SKKN Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động giải một số bài toán trong hình chóp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LÊ HOÀN 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG THÔNG QUA HOẠT ĐỘNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG HÌNH CHÓP
 Người thực hiện: Trần Thị Vân
 Chức vụ: Giáo viên
	 SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán 
THANH HOÁ NĂM 2017
 Mục lục
Trang
I. MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài
3
Mục đích nghiên cứu
3
Đối tượng nghiên cứu
3
Phương pháp nghiên cứu
3
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
 1/ Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
4
 2/ Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc
4
 3/ Cách xác định khoảng cách từ điểm M đến (P) dựa vào định nghĩa
4
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN
5
2.3. Giải pháp
 1. Bài toán 1: Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng đi qua đỉnh của hình chóp
5
 2. Bài toán 2: Khoảng cách từ một điểm đến mặt đáy của hình chóp
14
2.4. Hiệu quả của SKKN
16
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận 
17
3.2. Đề xuất
17
Tài liệu tham khảo
18
Danh mục các đề tài SKKN đã đạt giải
18
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
 Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau; khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là các bài toán chủ yếu trong chương III hình học lớp 11. Việc giải các bài toán này, phần lớn là đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Vì vậy học sinh cần thành thạo kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
 Trên thực tế giảng dạy bộ môn Toán, với môn hình học không gian tôi thấy các thực trạng sau:
- Theo phân phối chương trình hình học lớp 11, bài “Khoảng cách” chỉ gồm 2 tiết lí thuyết và 1 tiết bài tập, trong khi lượng bài tập liên quan đến các khái niệm về khoảng cách tương đối nhiều và phong phú. Hơn nữa cũng ở bài học này, việc áp dụng kiến thức vào làm bài toán tìm khoảng cách chỉ thông qua vài ví dụ chung chung. Nếu chỉ dừng lại ở đó thì phần lớn học sinh sẽ không tự giải quyết được các bài tập liên quan đến khoảng cách nói chung và tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng nói riêng.
- Nói đến bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, các em học sinh có lực học ở mức độ trung bình khá cũng rất muốn thử sức. Tuy nhiên các em còn e ngại vì khi tiến hành giải bị gặp khó khăn trong việc áp dụng định nghĩa, định lí, phương pháp chung vào các tình huống cụ thể.
 Từ năm học 2016-2017, môn toán đã được đổi sang hình thức thi trắc nghiệm, việc hiểu và thuần thục các kỹ năng giải bài tập càng cần thiết hơn.
Vì vậy, tôi đã chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng thông qua hoạt động giải một số bài toán trong hình chóp”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
 Giúp học sinh lớp 11 và học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia có lực học ở mức độ trung bình khá làm tốt bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng áp dụng trong hình chóp. Trên cơ sở đó, các em sẽ tiến tới làm được bài toán này và các bài toán về tính khoảng cách nói chung trên các loại hình khác như: hình lăng trụ, hình hộp
1.3. Đối tượng nghiên cứu
 Đề tài nghiên cứu, tổng kết một số kĩ năng tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng đi qua đỉnh và mặt đáy của hình chóp. 
1.4. Phương pháp nghiên cứu
 1.Nghiên cứu lý luận dạy học.
 2. Thực hành qua các tiết học tự chọn và ôn thi tốt nghiệp.
 3. Tổng kết, đánh giá, đúc rút kinh nghiệm qua việc giảng dạy ở các năm.II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận
 1/ Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là khoảng cách giữa điểm
và hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng .
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng kí hiệu là: .
M
H
P
 2/ Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc
Định lí: 
 Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
P
Q
a
 3/ Cách xác định khoảng cách từ điểm M đến (P) dựa vào định nghĩa
*Bước 1:Tìm một mpvuông góc với và đi qua .
*Bước 2: Xác định giao tuyến của và .
*Bước 3: Trong mp, dựng đường thẳng vuông góc với tại thì là hình chiếu vuông góc của trên mp, do đó .
P
Q
M
H
Chú ý: Trong trường hợp việc tìm hình chiếu của trên gặp khó khăn thì ta có thể tính theo khoảng cách từ một điểm phù hợp đến dựa vào nhận xét sau:
Trong không gian, cho hai điểm phân biệt không thuộc mp:
M
N
P
H
K
I
Nếu thì:
 .
M
N
P
H
K
Nếu // thì:
 .
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
 Nhiều học sinh lớp 11 và học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT quốc gia có lực học ở mức độ trung bình khá khi giải quyết câu hỏi về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thì rất thuộc phương pháp chung nhưng lúng túng khi áp dụng.
2.3. Giải pháp
 Trong bài viết này tôi đã cụ thể hóa bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thành 2 bài toán nhỏ trong hình chóp với 4 dạng thường gặp sau, giúp các em dễ dàng tiếp thu và áp dụng. 
