SKKN Giúp học sinh lớp 11 tiếp cận và giải một số bài tập xác suất

MỤC LỤC
Phần A
Mở đầu
2
I. Lý do chọn đề tài
2
II.Mục đích nghiên cứu
2
III. Đối tượng nghiên cứu
2
IV. Phương pháp nghiên cứu.
2
Phần B
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2
I. Cơ sở lý luận
2
II. Thực trạng vấn đề trước khi sử dụng sáng kiến kinh nghiệm
3
III. Các biện pháp tiến hành
3
1. Cơ sở lý thuyết
3
2. Hướng dẫn học sinh tiếp cận và giải một số bài toán xác suất
5
2.1. Những bài toán xác suất có không gian mẫu được môt tả cụ thể
5
2.2. Những bài toán chọn vật (người...) không liên quan đến sắp xếp
6
2.3 Những bài toán liên quan đến sắp xếp
12
2.4. Những bài toán sử dụng quy tắc nhân 
14
2.5.Bài tập tự luyện
18
IV.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
19
Phần C
Kết luận
20
I. Kết luận
20
II. Kiến nghị
20
Tài liệu tham khảo
21
A. MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài: Xác suất là một chuyên ngành mới và có tính hấp dẫn cao được áp dụng phổ biến trong cuộc sống. Xác suất được ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học khác nhau như Toán học, Vật lý, Khoa học và kỹ thuật, y học, công nghệ thông tin và các ngành kinh tế. Trong trường phổ thông thì đòi hỏi học sinh phải biết giải bài toán xác suất và áp dụng được vào các môn học đặc biệt là môn sinh học, vật lý ...
	Trong những năm gần đây các bài toán xác suất là một trong các chủ đề có mặt trong các kỳ thi do Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định. Chính vì thế nên tôi đã chú trọng vào việc dạy kỹ lý thuyết cho học sinh và phân dạng các loại toán xác suất từ dễ đến khó và có hệ thống móc nối giữa các kiến thức cũ và mới để học sinh có hứng thú học, say mê tìm hiểu và giải quyết được các dạng bài tập trong chương trình phổ thông.
	Với mong muốn giúp các em học sinh lớp 11 nắm vững các kiến thức cơ bản về xác suất đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau, tôi đã chọn đề tài "Giúp học sinh lớp 11 tiếp cận và giải một số bài tập xác suất".
II. Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu một số vấn đề liên quan đến đến nội dung xác xuất được trình bày trong sách giáo khoa nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy.
III. Đối tượng nghiên cứu:
	- Học sinh trung lớp 11 bậc trung học phổ thông;
	- Nội dung phần xác suất trong chương trình toán trung học phổ thông.
IV. Phương pháp nghiên cứu:
	- Xây dựng cơ sở lý thuyết;
	- Điều tra, quan sát;
	- Thực nghiệm sư phạm;
	- Tổng kết rút kinh nghiệm;
	- Xây dựng hệ thống bài tập có phân loại các dạng bài tập, sắp xếp các ví dụ, các bài tập theo mức độ từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, đồng thời đưa ra một số đặc điểm nhận dạng từng dạng bài tập để lựa chọn cách giải cho phù hợp.
B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
	- Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên. Do đặc thù của chuyên ngành nên các bài toán về xác suất có nhiều điểm khác biệt so với các bài toán đại số, giải tích, hình học. Trong chương trình toán học phổ thông chương trình sách giáo khoa đã đưa xác suất vào dạy ở lớp 11,với đa số học sinh việc làm quen, áp dụng và giải các bài toán về xác suất còn rất bỡ ngỡ và thấy khó. Đứng trước một bài toán xác suất nhiều học sinh thường lúng túng, không biết cách giải quyết như thế nào, thậm chí có nhiều em đã làm xong cũng không dám chắc mình đã làm đúng.
	- Phần xác suất trong chương II "Tổ hợp và xác suất" lớp 11 phân ban có mục đích trang bị cho học sinh các khái niệm cơ bản như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối, đồng thời cũng đưa ra các quy tắc tính xác suất để vận dụng vào các bài toán thực tiễn.
