SKKN Sử dụng tích véc tơ (cả tích vô hướng và hữu hướng) để giải một số bài toán ném xiên và vận dụng sáng tạo phương pháp tọa độ trong một số bài toán vật lí

MỤC LỤC
 MỤC LỤC
Trang
1.
Mở đầu.
1
1.1.
Lí do chọn đề tài..
1
1.2.
Mục đích nghiên cứu...
1
1.3.
Đối tượng nghiên cứu..
2
1.4.
Phương pháp nghiên cứu
2
2.
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2
 2.1.
Cơ sở lí thuyết của sáng kiến kinh nghiệm..
2
 2.1.1.
Phương pháp dùng tích véc tơ
1.Cơ sở toán học
2. Cơ sở vật lý..
2
2
2
 2.1.2
Phương pháp tọa độ
1.Hệ tục tọa độ đề các
2.Hệ trục tọa độ bất kì..
2
2
3
2.2.
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
4
 2.3.
Một số bài tập vận dụng..
4
 2.3.1. 
Một số bài tập sử dụng tích véc tơ để giải bài toán ném xiên..
 2.3.2. 
Một số bài tập vận dụng sang tạo phương pháp tọa độ..
7
1.Hệ tục tọa độ đề các
2.Hệ trục tọa độ bất kì..
7
13
2.4.
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường..
19
3.
Kết luận, kiến nghị...
19
- Kết luận.
19
- Kiến nghị...
19
1. MỞ ĐẦU
1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 Chúng ta đã biết trong chương trình vật lí 10 phần đầu tiên là cơ học, là một phần khó của vật lí.Các bài toán động học, động lực học trong đó có bài toán ném xiên là một trong những bài toán khó nhất. Nó có thể hội tụ nhiều kiến thức của chương động học và động lực học, thậm chí cả tính tương đối của chuyển động. Phương pháp thông thường như đã được học trong sách giáo khoa là xét chuyển động theo hai phương vuông góc. Đây là cách làm tổng quát mà về nguyên tắc là có thể giải được nhiều bài toán. Tuy nhiên với một số bài toán thì cách giải này tỏ ra quá phức tạp và tương đối dài dòng. Khi giải bài tập về phần này tôi nhận thấy là các em thường bị vướng mắc, đặc biệt là những học sinh học ở mức độ trung bình, nhiều bài đòi hỏi độ tư duy cao trong khi các em mới bước chân vào môi trường THPT. Hiểu được điều này bản thân tôi là một giáo viên dạy vật lí luôn có nhiều trăn trở, tôi đã quyết tâm tìm hiểu nghiên cứu tài liệu, nghiền ngẫm những vấn đề đã đọc được để đưa ra một số cách giải mà từ đó các em hiểu được bài học, biết vận dụng nó vào các bài khó hơn. Đặc biệt là dạy cho học sinh biết tìm tòi các cách giải hay, ngắn gọn đặc biệt hơn là làm cho học sinh phát triển tư duy và sáng tạo trong quá trình học, mặt khác giúp cho các em biết vận dụng nó trong các chương tiếp theo khi giải bài toán vật lí nói chung sau này. Cũng từ những điều được giáo viên truyền thụ từ những bài toán vận dụng các cách giải sáng tạo, các em đã phát triển tốt tư duy khi học vật lí, các em có học lực khá trở lên thì phân tích hiện tượng vật lí rất tốt., linh hoạt trong phương pháp giải, cách giải ngắn gọn, xúc tích. Tôi biết rằng hiểu hiện tượng , phân tích tốt hiện tượng và cách giải linh hoạt là triển vọng của một người học giỏi vật lí và thành công trên con đường học vấn. Sau đây tôi sẽ trình bày cách giải mới là sử dụng tích véc tơ ( cả tích vô hướng và hữu hướng) để giải một số bài toán ném xiên và vận dụng sáng tạo phương pháp tọa độ trong một số bài toán vật lí.
