SKKN Sử dụng phương pháp tính tích phân để giúp học sinh lớp 12 tính tích phân hàm ẩn, nhằm nâng cao chất lượng thi THPT Quốc gia năm 2018

MỤC LỤC
NỘI DUNG
TRANG
1. MỞ ĐẦU
1
 1.1. Lý do chọn đề tài 
1
 1.2. Mục đích nghiên cứu
1
 1.3. Đối tượng nghiên cứu
2
 1.4. Phương pháp nghiên cứu
2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
2
 2.1. Cơ sở lý luận 
2
 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
3
 2.3. Các giải pháp thực hiện 
4
 2.3.1. Phương pháp biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản
4
 2.3.2. Phương pháp đổi biến số.
9
 2.3.3. Phương pháp tính tích phân từng phần
12
 2.3.4. Tạo bình phương cho hàm số dưới dấu tích phân 
14
 2.3.5. Bài tập áp dụng
18
 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
19
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
20
 3.1. Kết luận
20
 3.2. Kiến nghị
20
4. TÀI LIỆU THAM KHẢO
21
1. MỞ ĐẦU
1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 Trong chương trình phổ thông, phép tính tích phân chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong toán học, tích phân được ứng dụng rộng rãi trong thực tế như là tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, nó là một trong những cơ sở để nghiên cứu Giải tích hiện đại. Ngoài ra phép tính tích phân còn được ứng dụng rộng rãi trong Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học,...
 Phép tính tích phân được bắt đầu giới thiệu cho các em học sinh lớp 12 và nó có mặt hầu hết trong các kỳ thi như thi THPT- QG, thi học sinh giỏi các cấp. Hiện nay với xu hướng thi trắc nghiệm, phần tích phân còn được yêu cầu rộng hơn và đòi hỏi học sinh phải tư duy linh hoạt hơn , từ đó tích phân của một số hàm ẩn cũng đã được đưa vào để yêu cầu học sinh. Mặc dù đã được học kỹ các phương pháp tính tích phân , nhưng đứng trước yêu cầu về tính tích phân của hàm ẩn đa số các em còn nhiều lúng túng và thậm chí là không định hình được lời giải khi đứng trước các bài toán dạng này.
 Muốn học sinh học tốt được tích phân thì mỗi người Giáo viên không phải chỉ truyền đạt, giảng giải theo các tài liệu đã có sẵn trong Sách giáo khoa, trong các sách hướng dẫn và thiết kế bài giảng một cách rập khuôn, máy móc, làm cho học sinh học tập một cách thụ động. Nếu chỉ dạy học như vậy thì việc học tập của học sinh sẽ diễn ra thật đơn điệu, tẻ nhạt và kết quả học tập sẽ không cao. Nó là một trong những nguyên nhân gây ra cản trở việc đào tạo các em thành những con người năng động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với những đổi mới diễn ra hàng ngày.
 Yêu cầu của giáo dục hiện nay đòi hỏi phải đổi mới phương pháp dạy học môn toán theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh. Vì vậy người giáo viên phải gây được hứng thú học tập cho các em bằng cách thiết kế bài giảng khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế. 
 Vì những lí do đó, để giúp học sinh có cơ sở khoa học, có có hệ thống kiến thức về tính tích phân của hàm ẩn và tháo gỡ những vướng mắc trên, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học, đáp ứng nhu cầu đổi mới giáo dục , tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Sử dụng phương pháp tính tích phân để giúp học sinh lớp 12 tính tích phân hàm ẩn , nhằm nâng cao chất lượng thi THPT Quốc gia năm 2018”.
 Với đề tài này tôi hi vọng sẽ giúp cho học sinh dễ dàng nắm bắt và thành thạo trong việc tính tích phân nói chung và tích phân của hàm ẩn nói riêng.
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
 - Làm rõ vấn đề mà học sinh còn lúng túng , mắc nhiều sai lầm và thậm chí là không có định hình về lời giải trong việc tính tích phân của hàm ẩn.
