SKKN Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy cho học sinh lớp 10, thông qua giải các bài toán về bất đẳng thức bằng phương pháp tam thức bậc 2 định hướng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 4
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH LỚP 10, THÔNG QUA GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC 2 ĐỊNH HƯỚNG
Người thực hiện: Mai Tiến Linh
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Tĩnh Gia 4
SKKN thuộc môn : Toán
THANH HOÁ NĂM 2016
MỤC LỤC
Trang
A. Đặt vấn đề..................................................................................................... ..2
	I.Lời mở đầu................................................................................................2
	II.Thực trạng nghiên cứu.............................................................................3
	III. Kết quả thực trạng.................................................................................4
B. Giải quyết vấn đề............................................................................................4
	I. Các giải pháp thực hiện............................................................................4
	II. Các biện pháp tổ chức thực hiện............................................................4
	a. Cơ sở lý thuyết........................................................................................4
	b. Nội dung chính của đề tài........................................................................6
C. Kết luận.........................................................................................................17
	I. Kết quả...................................................................................................17
	II. Kieåm nghieäm laïi keát quaû..................................................................17
	III. Đề xuất và kiến nghị...........................................................................19
D. Phụ lục & một số sách, website tham khảo................................................21
A. Đặt vấn đề
I. Lời mở đầu:
	Bất đẳng thức được hình thành rất sớm, ngay từ buổi sơ khai của toán học .Thật vậy, ở thời kỳ trước công nguyên con người đã phát hiện ra rằng độ dài cạnh huyền của tam giác vuông lớn hơn độ dài mỗi cạnh góc vuông, hay trong tam giác bất kỳ thì tổng độ dài hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại. Nói tổng quan, lịch sử phát triển của bất đẳng thức gắn liền với lịch sử hình thành và phát triển của toán học. Bất đẳng thức có mặt ở bên trong hầu hết các lý thuyết toán học, không chỉ thế bất đẳng thức còn xuất hiện rất nhiều trong các môn khoa học khác như vật lý, hóa học, thiên văn học, sinh học, kinh tế, chính trị, tâm lý giáo dục,...Trong chương trình toán học phổ thông thì bất đẳng thức đóng một vai trò rất quang trọng, là cầu nối để phát triển và hình thành tư duy cho học sinh, là nền tảng để các các môn học khác phát triển
	Tuy nhiên bất đẳng thức là một chuyên đề khó đối với học sinh THPT vì nó đòi hỏi phải có một nền tảng tư duy lập luận vững chắc. Trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi olympic toán học khu vực và quốc tế, trong kỳ thi THPT quốc gia , các bài toán liên quan đến bất đẳng thức cũng thường xuên được đề cập và nó thuộc loại khó và rất khó.Trong rất nhiều chuyên đề về bất đẳng thức thì chuyên đề sử dụng tam thức bậc hai định hướng là một chuyên đề hay và thường xuyên được sử dụng để giải các bài toán về bất đẳng thức. Ta biết rằng tam thức bậc hai là một chuyên đề cơ bản nhất đóng vai trò nòng cốt trong các kiến thức toán bậc trung học thổ thông. Hầu hết các bài toán và ví dụ được khảo sát trong chương trình đại số về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức và các bài toán về cực trị...và trong chương trình giải tích các lớp cuối bậc phổ thông như khảo sát hàm số ...đều gắn liền với tam thức bậc hai. Những kiến thức về tam thức bậc hai là những kiến thức mà mỗi học sinh phổ thông đều phải nắm vững vì chúng được sử dụng trong các kỳ thi THPT quốc gia, kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh,và olympic.Trong chương trình toán THPT thì số tiết dành cho chuyên đề bất đẳng thức là rất ít mà kiến thức để giải một bài toán bất đẳng thức cần dùng rất là nhiều, cho nên khi nói đến giải các bài toán bất đẳng thức thì phần lớn các em học sinh đều có tâm lý ngại học, bởi vì nó khó phải kiên trì và phải có khả năng tư duy trừu tượng thì mới học tốt được.Tuy nhiên các bài toán liên quan đến bất đẳng thức có trong chương trình THPT lại là một nội dung có mặt trong các kỳ thi THPT quốc gia, do đó để đạt được kết quả cao thì các em phải làm được bài toán này. Đây không phải là điều mà nhiều em học sinh có thể làm được.