	- Để có thể học tốt xác suất học sinh phải nắm vững các khái niệm cơ bản của xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán và tình huống cụ thể. Trên thực tế học sinh khó hiểu được các khái niệm và các định nghĩa, trong khi sách tham khảo về nội dung này cũng không có nhiều, khai thác kỹ hơn thì học sinh lại phải đọc thêm nhiều lý thuyết ngoài sách giáo khoa. Thực tế đó đòi hỏi giáo viên phải có những phương pháp dạy hợp lý và phát huy tính sáng tạo của học sinh.
 II. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
	Xác suất là khái niệm mới và khó nên học sinh lười nghiên cứu, tuy ứng dụng thực tế của nó rất lớn nhưng học sinh học trong thời gian ngắn nên việc áp dụng thành thạo các bài tập cơ bản đối với nhiều học sinh chưa được tốt. 
Qua thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy: đa số các em chưa hiểu thấu đáo các khái niệm cơ bản như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối, các em chỉ biết giải bài toán xác suất trong một số kiểu bài tập quen thuộc độc lập. Đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt các quy tắc để giải quyết các tình huống cụ thể.
III. Các biện pháp đã tiến hành giải quyết vấn đề.
1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
a. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu:
	Một phép thử ngẫu nhiên (ký hiệu T) là một thí nghiệm hay một hành động mà có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau, kết quả của nó không dự đoán trước được và có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra.
	Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử, ký hiệu Ω.
b. Xác suất các biến cố:
	Định nghĩa : Giả sử phép toán thử T có không gian mẫu Ω là một tập hợp hữu hạn và kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và ΩA là tập hợp các kết quả mô tả A thì xác suất của A là một số ký hiệu là P(A), được xác định bởi công thức:
trong đó và lần lượt là số phần tử của tập ΩA và Ω 
	- Biến cố chắc chắn (luôn xảy ra khi thực hiện các phép thử T) có xác suất bằng 1.
- Biến cố không thể (không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử T) có xác xuất bằng 0.
1.2. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT
1.2.1. Quy tắc cộng xác suất
a. Biến cố hợp
	Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T. Nếu “biến cố A hoặc biến cố B xảy ra”, kí hiệu là được gọi là hợp của hai biến A và B. Nếu kí hiệu ΩA và ΩB lần lượt là tập hợp mô tả A và B thì tập hợp mô tả biến cố và ΩA ΩB.
	Một cách tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, , Ak cùng liên quan đến phép thử T. Biến cố “ có ít nhất một trong các biến cố A1, A2, , Ak xảy ra, ký hiệu là , được gọi là hợp của k biến cố đó.
b. Biến cố xung khắc
	Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra. Hai biến cố xung khắc nếu và chỉ nếu.
ΩA ΩB = 
c. Quy tắc cộng xác suất
Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là:
Một cách tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, , Ak đôi một xung khắc thì ta có: 
d. Biến cố đối
Cho biến cố A thì biến cố “ Không xảy ra A”, ký hiệu là được gọi là biến cố đối của A.
Cho biến cố A xác suất của biến cố đối là: 	(3)
1.2.2. Quy tắc nhân xác suất
a. Biến cố giao
	Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T. Biến cố “ Cả A và B cùng xảy ra”, ký hiệu là A.B, được gọi là giao của hai biến cố A và B.
	Nếu ΩA và ΩB lần lượt là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và B thì tập hợp các kết quả thuận lợi cho AB là ΩA ΩB .
	Một cách tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, , Ak cùng liên quan đến phép thử T. Biến cố “ tất cả k biến cố A1, A2, , Ak xảy ra “, ký hiệu là , được gọi là giao của k biến cố đó.
b. Biến cố độc lập
	Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố kia. 
c. Quy tắc nhân xác suất
	Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là:
Một cách tổng quát : Cho k biến cố A1, A2, , Ak độc lập thì ta có: 	
2. HƯỚNG DẪN HỌC SINH TIẾP CẬN VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT:
2.1.Những bài toán xác suất có không gian mẫu được mô tả cụ thể :
Để học sinh làm quen với khái niệm không gian mẫu và biến cố trước hết yêu cầu học sinh nhắc lại các khái niệm về phép thử, không gian mẫu, biến cố, tập hợp các kết quả thuân lợi của biến cố, công thức xác suất cổ điển sau đó phân tích và hướng dẫn các em làm bài tập sau:
Ví dụ 1: Gieo một quân súc sắc, tính xác suất để số chấm trên mặt suất hiện chia hết cho 3.
