SKKN Rèn luyện kỹ năng phân loại và giải bài toán nguyên hàm, tích phân chứa hàm ẩn trong đề thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT NGA SƠN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN LOẠI VÀ
GIẢI BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
CHỨA HÀM ẨN TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA
Người thực hiện: Lê Diễm Hương
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học
THANH HÓA NĂM 2019
MỤC LỤC
STT
Tên đề mục
Trang
1.
Mở đầu
1
1.1
Lí do chọn đề tài
1
1.2
Mục đích nghiên cứu
1
1.3
Đối tượng nghiên cứu
1
1.4
Phương pháp nghiên cứu
1
2.
Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm
2
2.1
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2
2.2
Thực trạng của đề tài
2
2.3
Giải pháp thực hiện
3
2.3.1
Hệ thống kiến thức liên quan
3
2.3.1.1
Định nghĩa nguyên hàm, tích phân
3
2.3.1.2
Tính chất nguyên hàm, tích phân
3
2.3.1.3
Phương pháp đổi biến số và phương pháp nguyên hàm, tích phân từng phần
4
2.3.2
Các phương pháp cơ bản
4
2.3.2.1
Phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất của nguyên hàm
4
2.3.2.2
Phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất tích phân, giải hệ tích phân
10
2.3.2.3
Phương pháp đổi biến số
12
2.3.2.4
Phương pháp nguyên hàm, tích phân từng phần
18
2.3.4
Bài tập tương tự
21
2.4
Kết quả nghiên cứu
21
3.
Kết luận và kiến nghị
22
Tài liệu tham khảo
1. MỞ ĐẦU
1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 Trong chương trình môn Toán ở cấp THPT bài toán về tìm nguyên hàm, tích phân là một nội dung mới và khó đối với đa số học sinh. Đứng trước bài toán này các em chủ yếu được làm quen với cách tìm nguyên hàm, tích phân của một số hàm sô thường gặp bằng bảng nguyên hàm và hai phương pháp cơ bản đổi biến số, phương pháp nguyên hàm tích phân từng phần. Nhưng với cách đổi mới căn bản về hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay trong đề thi thường xuất hiện các bài toán tìm nguyên hàm hay tích phân có chứa hàm ẩn nên làm cho học sinh gặp khó khăn trong việc định hướng tìm ra lời giải .Các em thường lúng túng trong việc áp dụng lý thuyết đã học, thậm chí đa số các em bỏ qua câu này kể cả với các em có học lực khá, giỏi và suy nghĩ đây là câu hỏi có tính chất vận dụng cao. 
 Vì lí do đó trong quá trình giảng dạy học sinh nhiều năm ở các lớp 12 và trong quá trình ôn tập tiến tới kỳ thi THPTQG sắp tới tôi mạnh dạn đưa ra cách giải quyết những khó khăn trên của học sinh bằng đề tài “ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN LOẠI VÀ GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CHỨA HÀM ẨN TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA”.
 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 	
 Đứng trước những vấn đề trên trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng kiến thức cho học sinh , tôi đã luôn trăn trở và đi tìm những thuật giải, những hướng đi cụ thể để giải quyết những vấn đề từ dễ đến khó. Nhưng chúng ta đã biết không có một chìa khoá vạn năng nào có thể “mở khoá” được mọi bài toán. Trong khi đó việc giảng dạy toán học nói chung và trong quá trình ôn thi THPTQG nói riêng, việc làm cho học sinh giải quyết được vấn đề đặt ra của bài toán một cách sáng tạo, hoàn chỉnh là rất cần thiết. Trong bài viết này, dựa trên kinh nghiệm một số năm giảng dạy ở lớp 12, luyện thi THPTQG bồi dưỡng kiến thức cho các em giành được số điểm cao nhất , tôi xin nêu lên hướng giải quyết bài toán về nguyên hàm, tích phân chứa hàm ẩn với đề tài “ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN LOẠI VÀ GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CHỨA HÀM ẨN TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA”, nhằm làm cho học sinh nâng cao khả năng tư duy, phát triển trí tuệ đồng thời bồi dưỡng niềm đam mê toán học cho các em học sinh,giúp các em tự tin để bước vào kì thi THPTQG sắp tới.