	Với học sinh lớp 10 thì việc tiếp cận và làm được các bài toán về bất đẳng thức, đòi hỏi các em phải nắm vững được các bất đẳng thức cơ bản, có rất nhiều phương pháp khác nhau để tiếp cận và giải các bài toán về bất đẳng thức, do đó phải có kỹ năng và khả năng tư duy trừu tượng tốt, đây là điều mà rất nhiều học sinh chưa làm được. Vì vậy, để cho các em có một cơ sở vững chắc về bất đẳng thức, và tạo cho các em hứng thú về môn toán học nói chung và chuyên đề về bất đẳng thức nói riêng, tôi đã chọn đề tài skkn "Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy cho học sinh lớp 10 thông qua giải các bài toán về bất đẳng thức bằng phương pháp tam thức bậc hai định hướng".Với đề tài này nhằm góp phần nâng cao chất lượng học tập môn đại số, phát huy tính chủ động, tư duy sáng tạo cho học sinh THPT nói chung và lớp 10 nói riêng, sử dụng đa dạng và sáng tạo các phương pháp giải toán ,giúp học sinh giải bài toán nhanh hơn và hiệu quả hơn, đồng thời qua đó giúp học sinh củng cố được kiến thức liên quan đến đại số.
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:
	Qua thực tế giảng dạy học sinh THPT nói chung và học sinh lớp 10 tôi thấy các em thường gặp các khó khăn sau đây
	+ Kiến thức về bất đẳng thức của học sinh còn yếu và thiếu , không biết giải một bài toán bất đẳng thức như thế nào và xuất phát bắt đầu từ đâu, vì thế học sinh thường rất ngại học chuyên đề này
	+ Kỹ năng biến đổi và vận dụng kiến thức về bất đẳng thức đã có chưa tốt
	+ Khả năng về tư duy triều tượng còn hạn chế 
	+ Khả năng phân tích và tổng hợp các kiến thức với nhau chưa tốt 
	+ Kỹ năng biến đổi, phân loại các dạng toán và tìm mối liên hệ giữa các bài toán chưa tốt 
	+ Kỹ năng tính toán còn yếu	
III. Kết quả của thực trạng:
	Khảo sát chất lượng của học sinh 10C1, 10C3, 10C5 của trường THPT Tĩnh Gia 4 cho thấy việc học tập các bài toán dạng này chỉ được một số học sinh lớp 10C1 là làm được, vì các em học sinh lớp này là lớp chọn của trường, còn lại một bộ phận học sinh không làm được hoặc làm được nhưng kết quả không đúng và thường mất điểm những bài tập dạng này, nhất là học sinh lớp 10C3, 10C5 .Từ những vấn đề trên tôi áp dụng sáng kiến thực tế giảng dạy và bước đầu đã thu được kết quả tốt trong năm học 2015- 2016 vừa qua
B. Giải quyết vấn đề
I. Các giải pháp thực hiện:	
1. Hệ thống lại kiến thức đã học:
 Giúp học sinh hệ thống lại kiến thức đã học về bất đẳng thức đã học ở thcs, các bài toán liên quan đến bất đẳng thức, định lý về dấu tam thức bậc hai và các bài toán liên quan đến dấu tam thức bậc 2
2. Phân loại các dạng bài toán :
Loại 1: Phương pháp vận dụng định lý về dấu tam thức bậc 2 để chứng minh bất đẳng thức
Loại 2: Phương pháp tam thức bậc 2 định hướng và mở rộng cho tam thức bậc 
II. Các biện pháp tổ chức thực hiện
