.3.2. Chú ý cách vận dụng, sử dụng hai quy tắc đếm (quy tắc cộng, quy tắc nhân) trong bài toán xác suất.
 Tính xác suất ta cần tính , , cần đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố A. 
* Nếu công việc đếm cần chia nhiều công đoạn nhỏ để hoàn thành thì ta vận dụng quy tắc nhân để đếm.
 Ví dụ 1. Đề thi Đại học khối B năm 2014
Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ một công ty sữa, người ta đã gửi đến bộ phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu. Tính xác suất để 3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại.
Hướng dẫn 
Ta có ngay số phần tử không gian mẫu: 
Để đếm được số kết quả thuận lợi cho biến cố A, ta xem công việc đếm của ta gồm 3 công đoạn nhỏ đó là: Chọn 1 hộp sữa cam có cách; Chọn 1 hộp sữa dâu có cách; Chọn 1 hộp sữa nho có cách
Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 
Ta tính được xác suất là 
 Ví dụ 2. Có 5 học sinh lớp chuyên Toán, 5 học sinh lớp chuyên Văn, 5 học sinh lớp chuyên Anh, 5 học sinh lớp chuyên Sử được xếp ngẫu nhiên thành một hàng thẳng. Tính xác suất để 5 học sinh lớp chuyên Toán xếp cạnh nhau.
Hướng dẫn 
 Ta có ngay số phần tử không gian mẫu: 
 Để đếm được số kết quả thuận lợi cho biến cố A, ta xem công việc đếm của ta gồm 3 công đoạn nhỏ đó là: 
+ Số cách chọn 5 vị trí đứng cạnh nhau trong một đường thẳng có 20 vị trí là 16;
+ Số cách chọn học sinh chuyên toán vào 5 vị trí đó là 5!;
+ Số cách xếp 15 học sinh còn lại là15!
Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố A là = 16.5!.15!
Xác suất cần tính là 
 Ví dụ 3. Đề khảo sát chất lượng lớp 12 THPT quốc gia năm học 2015 - 2016 của Sở GD&ĐT Thanh Hóa. 
Trong kỳ thi THPT quốc gia, tại hội đồng thi X, trường THPT A có 5 thí sinh dự thi. Tính xác suất để có đúng 3 thí sinh của trường THPT A được xếp vào cùng một phòng thi, Biết rằng hội đồng thi X gồm 10 phòng thi, mỗi phòng thi có nhiều hơn 5 thí sinh và việc xếp các thí sinh vào các phòng thi là hoàn toàn ngẫu nhiên.
Hướng dẫn 
Số cách xếp ngẫu nhiên 5 thí sinh vào 10 phòng thi là =105 = 100000
Gọi B là biến cố đã cho
Có cách chọn 3 thí sinh trong số 5 thí sinh của trường A và có 10 cách chọn phòng thi cho 3 thí sinh đó, ứng với mỗi cách chọn trên ta có 9.9 cách chọn phòng thi cho 2 thí sinh còn lại. 
Do đó số cách xếp 5 thí sinh thỏa mãn điều kiện đề bài là 
Vậy xác suất cần tìm là 
* Nếu công việc đếm có thể đếm theo nhiều phương án khác nhau hoặc chia thành các trường hợp khác nhau thì ta sử dụng quy tắc cộng để đếm. 
Ví dụ 1: Một trường THPT được cử một học sinh đi dự trại hè toàn quốc. Nhà trường quyết định chọn một học sinh tiên tiến trong lớp 11A hoặc lớp 12B. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn, nếu biết rằng lớp 11A có 31 học sinh tiên tiến và lớp 12B có 22 học sinh tiên tiến.
Hướng dẫn
Nhà trường có 2 phương án chọn. Phương án thứ nhất là chọn 1 em học sinh tiên tiến của lớp 11A, phương án này có 31 cách chọn. Phương án thứ hai là chọn 1 em học sinh tiên tiến của lớp 12B, phương án này có 22 cách chọn. Vậy nhà trường có cả thảy 31 + 22 = 53 cách chọn
Ví dụ 2: Giả sử bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ 39 hoăc 40. Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ 40 có 4 màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu và cỡ áo)
Hướng dẫn Theo quy tắc cộng, ta có 5 + 4 = 9 cách chọn áo sơ mi
Ví dụ 3: Trong một trường THPT, khối11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ
a) Nhà trường cần chọn 1 học sinh ở khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?
b) Nhà trường cần chọn 2 học sinh trong đó có một nam và một nữ đi dự trại hè của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?
Hướng dẫn
a) Theo quy tắc cộng, ta có 280 + 325 = 605 cách chọn
b) Theo quy tắc nhân, ta có 280 . 325 = 91000 cách chọn
* Đa số trong đề thi bài toán vận dụng, phối hợp cả hai quy tắc đếm trên
Ví dụ 1: Đề thi THPT quốc gia năm 2015
Trong đợt ứng phó với dịch MERS – CoV, sở y tế thành phố đã chọn ngẫu nhiên 3 đội phòng chống dịch cơ động trong số 5 đội của Trung tâm y tế dự phòng thành phố và 20 đội của các Trung tâm y tế cơ sở để kiểm tra công tác chuẩn bị. Tính xác suất để có ít nhất 2 đội của các Trung tâm y tế cơ sở được chọn.