1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
- Nội dung là các bài toán về nguyên hàm, tích phân chứa hàm ẩn trong chương trình môn Toán cấp THPT.
- Một số bài tập vận dụng thấpvà vận dụng cao nằm trong đề thi khảo sát chất lượng THPTQG của các trường THPT và các đề thi THPTQG những năm gần đây của Bộ GD & ĐT.
1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
* Phương pháp:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận chung.
- Phương pháp khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học.
- Tổng hợp, so sánh, đúc rút kinh nghiệm.
* Cách thực hiện:
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn.
- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy.
- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp các lớp khối THPT ở những năm học qua.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN
- Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người. Toán học là một môn học quan trọng và khó, kiến thức rộng, không ít học sinh ngại học môn này . 
- Muốn học tốt môn Toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn Toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải.
 	- Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán nguyên hàm tích phân chứa hàm ẩn.
 Khi gặp một bài toán về nguyên hàm tích phân có chứa hàm ẩn chúng ta có rất nhiều hướng tiếp cận để tư duy ra lời giải. Tuy nhiên với những bài toán hay và khó, lối tư duy theo hướng bó hẹp trong khuôn khổ kiến thức của SGK sẽ khiến học sinh khó khăn tìm ra hướng giải quyết. Vì tính chất phân loại của đề thi hiện nay, bài toán về tìm nguyên hàm tích phân nói chung và bài toán tìm nguyên hamg tích phân có chứa hàm ẩn nói riêng đã đặt ra một yêu cầu cao hơn ở học sinh. Để giải quyết được bài toán, học sinh không chỉ nắm được lý thuyết cơ bản mà phải biết kết hợp thành thạo các cách giải tổng quát mà các em học được. Tạo nên một sự liên kết chặt chẽ giữa các mặt kiến thức nhất là kiến thức giữa các cấp học giúp học sinh thấy được bản chất của vấn đề đang học, gây nên sự hứng thú tích cực trong học tập, làm cho các em chủ động hơn trong việc tiếp thu và lĩnh hội tri thức, giúp các em không ngừng tìm tòi thêm nhiều cách giải mới, khắc phục được tâm lý lo sợ khi gặp bài toán khó là mục tiêu quan trọng nhất trong hoạt động dạy học của mỗi giáo viên.
	Trong giới hạn của SKKN tôi chỉ hướng dẫn học sinh giải thành thạo một số bài toán về nguyên hàm tích phân chứa hàm ẩn bằng “ Bốn phương pháp cơ bản”.
2.2 THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
Qua việc khảo sát khảo sát rất nhiều nhóm học sinh trong trường THPT Nga Sơn cũng như các trường THPT trong địa bàn huyện Nga Sơn và trong quá trình kiểm tra khảo sát định kỳ học tập, luyện đề ôn thi THPTQG hai năm gần đây tôi nhận thấy học sinh khi gặp câu về tìm nguyên hàm, tích phân có chứa hàm ẩn thường không định hướng được cách giải hoặc thậm chí bỏ qua câu này. Điều một phần thấy khó do yếu tố tâm lí của học sinh nghĩ rằng đây là bài toán dành cho học sinh giỏi lấy điểm cao nên chủ quan không thể làm được. Điều đó dẫn đến một sự thật đáng buồn, phần lớn học sinh dự thi THPTQG đều bỏ qua hoàn toàn câu này hoặc chỉ làm được một vài dạng câu với mức độ nhận biết học thậm chí khoanh bừa. Một điều đáng ngạc nhiên là những năm gần đây trong các đề thi khảo sát chất lượng các môn thi THPTQG của các trường THPT trong cả nước, đề thi và đề minh họa của Bộ GD &ĐT từ năm 2017 đến nay thường xuất hiện các dạng câu hỏi này . Lúc này vai trò của người giáo viên là rất quan trọng, phải hướng dẫn chỉ rõ cho học sinh phương pháp giải toán, nên giải như thế nào cho hợp lý đối với từng loại toán để được một bài toán đúng biến đổi đúng và suy luận có logic giúp các em học sinh có thêm tự tin để giải quyết được những bài toán khó này. Đó là mục đích của đề tài “ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN LOẠI VÀ GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CHỨA HÀM ẨN TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA”mà tôi hướng đến.