Để thực hiện đề tài này tôi sử dụng các tiết học chính khóa, ôn tập và tự chọn của 3 lớp khối 10 là 10C1, 10C3, 10C5, qua đó nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán và phát huy khả năng tư duy sáng tạo cho học sinh
a. Cơ sở lý thuyết
Yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức cơ bản về 
	+ Một số tính chất về bất đẳng thức
	+ Một số kiến thức về dấu tam thức bậc 2
	+ Nắm vững kiến thức về tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất và các phương pháp khác nhau để chứng minh bất đẳng thức
1) Một số định lý về bất đẳng thức
+) 
+) 
+) 
+) 
+) 
+) 
+) 
+) 
+) 
2) Định lý về dấu tam thức bậc 2
Tam thức bậc đối với x là biểu thức có dạng , trong đó a, b, c là những hằng số, 
Định lý về dấu tam thức bậc 2:
Cho , và , khi đó 
Nếu thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi 
Nếu thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi 
Nếu thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a khi x x2, trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2. Trong đó x1, x2 (x1 < x2) là 2 nghiệm của f(x)
3) Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 
	Cho hàm số y = f(x) xác định trên D
Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D nếu , khi đó ta ký hiệu giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D là : 
Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D nếu , khi đó ta ký hiệu giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D là : 
b) Nội dung chính của đề tài 
Dạng toán 1 : Phương pháp vận dụng định lý về dấu tam thức bậc 2 để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Bài toán 1 : 
 Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn các hệ thức 
Chứng minh rằng : 
Chứng minh
Theo giả thiết ta có : 
Đặt : a + b + c = t a + b = t - c và 
Ta có : ab + bc + ca = 1 ab = 1 - (a +b)c = c2 - tc + 1. Do đó a , b là nghiệm của phương trình bậc 2 theo ẩn X là : 
Ta có : 
vì a, b tồn tại nên : 
Do đó : hay 
Do vai trò của a, b, c như nhau nên ta hoàn toàn chứng minh được 
đpcm
Bài toán 2 : Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng : (1)
Chứng minh
Từ giả thiết ta có : b = 3 - a - c, và 
 Khi đó (1) 
 (2)
Đặt f(a) = 
Ta thấy f(a) là một tam thức bậc 2 của a có hệ số a2 là 2c + 1 > 0 và , , nên theo định lý về dấu tam thức bậc 2 thì : hay (2) luôn đúng đpcm
Dấu "=" xẩy ra khi 
Bài toán 3 : Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn .
Chứng minh rằng : (1)
Chứng minh
Đặt a = x + y + z, b = xy + yz + zx, c = xyz. Từ giả thiết ta có : 3 + a = b +3c
Khi đó : 
Đặt . Ta thấy f(a) là một tam thức bậc 2 có hệ số a2 là 3(b+1) > 0 và , nên f(a) hay (2) luôn đúng đpcm
Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1
Bài toán 4 : Cho các số dương a, b, c thỏa mãn : a + b + c = 3. Chứng minh rằng 
Chứng minh
Không mất tính tổng quát, giả sử .
