SKKN Sáng tác bài toán tọa độ trong không gian có mức độ vận dụng cao từ một số mô hình không gian

MỤC LỤC
Mục
Nội Dung
Trang
1
Mục lục
1
2
1.Mở đầu
2
3
1.1 Lý do chọn đề tài 
2
4
1.2 Mục đích nghiên cứu
2
5
1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
2
6
1.4 Phương pháp nghiên cứu
2
7
2.Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm 
2
8
2.1 Cơ sở lí luận của vấn đề
2
9
2.2 Thực trạng của vấn đề 
3
10
2.3. Giải quyết vấn đề
3
11
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
18
12
3. Kết luận, kiến nghị
19
13
3.1 Kết luận
19
14
3.2 Kiến nghị
19
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Trong kỳ thi THPT Quốc gia, các câu hỏi trong bài thi môn Toán được phân thành 4 mức độ, đó là: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp và vận dụng cao. Việc sáng tác các bài toán vận dụng cao không đơn giản khi phải đảm bảo các yêu cầu về: giới hạn kiến thức trong SGK, phân loại được học sinh đồng thời lời giải không quá dài, tính toán không quá phức tạp để học sinh có thể giải trong một khoảng thời gian ngắn. Có rất nhiều cách để sáng tác các bài toán vận dụng cao, có thể từ các bài toán thực tế, từ một bài toán gốc tự luận hay từ sự đặc biệt hóa, tổng quát hóa...
Để đưa ra một trong những cách sáng tác bài toán vận dụng cao như vậy, tôi chọn đề tài: “SÁNG TÁC BÀI TOÁN TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CÓ MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO TỪ MỘT SỐ MÔ HÌNH KHÔNG GIAN”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Để sáng tác các bài toán mức độ vận dụng cao chúng ta thường xuất phát từ một bài toán gốc, từ đó đề xuất ra các bài toán liên quan. Để định hướng cách giải cho các bài toán vận dụng cao, chúng ta thường gợi ý cho học sinh tìm cách tư duy ngược, tìm bài toán gốc từ các bài toán đã cho, giúp học sinh có được phương pháp tư duy để giải được nhiều bài toán khác nhau.
Từ một giả thiết, tôi xây dựng các mô hình không gian với các điều kiện giải được, đề xuất một cách tạo lập các bài toán vận dụng cao, giúp giáo viên dần hình thành được kỹ năng ra đề thi trắc nghiệm môn Toán, đặc biệt là các bài toán vận dụng cao và giúp học sinh hình thành được một trong những cách tư duy để giải nhanh các bài toán vận dụng cao.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Từ một giả thiết về đường thẳng và hai mặt cầu, hình thành các tình huống, mô hình về sự tồn tại tiếp tuyến, tiếp diện chung của hai mặt cầu, đặt các câu hỏi và đưa ra hướng giải quyết từ đó tọa độ hóa bài toán để được bài toán trắc nghiệm mức độ vận dụng cao .
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Đề xuất các câu hỏi và đưa ra hướng giải quyết dựa trên mối liên hệ, tính chất của các yếu tố trong giả thiết.
Thực nghiệm sư phạm: Cho học sinh khá, giỏi làm các câu hỏi trắc nghiệm để 
kiểm tra tính khoa học, hợp lý của câu hỏi vận dụng cao.
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm..
	Với các kiến thức cơ bản về hình học không gian, đặc biệt là các tính chất về tiếp tuyến, tiếp diện của một mặt cầu 
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
 	Phần lớn giáo viên thường gặp khó khăn khi sáng tác các bài toán vận dụng cao, giáo viên thường copy bài có sẵn trên mạng biến đổi chút ít rồi thay số hoặc hoặc lấy một bài toán tự luận quen thuộc rồi chuyển thể sang hình hình thức trắc nghiệm, hầu như không có nhiều sự sáng tạo. Sáng kiến kinh nghiệm này đề xuất một hướng để sáng tạo các bài toán vận dụng cao.