Học sinh thường chỉ vận dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán quen thuộc đại loại như, hai xe chuyển động ngược chiều gặp nhau, chuyển động cùng chiều đuổi kịp nhau,trong đó các chất điểm cần khảo sát chuyển động đã tường minh, chỉ cần làm theo một số bài tập mẫu một cách máy móc và rất dễ nhàm chán. Trong khi đó, có rất nhiều bài toán tưởng chừng như phức tạp, nhưng nếu vận dụng một cách khéo léo phương pháp tọa độ thì chúng trở nên đơn giản và rất thú vị.
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
 Để đạt được mục tiêu dạy học là làm thế nào để các em hiểu bài và làm được bài tập, biết vận dụng nó trong thực tế.Từ đó nhằm phát triển tư duy để vận dụng vào các lĩnh vực khó hơn. Vận dụng vận dụng sáng tạo các phương pháp giải bài tập là một điều rất cần thiết trong quá trình dạy và học vật lí nói riêng cũng như việc dạy và học nói chung. Nó không chỉ giúp các em hiểu được vấn đề bộ môn mình dạy mà các em còn biết sử dụng tốt các kiến thức liên môn như sử dụng tích véc tơ, dùng phương pháp hình học để giải các bài tập
 Hiểu được vấn đề này tôi đã đưa ra các dạng bài tập cho từng phần mục đích giúp các em hiểu sâu sắc về bài học, từ đó tạo hứng thú cho học sinh khi học các phần tiếp theo và
cũng là nhằm phát triển tư duy học vật lý cho các em. Trong nội dung sáng kiến này là những bài tập được tôi áp dụng cho các đối tượng học sinh có khả năng tiếp cận với mức độ khác nhau.
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
Dựa vào cách sử dụng tích véc tơ ( cả tích vô hướng và hữu hướng) để giải một số bài toán ném xiên và vận dụng sáng tạo phương pháp tọa độ trong một số bài toán vật lí để làm cho cách giải ngắn gọn, dễ hiểu, phát huy tính sáng tạo trong quá trình học từ đó làm cho học sinh học tốt và yêu thích bộ môn 
 1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
 Vận dụng tổng hợp kiến thức lí thuyết đã học để giải một số bài tập vật lí
2. NỘI DUNG 
2.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT. 
2.1.1. Phương pháp dùng tích véc tơ:
1. Cơ sở toán học:
 Nhắc lại một số tính chất của các tích véc tơ.
a, Tích vô hướng:
* Định nghĩa: 
* Tính chất:
 + (1)
 +(2)
b, Tích hữu hướng:
* Định nghĩa: 
 Khi 2 véctơ có cùng điểm đặt O thì véctơ có:
	+ Điểm đặt tại O
	+ Phương : vuông góc với mặt phẳng chứa 2 véctơ 
 + : có chiều xác định theo quy tắc bàn tay phải
“Quay cái đinh ốc theo chiều từ véctơ đến véctơ thì chiều tiến của cái đinh ốc chính là chiều của véctơ ”.
 * Tính chất:
 + (3)
 +(4)
2. Cơ sở vật lý:
Về mặt vật lí chúng ta chủ yếu sử dụng công thức: 
 + . Trong đo là vận tốc ban đầu, là vận tốc tại thời điểm t. 
2.1.2. Phương pháp tọa độ
 1. Hệ trục toạ độ Đề các.
Phương pháp tọa độ là phương pháp cơ bản trong việc giải các bài tập vật lí phần động học, động lực học. Muốn nghiên cứu chuyển động của một chất điểm, trước hết ta cần chọn một vật mốc, gắn vào đó một hệ tọa độ để xác định vị trí của nó và chọn một gốc thời gian cùng với một đồng hồ hợp thành một hệ quy chiếu.
Vật lí THPT chỉ nghiên cứu các chuyển động trên một đường thẳng hay chuyển động trong một mặt phẳng, nên hệ tọa độ chỉ gồm một trục hoặc một hệ hai trục vuông góc tương ứng.
 Các bước tiến hành
+ Chọn hệ quy chiếu thích hợp.
