SKKN Sử dụng bảng biến thiên của hàm số để giải phương trình và bất phương trình có tham số

1. MỞ ĐẦU
- Lí do chọn đề tài
	Đối với học sinh học toán ở trường trung học phổ thông, nhất là các học sinh chuẩn bị thi đại học thường gặp bài toán không mấy dễ dàng liên quan đến nghiệm của phương trình, bất phương trình chứa tham số. Khi giảm tải chương trình thì các dạng toán phải sử dụng định lí đảo của tam thức bậc hai không thể vận dụng được nên học sinh phải vận dụng chủ yếu định lý Vi-ét và một số cách giải khác như hàm số hoặc “điều kiện cần - đủ” để giải quyết các bài toán chứa tham số dẫn đến cách giải phức tạp do đó học sinh rất khó rèn luyện tốt phần này. Với việc sử dụng bảng biến thiên của hàm số thì phần lớn các bài toán về phương trình, bất phương trình chứa tham số sẽ được giải quyết một cách rất tự nhiên, ngắn gọn và dễ hiểu. Đó là lí do để tôi chọn đề tài: “Sử dụng bảng biến thiên của hàm số để giải phương trình và bất phương trình có tham số”.
- Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm	
 Các vấn đề được trình bày trong đề tài này có thể hỗ trợ cho các em học sinh trung học phổ thông có cái nhìn toàn diện hơn về cách tiếp cận bằng bảng biến thiên của hàm số để giải bài toán phương trình, bất phương trình có tham số.
- Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Đề tài này nghiên cứu trên các dạng toán về phương trình, bất phương trình chứa tham số.
Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình đại số và giải tích của trung học phổ thông đặc biệt phương trình, bất phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất phương trình mũ và logarit chứa tham số. Tuy nhiên không phải mọi bài toán chứa tham số mà phạm vi của nó là các bài toán có thể cô lập được tham số về một vế trong phương trình hoặc bất phương trình.
- Phương pháp nghiên cứu
Trình bày cho học sinh những kiến thức cơ bản về lý thuyết về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số để lập được một bảng biến thiên. Thông qua những ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy được những thế mạnh của việc sử dụng phương pháp trên. Các ví dụ minh họa trong đề tài này được lọc từ các tài liệu tham khảo và các đề thi đại học các năm gần đây và sắp xếp từ dễ đến khó. Trong các tiết họAc trên lớp tôi ra cho học sinh giải các vi dụ này dưới nhiều phương pháp để từ đó đánh giá được tính ưu việt của phương phấp trên.
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
	Trong đề tài này sử dụng bảng biến thiên sẽ liên quan trực tiếp kết quả sau đây.
Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên miền D, và tồn tại , . Khi đó ta có 
1. Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi .
2. Hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi .
3. Bất phương trình đúng với mọi x khi và chỉ khi m .
4. Hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi .
5. Bất phương trình đúng với mọi x khi và chỉ khi M.
Chứng minh
 	1. Giả sử hệ phương trình đã cho có nghiệm, tức tồn tại sao cho . Theo định nghĩa ta có , hay
	 .
Đảo lại, giả sử . Vì f(x) là hàm số liên tục nên nó nhận giá trị từ đến . Do đó khi f(x) nhận giá trị , tức là tồn tại sao cho f() = . Điều đó có nghĩa là phương trình đã cho có nghiệm trên D .
	2. Giả sử hệ đã cho có nghiệm, tức là tồn tại sao cho .
Rõ ràng là .
Đảo lại, giả sử 	(1)
Ta giả thiết phản chứng rằng hệ đã cho vô nghiệm, tức là , từ đó suy ra 	 (2)
Từ (1) và (2) ta thấy vô lí, do đó giả thiết phản chứng không xảy ra, tức là hệ đã cho có nghiệm .
	3. Giả sử . Ta lấy tùy ý thuộc D. Vậy đúng với x .
Đảo lại, giả sử f(x), khi đó do nên theo định nghĩa tồn tại mà m =. Từ . Như vậy ta có đpcm.