Hướng dẫn học sinh:
Phép thử T: ‘‘Gieo một quân con súc sắc’’
Không gian mẫu: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} gồm 6 phần tử
Xét biến cố A: Số chấm trên mặt suất hiện chia hết cho 3.
Tập các kết quả thuận lợi của A : ΩA= {3; 6} gồm 2 phần tử.
Xác suất của biến cố A là:
 P(A) = = = .
Ví dụ 2: Gieo một con xúc sắc 2 lần liên tiếp. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con xúc sắc bằng 8.
Hướng dẫn học sinh:
Phép thử T: ‘‘Gieo đồng thời hai con xúc sắc’’
Không gian mẫu: Ω = {(1,1); ...(1,6);....;(6,1);...(6,6)} gồm 6.6=36 phần tử
Xét biến cố A: tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con xúc sắc bằng 8.
Tập các kết quả thuận lợi của A : ΩA = {(2,6); (3,5); (4;4); (5,3); (6;2)} Þ 
 Xác suất của A: P(A) = 
Bài 3: Có hai hộp, mỗi hộp đựng 6 thẻ được đánh số từ 1 đến 6. Rút ngẫu nhiên mỗi hộp một thẻ. Tính xác suất để tích hai số ghi trên 2 thẻ được rút ra là một số chẵn.
	Tôi dẫn dắt học sinh tìm lời giải:
Phép thử T: ‘‘Rút ngẫu nhiên mỗi hộp một thẻ’’
Không gian mẫu: Ω = {(1,1); ...(1,6);....;(6,1);...(6,6)} gồm 6.6=36 phần tử
Xét biến cố A: "Tích hai số ghi trên 2 thẻ được rút ra là một số chẵn".
Tập các kết quả thuận lợi của A : 
ΩA = {(1,2); (1,4); (1;6); (2,1); (2;2); (2,3); (2;4); (2;5); (2,6);...; (6;6)} . Đếm tất cả các kết quả liệt kê được ta được = 27
	Qua việc phân tích trên tôi nhấn mạnh chỉ cho học sinh thấy rằng, có những bài toán nếu làm theo cách liệt kê trực tiếp thì có quá nhiều kết quả khiến ta không đếm hết được. Từ đó gợi mở để học sinh tìm hướng giải quyết khác cho bài toán. Sẽ có nhiều hướng giải quyết được các em đưa ra, tôi khéo léo dẫn dắt để các em nắm được 2 cách giải quyết sau:
Cách thứ nhất: Tìm biến cố đối của biến cố A. Ta có lời giải sau
Phép thử T: ‘‘Rút ngẫu nhiên mỗi hộp một thẻ’’
Không gian mẫu: Ω = {(1,1); ...(1,6);....;(6,1);...(6,6)} gồm 6.6=36 phần tử
Gọi B là biến cố: " tích hai số ghi trên 2 thẻ được rút ra là một số lẻ" . 
 ΩB = {(1,1); (1,3); (1,5); (3,1); (3,3); (3;5); (5,1); (5,3); (5,5)}Þ = 9.
 Xác suất của biến cố B là: P(B) = = 
 Xét biến cố A: "Tích hai số ghi trên 2 thẻ được rút ra là một số chẵn".Þ A = 
 Xác suất của biến cố A là: P(A) = 1 - P(B) = .
Cách thứ 2: Tính số phần tử của không gian mẫu và số phần tử của ΩA dựa theo bài toán đếm số phần tử. Đồng thời nhấn mạnh cho học sinh đây là cách giải quyết bài toán hay được dùng. Ta có lời giải sau: 
	Gọi A là biến cố: " tích hai số ghi trên 2 thẻ được rút ra là một số chẵn".
 Số phần tử của không gian mẫu là: = 6.6 = 36.
 Số phần tử của ΩA là: =C.C + C.C + C.C = 27 
 Xác suất của biến cố A là: P(A) = = .
Hoặc: 
Gọi A là biến cố: " tích hai số ghi trên 2 thẻ được rút ra là một số chẵn".
 Số phần tử của không gian mẫu là: = 6.6 = 36.
 Số cách lấy ra 2 thẻ có tích 2 số ghi trên 2 thẻ là một số lẻ là: C.C = 9 
Số phần tử của ΩA là: = 36 - 9 = 27.