 - Góp phần gây hứng thú học tập phần tích phân hàm ẩn cho học sinh, một trong các phần được coi là hóc búa , đòi hỏi tính tư duy cao và không những chỉ giúp giáo viên lên lớp tự tin, nhẹ nhàng; học sinh lĩnh hội được tri thức một cách đầy đủ, khoa học mà còn giúp các em củng cố và khắc sâu các tri thức .
 - Làm cho học sinh thấy được tầm quan trọng của chương học, là vấn đề then chốt cho việc tiếp nhận và giải các dạng toán tiếp theo.
 - Nâng cao chất lượng bộ môn toán theo từng chuyên đề khác nhau góp phần nâng cao chất lượng dạy học. 
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
 Chương Nguyên hàm - Tích phân và chủ yếu là phương pháp tính tích phân hàm ẩn.
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :
 a. Nghiên cứu tài liệu : 
 - Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục ... có liên quan đến nội dung đề tài
 - Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo.
 - Tham khảo các đề minh họa thi THPT-QG của Bộ GD và đề thi thử của các trường trên toàn Quốc
 b. Nghiên cứu thực tế :
 - Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung tích phân .
 - Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học.
 - Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông qua các tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài.
 - Nghiên cứu khả năng nắm bắt của học sinh qua từng tiết học.
 - Tìm hiểu qua phiếu thăm dò của học sinh.
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận
 Các kiến thức cơ bản
 Các kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài bao gồm các định nghĩa và tính chất từ sách giáo khoa mà học sinh đã được học
2.1.1. Định nghĩa 
 Cho hàm số liên tục trên và là hai số bất kỳ thuộc . Nếu là một nguyên hàm của trên thì hiệu số được gọi là tích phân của từ đến và kí hiệu là . Trong trường hợp , ta gọi là tích phân của trên đoạn .
Người ta dùng kí hiệu để chỉ hiệu số . Như vậy Nếu là một nguyên hàm của trên thì .
2.1.2. Tính chất
 Giả sử liên tục trên và là ba số bất kì thuộc . Khi đó ta có
 ; ; 
 ; với .
 Chú ý là nếu với mọi thì 
2.1.3. Phương pháp đổi biến số 
 Tính tích phân .Giả sử được viết dưới dạng ,trong đó hàm số có đạo hàm trên, hàm số y=f(u) liên tục sao cho hàm hợp xác định trên và là hai số thuộc . Khi đó 
Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số thay cho . Như vậy tích phân không phụ thuộc vào biến tức là 
2.1.4. Phương pháp tính tích phân từng phần 
 Công thức (trong đó có đạo hàm liên tục trên và là hai số thuộc ).
2.2. Thực trạng của đề tài
 Năm học 2016 - 2017 bộ GD-ĐT chuyển đổi hình thức thi THPT quốc gia của môn toán từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi phương pháp dạy và học cũng phải thay đổi cho phù hợp.	
 Trong các đề minh họa của bộ GD - ĐT , đề thi THPT quốc gia và đề thi thử của các trường THPT trên toàn Quốc , học sinh thường gặp một số câu về tính tích phân của hàm ẩn và các bài toán có liên quan , đây là các bài ở mức độ vận dụng để lấy điểm cao. Hướng dẫn các em vận dụng tốt phần này sẽ tạo được cho các em có thêm phương pháp, có linh hoạt hơn trong việc tính tích phân và nâng cao tư duy trong giải toán từ đó các em vận dụng và làm tốt trong các bài thi.
 Trước khi áp dụng đề tài này vào dạy học, tôi đã khảo sát chất lượng học tập của học sinh trường THPT Hậu Lộc 4 (thông qua các lớp trực tiếp giảng dạy) về các bài toán tính tích phân hàm ẩn, đã thu được kết quả như sau:
 Lớp
Sĩ số
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12A6
 36
0
0
5
13,9
21
58.3
7
19.4
3
5.4
12A7
 39
1
2.6
10
25.6
22
56.4
5
12.8
1
2.6
12A9
 42
0
0
1
2.4
28
66.7
8
19.0
5
11.9
 Như vậy số lượng học sinh nắm bắt dạng này không nhiều, có rất nhiều em chưa định hình được lời giải do chưa có được nguồn kiến thức và kĩ năng cần thiết.
