SKKN Sáng kiến kinh nghiệm:Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề Số phức và nêu các phương pháp giải một số dạng bài toán về số phức

1.MỞ ĐẦU:
1.1. Lý do chọn đề tài:
Số phức là một phần quan trọng trong chương trình toán học THPT. Từ năm học 2008-2009 số phức được đưa vào chương trình phổ thông và xuất hiện rất nhiều trong các đề thi đại học, cao đẳng. Các dạng toán về số phức cũng đa dạng và phong phú. Các phương pháp giải vừa mang tính tổng hợp vừa mang tính dặc thù sâu sắc, đặc biệt bài toán về số phức cũng là bài toán dễ lấy điểm, nhưng nếu các em không nắm vững kiến thức cơ bản và biết cách giải các dạng toán một cách thuần thục thì các em vẫn còn chưa giải quyết triệt để được dạng toán này. Để giúp học sinh có thể hệ thống và nắm vững các phương pháp giải các dạng toán về số phức trong chương trình ôn thi THPT QG 2017 lớp 12 nên tôi chọn đề tài này.
Bản thân tôi nhiều năm được phụ trách lớp học theo ban Khoa học tự nhiên, các lớp cơ bản theo khối, qua nghiên cứu giảng dạy tôi thấy việc triển khai sáng kiến”Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề Số phức và nêu các phương pháp giải một số dạng bài toán về số phức” là sát thực, phù hợp và cần thiết với việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh yếu kém, khá giỏi và ôn luyện cho học sinh thi tốt nghiệp, đại học, cao đẳng trong kỳ thi THPT QG. Do vậy tôi chọn đề tài " Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề Số phức và nêu các phương pháp giải một số dạng bài toán về số phức '' để nghiên cứu nhằm phần nào đáp ứng yêu cầu trên và góp phần vào nâng cao chất lượng dạy học cho nhà trường .
	Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song đề tài nghiên cứu không trách khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và cá bạn đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn!
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Trang bị cho học sinh về một số dạng và phương pháp giải bài toán số phức trong chương trình toán cơ bản.
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao kỹ năng tư duy sáng tạo.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
 - Các bài tập về số phức nằm trong chương trình toán học phổ thông, trong các đề thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng .Từ đó phân loại, tổng hợp các dạng và cách giải chúng.
1.4. Phương pháp nghiên cứu 
- Tích lũy qua nhiều năm giảng dạy phần này.
- Thông qua việc kiểm tra đánh giá năng lực tiếp thu của học sinh.
- Thông qua trao đổi góp ý và học tập kinh nghiệp từ các đồng nghiệp.
- Thông qua sách giáo khoa, sách bài tập, hệ thống bài tập và tài liệu tham khảo.
- Thông qua các đề thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng từ năm 2008 đến nay và kỳ thi THPT Quốc gia năm 2015, 2016. 
- Thông qua các đề thi thử của các trường THPT trên toàn quốc.
2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Căn cứ vào lý thuyết chương Số phức trong chương trình cơ bản Giải tích 12. Tôi tóm tắt nội dung lý thuyết như sau: 
* Số i: 
* Số phức , trong đó là phần thực , là phần ảo, là đơn vị ảo
 Tập hợp số phức được kí hiệu là:
* Số phức coi là số thực
* Số phức gọi là số thuần ảo
* Số vừa là số thực vừa là số ảo.
* Modun của số phức: 
* Số phức liên hợp của là : .
Nhận xét: . ; . 
 . ; . 
* Số đối của là:
* Điểm biểu diễn hình học số phức trong mặt phẳng tọa độ là 
Trục là trục thực, trục là trục ảo.
* Hai số phức bằng nhau: 
* Phép toán trên tập số phức:
* Căn bậc hai của số thực là : 
* Giải phương trình bậc hai trên tập số phức với hệ số thực:                                      
 Tính 
 . Nếu thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: 
 . Nếu thì phương trình có nghiệm thực kép: 
 . Nếu thì phương trình có hai nghiệm phức: 
Nhận xét:
. Phương trình bậc 2 với hệ số thực cũng có định lý Viet 
. Phương trình đa thức bậc trong trường số phức có đúng nghiệm.
