SKKN Sử dụng phương pháp véc tơ để giải bài toán cực trị trong hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
 Người thực hiện : Nguyễn Công Phương
 Chức vụ : Giáo viên 
 SKKN thuộc môn :Toán
THANH HÓA NĂM 2018
MỤC LỤC
STT
Tên mục
Trang
1. Mở đầu
2
 1.1. Lí do chọn đề tài
2
 1.2. Mục đích nghiên cứu
2
 1.3. Đối tượng nghiên cứu
2
 1.4. Phương pháp nghiên cứu
2
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
3
 2.1. Cơ sở lí luận
3
 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
3
 2.2.1 Thuận lợi
3
 2.2.2 Khó khăn
3
 2.2.3 Số liệu thống kê
4
 2.3.Các giải pháp thực hiện đề tài
4
 2.3.1 Lý thuyết véc tơ
4
 2.3.2 Một số ví dụ minh họa
7
 2.3.3 Bài tập tự luyện
17
 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
18
3. Kết luận và kiến nghị
19
3.1 Kết luận
19
3.2. Kiến nghị
19
1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài:
 Trong thực tế giảng dạy tôi thấy : Đa số học sinh rất ngại học môn hình học, đặc biệt là những bài toán cực trị trong hình học không gian. Bởi vì, đây là môn học khó đòi hỏi trí tưởng tượng, óc thẩm mỹ và tính tư duy cao, không phải học sinh nào cũng học tốt được. Việc sử dụng phương pháp véc tơ để giải bài toán cực trị hình học không gian, đôi khi ta có thể biến một bài toán khó thành một bài toán đơn giản, lời giải ngắn gọn hơn, không đòi hỏi nhiều đến khả năng tư duy, kỹ năng vẽ hình và chứng minh hình học. Khi dạy phần hình học không gian lớp 11 cho học sinh tôi thấy học sinh rất bế tắc về phương pháp cho loại toán này bởi vì trong sách giáo khoa hay sách bài tập không có nhiều bài tập loại này nhưng lại có trong đề thi tốt nghiệp THPTQG và xuất hiện nhiều trong đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh khiến cho học sinh rất bối rối về phương pháp, rất nhiều học sinh không làm hết bài hoặc phải bỏ qua các bài toán hình học trong bài thi. Trong khi đó các em lại có thể làm tốt các biến đổi đại số và chứng minh bất đẳng thức việc sử dụng phương pháp véc tơ đã chuyển bài toán hình học với các tư duy trìu tượng về hướng tư duy biến đổi đại số, giải tích đã mang lại hứng thú và tính sáng tạo cho các em học sinh.
 Bởi vậy việc giúp các em có cách tiếp cận mới cho dạng toán cực trị hình học, thêm hứng thú trong học tập và phát triển tư duy đã thôi thúc tôi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm “sử dụng phương pháp véc tơ để giải bài toán cực trị hình học không gian”
1.2. Mục đích nghiên cứu:
- Giúp học sinh hệ thống hóa và có kiến thức vững về lý thuyết về vec tơ.
-. Hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán toán cực trị hình học không gian lớp 11 bằng phương pháp véc tơ .
- Thông qua việc học sinh giải quyết các bài toán trong một số tình huống cụ thể. Từ đó bồi dưỡng cho học hoc sinh kỹ năng giải toán và khả năng tư duy sáng tạo
1.3 .Đối tượng nghiên cứu:
 Véc-tơ và các tính chất của véc-tơ trong hình học phẳng và trong không gian liên quan đến bài toán cực trị
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
 - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách bài tập ,sách tài liệu và các đề thi học sinh giỏi các tỉnh.
 - Phương pháp điều tra thực tiễn : Quan sát quá trình học tập lấy phiếu điều tra đối tượng học sinh trước và sau khi dạy chuyên đề .
2. PHẦN NỘI DUNG
 2.1. Cơ sở lí luận:
Véc tơ được xem là một trong những kiến thức cơ bản trong hình học và được ứng dụng rộng rãi cả trong hình học phẳng và hình học không gian. Lý thuyết véc tơ bắt nguồn từ vật lý và được sáng lập bởi nhà lý hóa học người Mỹ Josiah Willard Gibbs (1839 -1903 ) 
 Cũng theo Josiah Willard Gibbs Để giải một bài toán bằng phương pháp véc tơ ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1 : Thực hiện việc chọn hệ véc tơ thích hợp, chuyển bài toán hình học không gian về bài toán biến đổi véc tơ dựa vào tính chất của véc tơ. 