2.3. Giải quyết vấn đề.
Thông qua cách khai thác một số mô hình từ giả thiết về đường thẳng và hai mặt cầu, về sự tồn tại tiếp tuyến, tiếp diện chung của hai mặt cầu, chúng ta có thể sáng tác được một lớp các bài toán vận dụng cao về tọa độ trong không gian. 
Chúng ta xuất phát từ giả thiết sau:
Trong không gian, cho thẳng và hai mặt cầu: mặt cầu có tâm , bán kính , mặt cầu có tâm , bán kính . 
Mô hình 1: Đường thẳng đồng phẳng với , vuông góc với đường thẳng đồng thời tiếp xúc với cả .
Hướng giải:
Nhận xét: Khi giải các bài toán trắc nghiệm, đặc biệt là các bài toán mức độ vận dụng cao chúng ta thường xem xét các yêu tố, mối liên hệ đặc biệt của giả thiết để đưa ra hướng giải nhanh nhất có thể.
TH1: Nếu và không có điểm chung thì tiếp tuyến chung của đồng phẳng với sẽ song song với hoặc đi qua trung điểm của . 
+ Nếu thì có vô số tiếp tuyến thỏa mãn.
+ Nếu không vuông góc , xét mặt phẳng qua và vuông góc với , suy ra tiếp tuyến chung vuông góc với ( nếu có ) của sẽ nằm trên 
 Nếu thì sẽ có tiếp tuyến thỏa mãn.
 Nếu thì sẽ không có tiếp tuyến nào thỏa mãn.
 Nếu thì sẽ có tiếp tuyến thỏa mãn.
Các bài toán trắc nghiệm:
Bài toán 1.1. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt cầu:
 và 
và hai điểm . Số đường thẳng vuông góc với , đồng phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu và tiếp xúc với cả là:
A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Hướng dẫn giải:
 có tâm , , có tâm , .
Ta có và vì suy ra không có điểm chung.
 và vuông góc với nhau nên có vô số đường thẳng vuông góc với , đồng phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu và tiếp xúc với cả . Chọn đáp án D.
Bài toán 1.2. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt cầu:
 và 
và hai điểm . Số đường thẳng vuông góc với , đồng phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu và tiếp xúc với cả là:
A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Hướng dẫn giải:
Tương tự như bài toán 1.1 nhưng ta có:
 và không vuông góc với nhau .
Gọi là trung điểm 
Gọi mặt phẳng qua và vuông góc với , phương trình .
Ta có có đường thẳng thỏa mãn. Chọn đáp án B.
Bài toán 1.3. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt cầu:
 và 
và hai điểm . Số đường thẳng vuông góc với , đồng phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu và tiếp xúc với cả là:
A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Hướng dẫn giải:
Tương tự như bài toán 1.2 nhưng ta có:
 và không vuông góc với nhau .
Gọi qua và vuông góc với , phương trình .
Ta có không có đường thẳng thỏa mãn. Chọn đáp án A.
Bài toán 1.4. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt cầu:
 và 
và hai điểm . Số đường thẳng vuông góc với , đồng phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu và tiếp xúc với cả là:
A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Hướng dẫn giải:
Tương tự như bài toán 1.3, ta có:
 và không vuông góc với nhau .
Gọi qua và vuông góc với , phương trình .
Ta có có đúng đường thẳng thỏa mãn. Chọn đáp án C.
TH2: Nếu 
a. Xét rời nhau: 
+ Gọi điểm thỏa mãn , suy ra tiếp tuyến chung của đồng phẳng với sẽ đi qua . 
+ Gọi mặt phẳng qua và vuông góc với , suy ra tiếp tuyến chung của đồng phẳng với sẽ nằm trên . 
 Nếu thì sẽ có tiếp tuyến thỏa mãn.