Từ cơ sở lý thuyết về số phức tôi định hướng giải quyết bài toán số phức trong các tiết ôn tập:
- Phân loại các bài tập về số phức theo yêu cầu của bài toán
- Nêu cách giải chung cho từng loại bài toán số phức
Trong chuyên đề này tôi liệt kê, hệ thống một số dạng toán tạo ra các mối quan hệ biện chứng giữa các đối tượng và cách giải các bài toán về số phức.
Với đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập chuyên đề số phức và nêu các phương pháp giải một số dạng toán về số phức.” sẽ giúp học sinh giải quyết nhanh chính xác trước một bài toán số phức trong chương trình Giải tích 12. 	
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Trong quá trình ôn tập thi THPT QG cho học sinh lớp 12 phần Số phức. Học sinh chỉ mới giải quyết được một số bài toán dễ , khi gặp một số bài toán yêu cầu cao hơn đa số các em chưa đưa ra được hướng giải quyết ngay, hoặc có em đưa ra được hướng giải quyết thì giải quyết chậm và trưa triệt để bài toán.
Trước khi áp dụng đề tài, tôi đã cho học sinh làm bài kiểm tra 15 phút về số phức. Kết quả :
Lớp
Sĩ số
 8-10
6-7,9
5-5,9
3-4,9
0-2,9
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12A2
47
5
10,6
17
36,2
19
40,4
6
12,8
0
12A3
43
2
4,6
10
23,3
15
34,9
13
30,2
3
7
	Vì thế trong thực tiễn giảng dạy ôn tập THPTQG tôi đã nêu ra các dạng bài toán về số phức và yêu cầu học sinh phát hiện ra hướng giải quyết các dạng đó.
Với các vấn đề của thực trạng trên, tôi đã mạnh dạn triển khai cho các em mảng kiến thức này nhằm giải tỏa bớt những bất cập nói trên.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng trong sáng kiến kinh nghiệm:
Giải pháp:
- Tổ chức 3 buổi (9 tiết) ôn tập cho học sinh ôn thi THPT QG 
- Nêu các dạng bài toán về số phức, đưa ra cách giải cho từng dạng, hệ thống các bài tập tự luận cho học sinh rèn luyện kỹ năng làm bài.
- Nêu các cách sử dụng máy tính casio bỏ túi để giải quyết nhanh bài toán trắc nghiệm về số phức
- Cuối chuyên đề cho học sinh làm bài kiểm tra trắc nghiệm.
Nội dung giải pháp:
DẠNG 1: Tổng hợp về kỹ năng cộng trừ nhân chia số phức:
Chủ yếu kiểm tra kỹ năng tính toán của học sinh, kết hợp với một số kiến thức khác về modun của số phức, số phức liên hợp, phần thực và phần ảo của số phức
Yêu cầu:- Nắm vững các khái niệm và rèn luyện kỹ năng tính toán chính xác.
 - Biết sử dụng máy tính bỏ túi casio để tính toán và kiểm tra kết quả. 
Bài 1: Thực hiện các phép tính:
a) 
b) 
Chú ý : Có thể hướng dẫn các em bấm máy tính CASIO bằng các bước sau:
B1: bấm mode 2
B2: thực hiện các phép tính cộng trừ nhân chia trong máy tính.
Bài giải: 
a) 
b) 
Bài 2: Tìm các số thực biết:
(Trích sách bài tập Giải tích 12 cơ bản)
Bài giải:
Ta có:
Nhận xét: Các em có thể dùng máy tính CASIO fx-570 để giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn
B1: bấm mode 5
B2: bấm 1
B3: nhập các hệ số a, b, c vào và bấm = ta được kq
Bài 3: Tìm modun của số phức biết:
a) 
b) 
Bài giải:
a) 
Chú ý : Có thể hướng dẫn các em bấm máy tính CASIO bằng các bước sau:
B1: bấm mode 2
B2: bấm shift hyp : 
B3: nhập 
B4: bấm = được kq.
b) 
DẠNG 2: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) 
b) 
Bài giải:
a) Ta có:. Phương trình có 2 nghiệm phức :
b) Ta có:. 
Phương trình có 2 nghiệm phức :
Chú ý: Các em có thể dùng máy tính CASIO fx-570 để giải phương trình bậc 2
B1: bấm mode 5
B2: bấm 3
B3: nhập các hệ số a, b, c vào và bấm = ta được kq
Bài 2: Giả sử là hai nghiệm phức của phương trình:
Tính giá trị của biểu thức sau:
Bài giải:
Ta có:. 