Bước 2 : Giải bài toán hình học véc tơ nói trên. 
Bước 3 : Chuyển các kết luận của bài toán hình học không gian sang các tính chất hình học véc tơ tương ứng.
Tuy nhiên qua thực tế , việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vào giải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một qúa trình trừu tượng hoá và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học. Do vậy, thông qua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần với việc giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ.
 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
2.2.1 Thuận lợi:
Khái niệm vectơ trong không gian đã được đưa vào nội dung chưng trình lớp 11, làm công cụ cơ bản nghiên cứu quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng và khoảng cách giữa một số đối tượng trong hình học không gian. 
Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian làm cho cách diễn đạt một số nội dung hình học được gọn nhẹ hơn, học sinh dễ dàng tiếp thu. Mặt khác một số kiến thức về vectơ này sẽ là cơ sở chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm tọa độ trong không gian trong chương trình hình học lớp 12, một công cụ hữu ích để giải nhiều bài toán hình học không gian.
2.2.2 Khó khan:
 Không ít học sinh chưa nắm vững kiến thức về véc tơ vì các khái niệm này một phần được học từ lớp 10, sách giáo khoa lại trình bày phần lý thuyết về tính đồng phẳng của véc tơ chưa sau, bài tập vận dụng ít, các đề thi những năm trước đây cũng ít đề cập đến phần này nên nhiều học sinh và cả giáo viên cũng ít chú trọng. 
Đây là một nội dung khó đối với học sinh lớp 11. Do chưa tìm ra được phương pháp thích hợp để giải toán nên sẽ nhiều vướng mắc, từ đó thiếu hứng thú trong học tập.Để giúp các em mau chóng tiếp cận được phương pháp giảng dạy mới, đòi hỏi sự nỗ lực và sự quyết tâm cao của cả thầy và trò.
2.2.3 Số liệu thống kê: 
Kế quả làm bài kiểm tra khảo sát môn hình học của 42 học sinh lớp 11 trước khi thực hiện đề tài 
Khối lớp
Tổng số học sinh
KẾT QUẢ XẾP LOẠI
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
TS
%
TS
%
TS
%
TS
%
11
42
1
2,3%
5
11,9%
30
71,4 
6
 14,4
 2.3.Các giải pháp thực hiện đề tài:
 Trước hết cần hệ thống hóa lại lý thuyết về véc tơ , nêu tóm tắt các tính chất và kết quả quan trọng đã được trình bày ở sách giáo khoa lớp 10 và 11.
2.3.1. [1]. Lý thuyết véc tơ :
Các qui tắc.
Qui tắc ba điểm: Với ba điểm , , bất kì ta có: 
Mở rộng:
Cho n điểm bất kì. Ta có: 
Qui tắc trừ (ba điểm cho phép trừ):
Với ba điểm , , bất kì ta có: 
Qui tắc hình bình hành: 
Với hình bình hành ta có: và 
Qui tắc hình hộp.
Cho hình hộp với , , là ba cạnh có chung đỉnh và là đường chéo, ta có: 
Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:
Khái niện về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian.
Cho ba vectơ , , (¹ ) trong không gian. Từ một điểm O bất kì ta dựng , , . Khi đó xảy ra hai trường hợp:
Các đường thẳng , , không cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói ba vectơ ,, không đồng phẳng.
Các đường thẳng , , cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói ba vectơ ,, đồng phẳng 
.
 Định nghĩa 3. 
Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Trên hình bên, giá của các vectơ ,, cùng song song với mặt phẳng (a) nên ba vectơ ,, đồng phẳng.
 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng 
Định lí 1.
Cho ba vectơ ,, trong đó và không cùng phương. Điều kiện cần và đủ để ba vectơ ,, đồng phẳng là có duy nhất các số , sao cho . 
 Phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng
Định lí 2.
Nếu ba vectơ ,, không đồng phẳng thì với mỗi vectơ , ta tìm được duy nhất các số , , sao cho .
	*) Chú ý.
 Với ba vectơ khác vectơ - không và đồng phẳng khi đó tồn tại duy nhất một bộ số thực sao cho .
 Xét ba tia cùng gốc , khi đó điểm bất kì thuộc mặt phẳng , ta có với .
Thật vậy:
Một phát biểu khác 
Bốn diểm đồng phẳng khi đó là điểm bất kì, ta có
Việc học và nắm vững lý thuyết, các bước giải toán để vận dụng vào giải toán thật không hề đơn giản đối với học sin. Do vậy cần thông qua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần với việc giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ.