Xác suất của biến cố A là: P(A) = = .
2.2 Những bài toán chọn vật (người, ....) không liên quan đến sắp xếp:
 	Mỗi bài tập tính xác suất đều gắn liền với một bài toán đếm, và loại bài tập xác suất liên quan đến chọn vật không yêu cầu sắp xếp các vật được chọn thường đơn giải hơn, nên tôi chọn để dạy cho các em học sinh trước.
	Để học sinh tiếp thu tốt, và giải được loại toán này thành thạo, trước tiên cần củng cố cho học sinh về hai quy tắc đếm cơ bản, dấu hiệu để sử dụng hai quy tắc này, đặc biệt nhấn mạnh: Nếu sau mỗi hành động công việc được hoàn thành, chúng ta dùng quy tắc cộng. Nếu sau mỗi hành động công việc còn dang dở, dùng quy tắc nhân. Tiếp theo cần cũng cố cho học sinh cách dùng công thức C , đây là công thức đếm số tập con gồm k phần tử của một tập hợp gồm n phần tử, cũng là công thức tính số cách chọn k đối tượng từ 1 tập hợp gồm n đối tượng. Do đó, để tránh nhầm lẫn cần biết được các đối tượng chọn ra đó được lấy từ tập nào, tập đó có bao nhiêu phần tử và các phần tử lấy ra đó có tính chất gì.
Chọn cho học sinh giải ví dụ sau:
Ví dụ 1: Một hộp đựng 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp. tính xác suất để :
	a. Chọn được 1 viên bi xanh và 1 viên bi vàng.
	b. Chọn được 2 viên bi cùng màu.
Hướng dẫn học sinh: Do học sinh mới tiếp cận với bài toán tính xác suất, nên cần trang bị cho học sinh một số kỹ năng làm bài, thông qua bài tập này cần trang bị cho các em biết cách tìm số phần tử của không gian mẫu và số kết quả thuận lợi cho biến cố, vì vậy, cần đưa ra hệ thống các câu hỏi:
- Phép thử ở đây là gì? (câu trả lời mong đợi: Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp có 15 viên bi), 
- Số phần tử của không gian mẫu là tổng số các kết quả có thể xảy ra? Hay bằng số cách chọn 2 viên bi từ hộp, vậy hãy tính số phần tử của không gian mẫu? (Câu trả lời mong đợi: C).
- Biến cố ở câu a của bài toán là biến cố nào? (Câu trả lời mong đợi: Chọn được 1 viên bi xanh và 1 viên bi vàng).
- Số cách chọn bằng bao nhiêu? (C . C ).
- Số kết quả thuận lợi cho biến cố bằng bao nhiêu? Tại sao ? (bằng C . C, vì số kết quả thuận lợi cho biến cố bằng số kết quả làm cho biến cố xảy ra). 
- Biến cố ở câu b là biến cố nào? (Chọn được 2 viên bi cùng màu)
- Biến cố B xảy ra khi nào? (Khi 2 viên bi cùng màu xanh hoặc hai viên bi cùng màu đỏ, hoặc 2 viên bi cùng màu vàng).
 - Số kết quả thuận lợi cho biến cố bằng bao nhiêu? Tại sao ? (bằng C + C + C, vì số kết quả thuận lợi cho biến cố bằng số kết quả làm cho biến cố xảy ra). 
Lời giải:
Gọi A là biến cố "Chọn được 1 viên bi xanh và 1 viên bi vàng".
Gọi B là biến cố "Chọn được 2 viên bi cùng màu". 
 Số phần tử của không gian mẫu là: =C = 105 
	a. Số phần tử của ΩA là: = C . C = 20
 Xác suất của biến cố A là P(A) = = 
	 b. Số phần tử của ΩB là: = C + C + C = 31
 Xác suất của biến cố B là P(B) = 
Ví dụ 2: Có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 6 người. Tìm xác suất để chọn được cả nam và nữ, đồng thời số nam nhiều hơn số nữ.
Phân tích bài toán: Mục đích ở bài toán này là giúp các em biết cách phân chia trường hợp dựa trên tính chất của các phần tử lấy ra. Cần hướng các em đến việc tách số 6 thành tổng 2 số khác 0, vẽ bảng phân chia các trường hợp đảm bảo số lượng của nam nhiều hơn số nữ.