Phương trình có 2 nghiệm phức :
Bài 3: Tìm các số thực sao cho phương trình nhận làm nghiệm. (Trích Phương pháp ôn luyện thi ĐHCĐ môn Toán theo chủ đề Số phức- Hoàng Văn Minh - Nguyễn Quốc Hùng)
Bài giải:
Ta có: 
Bài 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) 
b) 
c) 
(Trích Phương pháp ôn luyện thi ĐHCĐ môn Toán theo chủ đề Số phức- Hoàng Văn Minh - Nguyễn Quốc Hùng)
Bài giải:
a) Đặt , phương trình trở thành 
Khi đó:
b) Đặt , phương trình trở thành 
Khi đó:
c) Đặt , phương trình trở thành 
Khi đó:
Nhận xét:Các em có thể dùng cách đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai.
Bài 5: Giải các phương trình sau trên tập số phức
a) 
b) 
c) 
Bài giải:
a) 
Nhận xét: Phương trình này các em dễ ngộ nhận phương trình chỉ có một nghiệm thực 
b) 
Chú ý: Các em có thể bấm máy tính bỏ túi CASIO fx 570 bằng các bước sau:
B1: bấm mode 5
B2: bấm 4
B3: Nhập các hệ số a, b,c,d rồi dấu= ta được kết quả.
c) 
Nhận xét: Các em có thể thử nghiệm, hoặc dùng lược đồ Hooc-ne để phân tích phương trình về dạng tích để giải.
DẠNG 3: Chứng minh các tính chất về số phức
Chủ yếu chứng minh các tính chất về số phức liên hợp, modun của số phức
Yêu cầu: Nắm vững khái niệm số phức liên hợp, modun của số phức và các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức.
Bài 1: Cho 2 số phức. Chứng minh rằng:
a) b) c)
(Trích sách bài tập Giải tích 12 cơ bản)
Bài giải:
Giả sử 
Khi đó: 
Bài 2: Cho 2 số phức. Chứng minh rằng:
a) b) với c) 
(Trích sách bài tập Giải tích 12 cơ bản)
Bài giải:
Giả sử 
a) 
b)Với; 
c) 
Ta có: 
(BĐT Bunhia-copski ) 
Bài 3: Chứng minh rằng là số ảo
Bài giải:
Số phức là số ảo
Ta có: 
DẠNG 4: Xác định số phức thỏa mãn vài yếu tố nào đó.
Những bài toán dạng này thường cho trong điều kiện có chứa 
Cách giải chung:
Đặt 
Đưa các yếu tố bài toán cho về phương trình ẩn 
Dùng các yếu tố hai số phức bằng nhau, modun số phức để đưa về phương trình, hệ phương trình ẩn 
Giải phương trình, hệ phương trình được .
Bài 1: Tìm số phức thỏa mãn: (Trích đề thi ĐHCĐ năm 2011 khối D của Bộ giáo dục)
Bài giải:
Gọi , ta có:
Chú ý: Các em có thể sử dụng máy tính bỏ túi casio giải như sau:
B1: bấm mode 2
B2: bấm X - shift 2 2 X .(2+3i)
B3: bấm CALC 1000+100i ( tương ứng đặt bằng a+bi, tức là a=1000, b=100)
B4: bấm = được kết quả -1300-2700i
B5: phân tích -1300=-a-3b; -2700=-3a+3b (bằng giấy nháp) 
B6: giải hệ. Kết luận.
Bài 2: Tìm số phức biết:
(Trích sách bài tập Giải tích 12 cơ bản)
Bài giải:
Nhận xét: 
Do đó:
Gọi , ta có:
Từ 
Với thay vào 
Với thay vào 
Với thay vào 
Vậy có 5 số phức là :
Bài 3: Tìm modun của số phức biết:
Bài giải:
Gọi , ta có:
Bài 4: Tìm số phức liên hợp của số phức biết và 
Bài giải:
Gọi , ta có:
Bài 5: Tìm số phức thỏa mãn và là số thuần ảo
Bài giải:
Gọi , ta có:
 là số thuần ảo
Với 
Vậy có 3 số phức 
DẠNG 5: Tập hợp điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng tọa độ 
Chủ yếu đề cập đến biểu diễn hình học các số phức hoặc tìm điểm, tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn một vài điều kiện nào đó.
Yêu cầu: - Nắm vững các khái niệm điểm biểu diễn hình học, modun của số phức
 - Biết vận dụng các kiến thức tổng hợp để biến đổi phương trình, hệ phương trình.