(4 và 5 ta chứng minh tương tự như 2, 3).
2.2 Thực trạng vấn đề trước khí áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trước khí áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, học sinh thường gặp khó khăn trong việc giải các dạng toán tìm các giá trị của tham số để phương trình, bất phương trình có nghiệm (hoặc có nghiệm thỏa mãn một điều kiện nào đó). Do các em quen áp dụng các cách làm trước đó như sử dụng định lí Vi - ét, điều kiện cần và đủ  Khi học sinh được học đạo hàm, các em có một công cụ rất hiệu quả để giải quyết các dạng toán đó. Đó là “Sử dụng bảng biến thiên của hàm số để giải phương trình và bất phương trình có tham số”.
2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
1. Phương trình chứa tham số.
Ví dụ 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
Hướng dẫn
Điều kiện .
Đặt . 
Ta tìm miềm xác định của t, xét hàm số với .
Ta có . 
Từ đó ta có bảng biến thiên
x
 1 3 4
f’(x)
 + 0	-
f(x)
	 3
 và từ đó suy ra khi , thì 
Từ . 
vì thế bài toán trở thành: Tìm m để hệ sau có nghiệm
Ta có g’(t) = , và ta có bẳng biến thiên sau 
t
 2 1
g’(t)
 - 0	+
g(t)
	 1
 0	
Từ đó và . 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm .
Ví dụ 2. Cho phương trình .
	Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn
Đặt f(x); . Lúc này phương trình đã cho có dạng 	(1)
Phương trình (1) xác định trong miền . Ta có .
Nên ta có bảng biến thiên sau:
 x
 0 2 6
f’(x)
 + 0	-
f(x)
tương tự ta có , bảng biến thiên
x
 0 2 6
g’(x)
 + 0	-
g(x)
Vì thế ta có bảng biến thiên đối với hàm số h(x), như sau
x
 0 2 6
h’(x)
 + 0	-
h(x)
Ta có và 
.
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt .
Chú ý: 
1. Nếu bài toán hỏi tìm m để phương trình có nghiệm thì đáp số của bài toán sẽ là 
2. Trong bài này cần lưu ý khi khi đó phương trình đã cho chỉ có một nghiệm duy nhất. Vì thế khi làm bài học sinh cần phải kết hợp với cả bảng biến thiên để suy ra kết quả.
Ví dụ 3. Tìm m để phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn
Điều kiện: 	pt(1) 
Đặt t = do nên 
Bài toán đã cho trở thành: Tìm m để hệ có nghiệm.
Ta có nên có bảng biến thiên sau:
t
 0 1
f’(t)
 + 0	-
f(t)
 ; còn (chú ý rằng ở đây không tồn tại )
Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi .
Chú ý: 
1. Ở đây vì xét khi , nên không tồn tại nhưng tồn tại Do đó điều kiện theo lý thuyết phải thay bằng (tức là đã thay điều kiệnthành ).
2. Ta có thể giải bài toán trên bằng định lý Viét
Tìm m để hệ có nghiệm
Trước tiên ta tìm điều kiện m để hệ trên vô nghiệm
TH1) Phương trình (1) vô nghiệm 
TH2) PT (1) có nghiệm nhưng không thỏa mãn (2) 
m
Do đó hệ vô nghiệm khi . Vậy phương trình có nghiệm .
Ví dụ 4. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt.
Hướng dẫn
Phương trình đã cho . 
Do x = 0 không là nghiệm của (1) với mọi m, nên hệ trên 
 .Ta có f’(x) = và bảng biến thiên 
x
 0 
f’(x)
+
-
f(x)
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt .
Nhận xét: Bài này có thể hướng dẫn học giải bằng cách sử dụng lý Viét.
	Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt.
Yêu cầu trên tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm sao cho 
Áp dụng định lý Viét ta có 
Như vậy cách giải thứ nhất vẫn gọn hơn cách hai.