Hướng dẫn
Số phần tử không gian mẫu là 
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Có ít nhất 2 đội của các Trung tâm y tế cơ sở ” là 
Xác suất cần tính là 
 Ví dụ 2: Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A. 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12 C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong Lễ bế giảng năm học. Tính xác suất sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp 12A.
Hướng dẫn
Ta có ngay số phần tử không gian mẫu: 
Để đếm được số kết quả thuận lợi cho biến cố A, ta xem công việc đếm của ta gồm 3 trường hợp, mỗi trường hợp có 3 công đoạn nhỏ ta có 
Ta tính được xác suất là 
Ví dụ 3: Trường THPT Lương Đắc Bằng có 30 lớp trong đó có 10 lớp 10, 10 lớp 11, 10 lớp 12. Mỗi chi doàn có 1 em làm bí thư. Ban chấp hành đoàn trường muốn chọn 5 em bí thư đi thi cán bộ đoàn giỏi. Tìm xác suất để 5 em được chọn có đủ cả 3 khối lớp.
Hướng dẫn
Ta có ngay số phần tử không gian mẫu: 
Để đếm được số kết quả thuận lợi cho biến cố A, ta xem công việc đếm của ta gồm 3 trường hợp, mỗi trường hợp có 3 công đoạn nhỏ ta có 
= 40275
Ta tính được xác suất là 
Ví dụ 4: Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm 2016
Trong kỳ thi Học sinh giỏi cấp trường một trường THPT đã dùng 7 cuốn sách tham khảo môn Toán, 6 cuốn sách tham khảo môn Vật lý, 5 cuốn sách tham khảo môn Hóa học để làm phần thưởng cho 9 học sinh có kết quả cao nhất. Các cuốn sách cùng thể loại: Toán, Vật Lý, Hóa học đều giống nhau. mỗi học sinh nhận thưởng sẽ được 2 cuốn sách khác thể loại. Trong 9 học sinh trên có 2 học sinh tên An và Bình. Tìm xác suất để 2 học sinh An và Bình có phần thưởng giống nhau.
Hướng dẫn
Gọi x, y, z lần lượt là số học sinh nhận phần thưởng là sách (Toán, Lý); (Toán, Hóa); (Lý, Hóa)
 Ta có : 
Ta có ngay số phần tử không gian mẫu: 
Để đếm được số kết quả thuận lợi cho biến cố A, ta xem công việc đếm của ta gồm 3 trường hợp An và Bình cùng nhận (Toán, Lý) hoặc (Toán, Hóa) hoặc (Lý, Hóa), mỗi trường hợp có 3 công đoạn nhỏ ta có 
Ta tính được xác suất là 
2.3.3. Phân dạng và phương pháp giải cụ thể giúp học sinh thực hành tách lọc hình thức, phát hiện bản chất vấn đề.
Căn cứ vào nội dung, phương pháp và thực tế của bài toán xác suất chúng ta có các dạng toán chủ yếu và điển hình sau đây: 
i) Dạng1: Chọn nhóm trong tập hợp
Ví dụ 1: Trong một cuộc thi tìm hiểu về luật giao thông có một bộ câu hỏi gồm 20 câu hỏi về biển báo và 10 câu hỏi về tình huống giao thông. Thí sinh A rút ngẫu nhiên 3 câu hỏi để trả lời. Tính xác suất để trong 3 câu hỏi đó có cả câu hỏi về biển báo và câu hỏi về tình huống giao thông.
Hướng dẫn 
Ta có ngay số phần tử không gian mẫu: 
Để đếm được số kết quả thuận lợi cho biến cố A, ta đếm gián tiếp
Số cách chọn cả 3 câu hỏi về biển báo là 
Số cách chọn cả 3 câu hỏi về tình huống giao thông là 
Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố A là = 4060 – 1140 - 120=2800
Ta tính được xác suất là 
Ví dụ 2: Trong một đợt kiểm tra về vệ sinh an toàn thực phẩm của ngành y tế tại chợ X. Ban quản lý lấy ra 15 mẫu thịt lợn trong đó có 4 mẫu ở quầy A, 5 mẫu ở quầy B, 6 mẫu ở quầy C. Mỗi mẫu thịt này có khối lượng như nhau và để tong hộp kín có kích thước giống hệt nhau. Đoàn kiểm tra lấy ra ngẫu nhiên 3 hộp để phân tích, kiểm tra xem trong thịt có chất hóa học “Super tạo nạc” hay không. Tính xác suất để 3 hộp lấy ra có đủ 3 loại thịt ở các quầy A, B, C.