 - Biết sử dụng các kiến thức hình học tọa độ trong mặt phẳng vào xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức
Cách giải chung:
Cách 1:
Đặt 
Đưa các yếu tố bài toán cho về phương trình ẩn 
Dùng các yếu tố hai số phức bằng nhau, modun số phức để đưa về phương trình, hệ phương trình ẩn từ đó xác định được hình dạng của tập hợp điểm biểu diễn số phức.
Cách 2:
Đặt 
Sử dụng độ dài véc tơ, khái niệm modun số phức để đưa về hình học suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức.
Bài 1: Gọi lần lượt là điểm biểu diễn các số phức . Hỏi 4 điểm đó tạo ra hình gì?
Bài giải:
Vậy là hình vuông.
Bài 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn:
a) 
b) 
Bài giải:
Nhận xét: Các em có thể dùng phương pháp hình học hoặc đại số để tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức
a) Gọi , ta có:
Cách 1:
Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng
Cách 2: Gọi là đường trung trực đoạn . Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng
b) Gọi , ta có:
Cách 1:
Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm 
Cách 2: Gọi 
Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm 
Bài 3: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn: 
Bài giải:
Nhận xét: Các em có thể dùng phương pháp hình học hoặc đại số để tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức
Gọi , ta có:
Cách 1:
Ta thấy các điểm thuộc elip có phương trình: đều nằm trong đường tròn tâm , và tung độ thỏa mãn
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là elip có phương trình:
Cách 2: Gọi 
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là elip có trục lớn là trục tung, độ dài trục lớn , tiêu điểm
elip có phương trình:
Bài 4: Cho số phức thỏa mãn . Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức 
Bài giải:
Gọi , ta có:
Điểm biểu diễn số phức thỏa mãn
 Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm 
Bài 5: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn 
(Trích đề thi thử ĐH 2014 khối A lần 2, trường THPT Lê Hoàn)
Bài giải:
Gọi , ta có:
Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng 
Bài 6: Gọi lần lượt là điểm biểu diễn các số phức . Tìm số phức có điểm biểu diễn sao cho tam giác vuông cân tại 
Bài giải:
Gọi 
Tam giác vuông cân tại 
Bài 7: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn: 
Bài giải:
Gọi , ta có:
Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức nằm trong đường tròn tâm kể cả biên và nằm ngoài đường tròn tâm không có biên.
DẠNG 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của modun số phức
Bài 1: Cho .Tìm số phức sao cho giá trị biểu thức đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Bài giải:
Nhận xét: Các em đưa A về hàm số để tìm gtln, gtnn .
Gọi , ta có:
Vậy ; 
Bài 2: Trong số các số phức thỏa mãn , tìm số phức có modun nhỏ nhất.
Bài giải:
Nhận xét: Các em có thể áp dụng BĐT, xét hàm số hoặc dùng phương pháp hình học.
Gọi , ta có:
Cách 1: Áp dụng BĐT Bunhia-copski ta có:
Vậy 
Cách 2: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng 
Mặt khác:đạt giá trị nhỏ nhấtlà hình chiếu của trêntọa độ của là nghiệm của hệ:
Bài 3: Trong số các số phức thỏa mãn , tìm số phức có modun nhỏ nhất và số phức có modun lớn nhất.
Bài giải:
Gọi , ta có:
Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm 
Mặt khác đạt giá trị nhỏ nhất 
 	 đạt giá trị lớn nhất
Tọa độ của là nghiệm của hệ:
Vậy 
Nhận xét:
- Nếu tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng thì số phức có modun nhỏ nhất là:là hình chiếu củatrên 
- Nếu tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm thì đạt giá trị nhỏ nhất 
đạt giá trị lớn nhất
Bài 4: Xét các số phức thỏa mãn .Gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất của . Tính .
( Trích đề tham khảo thi THPT QG 2017 của BGD)
Bài giải:
Gọi , ta có:
Gọi 
 thuộc đoạn thẳng 
Mặt khác 
 đạt giá trị nhỏ nhất hay
 đạt giá trị lớn nhấtlà hình chiếu của trênhay
hay
Bài 5: Cho 2 số phức thỏa mãn .Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Bài giải:
Gọi lần lượt là 2 điểm biểu diễn của 
Cách 1:Giải bằng phương pháp hình học.