+ Xác định tọa độ ban đầu, vận tốc ban đầu, gia tốc của chất điểm theo các trục tọa độ: x0, y0; v0x, v0y; ax, ay. (ở đây chỉ khảo sát các chuyển động thẳng đều, biến đổi đều và chuyển động của chất điểm được ném ngang, ném xiên).
+ Viết phương trình chuyển động của chất điểm
+ Viết phương trình quỹ đạo (nếu cần thiết) y = f(x) bằng cách khử t trong các phương trình chuyển động.
+ Từ phương trình chuyển động hoặc phương trình quỹ đạo, khảo sát chuyển động của chất điểm:
Xác định vị trí của chất điểm tại một thời điểm t đã cho.
Định thời điểm, vị trí khi hai chất điểm gặp nhau theo điều kiện
Khảo sát khoảng cách giữa hai chất điểm 
* Trong sách giáo khoa lớp 10 cho ta một phương pháp để giải các bài toán về chuyển động ném xiên đó là phương pháp toạ độ. Theo phương pháp này để giải một bài toán ném xiên ta thường phải qua 4 bước :
Bước 1 : Chọn hệ trục toạ độ ( thường là hệ trục toạ độ Đề các).
Bước 2 : Phân tích chuyển động thực làm hai chuyển động theo các trục tọa độ.
Bước 3 : Khảo sát riêng rẽ các chuyển động thành phần.
Bước 4 : Phối hợp lời giải riêng rẽ thành lời giải đầy đủ cho chuyển động thực.
2. Hệ trục toạ độ bất kì.
 Theo phương pháp này để giải một bài toán ném xiên ta cần tiến hành:
1. Chọn hệ trục tọa độ là bất kì.
2. Các chuyển động thành phần là các chuyển động “tưởng tượng” và diễn ra trong cùng một khoảng thời gian.
3. Giả sử ta có chuyển động ném xiên như hình (H1):
 + Nếu vật chuyển động theo phương ngang Ox được một đoạn X=OA thì theo phương Oy vật phải dời được một khoảng Y đúng bằng AB (để chuyển động thực của vật đạt tới vị trí B trên quỹ đạo)
2.2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
Trong qúa trình giảng dạy tại các trường THPT, tôi nhận thấy rằng các em học sinh thường lúng túng khi gặp phải các bài toán về chuyển động ném xiên cũng như chưa sáng tạo trong việc chọn một hệ quy chiếu , hệ tọa độ như thế nào là đơn giản, phù hợp cho việc giải một bài toán. Nguyên nhân là do các em hiểu còn chưa sâu phương pháp tọa độ mà sách giáo khoa đã trình bày. Mặt khác còn có một nguyên nhân mang tính chất thói quen của học sinh là khi giải một bài toán vật lí phần lớn các em chưa định hình được hướng đi của bài như để đạt được yêu cầu của bài toán đặt ra ta phải tìm đại lượng nào? và phải sử dụng đến những công thức liên quan nào?... mà các em thường làm bài theo thói quen và theo kiểu bắt chước một bài nào đó kiểu suy luận xuôi.
 Vì vậy tôi chọn đề tài này nhằm mục đích cho học sinh biết vận dụng sáng tạo các phương pháp giải bài tập như giải quyết bài tập ném xiên bằng tích có hướng, vô hướng của hai véc tơ và hiểu sâu hơn nội dung của phương pháp tọa độ mà sách giáo khoa đã trình bày, từ đó gây hứng thú học tập cho học sinh và giúp học sinh hiểu sâu sắc bản chất, hiện tượng vật lí của bài toán và giúp các em làm quen với việc định hướng trước khi giải một bài toán vật lí, hình thành kỹ năng, kỹ xảo và phát triển năng lực tư duy cao hơn nữa cho các em.
2.3. MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG
2.3.1. MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ SỬ DỤNG TÍCH VÉC TƠ ( CẢ TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ HỮU HƯỚNG) ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN NÉM XIÊN. 