 Thực hiện đề tài này , tôi đã hệ thống lại các phương pháp tính tích phân đã được học để áp dụng tính cho hàm ẩn thông qua các phương pháp cụ thể và các bài tập tương ứng cho mỗi phương pháp đó. Cuối cùng là bài tập tổng hợp đề học sinh vận dụng các phương pháp đã được học vào giải quyết. Do khuôn khổ đề tài có hạn nên tôi chỉ đưa ra được bốn phương pháp tính tích phân của hàm ẩn thông qua một số ví dụ tương ứng đó là: Phương pháp biến đổi để đưa về nguyên hàm cơ bản, phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần và tạo bình phương cho biểu thức dưới dấu tích phân. 
2.3. Giải pháp tổ chức thực hiện 
Thực hiện đề tài này tôi chia nội dung thành bốn phần 
Phần 1. Biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản
Phần 2. Phương pháp đổi biến số
Phần 3. Phương pháp tính tích phân từng phần
Phần 4. Tạo bình phương cho hàm số dưới dấu tích phân
 Mỗi phần được thực hiện theo các bước:
 - Nhắc lại kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài 
 - Nêu các ví dụ áp dụng
 - Nêu các nhận xét trước khi đưa ra lời giải cho các bài tập mới và khó.
Sau đây là nội dung cụ thể:
2.3.1. BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
 a . Kiến thức sử dụng
 * Nếu với mọi thì 
 * Các công thức về đạo hàm:
; ; ; ; .
 b. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Cho hàm số , liên tục trên đoạn và thỏa mãn với . Tính tích phân 
Nhận xét: từ gt ta có , biểu thức vế trái có dạng . từ đó ta có lời giải.
Lời giải
Ta có 
, do 
 Nên ta có 
 Khi đó 
Ví dụ 2. Cho hàm số liên tục, không âm trên và thỏa mãn với và . Tính tích phân 
Nhận xét: từ gt ta có , biểu thức vế trái có dạng . từ đó ta có lời giải.
Lời giải
Ta có 
. Do nên ta có 
(vì không âm trên ). Khi đó 
Ví dụ 3. Cho hàm số đồng biến, có đạo hàm trên đoạn và thoả mãn với . Biết , tính 
Lời giải
Do đồng biến trên đoạn 
Ta có , do và 
 và 
. Vì 
Khi đó 
Ví dụ 4. Cho hàm số đồng biến, có đạo hàm cấp hai trên đoạn và thỏa
mãn với . Biết , tính tích
.
Nhận xét: từ gt ta có , biểu thức vế trái có dạng . từ đó ta có lời giải.
Lời giải
Do đồng biến trên đoạn nên ta có 
Ta có 
 mà 
Nên ta có . Do 
Khi đó 
Ví dụ 5. Chocó đạo hàm trên và thỏa mãn với . Biết , tính tích phân 
Lời giải
Ta có 
. Do
Khi đó 
 Ví dụ 6. Cho có đạo hàm trên thỏa mãn với . Biết , tính tích phân 
Nhận xét: từ gt ta có , vế trái là biểu thức có dạng 
, từ đó ta có lời giải 
Lời giải
Ta có 
, vì 
. Khi đó
Nhận xét: với là biểu thức cho trước thì ta có 
 Đặt ta được (*). Như vậy nếu biểu thức có dạng ta có thể biến đổi đưa về dạng .Khi đó ta có bài toán tổng quát cho ví dụ 5 như sau: 
Cho ;là các biểu thức đã biết. Tìm hàm số thỏa mãn (**)
Do vế trái có dạng (*) nên ta có thể biến đổi (**) 
Trong đó được chọn sao cho :
 (với là một nguyên hàm của )từ đây ta sẽ chọn được biểu thức .