 Nếu thì sẽ không có tiếp tuyến nào thỏa mãn.
 Nếu thì sẽ có tiếp tuyến thỏa mãn.
b. Xét cắt nhau: gọi điểm thỏa mãn và giải tương tự như trên. 
Các bài toán trắc nghiệm:
Bài toán 1.5. Trong không gian với hệ tọa độ , cho bốn điểm . Gọi là mặt cầu tâm , bán kính , là mặt cầu tâm , bán kính . Số đường thẳng vuông góc với , đồng phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu và tiếp xúc với cả là:
A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Hướng dẫn giải:
Ta có suy ra không có điểm chung.
 Gọi điểm thỏa mãn 
Gọi qua và vuông góc với .
Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn. Chọn đáp án C.
Mô hình 2: Đường thẳng đồng phẳng với , cắt đường thẳng đồng thời tiếp xúc với cả .
Hướng giải:
Để thuận lợi cho việc chuyển sang bài toán trắc nghiệm chúng ta xét một số trường hợp sau (có thể không cần xét hết các khả năng có thể xảy ra):
TH1: Nếu và cắt nhau. Tương tự bài toán trong mô hình 1, 
+ Nếu thì không có tiếp tuyến thỏa mãn.
+ Nếu và chéo nhau, gọi là mặt phẳng chứa và song song với :
 Nếu thì không có tiếp tuyến thỏa mãn.
 Nếu thì có đúng tiếp tuyến thỏa mãn.
 Nếu thì có đúng tiếp tuyến thỏa mãn.
+ Nếu và đường thẳng cắt nhau thì có đúng tiếp tuyến thỏa mãn.
Các bài toán trắc nghiệm:
Bài toán 2.1. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt cầu: và và hai điểm . Số đường thẳng cắt , đồng phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu và tiếp xúc với cả là:
A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Hướng dẫn giải:
Ta có và cắt nhau.
 , nên không có đường thẳng nào thỏa mãn. Chọn đáp án A.
Bài toán 2.2. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt cầu: và và hai điểm . Số đường thẳng cắt , đồng phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu và tiếp xúc với cả là:
A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Hướng dẫn giải:
Gọi chứa và song song với , nên không có đường thẳng nào thỏa mãn. Chọn đáp án A.
Bài toán 2.3. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt cầu: và và hai điểm . Số đường thẳng cắt , đồng phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu và tiếp xúc với cả là:
A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Hướng dẫn giải:
Ta có cắt nên có đường thẳng thỏa mãn. Chọn đáp án C.
TH2: Nếu và cắt nhau:
+ Gọi điểm thỏa mãn , suy ra tiếp tuyến chung của , đồng phẳng với sẽ đi qua . 
+ Nếu thì có vô số tiếp tuyến thỏa mãn.
+ Nếu , gọi H là một tiếp điểm của với 
 Nếu và thì có đúng tiếp tuyến thỏa mãn.
 Nếu thì có vô số tiếp tuyến thỏa mãn.
 Nếu thì có đúng tiếp tuyến thỏa mãn.
Các bài toán trắc nghiệm:
Bài toán 2.4. Trong không gian với hệ tọa độ , cho bốn điểm . Gọi là mặt cầu tâm , bán kính , là mặt cầu tâm , bán kính . Số đường thẳng cắt đường thẳng , đồng phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu và tiếp xúc với cả là:
A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Hướng dẫn giải:
Ta có suy ra cắt nhau.
 Gọi điểm thỏa mãn .
 có vô số tiếp tuyến thỏa mãn. Chọn đáp án D.
Bài toán 2.5. Trong không gian với hệ tọa độ , cho bốn điểm . Gọi là mặt cầu tâm , bán kính , là mặt cầu tâm , bán kính . Số đường thẳng cắt đường thẳng , đồng phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu và tiếp xúc với cả là:
A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Hướng dẫn giải:
Tương tự Bài toán 2.4 suy ra cắt nhau.