 Khi đó ta có : 
Đặt x = ac, từ giả thiết ta có a + c = 3 - b.Từ đó để chứng minh (1) ta sẽ đi chứng minh: (2)
Đặt . Vì hệ số của x2 là - b < 0 (theo giả thiết) và 
Nên f(x) , suy ra (2) đúng đpcm
Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi : a = b = c = 1
Bài toán 5 : Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn : x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 
Giải
Từ giả thiết ta có : z = 1- x - y, khi đó 
, Khai triển và rút gọn ta thu được 
Đặt .Coi đây là tam thức bậc 2 ẩn x, do điều kiện tồn tại của x nên suy ra (2) phải có nghiệm, tức là 
Vậy MaxP = , khi và chỉ khi 
Nhận xét : Ý tưởng bài toán trên bắt nguồn từ việc đưa biểu thức từ 3 biến về hai biến và rồi 1 biến, từ đó sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình bậc 2 để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. Hoàn toàn tương tự, ta có thể dùng ý tưởng này để chứng minh những bài toán có dạng : Cho các số không âm x,y,z thỏa mãn x + y + z = k.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = mxy + nyz + pzx
Bài toán 6 : Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn : ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = (1)
Giải
Xét c = 0 thì ab = 1 và P = a2 + 2b2 
(*)
Xét , khi đó ta chỉ cần xét 
	Đặt 
Từ giả thiết ta có : 
Từ (1) = 
, để tồn tại thì phương trình (2) phải có nghiệm, tức là :
Vì nên , do đó để (3) đúng thì 
 minP = 2 (**)
Từ (*) và (**) suy ra MinP = 2
Dấu "=" xẩy ra khi : 
 hay 
Dạng toán 2 : Phương pháp tam thức bậc 2 định hướng
Trước hết ta xây dựng tam thức bậc từ tam thức bậc 2
Xuất phát từ bất đẳng thức Cauchy dưới dạng sơ đẳng 
Đặt : (1), Khi đó (1) là một tam thức bậc 2, và f(x) = 0 khi và chỉ khi x = 1
Từ đó ta dễ dàng mở rộng cho tam thức bậc () để có bất đẳng thức tương tự như (*) bằng cách thay số 2 bởi số . Thật vậy, ta có thể thiết lập bất đẳng thức dạng : sao cho dấu đẳng thức xẩy ra khi x = 1. Thay x = 1 vào (2) ta nhận được : (?) = -1, tức là (2) sẽ có dạng
 (3)
(3) chính là bất đẳng thức Bernoulli quen biết
Để chứng minh (3) ta có thể sử dụng đạo hàm để chứng minh, thậy vậy ta xét hàm số : . 
Ta có f(1) = 0 và f'(x) = , f'(x) = 0 khi và chỉ khi x = 1, và x = 1 là cực tiểu duy nhất của hàm số f(x) trên , nên đpcm
Nhận xét : 
Trong áp dụng đặc biệt trong các dạng toán xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, bất đẳng thức bernoulli dạng (3) chỉ được sử dụng trong trường hợp dấu đẳng thức xẩy ra khi x = 1.
Trong những trường hợp, nếu dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x=x0> 0
Ta có x = x0 , khi đó ta thay x bằng trong (3) ta có 
, dấu "=" xẩy ra khi x = x0 (*)
Với và x0 = y, ta có bất đẳng thức : , dấu "=" xẩy ra khi x = y
Với , x > 0, y > 0, và x0 = y, ta có bất đẳng thức (***), dấu "=" xẩy ra khi x = y
	2. Một số bài tập vận dụng
Bài toán 1 : Cho , Chứng minh rằng : 
Chứng minh
Áp dụng (**) ta có 
 (1)
Theo giả thiết ta có : 
Vậy từ (1) suy ra đpcm
Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi : a = 4, b = 3, c = 2
	Nhận xét : Bài toán 1 có thể mở rộng với 3 biến x, y, z thành bài toán tổng quát sau :
Bài toán 2: Cho 3 số thực dương thỏa mãn 
và . Chứng minh rằng 
Chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có , cộng 3 bất đẳng thức trên vế theo vế ta được : 
đpcm, dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi : x = a, y = b, z = c
Bài toán 3 : Cho a, b, c 0, thỏa mãn điều kiện 
Chứng minh rằng : 
Chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức (***) với ta có 
 , cộng 3 bất đẳng thức trên vế theo vế ta được : 
 ( Theo giả thiết)
đpcm, dấu "=" xẩy ra khi a = 4, b = 3, c = 2