2.3 GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
 Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến của đồng nghiệp tôi mạnh dạn đưa ra bốn hướng giải quyết vấn đề bài toán về nguyên hàm, tích phân chứa hàm ẩn để giúp học sinh có những kỹ năng cần thiết trong quá trình ôn tập thi THPTQG đó là: “phương pháp sử dụng định nghĩa, tích chất nguyên hàm; phương pháp sử dụng định nghĩa tính chất tích phân, giải hệ tích phân; phương pháp đổi biến số, phương pháp nguyên hàm tích phân từng phần”.
 Đối với mỗi phương pháp, tôi phân tích và định hướng cho học sinh cho các em làm cụ thể, đồng thời lấy các ví dụ có tính đặc trưng để học sinh nắm vững cách giải. Những dạng bài tập có nhiều cách giải tôi đều so sánh phân tích để các em thấy được ưu nhược của từng cách giải để từ đó các em chủ động trong việc định hướng,lựa chọn cách giải cho những bài tập tương tự.
 Để minh họa cho từng phương pháp, tôi đều đưa ra những bài toán nằm trong các Đề thi khảo sát THPT QG của các trường THPT hoặc của Bộ GD & ĐT. Với mỗi bài toán như vậy tôi dẫn ra những cách giải phù hợp với nội dung chương trình đang học từ đó học sinh có định hướng phân loại, kỹ năng giải thành thạo các bài toán sẽ gặp .
2.3.1.Hệ thống kiến thức liên quan
 2.3.1.1 Định nghĩa nguyên hàm, tích phân 
* Định nghĩa 1: Cho hàm số xác định trên . Hàm số được gọi là nguyên hàm của trên nếu Họ tất cả các nguyên hàm của trên được kí hiệu là và .
Từ đó: ( là hằng số) hay 
* Định nghĩa 2: Cho hàm số liên tục trên và là hai số bất kì thuộc . Nếu là một nguyên hàm của trên thì hiệu số được gọi là tích phân
 của từ đến và kí hiệu là: hay 
 2.3.1.2 Tính chất nguyên hàm, tích phân
* Giả sử các hàm số liên tục trên thì:
; 
* Giả sử các hàm số liên tục trên và là ba số bất kì thuộc . Khi đó :
+ ; ; 
+ ; 
* Nếu hàm số liên tục trên thỏa mãn thì: 
* Nếu hàm số liên tục trên và thì: 
* Nếu Nếu hàm số liên tục trên thì: 
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tỉ lệ trên .
2.3.1.3 Phương pháp đổi biến số và phương pháp nguyên hàm, tích phân từng phần
* Phương pháp đổi biến số :
+ Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và hàm số liên tục sao choxác định trên . Khi đó nếu là một nguyên hàm của tức là thì 
+ Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và hàm số liên tục sao choxác định trên ; là hai số thuộc . Khi đó:
* Phương pháp nguyên hàm từng phần: Nếu là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên thì 
* Phương pháp tích phân từng phần: Nếu là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên và là hai số thuộcthì 
2.3.1.4 Quy tắc tính đạo hàm và nguyên hàm của một số hàm số 
* Giả sử là các hàm số có đạo hàm tại điểm thuộc khoảng xác định. 
Ta có: 
* Nếu hàm số có đạo hàm tại là và hàm số có đạo hàm tại là thì hàm hợp có đạo hàm tại là .
* Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:Với xác định và liên tục trên . Ta có:
 ;
 2.3.2. Các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân
 2.3.2.1. Phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất của nguyên hàm
Ví dụ 1: Cho hàm số xác định trên tập thỏa mãn :
. Tính giá trị của biểu thức: .
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A 
Phân tích: Khi gặp bài toán này các em học sinh sẽ lúng túng trong việc sử dụng giá trị của hàm số tại điểm cho trước để tìm ra hàm ẩn . Thậm chí có những em sẽ thấy đề bài cho“ thừa” dữ kiện khi có hai giá trị của và dẫn đến sai lầm khi tìm hằng số C của .Với những dạng toán này khi giả thiết có thể cho từ hai giá trị hàm tại 1 điểm trở lên tôi hướng dẫn các em giải quyết theo hai cách sau:
* Cách 1: Ta có
Theo giả thiết: nên 
Do đó: 
* Cách 2: Ta có: 
Từ (1) và (2) suy ra: S = 1.
*Nhận xét: Trong hai cách giải trên cách thứ nhất học sinh sử dụngtrực tiếp định nghĩa nguyên xét trên từng khoảng. Còn cách thứ hai sử dụng định nghĩa tích phân có thể sử dụng máy tính hỗ trợ sẽ rút ngắn thời gian làm bài hơn.
Ví dụ 2: Cho hàm số xác định trên tập thỏa mãn :. Tính giá trị của biểu thức: .
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A
Phân tích: Với dạng bài toán mà chỉ biết 1 giá trị hàm sốtại điểm tôi hướng dẫn học sinh sử dụng trực tiếp định nghĩa nguyên hàm để tìm ra hàm ẩn .
Ta có
Theo giả thiết: nên 
Ví dụ 3: Cho hàm số xác định trên tập thỏa mãn :
. Tính giá trị của biểu thức: .
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án B
Phân tích: Với bài toán này tôi hướng dẫn học sinh tìm hàm ẩn theo hai cách
* Cách 1: + Trên khoảng : 
+ Trên khoảng : 
Vậy : 
* Cách 2: Từ (1) và (2) suy ra: S = .
Ví dụ 4: Cho hàm số xác định trên tập thỏa mãn :. Phương trình có 2 nghiệm . Tính giá trị của biểu thức: .
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A. Áp dụng định nghĩa nguyên hàm
Ta có. Theo giả thiết: 
Xét phương trình: . Suy ra: 
Ví dụ 5: Cho hàm số nhận giá trị dương và có đạo hàm trên khoảng thỏa mãn và . Tính giá trị biểu thức: 
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A
Phân tích: Khi gặp dạng bài toán này tôi hướng dẫn học sinh kết hợp quy tắc đạo hàm với định nghĩa nguyên hàm để tìm ra hàm ẩn.
Ta có: 
Mà nên . Suy ra .
Ví dụ 6: Cho hàm số xác định và liên tục trên R. Biết :. Khi đó phương trình có bao nhiêu nghiệm?
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A
Phân tích: Với những bài toán xuất hiện lũy thừa tôi định hướng cho học sinh áp dụng nguyên hàm . Từ đó giải phương trình tìm được hàm ẩn .
Ta có: 
 Từ phương trình: 
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 7: Cho hàm số xác định và liên tục trên R thỏa mãn: Tính giá trị của biểu thức: 
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án C
Phân tích: Với những bài toán đề bài cho hàm số mũ tôi định hướng cho học sinh sử dụng theo nguyên hàm để tìm ra hàm ẩn.
Ta có: . Do đó: 
Theo bài ra ta có: 
Tương tự: 
Suy ra: . Vậy : 
Ví dụ 8: Cho hàm số liên tục và nhận giá trị dương trên R, thỏa mãn và . Khi đó giá trị biểu thức: thuộc khoảng
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án D
Phân tích: Với những bài toán đề bài cho tỉ số giữa đạo hàm và hàm số tôi định hướng cho học sinh sử dụng theo nguyên hàm để tìm ra hàm ẩn.
