SKKN Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của một số dãy số truy hồi có quy luật đặc biệt

MỤC LỤC
1.
Mở đầu..
2
1.1.
Lý do chọn đề tài..
2
1.2.
Mục đích nghiên cứu
2
1.3.
Đối tượng ngiên cứu.
3
1.4.
Phương pháp nghiên cứu..
3
2.
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm..
3
2.1.
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
3
2.2.
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm..
3
2.3.
Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề. 
4
2.4.
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường..
19
3.
Kết luận, kiến nghị..
20
3.1.
Kết luận
20
3.2.
Kiến nghị.
20
3.3.
Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được hội đồng SKKN Ngành GD huyện, tỉnh và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C trở lên..
20
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài: 
	Trong hai năm trở lại đây đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán bậc THPT tỉnh Thanh hóa luôn có câu hỏi về dãy số với mức độ khó so với các bài tập trong sách giáo khoa hiện hành và cũng không có bài tập nào trong sách giáo khoa tương tự như vậy làm cho nhiều học sinh khó khăn khi giải quyết vấn đề. Cụ thể: 
	Câu III ý 2 (Đề thi HSG môn Toán THPT tỉnh Thanh hóa năm 2018): cho dãy số xác định như sau .Tính giới hạn 
	Câu III ý 2 (Đề thi HSG môn Toán THPT tỉnh Thanh hóa năm 2019): cho dãy số xác định bởi .Tìm số hạng tổng quát và tính giới hạn 
	Bên cạnh đó các vấn đề về dãy số như hai câu trong đề thì học sinh giỏi bậc THPT môn toán tỉnh Thanh hóa hai năm 2018, 2019 không xuất hiện trong các đề thi THPT QG các năm trước đó nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung này. Tài liệu tham khảo về dãy số cũng rất ít và nếu có chủ yếu viết cho học sinh theo chương trình THPT chuyên nên rất rộng, có bài vượt ngoài cơ sở lý thuyết của sách giáo Đại số và giải tích 11 chương trình cơ bản, do đó những học sinh có nhu cầu tìm hiểu sâu thêm về dãy số hoặc những học sinh ôn thi học sinh giỏi rất khó tìm cho mình một cuốn tài liệu để đọc phù hợp. 
	Mục tiêu của tổ bộ môn toán trường THPT Thường Xuân 2 là phải xây dựng được chuyên đề về dãy số phù hợp với cấu trúc đề thi của tỉnh nhà và bám sát chương trình sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 chương trình cơ bản.
	Hiện tại chưa có nhiều tài liệu nghiên sâu vấn đề này mà lại bám sát chương trình sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 chương trình cơ bản, đồng nghiệp trong nhóm chuyên môn chưa có nhiều kinh nghiệm để giải quyết, khắc phục.
	Do vậy, tôi lựa chọn đề tài “Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của một số dãy số truy hồi có quy luật đặc biệt” là cấp thiết.
1.2. Mục đích nghiên cứu: 
	Những vấn đề tôi trình bày trong bản sáng kiến với mục đích sau
Truyền đạt đến học sinh một cái nhìn toàn diện về dãy số theo quan điểm của học sinh trung học phổ thông không chuyên. Hệ thống và phân tích các bài tập về dãy số một cách logic từ dễ đến khó.
Qua việc luyện tập các bài toán về dãy số ta sẽ thấy nó là các phép thế tuyệt đẹp, nó là phép quy nạp từ các vấn đề đơn giản đến phức tạp tổng quát và là phép biến đổi điển hình của đại số và giải tích.
Hướng dẫn học sinh tìm lời giải một cách tự nhiên cho các bài toán về dãy số chánh sự gượng ép máy móc.
1.3. Đối tượng nghiên cứu: 
	Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phải nghiên cứu về dãy số và các tính chất của cấp số cộng, cấp số nhân. Để qua đó hình thành cách tìm số hạng tổng quát của một số dãy số thường gặp dựa vào sử dụng cấp số cộng và cấp số nhân.
1.4. Phương pháp nghiên cứu: 
	Phương pháp ghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết cho việc tìm số hạng tổng quát cho một số dãy số thường gặp bằng cách sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm: 
2.1.1.Cấp số cộng
* Dãy số là cấp số cộng với , trong đó là số không đổi gọi là công sai của cấp số cộng.
* Nếu dãy số là cấp số cộng thì 
* Nếu dãy số là cấp số cộng thì tổng
2.1.2.Cấp số nhân
* Dãy số là cấp số nhân với , trong đó là số không đổi gọi là công bội của cấp số nhân.
