SKKN Hướng dẫn học sinh rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11

1. MỞ ĐẦU
1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
 Trong môn toán ở trường phổ thông phần hình học không gian giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng. Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải toán hình học không gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh. 
	Trong chương trình giáo dục phổ thông nói chung và trong các kỳ thi chính thức của các trường THPT và của Bộ Giáo Dục về môn Toán tôi thấy phần Hình học không gian hay có trong đề thi, do vậy đây cũng là một vấn đề rất đáng quan tâm và chú ý.
Trong thực tế quá trình giảng dạy ở trường THPT, tôi nhận thấy học sinh lớp 11 rất e ngại học môn hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó trừu tượng, thiếu tính thực tế. Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, vì vậy đa số các em học sinh gần như không làm tốt được bài thi về Hình học không gian. Đây là một điều rất đáng tiếc vì phần này sẽ giúp các em có thêm một lượng điểm trong bài thi môn toán. Và điều tất yếu là không chỉ ảnh hưởng đến kết quả đậu - trượt của học sinh mà còn ảnh hưởng tới tương lai của các em và của gia đình các em.
	Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là Hình học không gian lớp 11, các em học sinh đã được tiếp cận với hình học không gian và được biết các mối quan hệ trong không gian. Tuy nhiên trong thực tế các bài toán không gian rất phong phú và đa dạng và đặc biệt là trong các đề thi Trung học phổ thông Quốc gia, các em sẽ gặp một lớp các bài toán về thể tích, góc, khoảng cách.. mà chỉ có số ít các em biết phương pháp và tính được góc, khoảng cách và thể tích; nhất là các bài toán về khoảng cách. Tại sao lại như vậy?
 - Lý do chính ở đây là: Trong SGK Hình học lớp 11 nâng cao hiện hành bài “Khoảng cách” được trình bày ở phần cuối chương III rất là ít và hạn hẹp chỉ có hai tiết cả lý thuyết và bài tập. Nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh. Nhưng trong thực tế, để tính được các loại khoảng cách trong không gian đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao và phải có năng lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thuần thục. 
 	+ Từ những thực tế nên trên nên tôi lựa chọn vấn đề này mong muốn phần nào giúp học sinh có kiến thức và tự tin giải quyết tốt vấn đề về khoảng cách trong không gian góp phần nâng cao chất lượng giáo dục.
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
 - Giúp học sinh nắm vững và có kỹ năng tốt giải quyết bài toán khoảng cách trong không gian để vận dụng bài thi môn toán trong kỳ thi THPT Quốc Gia.
 - Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy
 - Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một số phương pháp tổng quát, một số kỹ năng cơ bản và phát hiện được vấn đề. Hy vọng với đề tài nhỏ này sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải một lớp các bài toán về khoảng cách trong không gian.
 1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU :
 - Khoảng cách trong không gian.
 - Học sinh hai lớp 11C, 11Đ.
 - Một số bài toán khoảng cách trong các tài liệu tham khảo và trong các đề thi Đại học - Cao đẳng - TCCN và đề thi THPT Quốc Gia của Bộ Giáo Dục.
 - Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 11 và ôn thi THPT Quốc Gia ở trường THPT, cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy. Tôi đã tổng hợp, khai thác và hệ thống hoá lại các kiến thức thành một chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11’’.
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Phương pháp: 	
- Nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học .
- Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm.
Cách thực hiện:
- Tham khảo các tài liệu.
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn.
- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy.
- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 11.
- Tham gia đầy đủ các buổi sinh hoạt tổ, nhóm chuyên môn.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. CỞ SỞ LÍ LUẬN
- Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết và không thể thiếu trong đời sống của con người. Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này. 
- Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những kiến thức cơ bản của môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải.
 	- Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học không gian lớp 11.
	Trong giới hạn của SKKN tôi đề cập đến một số giải pháp cụ thể như sau: 
Giải pháp 1: 
 * Hướng dẫn học sinh nắm được các định nghĩa về khoảng cách.
Giải pháp 2: 
 * Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 
Giải pháp 3:
 * Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ một đường thẳng, mặt phẳng đến một mặt phẳng song song.