Ví dụ 5. Cho phương trình .Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn .
Hướng dẫn
Đặt . Khi .
Bài toán trở thành: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
Ta có và có bảng biến thiên sau:
t
 1 2
f’(t)
+
f(t)
; .
Vậy các giá trị cần tìm của tham số m là .
Ví dụ 6. Tìm m để phương trình có nghiệm 
Hướng dẫn
Đặt . Ta có phương trình . (1)
Do . Nên phương trình (1). Vì thế bài toán trở thành: Tìm m để hệ có nghiệm 
Ta có và có bảng biến thiên sau đây:
t
	3	9
f’(t)
+
f(t)
; 
Vậy các giá trị m cần tìm là: .
Ví dụ 7. Cho phương trình . (1)
Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn .
Hướng dẫn
Phương trình (1) 
	 (2)
Đặt t = sin2x. khi 	x. 
Bài toán trở thành: Tìm m để hệ 
Ta có và có bảng biến thiên sau:
t
 0 1
f’(t)
 - 0	+
f(t)
 0	
; 
Vậy giá trị m cần tìm là .
Ví dụ 8. Tìm m để hệ sau có nghiệm 
Hướng dẫn
Đặt ; . Bài toán trở thành tìm m để hệ sau có nghiệm: . Nếu hệ vô nghiệm.
Hệ đã cho 
Do đó ta cần tìm m để cho 
. Ta có bảng biến thiên sau
u
 0 m
f’(u)
 - 0	+
f(u)
; 
 Nên 
Vây các giá trị cần tìm của m là: .
Bài tập
1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
(ĐS: )
2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm trên đoạn 
	( ĐS: )
3. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
	(ĐS: )
4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm trong khoảng 
(ĐS: )
5. Tìm m để hệ sau có nghiệm (ĐS: )
2. Bất phương trình chứa tham số
Ví dụ 1. Cho bất phương trình .
	Tìm m để bất phương trình đúng với 
Hướng dẫn
Cách 1.(Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ)
Điều kiện cần: Giả sử bất phương trình đã cho đúng thì điều đó cũng đúng khi , tức là 
Điều kiện đủ: Giả sử 
Ta có . 
Theo bất đẳng thức Côsi
 với thì . 
Từ đó suy ra khi thì đúng với 
Vậy .
Cách 2.(Sử dụng định lý Viét)
Đặt t = 
Xét g(x) = với .
Ta có bảng biến thiên sau: 
 x
 - 4 1 6
g’(x)
 + 0	-
g(x)
	 25 
, 
Bài toán đã cho có dạng: Tìm m để bất phương trình đúng với mọi .
	TH1) Nếu ( không thỏa mãn với mọi )
	TH2) Nếu f(t) = 0 có hai nghiệm phân biệt . Lúc này yêu cầu bài toán tương đương với 
Vậy bất phương trình có nghiệm khi .
Cách 3.(Phương pháp đồ thị).
Đặt , thì y và ta có 
. 
Vì thế đồ thị của là nửa đường tròn (nằm phía trên trục Ox) tâm I(1; 0), bán kính R = 5.
Còn có đồ thị là Parabol có trục đối xứng x = 1 và (P)luôn nằm trên nửa đường tròn.
Do đó bài toán có dạng: Tìm m để Parabol luôn nằm trên nửa đường tròn .
Xét (P) tiếp xúc với (C) tại M(1; 5)
Vậy bất phương trình có nghiêm khi .
Cách 4. Viết lại bất phương trình dưới dạng
Ta có: 
Từ đó có bảng biến thiên sau:
x
 - 4 1 6
f’(x)
 + 0	-
f(x)
. 
Vậy bất phương trình có nghiệm 
Nhận xét: qua các cách giải của bài toán trên ta nhận thấy cách 4 gọn và dễ làm nhất!
Ví dụ 2. Tìm m để bất phương trình 
đúng với mọi x .
Hướng dẫn
Bất phương trình đã cho (1)
Đặt . Ta có .