Ví dụ 7. Cho có đạo hàm trên thỏa mãn và với .Tính tích phân 
Nhận xét : trước hết ta đi tìm biểu thức . Ta có 
nên ta chọn , khi đó ta có lời giải như sau:
Lời giải
Ta có 
Khi đó , do 
 khi đó 
Ví dụ 8. Cho có đạo hàm trên thỏa mãn với . Biết , tính tích phân 
Nhận xét : trước hết ta đi tìm biểu thức . Ta có nên ta chọn , từ đó ta có lời giải
Lời giải
Ta có 
 do .
Khi đó 
Ví dụ 9. Cho liên tục và có đạo hàm trên thỏa mãn với và . Tính tích phân 
Nhận xét : trước hết ta đi tìm biểu thức .Ta có , nên ta chọn 
, từ đó ta có lời giải 
Lời giải
Ta có 
. Do . Khi đó 
Với ; đặt 
Khi đó .
2.3.2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
 a. Kiến thức sử dụng
 Công thức : 
Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số thay cho . Như vậy tích phân không phụ thuộc vào biến tức là 
 b. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn với . Tính tích phân 
 Nhận xét: giả thiết chứa và , nên ta biến đổi tạo ra hai biểu thức này bằng cách đặt , từ đó ta có lời giải
Lời giải
 Đặt , đổi cận : 
Khi đó .Vì 
nên 
Ví dụ 2. Cho hàm số liên tục trên đoạn và thỏa mãn với . Tính tích phân 
Nhận xét: giả thiết chứa và , nên ta biến đổi tạo ra hai biểu thức này bằng cách đặt , từ đó ta có lời giải
 Lời giải
 Đặt , đổi cận : . Khi đó 
. Ta có 
Ví dụ 3. Cho hàm số liên tục trên đoạn và thỏa mãn với . Tính tích phân 
Nhận xét: giả thiết chứa và , nên ta biến đổi tạo ra hai biểu thức này bằng cách đặt , từ đó ta có lời giải
 Lời giải
Đặt , đổi cận : 
Khi đó 
Ta có 
Ví dụ 4. Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn với . Tính tích phân 
Nhận xét: giả thiết chứa và , nên ta biến đổi tạo ra hai biểu thức này bằng cách đặt , từ đó ta có lời giải
Lời giải
Đặt , đổi cận : 
Khi đó . Ta có 
 Như vậy từ 4 ví dụ trên ta thấy nếu giả thiết cho mối liên hệ giữa và 
Thì ta đặt 
Ví dụ 5. Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn với . Tính tích phân 
Lời giải
Đặt , đổi cận : 
Ta có 
Ví dụ 6. Cho hàm số liên tục trên đoạn và thỏa mãn với . Tính tích phân 
 Lời giải
Đặt 
Đổi cận : 
Ta có 
Ví dụ 7. Biết mỗi số thực phương trình có nghiệm dương duy nhất , với là hàm số liên tục theo t trên .Tính tích phân 
Lời giải
Đặt , đổi cận : 
Ta có 
2.3.3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
 a. Kiến thức sử dụng
Công thức (trong đó có đạo hàm liên tục trên và là hai số thuộc ).
 b. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Cho hàm số liên tục, có đạo hàm trên thỏa mãn và . Tính tích phân 
Lời giải
Đặt 
Khi đó 
Ví dụ 2. Cho hàm số liên tục, có đạo hàm trên thỏa mãn và . Tính tích phân 
Lời giải
Đặt 
 Khi đó 
Ví dụ 3. Cho hàm số liên tục, có đạo hàm trên đoạn thỏa mãn và . Tính tích phân 
Lời giải
Xét , đặt 
Khi đó 
.
Ví dụ 4. Cho hàm số liên tục, có đạo hàm trên đoạn thỏa mãn và
. Tính tích phân 
Lời giải
Xét , đặt 
Khi đó 
2.3.4. TẠO BÌNH PHƯƠNG CHO HÀM SỐ DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN
 a. Kiến thức sử dụng
 Nếu với thì , dấu "=" xảy ra 
 Hệ quả: với .
 b. Ví dụ áp dụng 
Ví dụ 1. Cho hàm số liên tục, có đạo hàm trên đoạn . Biết và . Tính tích phân .