 Gọi điểm thỏa mãn .
Ta có có đúng hai tiếp tuyến thỏa mãn. Chọn đáp án C.
Bài toán 2.6. Trong không gian với hệ tọa độ , cho bốn điểm . Gọi là mặt cầu tâm , bán kính , là mặt cầu tâm , bán kính . Số đường thẳng cắt đường thẳng , đồng phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu và tiếp xúc với cả là:
A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Hướng dẫn giải:
Tương tự Bài toán 2.4 suy ra cắt nhau.
 Gọi điểm thỏa mãn .
Ta có có đúng một tiếp tuyến thỏa mãn. Chọn đáp án B.
Mô hình 3: Mặt phẳng chứa đường thẳng tiếp xúc với cả ( hoặc tiếp xúc với và cắt theo đường tròn có bán kính hoặc cắt lần lượt theo các đường tròn có bán kính ).
Hướng giải:
TH1: Nếu và cắt nhau thì sẽ song song với .
+ Nếu thì:
 thì không có mặt phẳng nào thỏa mãn.
 thì có đúng một mặt phẳng thỏa mãn.
 thì có đúng hai mặt phẳng thỏa mãn.
+ Nếu và chéo nhau thì gọi là mặt phẳng chứa và song song với 
 thì không có mặt phẳng nào thỏa mãn.
 thì có đúng một mặt phẳng thỏa mãn.
TH2: Nếu và rời nhau thì sẽ song song với hoặc đi qua trung điểm của . 
+ Nếu thì giống như TH 1.
+ Nếu :
 thì không có mặt phẳng nào thỏa mãn.
 thì có đúng một mặt phẳng thỏa mãn.
 thì có đúng hai mặt phẳng thỏa mãn.
+ Nếu và chéo nhau thì gọi là mặt phẳng chứa và song song với , là mặt phẳng chứa và đi qua M. 
 thì có đúng một mặt phẳng thỏa mãn.
 thì không có mặt phẳng nào thỏa mãn.
 thì có đúng một mặt phẳng thỏa mãn.
 thì không có mặt phẳng nào thỏa mãn.
TH3: Nếu 
a. Xét rời nhau:
+ Gọi điểm thỏa mãn 
+ Gọi mặt phẳng qua và chứa (biết , TH được giải quyết trong Mô hình 4).
 Nếu thì sẽ có một mặt phẳng thỏa mãn.
 Nếu thì sẽ không có mặt phẳng nào thỏa mãn.
b. Xét cắt nhau: gọi điểm thỏa mãn và giải tương tự như trên.
( Các bài toán chứa và tiếp xúc với và cắt theo đường tròn có bán kính hoặc cắt lần lượt theo các đường tròn có bán kính được giải tương tự và xin dành cho bạn đọc).
Các bài toán trắc nghiệm:
Bài toán 3.1. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt cầu:
 và 
và hai điểm . Số mặt phẳng chứa và tiếp xúc với cả là:
A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Hướng dẫn giải:
 có tâm , , có tâm , .
Ta có và vì suy ra không có điểm chung.
Trung điểm của là và .
. Ta có nên có mặt phẳng thỏa mãn. Chọn đáp án C.
Bài toán 3.2. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt cầu:
 và 
và hai điểm . Số mặt phẳng chứa và tiếp xúc với cả là:
A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Hướng dẫn giải: Tương tự Bài toán 3.1. Ta có . 
Gọi mặt phẳng chứa và song song với 
Gọi mặt phẳng chứa và đi qua 
Ta có nên không có mặt phẳng nào thỏa mãn. Chọn đáp án A.
Bài toán 3.3. Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm . Gọi là mặt cầu tâm bán kính , là mặt cầu tâm bán kính . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa và tiếp xúc với cả .
A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Hướng dẫn giải: Ta có rời nhau. 
Gọi điểm thỏa mãn .