	Nhận xét : Bài toán 3 có thể mở rộng với 3 biến x, y, z thành bài toán tổng quát sau :
Bài toán 4 : Cho 3 số thực dương thỏa mãn 
và . Chứng minh rằng 
	Lưu ý : Chứng minh bài toán 4 hoàn toàn tương tự bài toán 2 tổng quát
Bài toán 5 : Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng : 
Chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức (***) với ta có
, cộng 2 bất đẳng thức trên vế theo vế ta được : 
đpcm, dấu "=" xẩy ra khi x = 3, y = 1
Nhận xét : Bài toán 5 có thể mở rộng với 3 biến x, y, z thành bài toán tổng quát sau :
Bài toán 6 : Cho 3 số thực dương thỏa mãn 
và . Chứng minh rằng 
	Lưu ý : Chứng minh bài toán 6 hoàn toàn tương tự bài toán 4 tổng quát
Nhận xét : Từ các bất đẳng thức trên ta có thể khái quát hóa thành bài toán tổng quát như sau
Bài toán 7 : Cho , và thỏa mãn điều kiện sau : 
Chứng minh rằng : 
Bài toán 8 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
	(1)
Chứng minh
Đặt a2 = x, b2 = y, c2 = z, thì . Khi đó bất đẳng thức (1) trở thành : 
Theo bất đẳng thức (***) ta có 
, cộng 3 bất đẳng thức vế với vế ta có : 
Mặt khác , nên suy ra 
đpcm, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c
Bài toán 9 :
 Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng (1)
Chứng minh
Đặt , khi đó bất đẳng thức (1) trở thành , theo bđt (***) với ta có 
, cộng 3 bất đẳng thức vế với vế ta có 
Mặt khác tai lại có : đpcm
Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi a = b= c =1
	3. Một số bài tập đề nghị
Bài tập 1 : 
Cho a, b, c . Chứng minh rằng 
Bài tập 2 : Cho 4 số thực a,b,c,d thỏa mãn và c + d = 3. 
Chứng minh rằng : 
Bài tập 3 : Cho dãy số thực .
Chứng minh rằng 	
Bài toán 4 : Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
Bài toán 5 : Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện . 
Chứng minh rằng : 
C. Kết luận
I. Kết quả:	Sau một năm học 2015-2016 qua việc áp dụng cho đối tượng học sinh ở 3 lớp 10của trương THPT Tĩnh Gia 4, kết quả thu được như sau:
Lớp
SL
Loại giỏi
Loại khá
Loại TB
Loại yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
10C1
43
12
27,9
23
53,4
8
18,7
0
4,6
10C3
41
10
24,3
15
36,5
12
29,2
4
10
10C5
42
5
11,7
10
23,8
21
50,0
7
14,5
II. Kiểm nghiệm lại kết quả:
	1. Kết quả của biện pháp mới:
Ban đầu học sinh chưa làm quen được phương pháp mới, các em còn nhút nhát, thụ động, đợi đến khi giáo viên gọi thì các em mới phát biểu ý kiến. Và các em không tự mình phân tích được bài giải mà phải có sự gợi ý của giáo viên nên kết quả tiết dạy không cao. Dần về sau học sinh hoạt động tích cực và có tính tự giác, các em mạnh dạn đứng lên phân tích và tự mình trình bày bài giải một cách logíc, có khoa học.
	2. Phạm vi tác dụng của sáng kiến kinh nghiệm:
a. Đối với bản thân:
- Giáo viên phải nghiên cứu sâu, kỹ về kiến thức chuyên môn và các kiến thức liên quan đến bài dạy. Nên từ đó đã xoá đi tính chủ quan của giáo viên, dần theo thời gian giáo viên đã tự bồi dưỡng cho mình một kiến thức chuyên môn vững vàng.
- Những cách giải quyết vấn đề khác nhau của học sinh làm cho giáo viên có nhiều kinh nghiệm trong dự đoán các tình huống và xử lý tình huống.
b. Đối với học sinh:
- Đa số các em đều biết vận dụng lý thuyết vào giải các bài toán tương tự qua đó sáng tác ra một lớp các bài toán, từ đó hình thành được kỹ năng giải toán và khả năng tư duy toán học. Nhiều em đã giải được các bài toán khó, tìm ra được nhiều cách giải khác nhau và độc đáo từ một bài toán đã được giải 
- Học sinh học chuyên đề bất đẳng thức này không còn e ngại, gò bó theo khuôn mẫu, mà các em phát huy được tính tích cực, độc lập, sáng tạo trong học tập. 