Nhận xét : giả thiết chứa và nên ta tạo bình phương dạng 
Ta chọn sao cho 
.Từ đó ta có lời giải
Lời giải
Ta có 
. Khi đó .
Ví dụ 2. Cho hàm số liên tục, có đạo hàm trên đoạn . Biết , và . Tính tích phân 
Nhận xét : giả thiết chứa và nên ta chưa thể tạo bình phương, do đó trước hết ta biến đổi để tạo biểu thức bằng cách đặt 
, khi đó 
. Đến đây ta được hai biểu thức và nên ta tạo bình phương dạng . Ta chọn sao cho .Từ đó ta có lời giải 
Lời giải
Xét , đặt 
 khi đó . Ta có mà nên ta có . Ta có 
Ví dụ 3. Cho hàm số liên tục, có đạo hàm trên đoạn . Biết 
 và . Tính tích phân 
Nhận xét : giả thiết chứa và nên ta chưa thể tạo bình phương, do đó
trước hết ta biến đổi để đưa về bằng cách đặt
, khi đó . Đến đây ta được hai biểu thức và 
nên ta tạo bình phương dạng , ta chọn sao cho
.Từ đó ta có lời giải 
Lời giải
Xét , đặt , khi đó 
Ta có 
 . Mà 
 nên . Khi đó 
Ví dụ 4. Cho hàm số liên tục, có đạo hàm trên đoạn . Biết và với . Tính tích phân 
Lời giải
 Từ giả thiết ta có 
 (*)
Đến đây ta có hai biểu thức và nên ta chưa thể tạo bình phương, do đó trước hết ta biến đổi để tạo ra bằng cách đặt 
Khi đó , thế vào (*) ta được 
 (**)
Mà nên ta có (**)
 mà 
Khi đó 
Ví dụ 5. Cho hàm số liên tục trên đoạn thỏa mãn . Biết và . Tính tích phân 
Nhận xét : giả thiết chứa ,và nên ta tạo bình phương dạng , ta chọn sao cho 
. Để có thì , từ đó ta có lời giải 
Lời giải
Ta có 
. Khi đó 
Ví dụ 8. Cho hàm số liên tục trên đoạn thỏa mãn ,
 và . Tính tích phân 
Nhận xét : giả thiết chứa , và nên ta tạo bình phương dạng ,ta chọn sao cho 
, để có thì 
 Từ đó ta có lời giải 
Lời giải
Ta có 
 ta có.
2.3.5. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1.[Sở GD - ĐT Thanh Hóa] Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn .Tính tích phân .
 A. B. C. D.
Bài 2.[Đề tham khảo BGD năm 2018 ] Cho hàm số liên tục, có đạo hàm trên đoạn thỏa mãn . Biết và . Tính .
 A. B. C. D.
Bài 3.[Trường Đại Học Hồng Đức] Cho hàm số liên tục trên đoạn 
với , thỏa mãn hai điều kiện và .Tính .
 A. B. C. D. 
Bài 4.[THPT Hậu Lộc 2 lần 3] Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn , thỏa mãn và .Tính tích phân .
 A. B. C. D. .
Bài 5.[THPT Chuyên Nghệ An lần 1] Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và biết , .Tính .
 A. B. C. D. .
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
 Thực tiễn giảng dạy ở trường THPT Hậu Lộc 4 tôi được nhà trường giao cho giảng dạy ba lớp 12A6, 12A7 và 12A9. Sau khi thử nghiệm dạy nội dung này qua việc lồng gép giờ dạy trên lớp, các giờ dạy tự chọn, bồi dưỡng tôi thấy học sinh rất hứng thú học tập, tiếp thu kiến thức có hiệu quả và chất lượng học toán được nâng lên rõ rệt.