Bài toán 1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng đi qua đỉnh của hình chóp.
 Dạng 1.1: Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng đi qua đỉnh của hình chóp.
 Dạng 1.2: Khoảng cách từ một điểm thuộc mặt đáy và khác chân đường cao đến mặt đi qua đỉnh của hình chóp.
 Dạng 1.3: Khoảng cách từ một điểm không thuộc mặt đáy đến mặt phẳng đi qua đỉnh của hình chóp.
Bài toán 2. Khoảng cách từ một điểm đến mặt đáy của hình chóp.
 Cụ thể: 
1. BÀI TOÁN 1: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG ĐI QUA ĐỈNH CỦA HÌNH CHÓP
(Trong bài này tôi chỉ xét mặt phẳng đi qua đỉnh và có giao tuyến với mặt đáy)
Dạng 1.1: Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng đi qua đỉnh của hình chóp
 a/ Bài toán: Cho hình chóp có đường cao là . Xác định khoảng
cách từ điểm đến mặt phẳng đi qua đỉnh .
 b/ Phân tích: 
Xét thấy và mặt đáy có giao tuyến là . Áp dụng phương pháp chung ta thấy ở bước 1, để xác định một mặt phẳng () qua và vuông góc với ta xác định () qua và vuông góc với giao tuyến . Làm thế nào để xác định được () ?.
 c/ Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước như sau:
 * Bước 1: .
 - Xác định giao tuyến của mặt và mặt đáy là 
 - Trong mặt đáy , từ dựng tại (tùy từng trường
 hợp có thể xác định vị trí của ) nối , ta được 
 - Trong mp, từ dựng tại ta được 
Thật vậy: Vì và suy ra mp
 Mà , và suy ra. Do đó 
 * Bước 2: Tính : 
 Thường là dựa vào tam giác vuông : 
Ví dụ 1: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , cạnh và góc . Cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy, . Tính theo khoảng cách từ điểm đến .
Hướng dẫn: Xét thấy là mặt đi qua đỉnh , (). Khi dựng , lưu ý cho học sinh xác định điểm trong bài toán tổng quát là điểm của bài tập (thường học sinh nhầm là khác ).
Giải:
 * Đã có (). Trong mp, dựng tại , Ta được: .
Thật vậy: Vì , mà và nên suy ra 
 *Tính : Theo giả thiết ta có: vuông tại , cạnh và gócnên suy ra: . Tam giác vuông tại có là đường cao nên . 
 Vậy : .
Ví dụ 2: Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh a , .
D
C
B
I
K
M
S
A
Cạnh bên vuông góc với đáy, góc giữa mp và mp bằng 450. Tính theo khoảng cách từ đến mp.
Giải: 
 * Đã có , trong () dựng tại ( là trung điểm của ), nối .Trong dựng tại ta được
 * Tính : 
 - Xác định góc giữa mp và mp:
Vì là hình thoi cạnh a có nên , suy ra và 
 là các tam giác đều cạnh .
Gọi là trung điểm của cạnh , ta có nên (theo định lý ba đường vuông góc) suy ra góc giữa mp và mp là góc giữa hai đường thẳng , và bằng .
 - Tam giác vuông tại có là đường cao nên
 .
 Vậy : .
Ví dụ 3: (Trích Đề thi TNTHPT năm 2015)
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , vuông góc với mặt phẳng (), góc giữa đường thẳng và mặt phẳng () bằng . Tính theo khoảng cách giữa hai đường thẳng , .
d
A
D
C
B
H
M
S
Giải:
 Ta có suy ra .
 * Qua kẻ đường thẳng song song với . Vì mp nên
 .
 * Xác định :
 - Kẻ tại , (), nối .
 - Kẻ vuông góc tại , ta được .
 * Tính :
 Tam giác vuông tại có đường cao nên: 
 .
 Vậy .
Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi , lần lượt là trung điểm của và . Tính theo 
a/ khoảng cách từ đến mp. 
b/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng . 
Đáp số: a/ . 
 b/ .
Bài 2. Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại , , , . Gọi là trung điểm của đoạn thẳng , là giao điểm của và . Tính theo khoảng cách từ đến mp.
Đáp số: .
Dạng 1.2: Khoảng cách từ một điểm thuộc mặt đáy và khác chân đường cao
 đến mặt phẳng đi qua đỉnh của hình chóp.
M
D
B
A
C
H
K
S
D
B
A
C
H
M
I
S
 a/ Bài toán: Cho hình chóp có đường cao . Lấy điểm thuộc mặt phẳng đáy sao cho khác . Xác định khoảng cách từ đến mặt đi qua đỉnh .