Cụ thể: 6 = 5 + 1 = 4 + 2 = 3 + 3
Bảng 
Số nam được chọn
Số nữ được chọn
5
1
4
2
Từ kết quả ở bảng suy ra có 2 trường hợp xảy ra biến cố: Chọn được 5 nam, 1 nữ; và 4 nam và 2 nữ.
Lời giải:
	Gọi A là biến cố "Chọn được 6 người có cả nam và nữ, đồng thời số nam nhiều hơn số nữ". 
 Số phần tử của không gian mẫu là: = C = 210
Chọn được 6 người có cả nam và nữ, đồng thời số nam nhiều hơn số nữ cần chọn: 5 nam một nữ; hoặc 4 nam 2 nữ. 
 Số phần tử của ΩA là: = C .C + C .C =114 
 Xác suất của biến cố A là P(A) = = 
Ví dụ 3: Đội văn nghệ của trường THPT Nông Cống 1 gồm 15 người trong đó có 6 nam và 9 nữ. Chọn ngẫu nhiên 7 người lập thành một tốp ca có cả nam và nữ. Tính xác suất để lập được tốp ca có ít nhất 3 nữ.
Phân tích bài toán: Mục đính của ví dụ này là mong muốn học sinh tránh nhầm lẫn khi tìm không gian mẫu. Bởi đa số học sinh đứng trước bài toán này thường tính số phần tử của không gian mẫu bằng C bởi không chú ý đến tính chất của đối tượng được chọn "chọn một tốp ca có cả nam và nữ". Số phần tử của không gian mẫu ở ví dụ này là số cách chọn 6 người có cả nam và nữ nên = C - C. Đồng thời thông qua ví dụ này hướng học sinh đến cách tìm xác suất của biến cố đối bởi biến cố đối có ít trường hợp hơn.
Lời giải:
 	Gọi A là biến cố "Chọn được tốp ca có cả nam và nữ, đồng thời số nữ ít hơn 3 người"
Gọi B là biến cố "chọn được ít nhất 3 nữ"
 Số phần tử của không gian mẫu là: = C - C = 6399 
Để tốp ca được chọn có cả nam và nữ đồng thời số nữ ít hơn 3 cần chọn 1 nữ 6nam hoặc 2 nữ 5 nam.
 Số phần tử của ΩA là: = C. C + C . C = 225 
 Xác suất của biến cố A là P(A) = = 
 Ta thấy biến cố B là biến cố đối của biến cố A. Xác suất của biến cố B là: 	
 	 P(B) = P( ) = 1 - P(A) = 
Nhận xét: Qua ví dụ này cần nhấn mạnh cho học sinh biến cố đối của một biến cố A là biến cố không xảy ra A. Dấu hiệu để sử dụng biến cố đối là đề bài có cụm từ "ít nhất ", "nhiều nhất ", "không quá";"ít hơn"...
Ví dụ 4: Có 2 hộp, hộp thứ nhất đựng 4 quả cầu đỏ và 6 quả cầu trắng; hộp thứ hai đựng 6 quả cầu đỏ và 4 quả cầu trắng. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một quả. 
	a. Tính xác suất để lấy được 2 quả cầu đều màu trắng.
	b. Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra khác màu.
Phân tích bài toán: Mục đích của ví dụ này là mong muốn học sinh tránh bị nhầm lẫn khi sử dụng công thức C. Trước bài toán này nhiều học sinh sẽ tính số phần tử của không gian mẫu = C, lý do các em bị sai là nghĩ rằng 2 quả cầu được lấy ra từ 20 quả cầu ban đầu. Cần phân tích cho học sinh thấy 2 quả cầu được lấy ra không phải từ 1 tập hợp các quả cầu, mà lấy 1 quả từ 10 quả của hộp 1 và lấy ra 1 quả từ 10 quả từ hộp 2, nên số phần tử của không gian mẫu = C . C. Thứ 2 là khi tính số phần tử thuận lợi cho biến cố, học sinh sẽ lúng túng không biết tính như thế nào, cần phân tích cho học sinh thấy là để xảy ra biến cố ở câu a, cần lấy ra 1 quả cầu trắng từ 6 quả trắng của hộp 1 và lấy ra 1 quả trắng từ 4 quả trắng của hộp 2; để xảy ra biến cố ở câu b thì cần lấy cầu sao cho; nếu quả lấy ra ở hộp 1 là màu trắng, thì quả lấy ra ở hộp 2 là màu đỏ; nếu quả lấy ra ở hộp 1 là màu đỏ, thì quả lấy ra ở hộp 2 là màu trắng.