Bài toán 1: Chứng minh rằng tự một độ cao nào đó so với mặt đất người ta ném một vật với vận tốc ban đầu lập với phương ngang một góc a, thì khi đạt tới tầm xa cực đại, vận tốc ban đầu và vận tốc ngay trước chạm đất vuông góc với nhau.
Giải :
 Vật chỉ chuyển động dưới tác dụng của trọng lực nên nó thu được gia tốc : . Tức là gia tốc có phương thẳng đứng, hướng xuống (xem hình).
 Vận tốc của vật 
 Tính : 
 	(1)
Vì khi vật chạm đất tầm xa của vật là : L = v0cosa.t 	(2)
 (do theo phương ngang vật không chịu tác dụng của lực nào nên nó chuyển động thẳng đều với vân tốc (vx=v0cosa.)	(3)
Từ (1) và (2) ta rút ra được : 
Mặt khác : = v.v0sin ()
Nên ta có : 	(5)
Nhìn vào (5) thấy một điều hiển nhiên rằng LMax khi : = 1 hay (điều mà bài toán yêu cầu).
Nhận xét: Trong ví dụ này ta đã đưa ra một công thức tổng quát là: 
Đặc biệt với công thức trên ta có thể áp dụng cho nhiều bài toán và cho ta cách giải mới và khá hay như các ví dụ tiếp theo sau đây
Bài toán 2: Một vật được ném từ mặt đất với vận tốc hợp với phương nằm ngang góc . Tìm tầm bay xa? Với góc ném nào thì tầm bay xa cực đại?
Bài giải:
Theo định luật bảo toàn cơ năng thì vận tốc của vật khi chạm đất là v = v0 .
Từ hình vẽ bên ta suy ra 
Theo công thức từ ví dụ 1 ta có: 
 khi 
Nhận xét: Nhận xét qua ví dụ này ta thấy sử dụng tích véc tơ để giải bài toán ném xiên này vô cùng ngắn gọn, dễ hiểu.
Bài toán 3: Một vật được ném từ mặt đất với vận tốc hợp với phương nằm ngang góc . Tìm thời gian t để:
a, Vận tốc của vật vuông góc với phương ban đầu?
b, Vận tốc của vật là hợp với phương ban đầu một góc? 
Bài giải:
Gọi thời gian phải tìm là t, vận tốc của vật tại thời điểm t là: 
a, Vì 
 = 
 (1)
Gọi là thời gian rơi của vật 
Ta có = 
Kết quả (1) chỉ có nghĩa khi hay 
Vậy nếu vật được ném từ mặt đất thì để tồn tại thời gian thỏa mãn điều kiện đầu bài thì góc 
b, Ta có 
Xét: =
Bài toán 4: Hai vật được ném tại cùng một thời điểm với vận tốc là , lần lượt hợp với phương ngang góc là và .Sau khoảng thời gian t thì vận tốc của hai vật song song với nhau. Tìm t?
Bài giải:
Sau khoảng thời gian t vận tốc của hai vật là:
Theo bài 
. 
Kết quả này chỉ có ý nghĩa khi với = 
2.3.2. MỘT SỐ BÀI TẬP VẬT LÍ VẬN DỤNG SÁNG TẠO PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
1. Hệ tọa độ đề các
Bài toán :1
Một vật m = 10kg treo vào trần một buồng thang máy có khối lượng M = 200kg. Vật cách sàn 2m. Một lực F kéo buồng thang máy đi lên với gia tốc a = 1m/s2. Trong lúc buồng đi lên, dây treo bị đứt, lực kéo F vẫn không đổi. Tính gia tốc ngay sau đó của buồng và thời gian để vật rơi xuống sàn buồng. Lấy g = 10m/s2.