 (Hình a) (Hình b)
 b/ Phân tích: Nối , xảy ra 2 trường hợp: nếu thì (hình a); nếu hoặc thì 
 (hình b).
 - Nếu chứa đường cao thì qua có sẵn mpdẫn đến việc xác định gặp thuận lợi.
 - Nếu không chứa thì việc tìm hình chiếu của trên khó 
khăn. Trong trường hợp này để tìm ta quy về tìm khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên (). 
 c/ Phương pháp: Xác định đường cao , Nối để biết chứa hay không chứa và vận dụng phương pháp phù hợp:
 * Trường hợp 1: Nếu chứa (). 
 - Bước 1: Xác định 
 - Bước 2: Dựng tại được 
Thật vậy: vì ,và nên suy ra .
 * Trường hợp 2: Nếu không chứa () hoặc ().
 - Bước 1: Quy việc tính về tính .
 + Nếu thì : 
 + Nếu cắt tại điểm thì: 
 - Bước 2: Xác định và tính suy ra .
Ví dụ 1: (Trích đề minh họa THPT Quốc gia năm 2015)
Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại ,. . Hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt đáy là trung điểm của cạnh và . Tính theo :
	a/ Khoảng cách từ đến mp.
	b/ Khoảng cách từ đến mp.
B
A
C
H
M
S
Giải: Xét tam giác vuông tại , ta có: .cos .
 .sin.
a/ 
* Vì nên . Kẻ tại suy ra , 
Do đó .
* Trong : .	
B
K
A
C
H
I
S
Vậy .
b/ 
* Ta có và . 
* Xác định : Trong , kẻ tại (). Nối .
 Trong , kẻ tại . Ta được .
* Tính : Xét vuông tại , là đường cao 
 ta có: . 
 Vậy: .
H
A
B
I
C
D
S
Ví dụ 2: Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết , , góc giữa hai mặt phẳng và bằng . Tính theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Gợi ý:
* Từ giả thiết chứng minh được , 
 suy ra góc giữa hai mặt phẳng 
và bằng , tính được .
* Vì nên .
* Gọi là hình chiếu của trên , 
chứng minh được là khoảng cách từ 
đến .
* Trong tam giác vuông tính được .
Đáp số: .
Bài tập vận dụng
Bài 1. (Trích đề ĐH khối D-2011) Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , ; mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Biết và . Tính theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng . 
Đáp số: .
Bài 2. (Trích đề ĐH khối B-2014) Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng là trung điểm cạnh , góc giữa đường thẳng và mặt đáy bằng .Tính theo khoảng cách từ điểm đến mp(). 
Đáp số: .
Bài 3. Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và , . Gọi là điểm đối xứng với qua, là trung điểm của . Biết rằng cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa hai mặt phẳng () và () bằng .Tính theo khoảng cách giữa hai đường thẳng . 
Đáp số: .
Dạng 1.3: Khoảng cách từ một điểm không thuộc mặt đáy đến mặt phẳng đi qua đỉnh của hình chóp.
 a/ Bài toán: Cho hình chóp , là điểm thuộc mpvà khác , . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
A
C
B
D
H
M
N
S
 b/ Phân tích: Để tính khoảng cách từ đến mặt phẳng ta quy về tính cách từ một điểm thuộc mặt đáy đến . Làm thế nào để tìm ra điểm đó?
 . 
 c/ Phương pháp: Có thể tiến hành theo các bước sau:
 *Bước 1: Nối cắt tại , suy ra liên hệ: .
 *Bước 2: Tính khoảng cách từ đến suy ra tính được .
Ví dụ : Cho hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy bằng , độ dài cạnh bên bằng . Gọi là trọng tâm của tam giác , là hình chiếu vuông góc của trên . Tính theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
B
H
A
C
G
M
P
S
Hướng dẫn: Xét thấy, để tính khoảng cách từ đến mpta dựa vào khoảng cách của điểm đến ?.
 Giải:
Vì là hình chóp tam giác đều nên là đường cao của hình chóp.
 * Xét : . 
Mà .
 nên , (1) .
 * Xác định :
Gọi là trung điểm của cạnh ta có suy ra
 , (2). Từ (1) và (2): .
 * Tính 
Vì là trung điểm của suy ra , nối . Trong kẻ tại , ta được . 
Trong : .
 Vậy .
Bài tập vận dụng.
Bài 1. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng . Cạnh bên , vuông góc với đáy. Gọi là hình chiếu vuông góc của trên , là trọng tâm tam giác . Tính theo 
a/ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng . 
Đáp số: .
b/ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng . 
Đáp số: .
2. BÀI TOÁN 2: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT ĐÁY CỦA 
 HÌNH CHÓP
 a/Bài toán: Cho hình chóp, lấy điểm bất kỳ thuộc mặt sao cho không trùng với các điểm. Xác định khoảng cách từ điểmđến mp.