Giải pháp 4: 
* Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
2.2. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
Học sinh nói chung và học sinh trường THPT Hà Trung bên cạnh một số học sinh có nhận thức tốt cũng còn không ít học sinh nhận thức còn chậm, chưa hệ thống được kiến thức và có cảm giác “sợ” hình học không gian. 
- Trong sách giáo khoa Hình học 11 chỉ nêu định nghĩa các loại khoảng cách trong không gian, một vài ví dụ minh họa và thời gian thì ít. Tuy nhiên khi gặp bài toán khoảng cách có nhiều bài toán đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ năng để đưa các bài toán khoảng cách dạng phức tạp về dạng đơn giản.
- Khi giảng dạy phần khoảng cách trong không gian hình học lớp 11cho học sinh tôi nhận thấy: 
+ Khi gặp bài toán: “Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt thẳng” thì học sinh thường lúng túng khi đi xác định hình chiếu của điểm đó trên mặt phẳng cần tính khoảng cách.
+ Khi gặp bài toán: “Tính khoảng cách từ một đường thẳng, mặt phẳng đến một mặt thẳng song song” thì học sinh thường lúng túng không biết sử dụng điểm nào trên đường thẳng hoặc mặt phẳng để tính khoảng cách tới mặt phẳng còn lại.
+ Khi gặp bài toán: “Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau” thì học sinh không xác định được đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau đó hoặc có những bài sử dụng được tính chất thì lại loay hoay đi dựng đường vuông góc chung dẫn đến mất thời gian và còn tính toán sai.
Lúc này vai trò của người giáo viên là rất quan trọng, phải hướng dẫn chỉ rõ cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán, nên giải như thế nào cho hợp lý đối với từng loại toán để được một bài toán đúng, tránh được các tình huống rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm. Trên cơ sở đó hình thành cho học sinh kỹ năng tốt khi giải quyết các bài toán về khoảng cách.
 2.3. CÁC GIẢI PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
	Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến của đồng nghiệp tôi mạnh dạn đưa ra hướng giải quyết các vấn đề trên của học sinh với những giải pháp cụ thể giúp học sinh giải quyết các bài toán về khoảng cách trong không gian.
2.3.1. Giải pháp 1: 
 * Hướng dẫn học sinh nắm được các định nghĩa về khoảng cách.
 - Định nghĩa 1: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P).
Kí hiệu: 
 - Định nghĩa 2: Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P).
Kí hiệu: 
 - Định nghĩa 3: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Nếu (P)//(Q) thì khoảng giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) kí hiệu: 
 - Định nghĩa 4: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Nếu a,b là hai đường thẳng chéo nhau thì khoảng giữa hai đường thẳng a và b kí hiệu: 
Nhận xét: 
 + Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại.
 + Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
Sau khi học sinh nắm vững các định nghĩa và tính chất về khoảng cách, giáo viên hướng dẫn học sinh tính các loại khoảng cách thường gặp trong không gian thông qua việc phân loại và cách giải cụ thể như sau:
2.3.2. Giải pháp 2: 
 * Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P).
Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt mặt phẳng ta có các cách sau:
Cách 1: 
+ Tìm mp(Q) chứa M và vuông góc với mp(P) theo giao tuyến ∆
+ Từ M hạ MH vuông góc với ∆ ()
+ MH = d(M,(P))
Cách 2: 
+ Kẻ ∆//(P). Ta có: d(M,(P))= d(∆,(P))
	+ Chọn . Lúc đó, 
Cách 3: 
+ Nếu . Ta có: 
+ Tính và 
+ 
Chú ý: + Điểm N ở đây ta phải chọn sao cho tìm khoảng cách từ N đến mặt phẳng (P) dễ hơn tìm khoảng cách từ M đến mp(P).
	 + Ta có thể dùng công thức thể tích để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Cách làm này sẽ được đề cập đến trong lớp 12.
Ví dụ 1: Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc α. Tính theo a và α.