Một số ví dụ minh họa 
[2].Cho tứ diện có , mặt phẳng đi qua trọng tâm của tứ diện, cắt cạnh lần lượt tại (khác).
1. Chứng minh rằng: .
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : . 
Lời giải
Vì mà bốn điểm đồng phẳng nên .
Lại có .
 Nên 
[3]. Cho tứ diện có các cạnh đôi một vuông góc là một điểm thuộc miền trong của tam giác . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
+ Do không đồng phẳng nên luôn tồn tại duy nhất một bộ 3 số sao cho 
+ Mặt khác 
+ Theo giả thiết cùng nằm trong mặt phẳng nên là một vecto nằm trong mặt phẳng . Vì vậy để sảy ra thì 
+ Thay vào ta được 
Cách 2 Gọi kẻ Kẻ
 (1)
Tương tự: (2). (3)
Từ (1), (2), (3) 
Lại có: 
 Do Vậy MinT=2 khi M trùng H
[4]. Cho tứ diện đều cạnh , hai điểm chạy tương ứng trên các đoạn và sao cho . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của .
Lời giải
+) Đặt , với . Khi đó ta có: và 
+) Ta có: 
Do đó: 
+) 
+) Xét hàm số trên đoạn ta có:
+) đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi lần lượt là trung điểm của .
+) đạt giá trị lớn nhất bằng khi , hoặc , .
[5]. Cho tứ diện ABCD thỏa mãn điều kiện và một điểm X thay đổi trong không gian. Tìm vị trí của điểm X sao cho tổng đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải.
Gọi G là trọng tâm của tứ diện; M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, AD. Ta có tam giác ACD bằng tam giác BCD nên suy ra , tương tự ta chứng minh được và đường thẳng PQ vuông góc với cả hai đường thẳng BC, AD. Từ đó suy .
Ta có 
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X trùng với điểm G. Vậy nhỏ nhất khi và chỉ khi X là trọng tâm của tứ diện ABCD.
 [6]. Cho hình chóp có , , . Hai điểm thỏa mãn . 
Cho hai điểm và thay đổi, lần lượt nằm trên hai đoạn thẳng và. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn .
Lời giải
Đặt 
Suy ra 
Kết luận giá trị nhỏ nhất của là khi 
[7]. Cho hình chóp có . Gọi là trọng tâm tam giác . Mặt phẳng đi qua trung điểm của cắt các cạnh lần lượt tại . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải
Do là trọng tâm suy ra . Khi đó 
Do đồng phẳng nên 
Áp dụng BĐT bunhiacopxki, ta có
Suy ra .
[8]. Cho tứ diện và một mặt phẳng . Tìm trên mặt phẳng điểm sao cho nhỏ nhất.
Lời giải
Gọi là trung điểm và ; là trung điểm của . Với bất kỳ ta có
Þ bé nhất Û là hình chiếu của trên mặt phẳng .
[9]. Cho tam giác , là điểm trong của tam giác . Các đường thẳng đi qua song song với , , tương ứng cắt các mặt , , lần lượt tại , , . Tìm điểm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
Đặt , ; ; ; ; . Ta có ; .
Trong mặt phẳng :
; ; .
Trong mặt phẳng kẻ đường thẳng qua song song với và cắt tại .
Xét tam giác có nên Trong mặt phẳng : , , . 
Trong Kẻ đường thẳng qua song song với cắt tại .
Xét tam giác có nên .
Tương tự ta có , .
Suy ra (do )
Ta có 
Suy ra (không đổi)
Vậy giá trị lớn nhất là 
đạt được khi 
Hay là trọng tâm tam giác .
[10]. Cho tứ diện . Tìm điểm trong không gian sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
Gọi , , lần lượt là trung điểm của các đoạn , , . Ta có:
 .
Lại có .
Suy ra ; khi và chỉ khi .
Vậy đạt giá trị nhỏ nhất khi .
[11]. Cho lăng trụ tứ giác đều có chiều cao bằng nửa cạnh đáy. Với M là một điểm trên cạnh AB, tìm giá trị lớn nhất của góc .
Lời giải
Chọn cơ sở 
Gọi chiều cao là h thì đáy hình vuông cạnh 2h
nên có số sao cho: , với 
Do đó và 
Vậy lớn nhất nên M là trung điểm của AB.