Hướng dẫn 
Ta có ngay số phần tử không gian mẫu: 
Để đếm được số kết quả thuận lợi cho biến cố A, ta xem công việc đếm của ta gồm 3 công đoạn nhỏ ta có 
Ta tính được xác suất là 
Ví dụ 3: Trong đợt thi thử THPT quốc gia lần 1 năm học 2015 – 2016 do Đoàn trường THPT Lương Đắc Bằng tổ chức có 5 em điểm cao nhất và bằng nhau khối A trong đó 3 nam và 2 nữ, khối B có 5 em điểm cao nhất và bằng nhau trong đó 1 nam và 4 nữ, khối C có 5 em điểm cao nhất và bằng nhau trong đó 4 nam và 1 nữ, khối D có 5 em điểm cao nhất và bằng nhau trong đó 2 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mỗi khối 1 em để khen thưởng. Tính xác suất để có cả học sinh nam và học sinh nữ được khen thưởng.
Hướng dẫn 
Ta có ngay số phần tử không gian mẫu: 
Để đếm được số kết quả thuận lợi cho biến cố A, ta đếm gián tiếp
Số cách chọn cả 3 học sinh nam được khen thưởng là 3.1.4.2 = 24
Số cách chọn cả 3 học sinh nữ được khen thưởng là 2.4.1.3 = 24
Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố A là = 625 – 24 – 24 =577
Ta tính được xác suất là 
 	Ví dụ 4. Đề thi Đại học khối A, A1 năm 2014
	Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16. Chọn ngẫu nhiên 4 thẻ. Tính xác suất để 4 thẻ được chọn đều đánh số chẵn
Hướng dẫn 
Ta có ngay số phần tử không gian mẫu: 
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 
Ta tính được xác suất là 
Ví dụ 5. Tủ lạnh của nhà bạn An có 20 quả trứng, trong đó có 7 quả trứng bị hỏng, mẹ bạn An lấy ngẫu nhiên từ đó ra 4 quả để làm món trứng tráng. Tính xác suất để trong 4 quả trứng mẹ bạn An lấy ra có 2 quả bị hỏng.
Hướng dẫn 
Ta có ngay số phần tử không gian mẫu: 
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 
Ta tính được xác suất là 
ii) Dạng2: Phân tập hợp thành các nhóm
Ví dụ 1 Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa bàn A, 2 người ở địa bàn B, 4 người thường trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công.
Hướng dẫn 
Công việc đếm của ta chia làm 3 công đoạn nhỏ: Chọn 3 người ở địa bàn A; Chọn 2 người ở địa bàn B; Chọn 4 người thường trực tại đồn. Ta có số cách phân công là: 
Ví dụ 2 Xếp 15 cái bánh phân biệt vào 3 hộp giống nhau, mỗi hộp 5 bánh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp.
Hướng dẫn 
Lấy 5 bánh bỏ vào hộp 1 có cách
Lấy 5 bánh bỏ vào hộp 2 có cách
Lấy 5 bánh bỏ vào hộp 3 có cách
Tac có cách xếp
Vì các hộp như nhau nên số cách xếp là : cách xếp
Ví dụ 3 Trong một buổi học bơi có 20 học sinh trong đó có 4 em biết bơi. Thầy giáo thể dục muốn chia thành 2 nhóm, mỗi nhóm có 10 học sinh trong đó có 2 em biết bơi. Tìm xem có bao nhiêu cách chia nhóm trên.
Hướng dẫn 
Có cách chọn 8 trong 16 em không biết bơi
Có cách chọn 2 trong 4 em biết bơi
Do đó ta có cách chọn
iii) Dạng3: Sắp xếp tập hợp theo thứ tự hoặc theo bàn tròn
Ví dụ 1 Một tuyến đường xe lửa có 10 nhà ga. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một cuộc hành trình bắt đầu ở một ga và chấm dứt ở một ga khác. Biết rằng từ ga nào cũng có thể đi tới bất kỳ nhà ga khác.
Hướng dẫn 
Nhà ga đi: có 10 cách chọn
Nhà ga tới: có 9 cách chọn
Vậy ta có 10 x 9 = 90 cách chọn
Ví dụ 2 Tám người trong đó có 2 vợ chồng anh A được xếp ngẫu nhiên xung quanh một cái bàn tròn không đánh số chỗ ngồi. Tính xác suất để 2 vợ chồng anh A ngồi cạnh nhau.
Hướng dẫn 
Số cách sắp xếp 8 người vào một bàn tròn là : 7!
Xem 2 vợ chồng anh A ngồi 1 vị trí. Như vậy có 6! Cách sắp xếp 8 người trong đó cặp vợ chồng anh A xem như 1 người
Ta lại có 2 cách đổi chỗ cho của vợ chồng anh A.
Do đó xác suất cần tìm là 
Ví dụ 3 Xếp 4 nam và 3 nữ vào 9 ghế sao cho 3 ghế đầu luôn là nam. Hỏi có bao nhiêu cách xếp.
Hướng dẫn 
X