Phân tích: Đây là một bài toán quen thuộc tuy nhiên khi gặp học sinh trung bình thường lúng túng vì không xác định được góc giữa mặt bên và mặt đáy, thêm vào đó việc xác định hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (SBC) làm cho học sinh khó định hình là điểm H nằm ở đâu. Vì vậy để giải quyết bài toán này học sinh cần trả lời được câu hỏi: Góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc nào? Mặt phẳng nào chứa A và vuông góc với (SBC)? Từ đó sẽ xác định được hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC).
Lời giải: 
+ Gọi I là trung điểm của BC.
+ Ta có: và 
+ Kẻ mà nên . Do đó, 
+ Mặt khác, xét tam giác vuông AHI có: . 
Vậy 
Nhận xét: 
Khi học sinh giải quyết thành thạo bài toán này các em sẽ giải quyết được tất cả các bài toán về hình chóp tam giác hoặc tứ diện có tính chất tương tự để tính khoảng cách từ một đỉnh của đáy tới mặt bên. Sau đó giáo viên tiếp tục mở rộng cho hình chóp tứ giác.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, , SA=2a,
a) Tính 
b) Tính [3]. 
Phân tích: Đây là dạng hình chóp có một cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Để tính khoảng cách theo yêu cầu giáo viên chỉ cần đặt câu hỏi gợi mở để học sinh phát hiện mặt phẳng (SAB) chứa A và vuông góc với (SBC) trong câu a; cũng như mặt phẳng (SAC) chứa A và vuông góc với (SBD) trong câu b.
Lời giải: 
a) Kẻ 
Ta có: 
và . 
Từ (*) và (**) suy ra: .
Từ (1) và (2) ta có: 
 hay 
+ Mặt khác, xét tam giác vuông SAB có: 
. Vậy 
b) Gọi 
 Kẻ 
Ta có: và . 
Từ (*) và (**) suy ra: .
Từ (1) và (2) ta có: hay 
+ Mặt khác, xét tam giác vuông SAO có: .
Vậy .
Nhận xét: 
Bài toán có thể yêu cầu tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) hoặc khoảng khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) với chú ý:
	; 
Từ đó giúp học sinh nhận thấy các cách hỏi khác của bài toán để khi gặp các em không thấy lạ.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều, . Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tính [3].
Phân tích: Đây là dạng hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy. Để tính khoảng cách theo yêu cầu giáo viên cần đặt vấn đề để học sinh học sinh tìm ra: Hình chiếu của đỉnh S trên mặt đáy là điểm nào? CF và DI có mối quan hệ như thế nào? Từ đó học sinh sẽ phát hiện ra mặt phẳng nào chứa I và vuông góc với (SFC).
Lời giải: 
Gọi 
+ Kẻ 
+ Ta có: 
+ Mặt khác, Xét hai tam giác vuông AID và DFC có: AI=DF, AD=DC. 
Suy ra: 
mà hay (**)
+ Từ (*) và (**) ta có: (2). 
Từ (1) và (2) suy ra: hay . 
Ta có: . 
Vậy 
Ví dụ 4: Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, ABCD là hình chữ nhật, Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Tính [1].
Lời giải: 
+ Gọi O là giao điểm của AC và BD. 
Vì B’C//A’D nên B’C//(A’BD). Do đó, 
+ Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ . 
Mặt khác, 
Từ (1) và (2) suy ra: 
+ Xét tam giác vuông BCD có: .
Vậy: 
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, , là tam giác đều cạnh a, . Tính [1]. 
Lời giải: 
+ Trong mặt phẳng (ABC) vẽ hình chữ nhật ABDC. Gọi M, I, J lần lượt là trung điểm của BC, CD và AB. Lúc đó, CD//(SAB) hay 
+ Trong mặt phẳng (SIJ) kẻ 
Mặt khác, ta có: ; 
Từ (1) và (2) suy ra: 
hay 
+ Xét tam giác SIJ có: . 
Với: , , . 
Do đó: . Vậy 
Nhận xét: 
Trong ví dụ 4, ví dụ 5 ta đã sử dụng cách 2 để tính khoảng cách. Việc tính theo cách 1 sẽ phức tạp hơn và khó khăn hơn.
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB=AD=a, CD=2a, , SD=a.
a) Tính 
b) Tính [3].
Lời giải: 
Gọi M là trung điểm của CD, E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC.
a) Trong mặt phẳng (SBD) kẻ . 