[12]. Cho hình lập phương cạnh bằng Các điểm lần lượt là trung điểm của các cạnh Điểm thuộc đoạn điểm thuộc đoạn sao cho đường thẳng tạo với mặt phẳng một góc bằng 
Chứng minh rằng 
Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Lời giải.
a)
+ Đặt 
+ 
+ 
+ Suy ra 
b)
+ Ta có và 
+ Giả sử với và với 
+ Khi đó 
+ tạo với góc bằng thì góc giữa và bằng 
Tức là 
+ Từ đây ta có 
+ Do đó 
+ Áp dụng bất đẳng thức bunhia vào ta được 
+ Vì nên ta có 
+ Mặt khác 
+ Thay vào ta có 
+ Vậy . Dấu “=” sảy ra 
 [13]. Cho hình lập phương cạnh bằng . Lấy điểm thuộc đoạn , điểm thuộc đoạn sao cho . Tìm theo để đoạn ngắn nhất.
Lời giải
Khi đó
Vậy ngắn nhất bằng đạt được khi 
Để củng cố kiến thức và phát huy tính tư duy sáng tạo học sinh cần làm thêm các bài tập tương tự và các bài tập có cùng phương pháp giải sau đó, có thể giải bài toán bàng nhiều phương pháp để rút ra tính hiệu quả ưu điểm của từng phương pháp đối với mỗi bài toán. 
Bài tập tự luyện:
 [14]. (Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2017-2018) Cho tứ diện có . Một mặt phẳng thay đổi luôn đi qua trọng tâm của tứ diện và cắt các cạnh lần lượt tại các điểm . Chứng minh rằng biểu thức có giá trị không đổi.
[15]. Cho hình lập phương cạnh bằng Các điểm lần lượt là trung điểm của các cạnh Điểm thuộc đoạn điểm thuộc đoạn sao cho đường thẳng tạo với mặt phẳng một góc bằng 
Chứng minh rằng 
Tìm giá trị nhỏ nhất của .
[16]. Cho tứ diện có , , , , , . Gọi là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Chứng minh rằng :.
[17]. Cho tứ diện có , , . Với điểm bất kỳ, chứng minh rằng với là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
[18]. Cho tứ diện có trọng tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp bằng . Các đường thẳng lần lượt cắt mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tại . Chứng minh rằng .
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Các nội dung về bài toán cực trị luôn là các phần khó đối với học sinh và cả giáo viên THPT. Tuy nhiên, đưa nội dung đề tài vào giảng dạy tội đã thấy được hiệu quả tích cực của việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi. Nhiều học sinh đã chủ động tìm tòi, định hướng và sáng tạo ra nhiều cách giải toán không cần sự gợi ý của giáo viên. Từ đó đã mang lại các kết quả bất ngờ từ việc giải toán thông qua các phương pháp sáng tạo cho học sinh. Nhiều học sinh có học lực khá môn toán đã giải được một số bài toán khó trong đề thị. Đặt biết các em trong đội tuyển học sinh giỏi của nhà trường đã đạt thành tích cao trong kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2017-2018.
Kết quả bài khảo sát môn hình học của 36 học sinh lớp 11 sau khi thực hiện đề tài:
Khối lớp
Tổng số học sinh
KẾT QUẢ XẾP LOẠI
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
TS
%
TS
%
TS
%
TS
%
11
42
7
16,7
15
35,7
17
40,4 
3
7,1 
 Từ kết quả trên cho thấy tỉ lệ khá giỏi tăng, yếu kém giảm so với bài kiểm tra khảo sát đầu học kì II của năm học và tỉ lệ tăng mạnh vào nhóm học sinh có học lực khá giỏi.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận:
Bài viết là một vài kinh nghiệm nhỏ về chuyên đề “sử dụng phương pháp véc tơ để giải bài toán cực trị hình học không gian” chuyên đề này tuy không mới nhưng chưa được nhiều thầy cô đồng nghiệp chú trọng nghiên cứu hay có những bài viết chuyên sâu về dạng toán này. Với thời gian nghiên cứu và sưu tầm tài liệu trong một năm, tài liệu đã tổng hợp được lý thuyết cơ sở cho dạng toán, đưa được những ví dụ minh họa làm rõ hơn phương pháp bao gồm cả những dạng toán liên quan đến hình chóp và hình lăng trụ. Cuối chuyên đề là phần bài tập vận dụng tương tự cho học sinh tự học nhằm khắc sâu kiến thức. Hiệu quả của việc chuyển một bài hình học về hướng tư duy biến đổi đại số, giải tích đã mang lại hiệu quả tích tích cực trong công tác dạy và học. 