Nhận xét
 Đọc xong đề bài, ta thường nhìn nhận hiện tượng xảy ra trong thang máy (chọn hệ quy chiếu gắn với thang máy), rất khó để mô tả chuyển động của vật sau khi dây treo bị đứt. Hãy đứng ngoài thang máy để quan sát (chọn hệ quy chiếu gắn với đất) hai chất điểm vật và sàn thang đang chuyển động trên cùng một đường thẳng. Dễ dàng vận dụng phương pháp tọa độ để xác định được thời điểm hai chất điểm gặp nhau, đó là lúc vật rơi chạm sàn thang.
y
O
y02
Giải
Chọn trục Oy gắn với đất, thẳng đứng hướng lên, gốc O tại vị trí sàn lúc dây đứt, gốc thời gian t = 0 lúc dây đứt.
Khi dây treo chưa đứt, lực kéo F và trọng lực P = (M + m)g gây ra gia tốc a cho hệ M + m, ta có
	F - P = (M + m)a 
+ Gia tốc của buồng khi dây treo đứt
Lực F chỉ tác dụng lên buồng, ta có
	F – Mg = Ma1, suy ra
+ Thời gian vật rơi xuống sàn buồng
Vật và sàn thang cùng chuyển động với vận tốc ban đầu v0.
Phương trình chuyển động của sàn thang và vật lần lượt là
	; 
Với a1 = 1,55m/s2, y02 = 2m, vật chỉ còn chịu tác dụng của trọng lực nên có gia tốc a2 = -g
Vậy
	 và 
Vật chạm sàn khi 
Vật chạm sàn khi y1 = y2, suy ra t = 0,6s.
Bài toán 2:
 Một toa xe nhỏ dài 4m khối lượng m2 = 100kg đang chuyển động trên đường ray với vận tốc v0 = 7,2km/h thì một chiếc vali kích thước nhỏ khối lượng m1 = 5kg được đặt nhẹ vào mép trước của sàn xe. Sau khi trượt trên sàn, vali có thể nằm yên trên sàn chuyển động không? Nếu được thì nằm ở đâu? Tính vận tốc mới của toa xe và vali. Cho biết hệ số ma sát giữa va li và sàn là k = 0,1. Bỏ qua ma sát giữa toa xe và đường ray. Lấy g = 10m/s2.
Nhận xét
Đây là bài toán về hệ hai vật chuyển động trượt lên nhau. Nếu đứng trên đường ray quan sát ta cũng dễ dàng nhận ra sự chuyển động của hai chất điểm vali và mép sau của sàn xe trên cùng một phương. Vali chỉ trượt khỏi sàn xe sau khi tới mép sau sàn xe, tức là hai chất điểm gặp nhau. Ta đã đưa bài toán về dạng quen thuộc.
x
O
Giải
Chọn trục Ox hướng theo chuyển động của xe, gắn với đường ray, gốc O tại vị trí mép cuối xe khi thả vali, gốc thời gian lúc thả vali.
+ Các lực tác dụng lên
Vali: Trọng lực P1 = m1g, phản lực N1 và lực ma sát với sàn xe Fms, ta có
Chiếu lên Ox và phương thẳng đứng ta được:
	Fms = m1a1 và N1 = P1 = m1g, suy ra 
Xe: Trọng lực P2 = m2g, trọng lượng của vali , phản lực N2 và lực ma sát với vali F’ms. Ta có
Chiếu lên trục Ox ta được
	-F’ms = m2a2 
Phương trình chuyển động của vali và xe lần lượt
Vali đến được mép sau xe khi x1 = x2, hay 0,5t2 + 4 = -0,025t2 + 2t
h
l
a
A
B
Phương trình này vô nghiệm, chứng tỏ vali nằm yên đối với sàn trước khi đến mép sau của xe.
Khi vali nằm yên trên sàn, v1 = v2
Với v1 = a1t + v01 = t , v2 = a2t + v0 = -0,05t + 2, suy ra
	t = - 0,05t + 2 suy ra t = 1,9s
Khi đó vali cách mép sau xe một khoảng 
Với t = 1,9s ta có d = 2,1m
Vận tốc của xe và vali lúc đó v1 = v2 = 1,9m/s.