+ Vì Tam giác BCD vuông tại B hay .
 Mặt khác, vì . Từ (*) và (**) ta có: . Từ (1) và (2) suy ra: hay 
+ Xét tam giác vuông SBD có: . 
Vậy 
b) Ta có: 
. Vậy 
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a, . Tính [1]. 
Lời giải: 
+ Trong mặt phẳng (SBC) kẻ ; trong mặt phẳng (ABC) kẻ ; trong mặt phẳng (SMN) kẻ . 
Suy ra, 
+ Ta có: , , . 
Xét tam giác vuông SMN có: 
+ Mặt khác, ta có: 
Vậy .
Nhận xét: 
 Trong ví dụ 6, ví dụ 7 ta sử dụng cách 3 để tính khoảng cách. Việc đi tìm hình chiếu sẽ phức tạp và tính toán khó khăn hơn, dễ mắc phải sai lầm trong tính toán.
2.3.3. Giải pháp 3:
 * Hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ một đường thẳng, mặt phẳng đến một mặt phẳng song song.
Phương pháp:
	- Dùng định nghĩa khoảng cách từ một đường thẳng, mặt phẳng đến một mặt phẳng song song.
	- Tính khoảng cách đó dựa vào khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Ví dụ 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng . Tính [2]. 
Phân tích: Đây là dạng hình chóp đều và AD//(SBC) nên là khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc AD đến mặt phẳng (SBC). Vấn đề đặt ra là sử dụng điểm nào trên AD để khoảng cách tính là đơn giản nhất? Khi đó giáo viên cần lưu ý cho học sinh thấy được đối với dạng này luôn sử dụng tới đường cao của hình chóp từ đó học sinh sẽ phát hiện ra điểm cần sử dụng là trung điểm của AD.
Lời giải: 
+ Gọi O là giao điểm của AC và BD. I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC.
+ Vì 
+ Trong mp(SIJ) kẻ .
Theo giả thiết ta có: 
Từ (1), (2) suy ra: hay 
+ Xét tam giác SIJ có: .
 Với: IJ=a, . Suy ra: Vậy 
Nhận xét: Giáo viên nên nêu vấn đề để học sinh phát hiện ra được . Khi đó bài toán sẽ gọn gàng hơn nhiều. 
Ví dụ 9: Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a và các góc . Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy (ABCD) và (A’B’C’D’) [4].
Lời giải: 
Gọi H là hình chiếu của A’ trên mặt phẳng (ABCD). 
Vì (ABCD)//(A’B’C’D’) 
Theo bài ra ta có: 
Tam giác ABD cân tại A và góc đều 
Chứng minh tương tự A’B=A’D=a
Do A’A=A’B=A’D và tam giác ABD đều suy ra H là trọng tâm tam giác ABD.
Ta có: 
Trong tam giác A’AH vuông tại H ta có: 
 = 
Vây khoảng cách giữa hai mặt đáy (ABCD) và (A’B’C’D’) là .
Nhận xét: 
Qua ví dụ 8, ví dụ 9 ta nhận thấy để tính khoảng cách từ một đường thẳng, mặt phẳng đến một mặt phẳng song song ta đi tính khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc đường thẳng hoặc mặt phẳng đến mặt phẳng. Việc lựa chọn điểm đó phụ thuộc vào dữ kiện của bài toán sao cho khoảng cách đó tính được thuận lợi nhất.
2.3.4. Giải pháp 4: 
* Hướng dẫn học sinh cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d’
Cách 1: 	
+ Xác định đường thẳng vuông góc chung của d và d’
+ Tính độ dài đoạn vuông góc chung.
Cách 2: 	
+Tìm mp(P) chứa d’ và song song với d
+ Khi đó với A là một điểm bất kỳ thuộc d
Chú ý: mp(P) có thể có sẵn hoặc chúng ta phải dựng (Cách dựng: qua một điểm dựng đường thẳng ∆ song song với d, lúc đó mp(P)≡(d’,∆)).
Ví dụ 10: 
 Cho tứ diện ABCD có AB=a, tất cả các cạnh còn lại bằng 3a. Tính 
Lời giải: 
+ Gọi I, J lần lượt là trung điểm của CD và AB.