- Các em học sinh học, từ những bước cơ bản vững chắc đầu tiên, dẫn đến đam mê, rồi các em hiển nhiên trở thành một học sinh giỏi toán 
c. Đối với đồng nghiệp, tổ nhóm chuyên môn:
Đây là phương pháp không khó, giáo viên nào cũng có thể thực hiện được. Và đặc biệt là áp dụng được đối với tất cả các đối tượng học sinh. Nên tôi đã đem phổ biến trong tổ, các anh em trong tổ cũng có nhiều góp ý quí báu và đã mạnh dạn áp dụng phương pháp này vào lớp mình phụ trách và bước đầu đã mang lại thành công.
	3. Nguyên nhân thành công và tồn tại:
a. Nguyên nhân thành công:
- Sử dụng phương pháp tam thức bậc 2 định hướng là một trải nghiệm mới mẻ, mặc dù trong trường thpt phương pháp này có đề cập song nó còn quá ít và khó vận dụng để giải toán, qua đó rèn luyện cho các em học sinh tìm lời giải các bài toán và rèn luyện việc giải toán
- Bản thân, đã có sự đam mê môn toán học từ khi còn ngồi dưới ghế nhà trường phổ thông, say sưa nghiêm cứu tìm ra những phương pháp mới trong giảng dạy
- Được sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến nhiệt tình của các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn.
- Lớp tôi phụ trách phần lớn học sinh đều có tinh thần vượt khó, tự giác học tập.
b. Tồn tại:
- Các bài toán có liên quan đến bất đẳng thức, thì phần lớn các em không có nhiều hứng thú vì nó khó và không có định hướng trước để giải được nó.
- Các bài toán liên quan đến nhiều kiến thức khác nhau đòi hỏi các em phải có kiến thức vững vàng liên quan đến đại số và nhất là kỹ năng biến đổi trong toán học
	4. Bài học kinh nghiệm:
	Đối với các bài toán đòi hỏi cần phải có sự tư duy như các dạng toán ở trên, thì học sinh đôi lúc phân tích hướng giải không đúng với ý đồ của giáo viên. Khi đó giáo viên phải tôn trọng và phân tích theo hướng giải của các em, sau đó chỉ rõ các ưu khuyết điểm của hướng giải mà các em đã đưa ra. 
	Theo phương pháp trên làm cho học sinh tiếp thu bài học một cách tích cực và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo có khoa học. Kết quả thu được góp phần không nhỏ để đáp ứng được nhu cầu đổi mới phương pháp dạy học mà ngành giáo dục đề ra.
III. Đề xuất và kiến nghị:
	Kevin P.Lee một nhà khoa học đã từng nói " Suy cho cùng, toán học là về các ý tưởng...Ý tưởng, đó là toán học. Một trang tính toán không có chữ viết hoặc diễn giải nào chứa cái phi toán". Còn đối với G.Polya (1887 - 1985) một nhà toán học và sư phạm nổi tiếng của Mỹ đã từng nói "Dạy học không phải một khoa học mà là một nghệ thuật".Do đó ở mỗi thầy giáo giỏi đều có phương pháp riêng, và mỗi thầy giáo giỏi khác mọi thầy giáo giỏi khác ở phương pháp đó.Chính vì lẽ đó việc nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn học là nhiệm vụ, trách nhiệm cũng là lương tâm của các thầy, cô giáo. Với tinh thần đó tôi mong muốn góp phần nhỏ trí tuệ của mình trong giảng dạy với cc đồng nghiệp, mong tất cả các thầy, cô giáo có nhiều SKKN hay góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy nói chung và bộ môn Toán nói riêng.
	Tôi xin chân thành cảm ơn	
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG
Thanh hóa, ngày 25 tháng 5 n