đường tròn tâm 
Ta thấy 
đạt giá trị nhỏ nhất khi nhỏ nhất 
tọa độ của là nghiệm của hệ:
Cách 2: Giải bằng phương pháp đại số
Mặt khác: 
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho số phức thỏa mãn .Tính giá trị biểu thức:
.( Đề thi KSCL 2017 lớp12, sở GD&ĐT Hà Nam) . Đáp án:
Bài 2: Cho số phức thỏa mãn . Biết tập hợp điểm biểu diễn của số phức là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó. ( Đề thi thử THPT QG 2017 lần 3, trường THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội) . Đáp án:
Bài 3: Gọilà các nghiệm của phương trình .Tính giá trị biểu thức: .( Đề thi thử ĐH 2014 lần 2,trường THPT Nguyễn Huệ) . Đáp án:
Bài 4: Cho các số phức thỏa mãn . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức .( Đề thi thử THPT QG 2017 lần 3, trường THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội) . Đáp án:
Bài 5: Cho số phức thỏa mãn .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:. (Đề thi thử THPT QG 2017 lần 3,trường THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội) . Đáp án:
Bài 6: Tìm tất cả các số phức có phần thực dương thỏa mãn . (Đề thi thử ĐHCĐ 2014 khối A, trường Đại học Hồng Đức) . Đáp án:
Bài 7: Cho hai số phức thỏa mãn .Chứng minh rằng sốlà số thực. (Đề thi thử ĐH 2014 lần 3, trường chuyên Nguyễn Huệ) 
Bài 8: Tìm số phức có phần thực dương thỏa mãn .(Đề thi thử ĐHCĐ 2014 lần 3, trường THPT Quỳnh Lưu 1-Nghệ An) . Đáp án:
Bài 9: Tìm số phức thỏa mãn . (Đề thi thử THPT QG 2017 lần 3, trường THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội) . Đáp án:
Bài 10: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn:
a) . Đáp án:Parabol
b) . Đáp án:2 Hypebol
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Với sáng kiến kinh nghiệm trên đây, bản thân rút ra được bài học kinh nghiệm về công tác chuyên môn là: Để nắm vững ôn tập các dạng và phương pháp giải các dạng bài tập về số phức trong chương trình thi THPT QG theo hướng trắc nghiệm thì giáo viên cần phải hệ thống các kiến thức trọng tâm và phương pháp giải một số dạng bài về số phức trong chương trình cơ bản. Đồng thời giáo viên phải là người tạo ra động cơ để học sinh cùng tham gia giải quyết các vấn đề đã đặt ra. Sau cùng giáo viên còn phải kiểm tra, đánh giá và rút kinh nghiệm cho các em vận dụng các phương pháp giải này.
Ý nghĩa của sáng kiến: Giúp cho giáo viên chủ động trong việc giảng dạy ôn tập cho học sinh khối 12 một cách hệ thống và tương đối đầy đủ các dạng bài tập về số phức, đồng thời sáng kiến kinh nghiệm này còn giúp học sinh phát triển tư duy và rèn luyện kỹ năng giải toán. Từ đó học sinh có cái nhìn toàn diện và tự tin hơn khi tiếp cận các dạng toán này.
Khả năng ứng dụng và triển khai: Sáng kiến đã được trình bày trước tổ chuyên môn và học sinh lớp 12 ôn tập thi THPTQG dưới dạng chuyên đề. Tôi triển khai áp dụng vào dạy các lớp 12A2, 12A3 và đã thu được kết quả tốt, đa số học sinh nắm bắt tốt chuyên đề, biết vận dụng vào giải các loại bài toán về số phức.Được học chuyên đề này, học sinh dễ dàng có sự lựa chọn phương pháp thích hợp và vận dụng sáng tạo cho mỗi bài toán. 
Sau khi áp dụng đề tài, tôi đã cho làm bài kiểm tra 45 phút về phần số phức. Kết quả đã nâng lên rõ rệt, cụ thể:
Lớp
Sĩ số
 8-10
6-7,9
5-5,9
3-4,9
0-2,9
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12A2
47
15
31,9
24
51,1
8
17
0
0
12A3
43
8
18,6
15
34,9
16
37,2
4
9,3
. 
3. KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận:
	Sau khi triển khai sáng kiến này vào dạy học ôn tập cho học sinh lớp 12 tôi thấy mang lại h