Bài toán 3 :
Một bờ vực mặt cắt đứng có dạng một phần parabol (hình vẽ). Từ điểm A trên sườn bờ vực, ở độ cao h = 20m so với đáy vực và cách điểm B đối diện trên bờ bên kia (cùng độ cao, cùng nằm trong mặt phẳng cắt) một khoảng l = 50m, bắn một quả đạn pháo xiên lên với vận tốc v0 = 20m/s, theo hướng hợp với phương nằm ngang góc = 600. Bỏ qua lực cản của không khí và lấy g = 10m/s2. Hãy xác định khoảng cách từ điểm rơi của vật đến vị trí ném vật. 
Nhận xét
Nếu ta vẽ phác họa quỹ đạo chuyển động của vật sau khi ném thì thấy điểm ném vật và điểm vật rơi là hai giao điểm của hai parabol. Vị trí các giao điểm được xác định khi biết phương trình của các parabol. 
Giải
Chọn hệ tọa độ xOy đặt trong mặt phẳng quỹ đạo của vật, gắn với đất, gốc O tại đáy vực, Ox nằm ngang cùng chiều chuyển động của vật, Oy thẳng đứng hướng lên. Gốc thời gian là lúc ném vật.
h
a
A
B
C
x(m)
O
y(m)
Hình cắt của bờ vực được xem như một phần parabol (P1) y = ax2 đi qua điểm A có tọa độ 
(x = - 
Suy ra 20 = a(- 25)2 Þ a = 
Phương trình của (P1): 
Phương trình chuyển động của vật:
Khử t đi ta được phương trình quỹ đạo (P2):
Điểm rơi C của vật có tọa độ là nghiệm của phương trình:
	 với 
Suy ra tọa độ điểm rơi: xC = 15,63m và yC = 7,82m
Khoảng cách giữa điểm rơi C và điểm ném A là
Bài toán 4
 Một học sinh cầm hai quả bóng trong tay, lúc đầu em tung quả bóng thứ nhất với vận tốc v0 = 8 m/s. Hỏi sau đó bao lâu phải tung quả bóng thứ hai lên trên với vận tốc v0/2 để hai quả bóng đập vào nhau sau khoảng thời gian là ngắn nhất (kể từ lúc đầu). Vị trí hai quả bóng đập vào nhau cách vị trí tung bóng bằng bao nhiêu? Lấy g = 10m/s2
y
t
O
h1max
h2max
0,81
1,1
1,5
Bài giải:
Cách thứ nhất: Phương pháp đồ thị
Độ cao cực đại mà các quả bóng đạt tới (Hình vẽ)
+Vì 
.
Quả bóng thứ hai lại ném lên sau quả bóng 1 nên 
hai chỉ có thể gặp nhau trong khi quả bóng 1 đi xuống,
 quả bóng 2 đi lên. Muốn hai quả bóng đập vào nhau sau
 khoảng thời gian là nhỏ nhất thì quả bóng 1 phải đập vào 
quả bóng 2 khi quả bóng 2 ở vị trí cực đại.
Vậy vị trí hai quả bóng đập vào nhau 
*Thời gian quả bóng 1 đi lên: 
+Thời gian nhỏ nhất kể từ lúc tung quả bóng 1 đến lúc hai quả bóng đập vào nhau là:
+Thời gian quả bóng 2 đi lên đến độ cao cực đại : 
*Khoảng thời gian từ lúc ném quả bóng 1 đến lúc ném quả bóng 2 là:
T = 
Cách thứ hai: :
Chọn trục tọa độ Oy thẳng đứng, gốc tọa độ tại vị trí tung bóng,chiều dương hướng lên. Gốc thời gian lúc tung bóng.