Gọi mặt phẳng qua và chứa 
.
Suy ra có đúng mặt phẳng thỏa mãn. Chọn đáp án B.
Bài toán 3.4. Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm 
. Gọi là mặt cầu tâm bán kính , là mặt cầu tâm bán kính . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa và tiếp xúc với cả .
A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Hướng dẫn giải: Ta có cắt nhau. 
Gọi điểm thỏa mãn . Gọi mặt phẳng qua và chứa , ta có , suy ra không có mặt phẳng thỏa mãn. Chọn đáp án A.
Bài toán 3.5. Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm 
. Gọi là mặt cầu tâm bán kính , là mặt cầu tâm bán kính . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa , tiếp xúc với và cắt theo một đường tròn có bán kính .
A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Hướng dẫn giải: Ta có cắt nhau. 
Gọi điểm thỏa mãn . Gọi mặt phẳng qua và chứa , ta có , suy ra không có mặt phẳng thỏa mãn. Chọn đáp án A.
Mô hình 4: Mặt phẳng song song với đường thẳng tiếp xúc với cả 
( hoặc tiếp xúc với và cắt theo đường tròn có bán kính hoặc cắt lần lượt theo các đường tròn có bán kính )
TH1: Nếu và cắt nhau thì sẽ song song với .
+ Nếu thì có vô số mặt phẳng thỏa mãn.
+ Nếu không song song với thì gọi là mặt phẳng chứa và song song với .
 thì có mặt phẳng thỏa mãn.
 thì có mặt phẳng thỏa mãn.
+ Nếu và chéo nhau thì gọi là mặt phẳng chứa và song song với 
 thì không có mặt phẳng nào thỏa mãn.
 thì có đúng một mặt phẳng thỏa mãn.
TH: Nếu :
Xét rời nhau:
+ Gọi điểm thỏa mãn 
+ Gọi đường thẳng qua và song song với .
 Nếu thì sẽ không có mặt phẳng thỏa mãn.
 Nếu thì sẽ có đúng một mặt phẳng thỏa mãn.
 Nếu thì sẽ có hai mặt phẳng thỏa mãn.
b. Xét cắt nhau: gọi điểm thỏa mãn và giải tương tự như trên.
( Các bài toán song song và tiếp xúc với và cắt theo đường tròn có bán kính hoặc cắt lần lượt theo các đường tròn có bán kính được giải tương tự và xin dành cho bạn đọc).
 Các bài toán trắc nghiệm:
Bài toán 4.1. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt cầu : 
 và 
và hai điểm . Số mặt phẳng song song với và tiếp xúc với cả là:
A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Hướng dẫn giải:
 có tâm , bán kính , có tâm , bán kính 
Ta có và vì suy ra cắt nhau.
Gọi mặt phẳng chứa và song song với , ta có , suy ra có mặt phẳng thỏa mãn. Chọn đáp án B.
Bài toán 4.2.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm . Gọi là mặt cầu tâm bán kính , là mặt cầu tâm bán kính . Có bao nhiêu mặt phẳng song song với đồng thời tiếp xúc với cả , .
A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Hướng dẫn giải: Ta có cắt nhau. 
Gọi điểm thỏa mãn . Gọi qua và song song với , ta có , suy ra có mặt phẳng thỏa mãn. Chọn đáp án C.
Bài toán 4.3.
Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm . Gọi là mặt cầu tâm bán kính , là mặt cầu tâm bán kính . Có bao nhiêu mặt phẳng song song với đồng thời tiếp xúc với cả , .
A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Hướng dẫn giải: Ta có cắt nhau. Tương tự Bài toán 4.2
Gọi qua và song song với , ta có , suy ra không có mặt phẳng nào thỏa mãn. Chọn đáp án A.
Bài toán 4.4. Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm 
. Gọi là mặt cầu tâm bán kính , là mặt cầu tâm bán kính . Có bao nhiêu mặt phẳng song song với , tiếp xúc với và cắt theo một đường tròn có bán kính .