+ Vì ACD và ACD là các tam giác đều nên: Mặt khác, nên tam giác AIB cân tại I. Do đó, 
+ Từ (1), (2) suy ra: IJ là đường vuông góc chung của AB và CD.
+ Ta có: .
Vậy 
Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN và DM, . Tính [1].
Lời giải: 
+ Trong mp(SCH) kẻ .
+ Mặt khác 
Xét hai tam giác vuông AMD và DNC có AM=DN, AD=DC. 
Từ đó ta có và: 
 hay.
Từ (*), (**) suy ra: .
Từ (1), (2) suy ra: HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC.
+ Ta có: .
Xét tam giác vuông SHC ta có: 
Vậy .
Nhận xét: 
Trong ví dụ 10, ví dụ 11 để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta đi xác dịnh đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. Ở ví dụ 10 đay là hai cạnh đối diện của tứ diện có tính chất đặc biệt nên thường nghĩ tới đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh đó. Còn trong ví dụ 11 hai đường thẳng chéo nhau vuông góc với nhau nên việc dựng đoạn vuông góc chung cũng đơn giản.
Ví dụ 12: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, . Tính [2]. 
Phân tích: Ở ví dụ này việc dựng đoạn vuông góc chung khá phức tạp. Nhưng chú ý rằng :
Nên ta giải quyết bài toán như sau:
Lời giải: 
+ Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và A’B’. Ta có: 
+ Trong mp(CIJ) kẻ 
Ta có: (vì ABC. A’B’C’ là hình lăng trụ đứng) và (vì ∆ABC là tam giác đều) nên .
Từ (1), (2) suy ra: hay 
+ Xét tam giác vuông CIJ có: 
Vậy 
Nhận xét: 
 Trong ví dụ 12 ta đã sử dụng cách 2 để tính khoảng cách. Việc tính theo cách 1 sẽ phức tạp hơn và khó khăn hơn. Điều này còn thể hiện ở ví dụ 13 đến ví dụ 15.
Ví dụ 13: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng . Tính [2]. 
Lời giải: 
+ Vì 
+ Gọi O là giao điểm của AC và BD. I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC.
+ Trong mp(SIJ) kẻ .
Theo giả thiết ta có: 
Từ (1), (2) suy ra: hay 
+ Xét tam giác SIJ có: . Với: IJ=a, . Suy ra: 
Vậy 
Ví dụ 14: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD là tam giác đều, (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính [2]. 
Phân tích: Ở ví dụ này việc dựng đoạn vuông góc chung khá phức tạp. Hơn nữa trong hình vẽ chưa có sẵn một mặt phẳng nào chứa một đường thẳng và song song với đường thẳng còn lại trong hai đường thẳng cần tính khoảng cách. Nhưng chú ý rằng ta có thể dựng được một mặt phẳng như vậy dựa vào hình chiếu của S trênmặt phẳng (ABCD).
Lời giải: 
+ Qua A kẻ đường thẳng d song song với BD. Gọi O là giao điểm của AC và BD; I, M lần lượt là trung điểm của AD và OD; N là giao điểm của d và IM.
+ Ta có: 
+ Trong mp(SMN) kẻ 
Theo giả thiết: 
Mặt khác ta có: . 
Từ (*), (**) suy ra: . 
Từ (1), (2) suy ra: .
+ Xét tam giác SMN có: với. Do đó, Vậy 
Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính [1]. 
Giải: 
+ Gọi I là trung điểm của BC.
Do MN//BC nên N là trung điểm của AC. Do đó, IN//AB hay .
+ Trong mp(ABC) kẻ 
Trong mp(SAJ) kẻ 
+ Theo giải thiết ta có: 
Từ (*), (**) ta có: . Từ (1), (2) ta có: .
+ Ta có: ; .
+ Xét tam giác vuông SAJ có: 
.
Vậy 
Lời bình: 
Qua các ví dụ về tính khoảng cách nói chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian nói riêng chúng ta thấy rằng đây là một dạng bài toán hay, mặc dù việc tính toán không đơn giản. Để