Gọi T là khoảng thời gian từ lúc ném quả bóng 1 cho đến lúc tung quả bóng 2
t là khoảng thời gian từ lúc tung quả bóng 1 đến lúc hai quả bóng đập vào nhau
Phương trình chuyển động cho quá trình đi xuống của quả bóng 1 và đi lên của quả bóng 2 là:
 (1)
 (2)
Điều kiện hai bóng gặp nhau: . Từ (1) và (2) suy ra: 
Điều kiện để t = tmin là 
 = 1,1(s) tmin = = 1,5(s)
Vị trí hai bóng đập vào nhau là: = 0,81(m)
Bài toán 5 : Một chiếc thuyền chuyền động với tốc độ không đổi u đối với dòng nước, theo hướng vuông góc với dòng nước. Biết tốc độ chảy của nước tăng tỉ lệ với khoảng cách, từ giá trị 0 ở bờ đến giá trị v0 ở giữa sông. Khoảng cách giữa hai bờ sông là l . Hãy xác định :
a, Khoảng cách thuyền bị dòng nước đưa trôi ?
b, Quỹ đạo chuyển động của thuyền ?
Bài giải:
x
y
C
O
B
a, Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, gốc tọa độ O trùng với vị trí thuyền. Gốc thời gian lúc thuyền xuất phát.
Phương trình chuyển động của thuyền : x = ut (1)
Liên hệ giữa vận tốc dòng nước vy theo tọa độ x : 
vy = kx ; với x = thì vy = v0 
. Vậy (2)
Liên hệ giữa vy với thời gian t :
Từ (1) và (2) ta có : . 
Với 
Phương trình chuyển động của thuyền theo trục Oy : y = (3)
Khi vật tới C :thì và 
Khi sang tới bờ bên kia tại B thì thuyền bị nước đưa trôi một khoảng là : 
b, Quỹ đạo của thuyền
Rút t từ (1) thay vào (3), ta được : . Vậy quỹ đạo của vật chuyển động dạng parabol. Ta có hai nhánh parabol
Bài toán 6 :
Một bóng hình cầu treo ở độ cao h = 5m bị nổ,các mảnh vỡ bắn ra theo hướng li tâm với tốc độ v = 10m/s. Tìm vùng rơi của các mảnh vụn trên mặt đất. Bỏ qua sức cản của không khí và kích thước của bóng đèn. Lấy g = 10m/s2
Bài giải:
Cách thứ nhất:
Vì lí do đối xứng vùng rơi là một vòng tròn có tâm là hình chiếu của bóng đèn (coi như một điểm) trên mặt đất.
x
O
y
h
Xét một mảnh vỡ bắn ra theo góc so với mặt phẳng nằm ngang, trong hệ tọa độ như (hình vẽ)
Phương trình quỹ đạo: 
Muốn cho mảnh rơi xuống đất có hoành độ x1,
 ta phải có góc thỏa mãn phương trình:
Nếu phương trình có nghiệm thì với vận tốc ban đầu v mảnh vỡ có thể tới được điểm x1, nếu phương trình vô nghiệm thì mảnh vỡ không đến được điểm x1.
Từ đó ta thấy rằng: ứng với các giá trị của x1 sao cho: <0
 hay là: thì vô nghiệm.
Các mảnh vỡ rơi xuống đất trong một vòng tròn có bán kính 
Cách thứ hai:
Chọn hệ tọa độ rơi tự do, lúc bóng đèn nổ t = 0, gốc tọa độ trùng với tâm bóng đèn và bắt đầu rơi. Trong hệ tọa độ này vào thời điểm t, các mảnh vỡ nằm trên một đường tròn tâm ở gốc tọa độ, bán kính R = vt.
Trong hệ tọa độ đứng yên, gốc ở mặt đất, đường tròn trên có phương trình:
Giao điểm của đường tròn với mặt đất (y=0) là điểm rơi của mảnh vỡ vào thời điểm t.
Điểm rơi ấy có tọa độ 
Đây là một tam thức bậc hai của t2, cực đại của tam thức là:
Từ đây ta cũng suy ra rằng giá trị cực đại của x1 là:
Nghĩa là mảnh vỡ rơi xuông đất trong phạm vị một vòng tròn bán kính R = 14,1(m)
2. Hệ trục toạ độ bất kì.
 Bài toán 1: Một vật được ném lên từ m