A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Hướng dẫn giải: Ta có cắt nhau. 
Gọi điểm thỏa mãn . Gọi qua và song song với , ta có , suy ra có mặt phẳng thỏa mãn. Chọn đáp án C.
2.4 .Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
 Để kiểm tra hiệu quả của đề tài tôi tiến hành kiểm tra trên một số đối tượng là học sinh khá, giỏi ở các lớp trường THPT Đào Duy Từ. Trong đó kiểm tra bằng hình thức trắc nghiệm với 15 câu trắc nghiệm trong thời gian làm bài 45 phút. Kết quả thu được như sau:
Lớp
Sĩ số học sinh khá, giỏi
Số câu đúng < 6
6 Số câu đúng<10
Số câu đúng 10
Số lượng
%
Số lượng
%
Số lượng
%
12A4
35
3
8.6
22
62.5
10
28.9
12A6
25
8
32
12
48
5
20
 Đối với đồng nghiệp trong trường tôi cũng đã triển khai ở các buổi sinh hoạt chuyên môn và được các đồng chí đánh giá cao về hiệu quả trong quá trình sáng tạo về việc ra đề thi trắc nghiệm và hướng dẫn học sinh khá, giỏi làm các câu hỏi vận dụng cao trong các bài thi trắc nghiệm môn Toán.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
 Thực tế giảng dạy, áp dụng ở các lớp 12 trường THPT Đào Duy Từ. Tôi đã thu được các kết quả khả quan, không chỉ giúp cho học sinh nắm vững một số kỹ năng giải toán vận dụng cao mà còn giúp các em hình thành được tư duy linh hoạt, sáng tạo, phản ứng nhanh với các tình huống, phát hiện nhanh các trường hợp được đặc biệt hóa trong đề bài. Ngoài ra, học sinh còn tự phát hiện, tìm tòi để tự sáng tạo các bài toán vận dụng cao từ các bài toán gốc cũng như các mô hình không gian, đồng thời giúp các em phân tích được các phương án gây nhiễu trong đề thi trắc nghiệm, đặc biệt là các câu vận dụng cao. Trên cơ sở đó, các em tự tin hơn trong khi học và đạt kết quả cao khi làm bài thi trắc nghiệm môn Toán. 
3.2. Kiến nghị và đề xuất.
 - Cần tổ chức nhiều hơn các buổi trao đổi về kỹ năng sáng tác các bài toán mức độ vận dụng cao cho toàn thể cán bộ giáo viên, đặc biệt là các giáo viên cốt cán. 
- Học sinh khá, giỏi cần được học tập cách phân tích, tư duy các bài toán vận dụng cao, dần hình thành tư duy phân tích bản chất, phản ứng nhanh và đặc biệt là có thể tự sáng tạo nâng các bài toán có mức độ vận dụng cao.
- Qua việc nghiên cứu vấn đề này tôi hy vọng các đồng nghiệp có thể đóng góp, bổ sung, hoàn thiện, mở rộng, cải tiến các phương pháp sáng tạo, để sáng tác các bài toán mức độ vận dụng cao nhằm nâng cao chất lượng dạy và học ở trường phổ thông. 
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2018.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)
Nguyễn Việt Dũng
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Hình học 11 Nâng cao – Văn Như Cương (chủ biên) - Nhà xuất bản Giáo dục, 2008.
2. Sách giáo khoa Hình học 12 Nâng cao – Văn Như Cương (chủ biên) - Nhà xuất 
bản Giáo dục, 2008.
3. Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao – Văn Như Cương ( chủ biên) - Nhà xuất bản 
Giáo dục, 2008.
4. Sách bài tập Hình học 12 Nâng cao - Văn Như Cương ( chủ biên) - Nhà xuất bản 
Giáo dục, 2008.
5. Một số tài liệu tham khảo trên mạng internet.