Tuy nhiên với thời lượng không cho phép, nội dung sáng kiến vẫn còn những hạn chế mà tác giả đang trăn trở để tiếp tục hoàn thiện trong thời gian tới như:
- Nội dung đề tài chỉ áp dụng phù hợp cho học sinh có học lực khá giỏi , bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi, chưa có nội dung áp dụng cho học sinh có học lực trung bình và yếu.
- Đề tài về véc tơ còn nhiều nội dung khác như sử dụng phương pháp véc tơ để chứng minh quan hệ song song, vuông góc , tính khoảng cách, tính góc  vẫn chưa được đề cập đến.
3.2. Kiến nghị:
 Đối với giáo viên: Cần tích cực nâng cao trình độ, năng lực giảng dạy, không ngừng học tập, tự bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ đặc biệt là phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh. Ngoài những kiến thức trong sách giáo khoa, sách bài tập,...mỗi giáo viên luôn tìm tòi tích lũy kinh nghiệm để có thêm nhiều phương pháp mới giúp học sinh thêm hứng thú và tìm thấy niềm vui trong học tập.
 Đối với tổ chuyên môn và nhà trường: Cần tổ chức hiệu quả các buổi sinh hoạt chuyên môn về phương pháp giảng dạy những kiểu bài khó, để các giáo viên có thể trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm và thống nhất cách dạy đối với những dạng bài cụ thể. Việc dự giờ, góp ý cho đồng nghiệp về từng kiểu bài,dạng toán cũng cần được thực hiện một cách thường xuyên để nâng cao chất lượng dạy học trong nhà trường nói chung và môn Toán học nói riêng. Bên cạnh đó cần tham khảo các sáng kiến kinh nghiệm đã được đánh giá từ Hội đồng khoa học cấp tỉnh để triển khai tới các tổ viên, tạo cơ hội cho tổ viên học hỏi, rút kinh nghiệm cho chuyên môn của mình. Tạo phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm như là một công việc thương niên của mỗi người để có thêm nhiều tài liệu tốt dạy bồi dưỡng cho học sinh.
Đối với Sở giáo dục và đào tạo: Thường xuyên tổ chức các lớp tập huấn, các chuyên đề về lĩnh vực chuyên môn đối với các nội dung giảng dạy còn khiến nhiều giáo viên băn khoăn, lúng túng trong cách thực hiện, đặc biệt phát động trong trào viết các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, phù đạo học sinh yếu kém. Những sáng kiến kinh nghiệm được đánh giá cao, sát với thực tiễn, dễ vận dụng cần được phổ biến rộng rãi để giáo viên trong tỉnh có cơ hội học tập kinh nghiệm lẫn nhau.
 Sáng kiến kinh nghiệm đề tài“sử dụng phương pháp véc tơ để giải bài toán cực trị hình học không gian”. Là một chuyên đề nhỏ trong việc áp ứng dụng véc tơ vào giải bài toán hình học .Trong quá trình thực hiện, không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong sự quan tâm đóng góp ý kiến, trao đổi, bổ sung của bạn bè đồng nghiệp và Ban giám khảo trong Hội đồng khoa học của ngành để sáng kiến kinh nghiệm này của tôi được hoàn thiện hơn. 
Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thạch thành, ngày 25 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của bản thân không sao chép nội dung của người khác.
Người viết
Nguyễn Công Phương
III. Tài liệu tham khảo
[1]. Sách giáo khoa và sách bài tập hình học lớp 10 và 11 – nhà xuất bản Giáo dục Hà Nội ,năm 2007. 
[2], [3], [4], [5], [10]. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi THPT môn toán, nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội, 2016 ,tác giả:Hà Duy Hưng,Nguyễn Sơn Hà,Nguyễn Ngọc Giang,Lê Minh Cường.
[14]. Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2017-2018.
[7], [8]. [9], . Tinh lọc các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, 2013 ,tác giả: Văn Phú Quốc, Huỳnh Công Thái
 [6], [15], [16] , [17], [18], Tuyển tập đề thi Olimpic 30 tháng 4 môn toán, nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội năm 2016.
[10], [11]. [12], [13]. Tuyển tập đề thi Olimpic 30 tháng 4 môn toán, nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội năm 2012.
DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ TỪ LOẠI C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Nguyễn Công Phương
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Thạch thành 1
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh...)
Kết quả đánh giá xếp loại (A, B, hoặc C)
Năm học đánh giá xếp loại
Phát triển tư duy cho học sinh qua bài toán hình học nhiều cách giải.
Sở GD&ĐT
Thanh Hóa
B
2011-2012
Ứng dụng phương pháp tọa độ giải bài toán hình học không gian. 
Sở GD&ĐT
Thanh Hóa
C
2014-2015