S
C
A
D
B
H
M
I
N
 b/ Phân tích: Vì nên để tính ta dựa vào .
 c/ Phương pháp:Tiến hành theo các bước như sau:
* Bước 1: Dựng đường cao của hình chóp. 
* Bước 2:
 -Trong có chứa , nối cắt mp tại
 (tùy vào hình mà có thể chính xác hóa vị trí ).
 - Nối .
 -Tìm liên hệ : .
* Bước 3: Tính suy ra .
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng . Gọi là trọng tâm tam giác , tính khoảng cách từ đến mp. 
Giải : 
 + Gọi là giao điểm của và . Do là hình chóp tứ giác đều
nên .
 + Nối cắt tại (Do là tam giác cân tại nên là trung điểm
A
B
C
D
O
G
P
N
S
của ). Vì nên .
 + Ta có: , , 
 Vậy .
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều có , góc giữa đường thẳng và mp bằng . Gọi là trọng tâm của tam giác . Tính khoảng cách từ đến mp.
C
A’
B’
A
B
C’
G
I
G’
Hướng dẫn: Xét thấy là mặt đáy của hình chóp với đường cao . Áp dụng phương pháp trên ta có lời giải sau: 
Giải:	
+ Vì là hình lăng trụ tam giác đều nên tức là đường cao của hình chóp . 
+ Ta có thuộc trung tuyến của và nên 
+ Tính : Góc giữa và là góc suy ra . 
 Vì nên cạnh . 
 Vậy : .
Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh . Tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi là trọng tâm tam giác . Tính theo khoảng cách từ đến mp.
Đáp số: .
Bài 2. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, biết diện tích đáy bằng ,, là tam giác đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi là trung điểm của . Tính theo khoảng cách từ đến mặt phẳng .
Đáp số: .
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
 	Tôi áp dụng phương pháp trên ở 2 nhóm học sinh có học lực môn Toán học tương đương nhau thông qua việc, kiểm tra 15 phút, kiểm tra 1 tiết, kết quả thu được như sau:
- Nhóm không sử dụng phương pháp trên (nhóm đối chứng):
Lớp
Sĩ số
Đạt yêu cầu
Không đạt yêu cầu
Số lượng
%
Số lượng 
%
11A4
45
17
37.7
28
62.3
12A5
44
15
34.09
29
65.91
- Nhóm thực nghiệm (có sử dụng phương pháp mới)
Lớp
Sĩ số
Đạt yêu cầu
Không đạt yêu cầu
Số lượng
%
Số lượng 
%
11A8
44
39
88.63
5
11.37
12A7
44
40
90.0
4
10.0
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
	Đề tài đã giải quyết được các vấn đề sau:
	1. Đề tài đã chỉ ra được cách khắc phục khó khăn trong việc áp dụng kiến thức hình không gian của một lớp đối tượng học sinh vào giải các bài toán về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
	2. Đề tài đã chỉ ra hướng đi nhằm đơn giản các đơn vị kiến làm cho học sinh tiếp thu kiến thức nhẹ nhàng hơn, dễ hiểu hơn. 
	3. Đề tài được dùng trong những tiết luyện tập để nâng cao kết quả hoạt động giáo dục.
	4. Thông qua việc tìm ra bài toán gốc, việc tổng quát bài toán, việc tạo ra bài toán mới, dần dần hình thành cho các em khả năng làm việc độc lập, sáng tạo, phát huy tối đa tính tích cực của học sinh theo đúng tinh thần phương pháp mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Điều quan trọng là tạo cho các em niềm tin, hứng thú khi học tập bộ môn.
3.2. Kiến nghị
Mặc dù đề tài này tôi nghiền ngẫm, đúc rút kinh nghiệm và vận dụng trong giảng dạy ở nhiều năm, cũng đã giúp được những điều bổ ích cho học sinh học tập tốt hơn. Xong chắc chắn còn phải tiếp tục được hoàn thiện, bổ sung thêm. Vậy tôi rất mong được sự góp ý chân tình của các đồng nghiệp.
	 Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh hoá, ngày 01 tháng 06 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)
Trần Thị Vân
TÀI LIỆU THAM KHẢO
 1/ Sách hình học nâng cao lớp 11
2/ Đề thi TNTHPT Quốc gia Quốc gia năm 2015
3/ Đề minh họa THPT Quốc gia Quốc gia năm 2015
4/ Đề đại học khối D-2011
5/ Đề đại học khối B-2014
DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Trần Thị Vân
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên - Trường THPT Lê Hoàn
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh...)
Kết quả đánh giá xếp loại (A, B, hoặc C)
Năm học đánh giá xếp loại
...