Bài toán trở thành: Tìm m để bất phương trình đúng với mọi t . Điều đó xảy ra khi và chỉ khi 
Ta có 
Bảng biến thiên sau:
t
 0 2 3
f’(t)
 - 0	+
f(t)
.
Vậy các giá trị cần tìm của tham số m là: 
Nhận xét: khác với bài 1, bài này thì cách giải này là hợp lí nhât!
Ví dụ 3.Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x 
Hướng dẫn
Vì , nên bất phương trình đã cho 
m m
Ta có f’(x)
Bảng biến thiên
x
 - 6 6 
f’(x)
 - 0 + 0 -
f(x)
. 
Vậy để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x thì m
Ví dụ 4. Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau có nghiệm
Hướng dẫn
Điều kiện: x 
Khi đó bất phương trình 
Bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m
Xét hàm số trên . Ta có 
Bảng biến thiên:
x
 3 +
f’(x)
 + 0	 -
f(x)
 0
Suy ra .
Vậy bất phương trình có nghiệm khi .
Ví dụ 5. Tìm m để hệ sau đây có nghiệm.
(đây là bất phương trình chứa tham số và kèm theo điều kiện của x)
Hướng dẫn
Viết lại hệ dưới dạng 
Do x = 1 không phải là nghiệm của (1) với mọi m
nên hệ (1)(2) . 
Hệ (1)(2)có nghiệm . Ta có 
 Bảng biến thiên sau
x
 1 2 3
f’(x)
-
 -	 0 +	
f(x)
 -
 ; 
Vậy các giá trị cần tìm của m là 
Bài tập
1. Cho bất phương trình . Tìm m để bất phương trình có nghiệm x .
2. Tìm m để bất phương trình đúng với x 
3. Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x 
4. Tìm m để hệ có nghiệm.
5. Tìm m để hệ sau có nghiệm 
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
	Sau khi các bài toán này được thực hành trên lớp và kiểm tra, đa số học sinh tiếp thu và vận dụng tốt.
Bảng thống kê số phần trăm học sinh hiều bài và vận dụng được.
Lớp 12
Dùng điều kiện cần và đủ
và sử dụng đồ thị
Dùng định lý Vi-ét
Dùng bảng biến thiên
45 HS
17% học sinh hiểu bài
8% học sinh vận dụng được
55% học sinh hiểu và vận dụng được
75% học sinh hiểu và vận dụng được
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
- Kết luận
 Qua các ví dụ vừa nêu trên ta thấy được ưu điểm của việc sử dụng bảng biến thiên của hàm số vào giải các bài toán chứa tham số là cho ta một cách giải ngắn gọn và dễ hiểu. Mặc dù với tinh thần nghiêm túc, đầy trách nhiệm khi viết đề tài, đồng thời kết hợp với cả giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm thực tế, tuy nhiên trong quá trình viết sẽ khó tránh khỏi các khiếm khuyết rất mong được sự đóng góp của đồng nghiệp để đề tài này có ý nghĩa thiết thực và bổ ích hơn trong nhà trường. Giúp các em học sinh tìm cho mình một phương pháp ưu việt nhất khi giải các bài toán liên quan đến phương trình và bất phương trình có tham số. 
- Kiến nghị
 Sáng kiến kinh nghiệm của tôi rất mong được các đồng nghiệp đóng góp ý kiến xây dựng và tiếp tục nghiên cứu, phát triển mở rộng hơn nữa đề hoàn thiện hơn.
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2017.
Tôi xin cam đoan đây là sáng SKKN của mình viết, không sao cháp nội dung của người khác.
Nguyễn Sỹ Công
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm 2000 đến 2016.
2. Báo Toán học và tuổi trẻ.
3. Các bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất ( Nguyến Thái Hòe - XB 2006).
4. Hàm số ( Phan Huy Khải - XB 2001)
5. SGK, sách Bài tập và giải tích lớp 11 - NC.
6. SGK, sách Bài tập và giải tích lớp 12 .