* Nếu dãy số là cấp số nhân thì 
* Nếu dãy số là cấp số nhân vơi thì tổng
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: 
	Để thực hiện được đề tài của mình tôi đã thực hiện khảo sát thực tế như sau: 
Trong năm học 2018– 2019 sau khi học sinh lớp 11 đã học hết chương II tức là khi đã nghiên cứu khá đầy đủ về dãy số theo chương trình sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 chương trình cơ bản. Tôi cho hai nhóm học sinh, mỗi nhóm 05 học sinh có lực học tương đương là nhóm 1 và nhóm 2 và đều là học sinh lớp 11B1 trường THPT Thường Xuân 2 làm bài kiểm tra khảo sát 45 phút trong tiết 5 của buổi sáng thứ 2 tuần học thứ 21.
Nhóm
Tên học sinh được kiểm tra / điểm TB môn toán học kỳ 1( 2018-2019)
1
Phong (8,3)
C.Anh (7,5)
Dũng (7,6)
Sơn (6,5)
H.Phương (5,8)
2
Giang (8,2)
Q Hoa (7,6)
T.Anh (7,7)
Q.Chi(6,6)
Trang (5,9)
(Bảng điểm học lực môn toán các học sinh ở học kỳ 1 năm học 2018-2019)
Với đề kiểm tra như sau:
Câu 1 (3 điểm) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số xác định bởi:
Câu 2 (4 điểm) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số xác định bởi: . 
Câu 3. (3 điểm) Tìm số hạng tổng quát của dãy số xác định bởi: 
Kết quả thu được với các mức điểm được đã được làm tròn (theo số học sinh)
 Điểm
 Lớp
0 – 3
3,5 – 5
5,5 – 7,0
7,5 – 8,5
9-10
Nhóm 1 (số hs)
1
2
2
0
0
Nhóm 2 (số hs)
1
1
3
0
0
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
	Trước hết ta giải quyết một số bài toán rất cơ bản để khai thác định nghĩa và tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân
Bài 1. Cho dãy số xác định bởi công thức: 
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số
Giải
Từ công thức truy hồi đã cho suy ra là một cấp số cộng có và công sai nên số hạng tổng quát là Vậy 
Kết luận. 
Để xác định số hạng tổng quát của dãy số thỏa mãn 
	Ta làm như sau nên dãy số là cấp số cộng với số hạng thứ nhất và công sai b nên 
Bài 2. Cho dãy số xác định bởi công thức: 
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số
Giải 
Từ công thức truy hồi đã cho suy ra là một cấp số nhân có và công 
bội nên số hạng tổng quát là 
Vậy 
Kết luận. 
	Để xác định số hạng tổng quát của dãy số thỏa mãn
Ta thấy dãy số là cấp số cộng với số hạng thứ nhất và công bội b nên 
Bài 3. Cho dãy số có 
Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
Giải
Theo đề bài suy ra 
... 
Cộng đẳng thức trên theo vế suy ra 
Trong đó 
Vậy: 
Bài 4. Cho dãy số xác định bởi công thức: . 
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số
Giải
Theo đề bài suy ra 
... 
Cộng đẳng thức trên theo vế suy ra 
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là 
Bài 5. Cho dãy số xác định bởi công thức: . 
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số
Giải
Theo đề bài suy ra 
... 
Cộng đẳng thức trên theo vế suy ra 
Trong đó 
Và tổng là tổng số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng thứ nhất , công bội 
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là 
 Trên cơ sở của cấp số cộng và cấp số nhân và cách tư duy tương tự các bài trên ta sẽ giải quyết một số bài toán về dãy số khá phức tạp dưới đây mà bản thân nó không phải cấp số cộng hoặc cấp số nhân
Bài 6. Cho dãy số xác định bởi công thức: 
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số
Giải 
Ta xét 
Kết hợp với đề bài 
Vậy 
Đặt và 
Suy ra dãy số là cấp số nhân có , công bội 
 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
Kết luận: Theo cách giải của bài toán trên ta có thể tìm được số hạng tổng quát của các dãy số cho bới công thức truy hồi có dạng: 
Trong đó là các hằng số đã cho, là đa thức theo biến số n
* Nếu ta được bài toán rất đơn giản như đã trình bày trong phần I
* Nếu ta phải tìm một đa thức có bậc bằng bậc của sao cho phương trình 
Khi đó việc tìm sẽ trở thành tìm trong đó dãy số là một cấp số nhân
Bài 7. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi
a) 
b) 
c) 
Giải
a) Theo đề bài suy ra 
Cộng đẳng thức trên theo vế ta được
 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
b) Từ đề bài suy ra là đa thức bậc nhất ẩn nên ta xét đa thức sao cho 
Mà nên ta phải có 
Do đó 
Đặt và 
Suy ra là cấp số nhân có , công bội 
 mà 
 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
c) Từ đề bài suy ra là đa thức bậc hai ẩn nên ta xét đa thức sao cho 
Mà nên ta phải có
 suy ra 
Do đó 
Đặt và 
Suy ra là cấp số nhân có , công bội 
Mà 
 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
Bài tập tương tự: 
Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi 
a) 
b) 
c) 
Bài 8. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bới công thức truy hồi 
Giải 
Cách 1. Theo đề bài suy ra 
Cộng đẳng thức trên theo vế ta được
Trong đó tổng là tổng số hạng đầu của một cấp số nhân có phần tử thứ nhất , công bội 
Xét 
Trừ theo vế hai đẳng thức trên suy ra 
Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là 
Cách 2. Xét hàm số sao cho 
Mà nên ta phải có 
Do đo 
Đặt và 
Suy ra là cấp số nhân có , công bội 
 mà 
Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là 
Chú ý: Dãy số thỏa mãn 
 Tương tự cách giải của bài tập 7 và 8 ta có thể tìm được số hạng tổng quát của các dãy số cho bới công thức truy hôi như sau:
Trong đó là các hằng số đã cho, là một đa thức theo biến số n
Kết luận:
* Nếu ta sẽ tìm đa thức có bậc bằng bậc của cộng với 1 sao cho . Khi đó ta sẽ đưa về bài toán tìm số hạng tổng quát của một cấp số nhân.