Ta có: 
Do: ; 
Ví dụ 9: Cho hàm số thỏa mãn điều kiện . Biết tổng và là phân số tối giản. Mệnh đề nào đúng?
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A. Áp dụng quy tắc đạo hàm của một thương và định nghĩa nguyên hàm.
Ta có:
Khi đó: 
Ví dụ10: Cho, thỏa mãn: . Tính 
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A
Phân tích: Khi gặp bài toán với giả thiết cho hệ thức chứa tổng(hiệu) có chứatôi định hướng cho học sinh biến đổi theo các quy tắc đạo hàm rồi áp dụng định nghĩa nguyên hàm tìm ra hàm ẩn .
Ta có:
Theo giả thiết: nên 
Ví dụ 11: Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn , thỏa mãn và Tính .
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A
* Phân tích: Đây là một bài toán khó gây lúng túng trong việc định hướng tìm ra cách giải. Nên khi gặp những hệ thức chứa đạo hàm tôi hướng dẫn các em khéo léo biến đổi bám theo quy tắc đạo hàm dẫn đến hàm ẩn .
Ta có: 
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: 
Do 
Vậy: 
Ví dụ 12: Cho hàm số thỏa mãn và với mọi . Giá trị của bằng 
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A. Sử dụng quy tắc đạo hàm của một thương.
Ta có: 
Từ ; Suy ra .Suy ra .
Ví dụ 13: Cho hàm số thỏa mãn và với mọi . Giá trị của bằng 
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A
Ta có: 
Ví dụ 14: Cho hàm số liên tục trên , thỏa mãn điều kiện và 
với mọi . Biết:Tính 
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A
* Phân tích: Khi gặp hệ thức có tổng(hiệu) có chứa hàm số và đạo hàm của nó tôi định hướng cho học sinh biến đổi để dẫn đến đạo hàm của tích hoặc thương . Từ đó học sinh sẽ có “thói quen” hình thành kỹ năng giải các bài toán tương tự như các ví dụ sau
Từ ; Suy ra ; Do đó :
Với thì . Vậy : 
Từ ; Suy ra . Suy ra .
2.3.2.2.Phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất tích phân, giải hệ tích phân 
* Nhận xét: Sau đây là một số bài toán tìm tích phân chứa hàm ẩn ngoài việc sử dụng định nghĩa, tính chất tích phân còn có sự kết hợp nhạy bén các quy tắc đạo hàm của hàm số ở chương trình lớp 11. Tôi đã đưa ra một số ví dụ sau để học sinh tự phân tích, định hướng và đưa ra lời giải.
Ví dụ 1: Cho . Kết quả bằng:
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A. Áp dụng tính chất tích phân.
Ta có: 
Ví dụ 2: Cho hàm sô liên tục trên R và là nguyên hàm của , biết: và Tính ?
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A. Áp dụng định nghĩa tích phân
Ta có: 
Ví dụ 3: Cho và . Tính: 
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A. Áp dụng tính chất của tích phân.
Ta có: 
Ví dụ 4: Nếu và thì : bằng:
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A. Áp dụng tính chất của tích phân.
Ta có: 
Ví dụ 5: Cho hàm số liên tục trên đoạnvà và . Tính .
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A. Áp dụng tính chất của tích phân
Ta có: 
Ví dụ 6: Biết , ,. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A. Áp dụng tính chất của tích phân.
Ta có: 
Ví dụ 7: Cho và . Tính: 
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A. Áp dụng tính chất của tích phân
Ta có: 
Ví dụ 8: Cho hàm số . Tính .
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A. Sử dụng tích phân của hàm lũy thừa
Ta có: 
Ví dụ 9: Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn , thỏa mãn và Biết , tính 
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A. Sử dụng tích phân của hàm số lôgarit
Ta có: 
Suy ra .