Lời giải:
 	Gọi A là biến cố "lấy được 2 quả cầu đều màu trắng"
	Gọi B là biến cố "2 quả lấy ra khác màu".
 Mỗi kết quả của phép thử là 1 cách lấy ra 1 quả cầu từ hộp thứ nhất, và 1 quả cầu từ hộp thứ 2. Số phần tử của không gian mẫu là: = C . C = 100 
a. Để hai quả cầu lấy ra đều màu trắng cần lấy 1 quả trắng từ hộp 1 và 1 quả trắng từ hộp 2. Số phần tử của ΩA là: = C . C = 24 
 Xác suất của biến cố A là P(A) = = 0.24
b. Có 2 cách lấy được 2 quả cầu khác màu: lấy 1 quả đỏ từ hộp 1 và 1 quả trắng từ hộp 2; hoặc lấy 1 quả trắng từ hộp 1 và 1 quả đỏ từ hộp 2. 
 Số phần tử của ΩB là: = C . C + C . C = 60
 Xác suất của biến cố B là: P(B) = = 0.6
Ví dụ 5: Trường THPT Nông Cống I có 15 Đoàn viên ưu tú, trong đó khối 12 có 3 nam và 3 nữ; khối 11 có 2 nam và 3 nữ; khối 10 có 2 nam và 2 nữ. Đoàn trường chọn ra một nhóm gồm 4 học sinh là Đoàn viên ưu tú để tham gia lao động Nghĩa trang liệt sỹ. Tính xác suất để nhóm được chọn có cả nam và nữ, đồng thời mỗi khối có 1 học sinh nam.
Lời giải:
Gọi A là biến cố "chọn được nhóm có cả nam và nữ, đồng thời mỗi khối có 1 học sinh nam".
 Số phần tử của không gian mẫu là: = C = 1365
Biến cố A xảy ra khi:
- Chọn 1 nam khối 12, 1 nữ khối 12, 1 nam khối 11, 1 nam khối 10
- Chọn 1 nam khối 12, 1 nam khối 11, 1 nữ khối 11, 1 nam khối 10;
- Chọn 1 nam khối 12; 1 n1m khối 11; 1 nam khối 10, 1 nữ khối 10.
 Số phần tử của ΩA là:
	 = C . C . C . C + C .C . C . C+ C.C.C.C = 96 
 Xác suất của biến cố A là P(A) = = 
Nhận xét: bài tập này nhằm mục đích cũng cố các lưu ý được nêu ra từ ví dụ 1 đến ví dụ 4, nên cho học sinh lập bảng để tìm các trường hợp có thể xảy ra của biến cố.
Khối 12
Khối 11
Khối 10
Nam 
Nữ
Nam 
Nữ
Nam 
Nữ
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Ví dụ 6: Đội thanh niên xung kích của trường THPT Nông Cống 1 gồm 9 Đoàn viên nam và 6 Đoàn viên nữ, trong đó có 2 Đoàn viên nam là ủy viên ban chấp hành. Đoàn trường cần chọn một nhóm 3 Đoàn viên đi kiểm tra việc thực hiện nội quy nhà trường trong sáng thứ 2. Tính xác suất để 3 Đoàn viên được chọn có cả nam, nữ, ủy viên ban chấp hành.
Phân tích bài toán: Ở bài toán này cần phân tích cho học sinh thấy đối tượng được chọn thuộc 3 nhóm: Đoàn viên nam không là ủy viên; đoàn viên nữ; ủy viên ban chấp hành trong đó nếu chọn được ủy viên ban chấp hành thì tính chất có cả nam được thỏa mãn. Đồng thời khi kẻ bảng cần lưu ý với học sinh rằng, trong 9 đoàn viên nam, có 7 đoàn viên không là ủy viên và 2 đoàn viên là ủy viên để tránh trường hợp một số học sinh tính sai số kết quả thuận lợi cho biến cố do nghĩ rằng đội có 9 nam không là ủy viê