* Nếu và , ta có đề bài với cách giải tương tự bài tập số 8.
* Nếu , , ta sẽ tìm đa thức có bậc bằng bậc của sao cho 
* Nếu , ta sẽ tìm đa thức có bậc bằng bậc của cộng với 1 sao cho 
 Vấn đề này được thể hiện rất rõ ràng qua các ví dụ sau đây theo thứ tự tương ứng.
Bài 9. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi 
Giải
Theo đề bài , bậc bằng 2 bậc bằng 3
Xét sao cho 
Mà nên ta phải có 
Do đó 
Đặt và 
Suy ra là cấp số nhân có , công bội 
mà 
 Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là 
Chú ý: bài tập này có thể giải theo cách của bài số 7a.
Bài 10. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi 
Giải
Theo đề , bậc của bằng 2 suy ra bậc của bằng 2
Xét sao cho: 
Mà nên ta phải có 
 và 
Đặt và 
Do đó là cấp số nhân có công bội nên 
 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
Bài 11. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi 
Giải 
Theo đề , bậc của bằng 2 suy ra bậc của bằng 2
Xét hàm số sao cho 
Mà nên ta phải có 
 và 
Đặt và 
Do đó là cấp số nhân có công bội nên 
 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
Bài 12. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi 
Giải 
Theo đề , bậc của là 1 suy ra bậc của là 1
Xét hàm số sao cho 
Mà nên ta phải có 
Đặt và 
Do đó là cấp số nhân có công bội nên 
 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
Bài 13. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi 
Giải
Theo đề , bậc của là 1 suy ra bậc của là 2
Xét hàm số sao cho
Mà nên ta phải có 
Và 
Đặt và 
Do đó là cấp số nhân có công bội nên 
 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
Bài 14. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi 
Giải
Theo đề , bậc của bằng 1 bậc của bằng 1
Xét sao cho: 
Mà nên ta phải có :
 và 
Đặt và 
Do đó là cấp số nhân có công bội nên 
 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
Bài 15. (Đề thi HSG môn Toán THPT tỉnh Thanh hóa năm 2019) cho dãy số xác định bởi .Tìm số hạng tổng quát 
Giải
Theo đề , bậc của là 0 suy ra bậc của là 1
Xét hàm số sao cho
Mà nên ta phải có và b tùy ý, nên ta chọn 
Và 
Đặt và 
Do đó là cấp số nhân có công bội nên 
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
Bài 16. cho dãy số xác định như sau .Tìm 
Giải
Theo đề bài suy ra 
Đặt 
Và nên dãy là cấp số nhân với công bội 
Vậy 
Theo đề , bậc của là 0 suy ra bậc của là 0
Xét hàm hằng sao cho 
Mà nên ta phải có 
Đặt và 
Do đó là cấp số nhân có công bội nên 
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
Kết luận: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau: 
Cách làm như sau: phân tích 
nên là hai nghiệm phương trình 
Giả sử phương trình có hai nghiệm là . 
Khi đó 
. Đặt thì Bài toán này đã được giải quyết ở trên, từ đó tìm được 
Bài tập tương tự
Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	 	f) 
	Bây giờ ta sẽ xét một bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng cách quy về cấp số nhân theo một khía cạnh khác. 
Bài 17. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi
Giải
Từ giả thiết suy ra 
Do đó 
Cộng theo vế đẳng thức trên ta được
 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
Bài 18. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bới công thức truy hồi
Giải
Theo đề bài suy ra 
Đặt và 
Xét sao cho 
Mà nên ta phải có 
 và 
Đặt và 
Do đó là cấp số nhân có công bội nên 
 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
 Theo cách tư duy của các bài tập nêu trên ta có thể tìm được số hạng tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi có dạng sau:
Trong đó là các số thực cho trước, ; và là các đa thức theo biến số tự nhiên . 
Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi:
a) 	b) 
c) d) 
e) 
Bài 19. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi
Giải
Theo đề bài suy ra 
Đặt và 
Xét sao cho 
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:
	Trong quá trình thực hiện đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm một số bài tập tôi đã nắm được tình hình tiếp thu bài học. Nhưng để có được sự kết luận toàn diện nên giữa học kì II năm học 2018 – 2019 khi học sinh nhóm 1 đã học song các phần liên quan đến nội dung của đề tài này, nhóm 2 chưa được học, sau đó tôi đã cho cả hai nhóm 1 và nhóm 2 ở phần khảo sát ban đầu cùng làm bài kiểm tra 45 phút . Trong đó nhóm 1 là nhóm thực nghiệm trong quá trình triển khai đề tài còn nhóm 2 là nhóm đối chứng không tham gia trong việc triển khai đề tài. 
	Nội dung đề kiểm tra 
Câu 1 (3 điểm) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số xác định bởi:
Câu 2 (4 điểm) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số xác định bởi: . 
Câu 3. (3 điểm) Tìm số hạng tổng quát của dãy số xác định bởi: 
Nhóm thực nghiệm: Nhóm 1 (05 học sinh) 
Nhóm đối chứng: Nhóm 2 (05 học sinh)
Kết quả thu được với các mức điểm được đã được làm tròn (theo số học sinh)
 Điểm
 Lớp
0 – 3
3,5 – 5
5,5 – 7,0
7,5 – 8,5
9-10
Nhóm 1 (số hs)
0
1
1
2
1
Nhóm 2 (số hs)
1
1
3
0
0
	Căn cứ vào kết quả kiểm tra và đối chiếu so sánh kết quả làm bài của nhóm thực nghiệm và nhóm còn lại không được tham gia thực nghiệm ta thấy với các nội dung đã trình bày trong đề tài này đã giúp các em học sinh ở nhóm 1 giải quyết được vấn đề đặt ra trong đề kiểm tra, đồng thời các học sinh nhóm 1 tự tin hơn khi làm bài kiểm tra ở lần 2 này.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận: 
	Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh có học lực từ trung bình khá trở lên ở môn toán lớp 11 trong một số giờ dạy bồi dưỡng, chủ yếu là hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung như đã trình bày. Tôi thấy các em học sinh đã tự tin hơn khi đứng trước bài toán về dãy số và các phép biến đổi trong dãy số sẽ góp phần đáng kể nâng cao khả năng tư duy đó là một yêu cầu rất cần thiết đối với người học Toán nói riêng và học môn tự nhiên nói chung.
	Trong nhiều năm gần đây tôi và các bạn đồng nghiệp trong trường và một số trường trong tỉnh viết sáng kiến kinh nghiệm đều nhận thấy rằng việc chấm sáng kiến kinh nghiệm rất khách quan, chính xác, việc phổ biến sáng kiến trong ngành được đưa lên trang web của ngành để các giáo viên trong các trường THPT có thể tìm hiểu và nghiên cứu đã góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của giáo viên và nâng cao chất lượng học tập của học sinh.
 	Với thời lượng hạn chế, tôi chưa thể mở rộng đề tài trong sáng kiến này được, tôi sẽ tiếp tục phát triển đề tài này trong các năm tiếp theo. Bên cạnh đó tôi rất mong sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn.
3.2. Kiến nghị: đối với nhà trường xem đề tài này là tài liệu tham khảo cho bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán phần dãy số và được lưu ở thư viện nhà trường để các đồng nghiệp và học sinh tham khảo.
3.3. Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng SKKN Ngành GD, huyện, tỉnh và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C trở lên.
Họ và tên tác giả: Đỗ Văn Hào
Chức vụ và đơn vị công tác: giáo viên trường THPT Thường Xuân 2
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại
(Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh...)
Kết quả đánh giá xếp loại
(A, B, hoặc C)
Năm học đánh giá xếp loại
1
Hướng dẫn học sinh tìm tòi và phát triển một bài toán.
Ngành GD
C
2006-2007
2
Hướng dẫn học sinh THPT Thường Xuân 2 sử dụng máy tính Casio FX-570ES trong giải toán.
Ngành GD
C
2012-2013
3
Hướng dẫn học sinh THPT sử dụng đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng để giải và biện luận một số hệ phương trình và hệ bất phương trình đại số.
Ngành GD
C
2015-2016
Xác nhận của Hiệu trưởng 
Thường Xuân, ngày 22 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm này do tôi tự viết chứ không phải đi sao chép. Nếu sai tôi xin chịu mọi trách nhiệm!
 Tác giả 
 Đỗ Văn Hào