Ví dụ 10: Cho hàm số thỏa mãn Biết Tính .
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A. Sử dụng định nghĩa tích phân kết hợp máy tính casio.
Ta có: 
Suy ra : 
Ví dụ 11: Cho hàm số liên tục trên , thỏa mãn điều kiện và , Giá trị của tích phân bằng
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án C
*Phân tích: Đây là một bài toán tính tích phân hàm ẩn chứa lũy thừa đặc biệt là mũ 2, tôi định hướng học sinh đi phân tích theo hằng đẳng thức và sử dụng thêm tích chất: thì: từ đó tìm ra hàm ẩn .
+ Xét: 
Ta cần xác định 2 số để 
Ta có: 
Khi đó:
Ví dụ 12: Cho hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục trên , thỏa mãn điều kiện . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án D.Sử dụng quy tắc đạo hàm của một thương và định nghĩa tích phân.
Ta có:
2.3.2.3. Phương pháp đổi biến số
A. Phương pháp đổi biến số loại 1 
Ví dụ 1: Cho . Tính: 
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A
Xét tích phân . Đặt :Khi 
Do đó: 
Ví dụ 2: Cho . Tính: 
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A
Xét tích phân . Đặt :Khi 
Do đó: 
Ví dụ 3: Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn: . Tính: 
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A
Xét tích phân . Đặt :Khi 
Do đó: 
B. Phương pháp đổi biến số loại 2 
Cho hàm số thỏa mãn: . Bằng phương pháp đổi biến ta chứng minh được:
+ Với thì (I)
+ Với thì(II)
* Nếu liên tục trên thì 
Ví dụ 1: Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn: . Tính: 
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A
Đặt :
Ví dụ 2: Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn: . Tính: 
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A
* Phân tích: Với ví dụ này tôi hướng dẫn học sinh thực hiện theo hai cách đổi biến số và vận dụng công thức đã nêu để từ đó thấy được hiệu quả của từng cách làm
+ Cách 1: Đổi biến số 
Đặt :
Vậy : 
+ Cách 2: Áp dụng công thức (I) ta có: 
Nên 
* Bình luận: Cách giải thứ hai học sinh sử dụng linh hoạt, kết hợp bấm máy tính cho kết quả nhanh, chính xác.
Ví dụ 3: Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn: . 
Tính: 
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A
Áp dụng công thức (II) ta có: 
Nên 
Ví dụ 4: Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn: . 
Tích phân: tối giản. Tính .
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A
Biến đổi 
Áp dụng công thức (I) ta có: 
Nên 
Suy ra: 
Ví dụ 5: Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn: . 
Tính tích phân: 
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A
Đặt: . Khi đó điều kiện trở thành: 
C. Phương pháp đổi biến số loại 3
Phương pháp: Lần lượt đặt đưa về hệ phương trình hai ẩn (ẩn là f(x)) để từ đó tìm được hàm số f(x).
* Một số kết quả chứng minh được: Cho biểu thức:
+ Hệ quả 1: 
+ Hệ quả 2: , nếu g(x) là hàm số chẵn.
Ví dụ 1: Cho hàm số liên tục trên và Tính 
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A
 Đặt : . Khi đó điều kiện trở thành : 
Hay . Kết hợp với điều kiện . Suy ra: 
Ví dụ 2: Cho hàm số liên tục trên và Tính 
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A
* Phân tích: Đối với dạng bài toán này tôi hướng dẫn học sinh giải theo hai cách sau để qua đó các em thấy được ưu nhược của từng phương pháp để có định hướng và lựa chọ cách giải phù hợp cho quá trình làm bài thi trắc nghiệm.
+ Cách 1: (Áp dụng PP đổi biến số loại 2)
+ Cách 2: (Áp dụng PP đổi biến số loại 3)
Ví dụ 3: Cho hàm số liên tục trên và Tính 
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: Đáp án A
Đặt . 
Khi đó: 
D. Phương pháp đổi biến số loại 4
* Tính chất:
+ Nế