 Sau khi áp dụng đề tài trên tôi đã khảo sát lại học sinh và thu được kết quả như sau:
Lớp
Sĩ số
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12A6
 36
4
11.1
10
27.8
20
55.6
2
5.5
0
0
12A7
 39
9
23.1
12
30.8
17
43.6
1
2.5
0
0
12A9
 42
2
4.8
6
14.3
31
73.8
3
7.1
0
0
 Như vậy qua kết quả trên, so sánh với số liệu khảo sát lần đầu tôi nhận thấy chất lượng học tập môn toán của học sinh được nâng lên rõ rệt, số lượng học sinh khá giỏi tăng lên nhiều.
 Với đề tài này tôi cũng đã đưa ra trước tổ bộ môn để trao đổi, thảo luận và rút kinh nghiệm. Đa số các đồng nghiệp trong tổ đã đánh giá cao và vận dụng có hiệu quả, tạo được hứng thú cho học sinh và giúp các em hiểu sâu, nắm vững hơn về bản chất biến đổi trong việc tính tích phân hàm ẩn , cũng như tạo thói quen sáng tạo trong nghiên cứu và học tập. 
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
 Dạy Toán ở trường THPT là một quá trình sáng tạo. Mỗi giáo viên đều tự hình thành cho mình một con đường ngắn nhất, những kinh nghiệm hay nhất để đạt được mục tiêu giảng dạy là đào tạo, bồi dưỡng nhân tài, những chủ nhân tương lai của đất nước. Việc tính tích phân và ứng dụng là dạng toán không thể thiếu được trong chương trình toán phổ thông cũng như trong kì thi THPT quốc gia . Nếu chỉ dừng lại yêu cầu trong sách giáo khoa thì chưa đủ, vì vậy đòi hỏi người giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo, thường xuyên bổ sung kiến thức và tích luỹ kinh nghiệm về vấn đề này.
 Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh học tập, đọc tài liệu tham khảo và ôn thi THPT quốc gia tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nêu trên. Như vậy đề tài “Sử dụng phương pháp tính tích phân để giúp học sinh lớp 12 tính tích phân hàm ẩn , nhằm nâng cao chất lượng thi THPT Quốc gia năm 2018” đã giúp học sinh có được hệ thống kiến thức, linh hoạt hơn trong việc định hướng biến đổi và có kinh nghiệm trong việc tính tích phân nói chung và tích phân hàm ẩn nói riêng , góp phần nâng cao chất lượng dạy học, đáp ứng được yêu cầu đổi mới trong dạy học. 
3.2. Kiến nghị
 3.2.1. Đối với tổ chuyên môn : 
 Cần có nhiều hơn các buổi họp tổ thảo luận về nội dung phương pháp tính tích phân. Khi dạy học khuyến khích học sinh tự xây dựng bài tập toán liên quan đến những dạng bài tập toán trong bài giảng. 
 3.2.2. Đối với nhà trường : 
 Cần bố trí những tiết thảo luận nhiều hơn nữa cho học sinh để thông qua đó các em thường xuyên bổ trợ nhau về kiến thức. 
 3.2.3. Đối với sở giáo dục : 
 Phát triển và nhân rộng những đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời sau mỗi năm sở sẽ tập hợp những sáng kiến kinh nghiệm đạt giải in thành sách nội bộ để gửi về các trường làm sách tham khảo cho học sinh và giáo viên. 
 Cuối cùng dù đã cố gắng tự nghiên cứu, tự bồi dưỡng và học hỏi đồng nghiệp song vẫn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự góp ý , bổ sung của các đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn. 
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
 Thanh Hóa, ngày 22 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN do chính bản thân mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Nguyễn Văn Mạnh
4. TÀI LIỆU THAM KHẢO:
[1]. Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao , NXB Giáo Dục Việt Nam , Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan ( Chủ biên) .
[2]. Sách bài tập Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục Việt Nam , Nguyễn Huy Đoan ( Chủ biên) .
[3]. 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức , NXB Hà Nội, G.S. Phan Huy Khải.
[4]. Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thuật tính tích phân, Trần phương.
[5]. Đề thi thử THPT quốc gia năm 2017 - 2018 của các trường trong toàn Quốc.